Номер обмотки

Количество раз, которое кривая огибает точку на плоскости

Эта кривая имеет виток номер два вокруг точки p .

В математике число витков или индекс витков замкнутой кривой на плоскости вокруг заданной точки — это целое число, представляющее общее число раз, которое кривая проходит против часовой стрелки вокруг точки, т. е. число оборотов кривой . Для некоторых открытых плоских кривых число оборотов может быть нецелым числом. Число витков зависит от ориентации кривой и является отрицательным, если кривая проходит вокруг точки по часовой стрелке.

Числа обмотки являются фундаментальными объектами изучения в алгебраической топологии и играют важную роль в векторном исчислении , комплексном анализе , геометрической топологии , дифференциальной геометрии и физике (например, в теории струн ).

Интуитивно понятное описание

Объект, движущийся по красной кривой, совершает два оборота против часовой стрелки вокруг человека в исходной точке.

Предположим, что нам дана замкнутая, ориентированная кривая в плоскости xy . Мы можем представить себе кривую как путь движения некоторого объекта, с ориентацией, указывающей направление, в котором движется объект. Тогда число оборотов кривой равно общему числу оборотов против часовой стрелки, которые объект делает вокруг начала координат.

При подсчете общего числа оборотов движение против часовой стрелки считается положительным, а движение по часовой стрелке — отрицательным. Например, если объект сначала обходит начало координат четыре раза против часовой стрелки, а затем обходит начало координат один раз по часовой стрелке, то общее число оборотов кривой равно трем.

Используя эту схему, кривая, которая вообще не движется вокруг начала координат, имеет число витков равное нулю, в то время как кривая, которая движется по часовой стрелке вокруг начала координат, имеет отрицательное число витков. Таким образом, число витков кривой может быть любым целым числом . На следующих рисунках показаны кривые с числами витков от −2 до 3:

Формальное определение

Пусть будет непрерывным замкнутым путем на плоскости за вычетом одной точки. Число оборотов вокруг — это целое число ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,a)=s(1)-s(0),}$

где путь записан в полярных координатах, т.е. поднятый путь через покрывающую карту ${\displaystyle (\rho ,s)}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(\rho _{0},s_{0})\mapsto a+\rho _{0}e^{i2\pi s_{0}}.}$

Число намотки хорошо определено из-за существования и единственности поднятого пути (при заданной начальной точке в покрывающем пространстве) и из-за того, что все волокна имеют форму (поэтому приведенное выше выражение не зависит от выбора начальной точки). Это целое число, поскольку путь замкнут. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )}$

Альтернативные определения

Число намотки часто определяется по-разному в разных разделах математики. Все определения ниже эквивалентны приведенному выше:

нумерация Александра

Простое комбинаторное правило для определения числа витков было предложено Августом Фердинандом Мёбиусом в 1865 году ^[1] и независимо Джеймсом Уодделлом Александром II в 1928 году ^[2] . Любая кривая разбивает плоскость на несколько связанных областей, одна из которых неограниченна. Числа витков кривой вокруг двух точек в одной и той же области равны. Число витков вокруг (любой точки) неограниченной области равно нулю. Наконец, числа витков для любых двух соседних областей отличаются ровно на 1; область с большим числом витков появляется на левой стороне кривой (относительно движения вниз по кривой).

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии параметрические уравнения обычно предполагаются дифференцируемыми ( или, по крайней мере, кусочно-дифференцируемыми). В этом случае полярная координата θ связана с прямоугольными координатами x и y уравнением:

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Который находится путем дифференцирования следующего определения для θ:

${\displaystyle \theta (t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}}$

По фундаментальной теореме исчисления , общее изменение θ равно интегралу dθ . Поэтому мы можем выразить число оборотов дифференцируемой кривой как линейный интеграл :

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,0)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).}$

Единая форма dθ (определенная на дополнении к началу координат) замкнута , но не точна, и она порождает первую группу когомологий де Рама проколотой плоскости . В частности, если ω — любая замкнутая дифференцируемая единая форма, определенная на дополнении к началу координат, то интеграл от ω по замкнутым контурам дает кратное число намотки.

Комплексный анализ

Числа обмоток играют очень важную роль в комплексном анализе (ср. утверждение теоремы о вычетах ). В контексте комплексного анализа число обмоток замкнутой кривой в комплексной плоскости может быть выражено через комплексную координату z = x + iy . В частности, если мы запишем z  =  re ^iθ , то ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }$

и поэтому

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}$

Так как является замкнутой кривой, полное изменение равно нулю, и, таким образом, интеграл равен умноженному на полное изменение . Таким образом, число оборотов замкнутого пути вокруг начала координат определяется выражением ^[3] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \ln(r)}$ ${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}$

В более общем случае, если — замкнутая кривая, параметризованная с помощью , число оборотов около , также известное как индекс относительно , ​​определяется для комплексного числа как ^[4] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt.}$

Это частный случай знаменитой интегральной формулы Коши .

Некоторые из основных свойств числа витков в комплексной плоскости даются следующей теоремой: ^[5]

Теорема. Пусть будет замкнутым путем и пусть будет множеством, дополняющим образ , то есть . Тогда индекс относительно , ${\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma }$​​является (i) целочисленным, то есть для всех ; (ii) постоянным по каждому компоненту (то есть максимальному связному подмножеству) ; и (iii) равным нулю, если находится в неограниченной компоненте . $${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}$$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle z\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega }$

Как непосредственное следствие, эта теорема дает число оборотов круговой траектории вокруг точки . Как и ожидалось, число оборотов подсчитывает количество (против часовой стрелки) петель, которые делает вокруг : ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$

Следствие. Если путь определен , то ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}$

Топология

В топологии число обмотки является альтернативным термином для степени непрерывного отображения . В физике числа обмотки часто называют топологическими квантовыми числами . В обоих случаях применяется одно и то же понятие.

Приведенный выше пример кривой, обвивающейся вокруг точки, имеет простую топологическую интерпретацию. Дополнение точки на плоскости гомотопически эквивалентно окружности , так что отображения из окружности в себя — это действительно все, что нужно рассмотреть. Можно показать, что каждое такое отображение может быть непрерывно деформировано (гомотопно) одному из стандартных отображений , где умножение в окружности определяется путем отождествления его с комплексной единичной окружностью. Множество гомотопических классов отображений из окружности в топологическое пространство образует группу , которая называется первой гомотопической группой или фундаментальной группой этого пространства. Фундаментальная группа окружности — это группа целых чисел , Z ; а число оборота сложной кривой — это просто ее гомотопический класс. ${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$

Отображения из 3-сферы в себя также классифицируются целым числом, которое также называется числом вращения или иногда индексом Понтрягина .

Число оборотов

Эта кривая имеет общую кривизну 6π , число витков 3, хотя число витков вокруг p у нее всего 2 .

Можно также рассмотреть число оборотов пути относительно касательной к самому пути. Как путь, пройденный во времени, это будет число оборотов относительно начала вектора скорости. В этом случае пример, проиллюстрированный в начале этой статьи, имеет число оборотов 3, поскольку учитывается малая петля .

Это определено только для погруженных путей (т.е. для дифференцируемых путей с нигде не обращающимися в нуль производными) и является степенью касательного отображения Гаусса .

Это называется числом поворота , числом вращения , ^[6] индексом вращения ^[7] или индексом кривой и может быть вычислено как общая кривизна, деленная на 2π .

Полигоны

В многоугольниках число поворотов называется плотностью многоугольника . Для выпуклых многоугольников и, в более общем случае, простых многоугольников (не самопересекающихся) плотность равна 1 по теореме о кривой Жордана . Напротив, для правильного звездчатого многоугольника { p / q } плотность равна q .

Пространственные кривые

Число поворота не может быть определено для пространственных кривых, поскольку степень требует соответствия измерений. Однако для локально выпуклых , замкнутых пространственных кривых можно определить знак поворота касательной как , где — число поворота стереографической проекции ее касательной индикатрисы . Его два значения соответствуют двум невырожденным гомотопическим классам локально выпуклых кривых. ^{[8] [9]} ${\displaystyle (-1)^{d}}$ ${\displaystyle d}$

Число витков и уравнения Гейзенберга для ферромагнетика

Число витков тесно связано с (2 + 1)-мерными непрерывными уравнениями ферромагнетика Гейзенберга и их интегрируемыми расширениями: уравнением Ишимори и т. д. Решения последних уравнений классифицируются по числу витков или топологическому заряду ( топологическому инварианту и/или топологическому квантовому числу ).

Приложения

Визуализация алгоритма числа витков Дэна Сандея. Число витков 0 означает, что точка находится вне многоугольника; другие значения указывают, что точка находится внутри многоугольника

Точка в многоугольнике

Число оборотов точки относительно многоугольника можно использовать для решения задачи « точка в многоугольнике » (PIP), то есть его можно использовать для определения того, находится ли точка внутри многоугольника или нет.

В целом, алгоритм ray casting является лучшей альтернативой задаче PIP, поскольку он не требует тригонометрических функций, в отличие от алгоритма числа витков. Тем не менее, алгоритм числа витков можно ускорить так, чтобы он тоже не требовал вычислений, включающих тригонометрические функции. ^[10] Ускоренная версия алгоритма, также известная как алгоритм Sunday, рекомендуется в случаях, когда необходимо учитывать и непростые многоугольники.

Смотрите также

• Принцип аргументации
• Парадокс вращения монеты
• Коэффициент связи
• Ненулевое правило
• Плотность полигонов
• Теорема о вычетах
• Символ Шлефли
• Теория топологической степени
• Топологическое квантовое число
• Twist (значения)#Математика, наука и технологии
• петля Уилсона
• Корчиться

Ссылки

1. Мёбиус, август (1865 г.). «Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders». Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse . 17 : 31–68.
2. Alexander, JW (апрель 1928). «Топологические инварианты узлов и связей». Труды Американского математического общества . 30 (2): 275–306. doi : 10.2307/1989123 . JSTOR  1989123.
3. Weisstein, Eric W. "Contour Winding Number". MathWorld . Получено 7 июля 2022 г. .
4. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. McGraw-Hill. стр. 201. ISBN 0-07-054235-X.
5. Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 203. ISBN 0-07-054234-1.
6. Абельсон, Гарольд (1981). Черепашья геометрия: компьютер как средство для исследования математики . MIT Press. стр. 24.
7. До Кармо, Манфредо П. (1976). "5. Глобальная дифференциальная геометрия". Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Prentice-Hall. стр. 393. ISBN 0-13-212589-7.
8. Фельдман, EA (1968). «Деформации замкнутых пространственных кривых». Журнал дифференциальной геометрии . 2 (1): 67–75. doi : 10.4310/jdg/1214501138 . S2CID  116999463.
9. Минарчик, Иржи; Бенеш, Михал (2022). «Невырожденная гомотопия и геометрические потоки». Гомология, гомотопия и приложения . 24 (2): 255–264. arXiv : 1807.01540 . doi : 10.4310/HHA.2022.v24.n2.a12. S2CID  252274622.
10. Sunday, Dan (2001). «Включение точки в многоугольник». Архивировано из оригинала 26 января 2013 года.

Внешние ссылки

• Число витков на PlanetMath .