Число Рейнольдса

Отношение инерционных и вязких сил, действующих на жидкость

Струя пламени этой свечи переходит от ламинарного к турбулентному.

Переход от ламинарного (слева) к турбулентному (справа) потоку воды из крана происходит по мере увеличения числа Рейнольдса.

Вихревая дорожка вокруг цилиндра. Это может происходить вокруг цилиндров и сфер, для любой жидкости, размера цилиндра и скорости жидкости, при условии, что число Рейнольдса составляет примерно от 40 до 1000. ^[1]

Джордж Стокс ввел числа Рейнольдса.

Эту концепцию популяризировал Осборн Рейнольдс .

В гидродинамике число Рейнольдса ( Re ) — это безразмерная величина , которая помогает предсказывать закономерности течения жидкости в различных ситуациях, измеряя соотношение между инерционными и вязкими силами. ^[2] При низких числах Рейнольдса потоки, как правило, являются ламинарными (пластинчатыми) , тогда как при высоких числах Рейнольдса потоки, как правило, турбулентными . Турбулентность возникает из-за различий в скорости и направлении жидкости, которые иногда могут пересекаться или даже двигаться в противовес общему направлению потока ( вихревые токи ). Эти вихревые токи начинают вспенивать поток, используя энергию в этом процессе, что для жидкостей увеличивает вероятность кавитации .

Число Рейнольдса имеет широкое применение, начиная от течения жидкости в трубе и заканчивая прохождением воздуха над крылом самолета. Оно используется для прогнозирования перехода от ламинарного к турбулентному потоку и применяется при масштабировании похожих, но разных по размеру ситуаций потока, например, между моделью самолета в аэродинамической трубе и полноразмерной версией. Прогнозы начала турбулентности и способность рассчитывать эффекты масштабирования могут использоваться для прогнозирования поведения жидкости в более крупном масштабе, например, в локальном или глобальном движении воздуха или воды, и, следовательно, связанных с ним метеорологических и климатических эффектов.

Понятие было введено Джорджем Стоксом в 1851 году ^[3] , но число Рейнольдса было названо Арнольдом Зоммерфельдом в 1908 году ^[4] в честь Осборна Рейнольдса (1842–1912), который популяризировал его использование в 1883 году. ^{[5] [6]} (см . этот список )

Определение

Число Рейнольдса — это отношение инерционных сил к вязким силам внутри жидкости, которая подвергается относительному внутреннему движению из-за различных скоростей жидкости. Область, где эти силы изменяют поведение, известна как пограничный слой , например, ограничивающая поверхность внутри трубы. Похожий эффект создается при введении потока высокоскоростной жидкости в низкоскоростную жидкость, например, горячие газы, выделяемые пламенем в воздухе. Это относительное движение создает трение жидкости, которое является фактором развития турбулентного потока. Противодействие этому эффекту — вязкость жидкости , которая имеет тенденцию подавлять турбулентность. Число Рейнольдса количественно определяет относительную важность этих двух типов сил для заданных условий потока и является руководством к тому, когда турбулентный поток возникнет в конкретной ситуации. ^[7]

Эта способность предсказывать начало турбулентного потока является важным инструментом проектирования для такого оборудования, как системы трубопроводов или крылья самолета, но число Рейнольдса также используется при масштабировании задач гидродинамики и используется для определения динамического подобия между двумя различными случаями потока жидкости, например, между моделью самолета и его полноразмерной версией. Такое масштабирование не является линейным, и применение чисел Рейнольдса к обеим ситуациям позволяет разрабатывать коэффициенты масштабирования.

Относительно ламинарного и турбулентного режимов течения :

• ламинарное течение возникает при низких числах Рейнольдса, где преобладают силы вязкости, и характеризуется плавным, постоянным движением жидкости;
• Турбулентный поток возникает при высоких числах Рейнольдса и в нем доминируют инерционные силы, которые имеют тенденцию создавать хаотические вихри , завихрения и другие виды неустойчивости потока. ^[8]

Число Рейнольдса определяется как: ^[4]

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {uL}{\nu }}={\frac {\rho uL}{\mu }}}$

где:

• ρ — плотность жидкости ( единицы СИ : кг/м ³ )
• u — скорость потока (м/с)
• L — характерная длина (м)
• μ — динамическая вязкость жидкости(Па·с или Н·с/м ² или кг/(м·с) )
• ν — кинематическая вязкость жидкости (м2 ^/ с).

Уравнение Брезины

Число Рейнольдса можно определить для нескольких различных ситуаций, когда жидкость находится в относительном движении к поверхности. ^{[n 1]} Эти определения обычно включают свойства жидкости: плотность и вязкость, а также скорость и характерную длину или характерный размер (L в приведенном выше уравнении). Этот размер является вопросом соглашения — например, радиус и диаметр одинаково применимы для описания сфер или окружностей, но один из них выбирается по соглашению. Для самолетов или кораблей можно использовать длину или ширину. Для потока в трубе или для сферы, движущейся в жидкости, сегодня обычно используется внутренний диаметр. Другие формы, такие как прямоугольные трубы или несферические объекты, имеют определенный эквивалентный диаметр . Для жидкостей с переменной плотностью, таких как сжимаемые газы, или жидкостей с переменной вязкостью, таких как неньютоновские жидкости , применяются специальные правила. Скорость также может быть вопросом соглашения в некоторых обстоятельствах, особенно для сосудов с перемешиванием.

На практике, соответствие числу Рейнольдса само по себе не является достаточным для гарантии подобия. Течение жидкости, как правило, хаотично, и очень небольшие изменения формы и шероховатости ограничивающих поверхностей могут привести к совершенно разным потокам. Тем не менее, числа Рейнольдса являются очень важным руководством и широко используются.

Вывод

Если мы знаем, что соответствующие физические величины в физической системе равны только , то число Рейнольдса по существу фиксируется теоремой Бекингема о π . ${\displaystyle \rho ,u,L,\mu }$

В деталях, поскольку есть 4 величины , но они имеют только 3 измерения (длина, время, масса), мы можем рассмотреть , где - действительные числа. Приравнивая три измерения к нулю, мы получаем 3 независимых линейных ограничения, поэтому пространство решений имеет 1 измерение, и оно охватывается вектором . ${\displaystyle \rho ,u,L,\mu }$ ${\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}}$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{4}}$ ${\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}}$ ${\displaystyle (1,1,1,-1)}$

Таким образом, любая безразмерная величина, построенная из является функцией числа Рейнольдса. ${\displaystyle \rho ,u,L,\mu }$ ${\displaystyle \rho uL\mu ^{-1}}$

В качестве альтернативы мы можем взять несжимаемые уравнения Навье–Стокса (конвективная форма) : Удалим член гравитации , тогда левая часть состоит из силы инерции , и силы вязкости . Их отношение имеет порядок , числа Рейнольдса. Этот аргумент подробно расписан на странице теоремы гребешка . $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} }$$ ${\displaystyle {\mathbf {g}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\frac {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} }{\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }}\sim {\frac {u^{2}/L}{\nu u/L^{2}}}={\frac {uL}{\nu }}}$

Альтернативное происхождение

Число Рейнольдса можно получить, если использовать безразмерную форму уравнений Навье–Стокса для несжимаемой ньютоновской жидкости, выраженную через производную Лагранжа :

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {f} .}$

Каждый член в приведенном выше уравнении имеет единицы измерения "силы тела" (силы на единицу объема) с теми же размерами плотности, умноженной на ускорение. Таким образом, каждый член зависит от точных измерений потока. Когда мы делаем уравнение безразмерным, то есть когда мы умножаем его на коэффициент с обратными единицами базового уравнения, мы получаем форму, которая не зависит напрямую от физических размеров. Один из возможных способов получить безразмерное уравнение - умножить все уравнение на коэффициент

${\displaystyle {\frac {L}{\rho V^{2}}},}$

где

• V — средняя скорость, v или v , относительно жидкости (м/с),
• L — характерная длина (м),
• ρ — плотность жидкости (кг/м ³ ).

Если мы теперь установим

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '&={\frac {\mathbf {v} }{V}},&p'&=p{\frac {1}{\rho V^{2}}},&\mathbf {f} '&=\mathbf {f} {\frac {L}{V^{2}}},&{\frac {\partial }{\partial t'}}&={\frac {L}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},&\nabla '&=L\nabla ,\end{aligned}}}$

мы можем переписать уравнение Навье–Стокса без размерностей:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} '}{Dt'}}=-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho LV}}\nabla '^{2}\mathbf {v} '+\mathbf {f} ',}$

где термин ⁠μ/ρЛВ⁠ = ⁠1/Повторно⁠ .

Наконец, опустим штрихи для удобства чтения:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .}$

Универсальное уравнение седиментации — коэффициент сопротивления, функция числа Рейнольдса и фактора формы, 2D диаграмма

Универсальное уравнение седиментации — коэффициент сопротивления, функция числа Рейнольдса и фактора формы, 3D-диаграмма

Вот почему математически все ньютоновские несжимаемые потоки с одинаковым числом Рейнольдса сопоставимы. Обратите внимание также, что в приведенном выше уравнении вязкие члены исчезают при Re → ∞ . Таким образом, потоки с высокими числами Рейнольдса являются приблизительно невязкими в свободном потоке.

История

Аппарат Осборна Рейнольдса 1883 года, демонстрирующий возникновение турбулентного течения. Аппарат до сих пор находится в Манчестерском университете.

Диаграмма из статьи Рейнольдса 1883 года, показывающая возникновение турбулентного течения.

Осборн Рейнольдс, как известно, изучал условия, при которых поток жидкости в трубах переходил от ламинарного течения к турбулентному . В своей статье 1883 года Рейнольдс описал переход от ламинарного к турбулентному течению в классическом эксперименте, в котором он исследовал поведение потока воды при различных скоростях потока, используя небольшую струю окрашенной воды, введенную в центр потока чистой воды в большей трубе.

Большая труба была стеклянной, поэтому можно было наблюдать поведение слоя окрашенного потока. На конце этой трубы находился клапан управления потоком, который использовался для изменения скорости воды внутри трубы. Когда скорость была низкой, окрашенный слой оставался отчетливым по всей длине большой трубы. Когда скорость увеличивалась, слой распадался в заданной точке и рассеивался по всему поперечному сечению жидкости. Точка, в которой это происходило, была точкой перехода от ламинарного к турбулентному потоку.

Из этих экспериментов вышло безразмерное число Рейнольдса для динамического подобия — отношение инерционных сил к вязким силам. Рейнольдс также предложил то, что сейчас известно как усреднение по Рейнольдсу турбулентных потоков, где такие величины, как скорость, выражаются как сумма средних и флуктуирующих компонентов. Такое усреднение позволяет описывать турбулентный поток «объемно», например, используя усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье–Стокса .

Поток в трубе

Для потока в трубе или шланге число Рейнольдса обычно определяется как ^[9]

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {uD_{\text{H}}}{\nu }}={\frac {\rho uD_{\text{H}}}{\mu }}={\frac {\rho QD_{\text{H}}}{\mu A}}={\frac {WD_{\text{H}}}{\mu A}},}$

где

• D _H — гидравлический диаметр трубы (внутренний диаметр, если труба круглая) (м),
• Q - объемный расход (м ³ /с),
• A — площадь поперечного сечения трубы( A = ⁠πD ²/4⁠ ) ​​(м ² ),
• u — средняя скорость жидкости (м/с),
• μ (мю) — динамическая вязкость жидкости(Па·с = Н·с/м ² = кг/(м·с)) ,
• ν (nu) — кинематическая вязкость ( ν = ⁠μ/ρ⁠ ) ​​(м ² /с),
• ρ (rho) – плотность жидкости (кг/м ³ ),
• W — массовый расход жидкости (кг/с).

Для таких форм, как квадратные, прямоугольные или кольцевые воздуховоды, где высота и ширина сопоставимы, характерным размером для ситуаций внутреннего потока считается гидравлический диаметр , D _H , определяемый как

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4A}{P}},}$

где A — площадь поперечного сечения, а P — смоченный периметр . Смоченный периметр для канала — это общий периметр всех стенок канала, которые контактируют с потоком. ^[10] Это означает, что длина канала, находящаяся под воздействием воздуха, не включена в смоченный периметр.

Для круглой трубы гидравлический диаметр точно равен внутреннему диаметру трубы:

${\displaystyle D_{\text{H}}=D.}$

Для кольцевого канала, такого как внешний канал в теплообменнике типа «труба в трубе» , гидравлический диаметр можно алгебраически уменьшить до

${\displaystyle D_{\text{H,annulus}}=D_{\text{o}}-D_{\text{i}},}$

где

• D _o — внутренний диаметр наружной трубы,
• D _i — наружный диаметр внутренней трубы.

Для расчета потока в некруглых воздуховодах гидравлический диаметр можно заменить на диаметр круглого воздуховода с достаточной точностью, если соотношение сторон AR поперечного сечения воздуховода остается в диапазоне ⁠1/4⁠ < АР < 4. ^[11]

Ламинарный–турбулентный переход

В пограничном слое течения над плоской пластиной эксперименты подтверждают, что после определенной длины течения ламинарный пограничный слой станет нестабильным и турбулентным. Эта нестабильная ситуация возникает в разных масштабах и с разными жидкостями, обычно когда Re _x ≈5 × 10 ⁵ , ^[12] где x — расстояние от передней кромки плоской пластины, а скорость потока — скорость свободного потока жидкости вне пограничного слоя.

Для потока в трубе диаметром D экспериментальные наблюдения показывают, что для «полностью развитого» потока ^{[n 2]} ламинарный поток возникает при Re _D < 2300, а турбулентный поток возникает при Re _D > 2900. ^{[13] [14]} В нижней части этого диапазона будет формироваться непрерывный турбулентный поток, но только на очень большом расстоянии от входа в трубу. Поток между ними начнет переходить от ламинарного к турбулентному, а затем обратно к ламинарному через нерегулярные интервалы, называемые прерывистым потоком. Это происходит из-за различных скоростей и состояний жидкости в различных областях поперечного сечения трубы, в зависимости от других факторов, таких как шероховатость трубы и однородность потока. Ламинарный поток имеет тенденцию доминировать в быстро движущемся центре трубы, в то время как более медленно движущийся турбулентный поток доминирует вблизи стенки. По мере увеличения числа Рейнольдса непрерывный турбулентный поток перемещается ближе к входному отверстию, а прерывистость между ними увеличивается, пока поток не станет полностью турбулентным при Re _D > 2900. ^[13] Этот результат обобщается на некруглые каналы с использованием гидравлического диаметра , что позволяет рассчитать переходное число Рейнольдса для других форм каналов. ^[13]

Эти переходные числа Рейнольдса также называются критическими числами Рейнольдса и были изучены Осборном Рейнольдсом около 1895 года. ^[6] Критическое число Рейнольдса различно для каждой геометрии. ^[15]

Поток в широком канале

Для жидкости, движущейся между двумя плоскими параллельными поверхностями, где ширина намного больше расстояния между пластинами, характерный размер равен расстоянию между пластинами. ^[16] Это согласуется с приведенными выше случаями кольцевого и прямоугольного воздуховодов, взятыми с предельным соотношением сторон.

Течение в открытом канале

Для расчета потока жидкости со свободной поверхностью необходимо определить гидравлический радиус . Это площадь поперечного сечения канала, деленная на смоченный периметр. Для полукруглого канала это четверть диаметра (в случае полного потока в трубе). Для прямоугольного канала гидравлический радиус — это площадь поперечного сечения, деленная на смоченный периметр. В некоторых текстах затем используется характерный размер, который в четыре раза больше гидравлического радиуса, выбранный потому, что он дает то же значение Re для начала турбулентности, что и в потоке в трубе, ^[17], в то время как другие используют гидравлический радиус как характерный масштаб длины с, следовательно, разными значениями Re для переходного и турбулентного потока.

Обтекание аэродинамических профилей

Числа Рейнольдса используются в проектировании аэродинамического профиля (помимо прочего) для управления «эффектом масштаба» при вычислении/сравнении характеристик (маленькое крыло, увеличенное до огромного размера, будет вести себя по-другому). ^[18] Специалисты по гидродинамике определяют хордовое число Рейнольдса R = Vc / ν , где V — скорость полета, c — длина хорды, а ν — кинематическая вязкость жидкости, в которой работает аэродинамический профиль, которая равна1,460 × 10−5  м2 /с ^для атмосферы на уровне моря . ^{[19] В некоторых специальных исследованиях может использоваться характерная длина, отличная от хорды; редко} встречается «число Рейнольдса по размаху», которое не следует путать с размаховыми станциями на крыле, где хорда все еще используется. ^[20]

Объект в жидкости

Высокая вязкость меда приводит к идеально ламинарному потоку, когда его выливают из ведра, в то время как низкое поверхностное натяжение позволяет ему оставаться листообразным даже после достижения жидкости ниже. Аналогично турбулентности, когда поток встречает сопротивление, он замедляется и начинает колебаться вперед и назад, нагромождаясь сам на себя.

Число Рейнольдса для объекта, движущегося в жидкости, называемое числом Рейнольдса частицы и часто обозначаемое Re _p , характеризует характер окружающего потока и скорость его падения.

В вязких жидкостях

Ползущее течение мимо падающей сферы: линии тока , сила сопротивления F _d и сила тяжести F _g .

Там, где вязкость естественно высока, например, в растворах полимеров и расплавах полимеров, поток обычно ламинарный. Число Рейнольдса очень мало, и закон Стокса может быть использован для измерения вязкости жидкости. Сферам позволяют падать через жидкость, и они быстро достигают конечной скорости , из которой можно определить вязкость. ^[21]

Ламинарный поток полимерных растворов используется животными, такими как рыбы и дельфины, которые выделяют вязкие растворы из своей кожи, чтобы облегчить течение по телу во время плавания. ^[22] Он использовался в гонках на яхтах владельцами, которые хотели получить преимущество в скорости, закачивая полимерный раствор, такой как низкомолекулярный полиоксиэтилен в воде, по смоченной поверхности корпуса.

Однако это проблема для смешивания полимеров, поскольку для распределения мелкого наполнителя (например) по материалу необходима турбулентность. Были разработаны такие изобретения, как «смеситель с полостью для переноса», чтобы производить множественные складки в движущемся расплаве, чтобы повысить эффективность смешивания . Устройство можно устанавливать на экструдеры для облегчения смешивания.

Сфера в жидкости

Коэффициент сопротивления C _d для сферы как функция числа Рейнольдса Re , полученный в ходе лабораторных экспериментов. Темная линия соответствует сфере с гладкой поверхностью, а более светлая — случаю шероховатой поверхности (например, с небольшими ямочками). Существует диапазон скоростей жидкости, при котором мяч для гольфа с шероховатой поверхностью испытывает меньшее сопротивление, чем гладкий мяч. Числа вдоль линии указывают на несколько режимов течения и связанные с ними изменения коэффициента сопротивления:

2. присоединенное течение ( поток Стокса ) и установившийся отрывной поток ,
3. отрывной нестационарный поток, имеющий ламинарный пограничный слой потока выше по потоку от отрыва и создающий вихревую дорожку ,
4. оторванный нестационарный поток с ламинарным пограничным слоем на стороне входа, до отрыва потока, с хаотическим турбулентным следом на стороне выхода сферы ,
5. Посткритическое отрывное течение с турбулентным пограничным слоем.

Для сферы в жидкости характерный масштаб длины — это диаметр сферы, а характерная скорость — это скорость сферы относительно жидкости на некотором расстоянии от сферы, так что движение сферы не нарушает эту опорную порцию жидкости. Плотность и вязкость принадлежат жидкости. ^[23] Обратите внимание, что чисто ламинарный поток существует только до Re = 10 в рамках этого определения.

При низком значении Re соотношение между силой и скоростью движения определяется законом Стокса . ^[24]

При более высоких числах Рейнольдса сопротивление сферы зависит от шероховатости поверхности. Так, например, добавление ямок на поверхности мяча для гольфа приводит к тому, что пограничный слой на стороне мяча, обращенной вверх по потоку, переходит из ламинарного в турбулентный. Турбулентный пограничный слой может оставаться прикрепленным к поверхности мяча гораздо дольше, чем ламинарная граница, и поэтому создает более узкий след низкого давления и, следовательно, меньшее сопротивление давления. Уменьшение сопротивления давления заставляет мяч двигаться дальше. ^[25]

Прямоугольный объект в жидкости

Уравнение для прямоугольного объекта идентично уравнению для сферы, при этом объект аппроксимируется эллипсоидом , а ось длины выбирается в качестве характерного масштаба длины. Такие соображения важны в природных потоках, например, где мало идеально сферических зерен. Для зерен, в которых измерение каждой оси непрактично, вместо этого в качестве характерного масштаба длины частицы используются диаметры сита. Оба приближения изменяют значения критического числа Рейнольдса.

Скорость падения

Число Рейнольдса для частиц важно для определения скорости падения частицы. Когда число Рейнольдса для частиц указывает на ламинарный поток, закон Стокса может быть использован для расчета скорости падения или скорости осаждения. Когда число Рейнольдса для частиц указывает на турбулентный поток, необходимо построить закон турбулентного сопротивления для моделирования соответствующей скорости осаждения.

Упакованная кровать

Для потока жидкости через слой приблизительно сферических частиц диаметром D, находящихся в контакте, если пустотность равна ε , а поверхностная скорость равна v _s , число Рейнольдса можно определить как ^[26]

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho v_{\text{s}}D}{\mu }},}$

или

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho v_{\text{s}}D}{\mu \varepsilon }},}$

или

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho v_{\text{s}}D}{\mu (1-\varepsilon )}}.}$

Выбор уравнения зависит от задействованной системы: первое уравнение успешно применяется для корреляции данных для различных типов насадочных и псевдоожиженных слоев , второе число Рейнольдса подходит для данных жидкой фазы, в то время как третье уравнение оказалось успешным для корреляции данных псевдоожиженного слоя, будучи впервые введенным для системы с псевдоожиженным слоем жидкости. ^[26]

Ламинарные условия применяются до Re = 10, полностью турбулентные — от Re = 2000. ^[23]

Сосуд с мешалкой

В цилиндрическом сосуде, перемешиваемом центральной вращающейся лопастью, турбиной или пропеллером, характерным размером является диаметр мешалки D. Скорость V равна ND , где N — скорость вращения в рад в секунду. Тогда число Рейнольдса равно:

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho ND^{2}}{\mu }}={\frac {\rho VD}{\mu }}.}$

Система полностью турбулентна при значениях Re выше10 000. ^[27 ]

Трение в трубе

Диаграмма Муди , описывающая коэффициент трения Дарси–Вейсбаха f как функцию числа Рейнольдса и относительной шероховатости трубы.

Падение давления ^[28], наблюдаемое при полностью развитом потоке жидкости через трубы, можно предсказать с помощью диаграммы Муди , которая отображает коэффициент трения Дарси-Вейсбаха f в зависимости от числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости ⁠ε/Д⁠ . На диаграмме четко показаны ламинарный, переходный и турбулентный режимы течения по мере увеличения числа Рейнольдса. Характер течения в трубе сильно зависит от того, является ли течение ламинарным или турбулентным.

Подобие потоков

Качественное поведение потока жидкости по цилиндру в значительной степени зависит от числа Рейнольдса; схожие картины течения часто возникают, когда форма и число Рейнольдса совпадают, хотя другие параметры, такие как шероховатость поверхности, оказывают большое влияние.

Для того чтобы два потока были похожи, они должны иметь одинаковую геометрию и равные числа Рейнольдса и Эйлера . При сравнении поведения жидкости в соответствующих точках модели и полномасштабного потока справедливо следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Re} _{\text{m}}&=\mathrm {Re} ,\\\mathrm {Eu} _{\text{m}}&=\mathrm {Eu} ,\end{aligned}}}$

где — число Рейнольдса для модели, — полномасштабное число Рейнольдса, и аналогично для чисел Эйлера. ${\displaystyle \mathrm {Re} _{\text{m}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} }$

Номера моделей и номера конструкций должны быть в одинаковой пропорции, следовательно

${\displaystyle {\frac {p_{\text{m}}}{\rho _{\text{m}}v_{\text{m}}^{2}}}={\frac {p}{\rho v^{2}}}.}$

Это позволяет инженерам проводить эксперименты с уменьшенными моделями в водных каналах или аэродинамических трубах и сопоставлять данные с фактическими потоками, экономя на затратах во время экспериментов и времени в лаборатории. Обратите внимание, что истинное динамическое подобие может потребовать сопоставления и других безразмерных чисел , таких как число Маха, используемое в сжимаемых потоках , или число Фруда , которое управляет потоками в открытом канале. Некоторые потоки включают больше безразмерных параметров, чем можно практически удовлетворить с помощью доступного оборудования и жидкостей, поэтому приходится решать, какие параметры наиболее важны. Для того чтобы экспериментальное моделирование потока было полезным, оно требует достаточного опыта и суждения инженера.

Примером, когда одного числа Рейнольдса недостаточно для подобия потоков (или даже режима течения – ламинарного или турбулентного), являются ограниченные потоки, т. е. потоки, которые ограничены стенками или другими границами. Классическим примером этого является течение Тейлора–Куэтта , где безразмерное отношение радиусов ограничивающих цилиндров также важно, и многие технические приложения, где эти различия играют важную роль. ^{[29] [30]} Принципы этих ограничений были разработаны Морисом Мари Альфредом Куэттом и Джеффри Ингрэмом Тейлором и далее развиты Флорисом Такенсом и Дэвидом Рюэллем .

Типичные значения числа Рейнольдса ^{[31] [32]}

• Диктиостелиальные амебы : ~ 1 × 10-6 ^{[ 33]}
• Бактерия ~ 1 × ¹⁰⁻⁴
• Инфузория ~ 1 × 10 ⁻¹
• Самая маленькая рыба ~ 1
• Кровоток в мозге ~ 1 × 10 ²
• Кровоток в аорте ~ 1 × 10 ³
• Начало турбулентного течения ~ от 2,3 × 10 ³ до 5,0 × 10 ⁴ для течения в трубе до 10 ⁶ для пограничных слоев
• Типичный питч в Главной лиге бейсбола ~ 2 × 10 ⁵
• Человек плывет ~ 4 × 10 ⁶
• Самая быстрая рыба ~ 1 × 10 ⁸
• Синий кит ~ 4 × 10 ⁸
• Большой корабль ( Королева Елизавета 2 ) ~ 5 × 10 ⁹
• Атмосферный тропический циклон ~ 1 x 10 ¹²

Наименьшие масштабы турбулентного движения

В турбулентном потоке существует диапазон масштабов изменяющегося во времени движения жидкости. Размер самых больших масштабов движения жидкости (иногда называемых вихрями) задается общей геометрией потока. Например, в промышленной дымовой трубе самые большие масштабы движения жидкости такие же большие, как диаметр самой трубы. Размер самых маленьких масштабов задается числом Рейнольдса. По мере увеличения числа Рейнольдса видны все меньшие и меньшие масштабы потока. В дымовой трубе дым может иметь множество очень маленьких возмущений скорости или вихрей, в дополнение к большим объемным вихрям. В этом смысле число Рейнольдса является индикатором диапазона масштабов в потоке. Чем выше число Рейнольдса, тем больше диапазон масштабов. Самые большие вихри всегда будут одного размера; самые маленькие вихри определяются числом Рейнольдса.

Каково объяснение этого явления? Большое число Рейнольдса указывает на то, что вязкие силы не важны в больших масштабах потока. При сильном преобладании инерционных сил над вязкими самые большие масштабы движения жидкости не демпфируются — вязкости недостаточно, чтобы рассеять их движения. Кинетическая энергия должна «каскадировать» от этих больших масштабов к постепенно меньшим масштабам, пока не будет достигнут уровень, для которого масштаб достаточно мал, чтобы вязкость стала важной (то есть вязкие силы становятся порядка инерционных). Именно в этих малых масштабах в конечном итоге происходит рассеивание энергии вязким действием. Число Рейнольдса указывает, в каком масштабе происходит это вязкое рассеивание. ^[34]

В физиологии

Закон Пуазейля о кровообращении в организме зависит от ламинарного течения . ^[35] В турбулентном течении скорость потока пропорциональна квадратному корню градиента давления, в отличие от его прямой пропорциональности градиенту давления в ламинарном течении.

Используя определение числа Рейнольдса, мы можем видеть, что большой диаметр с быстрым потоком, где плотность крови высока, имеет тенденцию к турбулентности. Быстрые изменения диаметра сосуда могут привести к турбулентному потоку, например, когда более узкий сосуд расширяется до большего. Кроме того, выпуклость атеромы может быть причиной турбулентного потока, где слышимая турбулентность может быть обнаружена с помощью стетоскопа. ^[36]

Сложные системы

Интерпретация числа Рейнольдса была расширена в область произвольных сложных систем . Таких как финансовые потоки, ^[37] нелинейные сети, ^{[ требуется ссылка ]} и т. д. В последнем случае искусственная вязкость сводится к нелинейному механизму распределения энергии в сложных сетевых средах. Тогда число Рейнольдса представляет собой базовый параметр управления, который выражает баланс между инжектированными и рассеиваемыми потоками энергии для системы с открытой границей. Было показано, что критический режим Рейнольдса разделяет два типа движения фазового пространства: ускоритель (аттрактор) и замедлитель. ^[38] Высокое число Рейнольдса приводит к хаотическому переходу режима только в рамках модели странного аттрактора .

Связь с другими безразмерными параметрами

В механике жидкости существует множество безразмерных чисел . Число Рейнольдса измеряет отношение эффектов адвекции и диффузии на структурах в поле скорости и, следовательно, тесно связано с числами Пекле , которые измеряют отношение этих эффектов на других полях, переносимых потоком, например, температуре и магнитным полям. Замена кинематической вязкости ν = ⁠μ/ρ⁠ в Re по коэффициенту температурной или магнитной диффузии приводит к соответственно тепловому числу Пекле и магнитному числу Рейнольдса . Следовательно, они связаны с побочными продуктами Re с отношениями коэффициентов диффузии, а именно числом Прандтля и магнитным числом Прандтля .

Смотрите также

• Теорема Рейнольдса о переносе  – трехмерное обобщение интегрального правила Лейбница
• Коэффициент сопротивления  – безразмерный параметр для количественной оценки сопротивления жидкости.
• Депонирование (геология)  – геологический процесс, при котором отложения, почва и горные породы добавляются к рельефу или массиву суши.
• Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца

Ссылки

Сноски

1. Определение числа Рейнольдса не следует путать с уравнением Рейнольдса или уравнением смазки.
2. Полное развитие потока происходит при входе потока в трубу, пограничный слой утолщается и затем стабилизируется после прохождения нескольких диаметров трубы.

Цитаты

1. Тэнсли и Маршалл 2001, стр. 3274–3283.
2. Буш, Джон В. М. «Модуль поверхностного натяжения» (PDF) .
3. Стоукс 1851, стр. 8–106.
4. Зоммерфельд 1908, стр. 116–124.
5. Рейнольдс 1883, стр. 935–982.
6. Rott 1990, стр. 1–11.
7. Фалькович 2018.
8. Холл, Нэнси (5 мая 2015 г.). «Пограничный слой». Исследовательский центр Гленна . Получено 17 сентября 2019 г.
9. "Число Рейнольдса". Engineeringtoolbox.com . 2003.
10. Холман 2002.
11. Фокс, Макдональд и Притчард 2004, стр. 348.
12. Инкропера и ДеВитт 1981.
13. Schlichting & Gersten 2017, стр. 416–419.
14. Холман 2002, стр. 207.
15. Поттер, Виггерт и Рамадан 2012, с. 105.
16. Seshadri, K (февраль 1978). «Ламинарное течение между параллельными пластинами с впрыскиванием реагента при высоком числе Рейнольдса». International Journal of Heat and Mass Transfer . 21 (2): 251–253. Bibcode : 1978IJHMT..21..251S. doi : 10.1016/0017-9310(78)90230-2.
17. Стритер 1965.
18. Лиссаман 1983, стр. 223–239.
19. "Международная стандартная атмосфера". eng.cam.ac.uk . Получено 17 сентября 2019 г. .
20. Эренштейн и Элой 2013, стр. 321–346.
21. "Вискозиметр с падающим шариком" (PDF) . Вискозиметр с падающим шариком .
22. «Не просто плыть по течению». American Scientist . 2017-02-06 . Получено 2024-05-25 .
23. Rhodes 1989, стр. 29.
24. Дюсенбери 2009, стр. 49.
25. "Golf Ball Dimples & Drag". Aerospaceweb.org . Получено 11 августа 2011 г. .
26. Dwivedi 1977, стр. 157–165.
27. Синнотт, Коулсон и Ричардсон 2005, стр. 73.
28. "Major Head Loss - Friction Loss". Ядерная энергетика . Получено 17 сентября 2019 г.
29. "Ламинарное, переходное и турбулентное течение". rheologic.net . Архивировано из оригинала 17 февраля 2020 г. . Получено 17 сентября 2019 г. .
30. Манневиль и Помо 2009, стр. 2072.
31. Патель, Роди и Шойерер 1985, стр. 1308–1319.
32. Дусенбери 2009, стр. 136.
33. Ван, Цисюань; Отмер, Ганс Г. (2016-06-01). «Вычислительный анализ амебоидного плавания при низком числе Рейнольдса». Журнал математической биологии . 72 (7): 1893–1926. arXiv : 1509.03504 . doi :10.1007/s00285-015-0925-9. ISSN  1432-1416. PMID  26362281. S2CID  253808496.
34. "Число Рейнольдса -- CFD-Wiki, бесплатный справочник по вычислительной гидродинамике".
35. Helps, EPW; McDonald, DA (1954-06-28). «Наблюдения за ламинарным потоком в венах». Журнал физиологии . 124 (3): 631–639. doi :10.1113/jphysiol.1954.sp005135. PMC 1366298. PMID  13175205 . 
36. «Атеросклероз: процесс, показатели, факторы риска и новые надежды — PMC».
37. Лос 2006, стр. 369.
38. Гомес Бласкес, Альберто (23 июня 2016 г.). Аэродинамический анализ плоского пола (бакалаврская работа). Политехнический университет Каталонии.

Источники

• Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2006). Явления переноса. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-11539-8.
• Dusenbery, David B. (2009). Жизнь в микромасштабе . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 9780674031166.
• Двиведи, П. Н. (1977). «Массообмен частиц и жидкости в неподвижных и псевдоожиженных слоях». Industrial & Engineering Chemistry Process Design and Development . 16 (2): 157–165. doi :10.1021/i260062a001.
• Эренштейн, Уве; Элой, Кристоф (2013). «Трение кожи на движущейся стене и его последствия для плавающих животных» (PDF) . Журнал механики жидкости . 718 : 321–346. Bibcode :2013JFM...718..321E. doi :10.1017/jfm.2012.613. ISSN  0022-1120. S2CID  56331294. Архивировано из оригинала (PDF) 2019-03-02.
• Фалькович, Грегори (2018). Механика жидкостей. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-12956-6.
• Фокс, Р. В.; Макдональд, А. Т.; Притчард, Филлип Дж. (2004). Введение в механику жидкости (6-е изд.). Хобокен: John Wiley and Sons. стр. 348. ISBN 978-0-471-20231-8.
• Холман, Дж. П. (2002). Теплопередача (единицы СИ ред.). McGraw-Hill Education (Индия) Pvt Limited. ISBN 978-0-07-106967-0.
• Инкропера, Фрэнк П.; ДеВитт, Дэвид П. (1981). Основы теплопередачи. Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-42711-7.
• Lissaman, PBS (1983). "Аэродинамические профили с малым числом Рейнольдса". Annu. Rev. Fluid Mech . 15 (15): 223–39. Bibcode : 1983AnRFM..15..223L. CiteSeerX  10.1.1.506.1131 . doi : 10.1146/annurev.fl.15.010183.001255. S2CID  123639541.
• Лос, Корнелис (2006). Риск финансового рынка: измерение и анализ. Routledge. ISBN 978-1-134-46932-1.
• Манневиль, Поль; Помо, Ив (25 марта 2009 г.). «Переход к турбулентности». Scholarpedia . 4 (3): 2072. Bibcode :2009SchpJ...4.2072M. doi : 10.4249/scholarpedia.2072 .
• Patel, VC; Rodi, W.; Scheuerer, G. (1985). «Модели турбулентности для пристеночных и низкорейнольдсовых течений — обзор». Журнал AIAA . 23 (9): 1308–1319. Bibcode : 1985AIAAJ..23.1308P. doi : 10.2514/3.9086.
• Поттер, Мерл К.; Виггерт, Дэвид К.; Рамадан, Бассем Х. (2012). Механика жидкостей (4-е изд., единицы СИ). Cengage Learning. ISBN 978-0-495-66773-5.
• Рейнольдс, Осборн (1883). «Экспериментальное исследование обстоятельств, определяющих, будет ли движение воды прямым или извилистым, и закона сопротивления в параллельных каналах». Philosophical Transactions of the Royal Society . 174 : 935–982. Bibcode : 1883RSPT..174..935R. doi : 10.1098/rstl.1883.0029 . JSTOR  109431.
• Rhodes, M. (1989). Введение в технологию частиц. Wiley. ISBN 978-0-471-98482-5.
• Ротт, Н. (1990). «Заметка об истории числа Рейнольдса» (PDF) . Annual Review of Fluid Mechanics . 22 (1): 1–11. Bibcode :1990AnRFM..22....1R. doi :10.1146/annurev.fl.22.010190.000245. S2CID  54583669. Архивировано из оригинала (PDF) 25.02.2019.
• Шлихтинг, Герман; Герстен, Клаус (2017). Теория пограничного слоя. Спрингер. ISBN 978-3-662-52919-5.
• Синнотт, РК; Коулсон, Джон Меткалф; Ричардсон, Джон Фрэнсис (2005). Химическое машиностроение. Том 6 (4-е изд.). Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-6538-4.
• Зоммерфельд, Арнольд (1908). «Ein Beitrag zur Hydrodynamischen Erkläerung der turbulenten Flüssigkeitsbewegüngen (Вклад в гидродинамическое объяснение турбулентных движений жидкости)» (PDF) . Международный конгресс математиков . 3 : 116–124. Архивировано из оригинала (PDF) 15 ноября 2016 г.
• Стокс, Джордж (1851). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников». Труды Кембриджского философского общества . 9 : 8–106. Bibcode :1851TCaPS...9....8S.
• Стритер, Виктор Лайл (1965). Механика жидкостей (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. OCLC  878734937.
• Tansley, Claire E.; Marshall, David P. (2001). «Flow past a Cylinder on a Plane, with Application to Gulf Stream Separation and the Antarctic Circumpolar Current» (PDF) . Journal of Physical Oceanography . 31 (11): 3274–3283. Bibcode :2001JPO....31.3274T. doi :10.1175/1520-0485(2001)031<3274:FPACOA>2.0.CO;2. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-04-01.

Дальнейшее чтение

1. Бэтчелор, Г. К. (1967). Введение в динамику жидкости . Cambridge University Press. С. 211–215.
2. Брезина, Иржи, 1979, Распределение размеров частиц и скорости осаждения материалов песчаного размера: 2-й Европейский симпозиум по характеристике частиц (PARTEC), Нюрнберг, Западная Германия.
3. Брезина, Иржи, 1980, Седиментологическая интерпретация ошибок в анализе размера песков; 1-я Европейская встреча Международной ассоциации седиментологов, Рурский университет в Бохуме, Федеративная Республика Германия, март 1980 г.
4. Брезина, Иржи, 1980, Распределение размеров песка - седиментологическая интерпретация; 26-й Международный геологический конгресс, Париж , июль 1980 г., Тезисы, т. 2.
5. Фоуз, Инфаз «Механика жидкости», Кафедра машиностроения, Оксфордский университет, 2001, стр. 96
6. Хьюз, Роджер «Гидравлика в гражданском строительстве», Кафедра гражданского строительства и охраны окружающей среды, Мельбурнский университет, 1997 г., стр. 107–152
7. Джерми М., «Механика жидкости и газа: Учебник», Кафедра машиностроения, Университет Кентербери, 2005, стр. d5.10.
8. Перселл, Э.М. «Жизнь при низком числе Рейнольдса», Американский журнал физики , т. 45, стр. 3–11 (1977)[1]
9. Траски, ГА, Юань, Ф, Кац, ДФ (2004). Явления переноса в биологических системах Prentice Hall, стр. 7. ISBN 0-13-042204-5 . ISBN 978-0-13-042204-0 .  
10. Загарола, М. В. и Смитс, А. Дж., «Эксперименты по исследованию турбулентного течения в трубе при высоких числах Рейнольдса». Статья AIAA № 96-0654, 34-я конференция AIAA по аэрокосмическим наукам, Рино, Невада, 15–18 января 1996 г.
11. Изобель Кларк, 1977, ROKE, компьютерная программа для нелинейного разложения смесей распределений по методу наименьших квадратов; Computer & Geosciences (Pergamon Press), т. 3, стр. 245 - 256.
12. BC Colby и RP Christensen, 1957, Некоторые основы анализа размера частиц; Гидравлическая лаборатория St. Anthony Falls, Миннеаполис, Миннесота, США, Отчет № 12/декабрь, 55 страниц.
13. Артур Т. Кори, 1949, Влияние формы на скорость падения песчинок; Диссертация на степень магистра наук, Колорадский сельскохозяйственный и механический колледж, Форт-Коллинз, Колорадо, США, декабрь 102 страницы.
14. Джозеф Р. Керрей, 1961, Отслеживание осадочных масс по размерам зерен; Труды Международной ассоциации седиментологии, Отчет 21-й сессии Норден, Международный геологический конгресс, стр. 119 - 129.
15. Бургхард Вальтер Флемминг и Карен Циглер, 1995, Высокоразрешенные модели распределения размеров зерен и текстурные тенденции в среде заднего барьера острова Шпикерог (южная часть Северного моря); Senckenbergiana Maritima, т. 26, № 1+2, стр. 1 - 24.
16. Роберт Луис Фолк, 1962, О перекосах и песках; Журнал осадочных пород, т. 8, № 3/сентябрь, стр. 105 - 111
17. FOLK, Robert Louis & William C. WARD, 1957: Отмель реки Бразос: исследование значимости параметров размера зерна; Jour. Sediment. Petrol., т. 27, № 1/март, стр. 3–26
18. Джордж Хердан, М. Л. Смит и У. Х. Хардвик (1960): Статистика малых частиц. 2-е пересмотренное издание, Butterworths (Лондон, Торонто и т. д.), 418 стр.
19. Дуглас Инман , 1952: Меры для описания распределения размеров осадков. Журнал осадконакопления. Петрология, т. 22, № 3/сентябрь, стр. 125 - 145
20. Мирослав Йонас, 1991: Размер, форма, состав и структура микрочастиц по рассеянию света; в SYVITSKI, James PM, 1991, Принципы, методы и применение анализа размера частиц; Cambridge Univ. Press, Кембридж , 368 стр., стр. 147.
21. Уильям К. Крумбейн , 1934: Распределение частот размеров осадков; Журнал седиментации нефти, т. 4, № 2/август, стр. 65–77.
22. Крамбейн, Уильям Кристиан и Фрэнсис Дж. Петтиджон, 1938: Руководство по седиментационной петрографии; Appleton-Century-Crofts, Inc., Нью-Йорк; 549 стр.
23. Джон С. Макноун и Пин-Нам Лин, 1952, Концентрация осадков и скорость падения; Труды 2-й Среднезападной конференции по механике жидкостей, Университет штата Огайо , Колумбус, Огайо ; Переиздания по инжинирингу Университета штата Айова, переиздание № 109/1952, стр. 401–411.
24. Макноунн, Джон С. и Дж. Малаика, 1950, Влияние формы частиц на скорость осаждения при низких числах Рейнольдса; Труды Американского геофизического союза, т. 31, № 1/февраль, стр. 74–82.
25. Джерард В. Миддлтон 1967, Эксперименты по плотности и мутности потоков, III; Осаждение; Канадский журнал наук о Земле, т. 4, стр. 475 - 505 (определение PSI: стр. 483 - 485).
26. Осборн Рейнольдс , 1883: Экспериментальное исследование обстоятельств, определяющих, будет ли движение воды прямым или извилистым, и закона сопротивления в параллельных каналах. Phil. Trans. Roy. Soc., 174, Papers, vol. 2, p. 935 - 982
27. EF Schultz, RH Wilde & ML Albertson, 1954, Влияние формы на скорость падения осадочных частиц; Колорадский сельскохозяйственный и механический колледж, Форт-Коллинз, Колорадо, Серия MRD Sediment, № 5/июль (CER 54EFS6), 161 страница.
28. HJ Skidmore, 1948, Разработка метода стратифицированной суспензии для анализа размеров и частот; Диссертация, Кафедра механики и гидравлики, Государственный университет Айовы, стр. 2 (? страниц).
29. Джеймс П. М. Сивитски, 1991, Принципы, методы и применение анализа размера частиц; Cambridge Univ. Press, Кембридж, 368 стр.

Внешние ссылки

• Число Рейнольдса - Фейнмановские лекции по физике
• Число Рейнольдса в шестидесяти символах
• Мини-биография Рейнольдса и фотография оригинального аппарата в Манчестерском университете.
• Расчет числа Рейнольдса