Треугольное число

Номер фигуры

Первые шесть треугольных чисел (не начинающиеся с T ₀ )

График треугольных чисел

Треугольное число или треугольное число подсчитывает объекты, расположенные в равностороннем треугольнике . Треугольные числа являются разновидностью фигурных чисел , другими примерами являются квадратные числа и кубические числа . n - е треугольное число — это количество точек в треугольном расположении с n точками на каждой стороне и равно сумме n натуральных чисел от 1 до n . Последовательность треугольных чисел, начиная с 0- го треугольного числа , равна

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

(последовательность A000217 в OEIS )

Формула

Вывод треугольных чисел из выровненного слева треугольника Паскаля .

  Натуральные числа

  Треугольные числа

  Тетраэдрические числа

  Пентатопные числа

  5-симплексные числа

  6-симплексные числа

  7-симплексные числа

Треугольные числа задаются следующими явными формулами:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}$

где – обозначение биномиального коэффициента . Он представляет собой количество различных пар, которые можно выбрать из n + 1 объектов, и читается вслух как « n плюс один выбирает два». ${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$

Тот факт, что th треугольное число равно, можно проиллюстрировать с помощью наглядного доказательства . ^[1] Для каждого треугольного числа представьте расположение объектов «полупрямоугольником», соответствующее треугольному числу, как показано на рисунке ниже. Копирование этого расположения и вращение его для создания прямоугольной фигуры удваивает количество объектов, создавая прямоугольник с размерами , что также соответствует количеству объектов в прямоугольнике. Ясно, что само треугольное число всегда равно ровно половине числа предметов в такой фигуре, или: . Ниже приведен пример : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n+1)/2}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n\times (n+1)}$ ${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle T_{4}}$

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$(зеленый плюс желтый) подразумевает, что (зеленый).    ${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$

Эту формулу можно доказать формально с помощью математической индукции . ^[2] Это очевидно верно для : ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

Теперь предположим, что для некоторого натурального числа , . Добавление к этому дает ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$ ${\displaystyle m+1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

поэтому, если формула верна для , она верна для . Поскольку это очевидно верно для , следовательно, это верно для , и, в конечном счете, для всех натуральных чисел по индукции. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n}$

Говорят , что немецкий математик и учёный Карл Фридрих Гаусс обнаружил эту зависимость ещё в ранней юности, умноживн/2пары чисел в сумме по значениям каждой пары n + 1 . ^[3] Однако, независимо от правдивости этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают вероятным, что ее происхождение восходит к пифагорейцам в V веке до нашей эры. ^[4] Эти две формулы были описаны ирландским монахом Дикуилом примерно в 816 году в его Computus . ^[5] Доступен английский перевод отчета Дикуила. ^[6]

Треугольное число T _n решает проблему рукопожатий , заключающуюся в подсчете количества рукопожатий, если каждый человек в комнате с n + 1 людьми пожимает руку каждому человеку один раз. Другими словами, решение проблемы рукопожатия n человек равно T _{n −1} . ^[7] Функция T является аддитивным аналогом функции факториала , которая представляет собой произведение целых чисел от 1 до  n .

Эта же функция была придумана как « Термиальная функция » ^[8] в книге Дональда Кнута « Искусство компьютерного программирования» и обозначена n? (аналог факториала n! )

Например, 10 терминов эквивалентны:

$${\displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55}$$

что, конечно, соответствует десятому треугольному числу .

Количество отрезков между ближайшими парами точек в треугольнике можно представить через количество точек или с помощью рекуррентного соотношения : $${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$$

В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками линий равно $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}$$

Отношения к другим фигурным числам

Треугольные числа имеют самые разнообразные отношения с другими фигурными числами.

Проще говоря, сумма двух последовательных треугольных чисел представляет собой квадратное число, причем сумма представляет собой квадрат разности между ними (и, таким образом, разница двух является квадратным корнем из суммы). Алгебраически, $${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$

Этот факт можно продемонстрировать графически, расположив треугольники в противоположных направлениях, чтобы получился квадрат:

6 + 10 = 16         10 + 15 = 25    

Двойник треугольного числа, как в наглядном доказательстве из приведенного выше раздела § Формула, называется проническим числом .

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами; например, 1, 36, 1225. Некоторые из них можно сгенерировать по простой рекурсивной формуле: с $${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$ ${\displaystyle S_{1}=1.}$

Все квадратно-треугольные числа находятся из рекурсии с помощью и $${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$ ${\displaystyle S_{0}=0}$ ${\displaystyle S_{1}=1.}$

Квадрат, длина стороны которого равна треугольному числу, можно разбить на квадраты и полуквадраты, площади которых складываются в кубы. Это показывает, что квадрат n- го треугольного числа равен сумме первых n чисел куба.

Кроме того, квадрат n -го треугольного числа равен сумме кубов целых чисел от 1 до n . Это также можно выразить как $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$

Сумма первых n треугольных чисел есть n- е тетраэдрическое число : $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$

В более общем смысле, разница между n -м m -угольным числом и n -м ( m + 1) -угольным числом представляет собой ( n - 1) -е треугольное число. Например, шестое семиугольное число (81) минус шестое шестиугольное число (66) равняется пятому треугольному числу, 15. Любое другое треугольное число является шестиугольным числом. Зная треугольные числа, можно вычислить любое центрированное многоугольное число ; n - е центрированное k -угольное число получается по формуле $${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$$

где Т — треугольное число.

Положительная разность двух треугольных чисел является трапециевидным числом .

Закономерность, обнаруженная для треугольных чисел и тетраэдрических чисел , в которых используются биномиальные коэффициенты , можно обобщить. Это приводит к формуле: ^[9] ${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$ ${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}$ $${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

Четвертое треугольное число равно третьему тетраэдрическому числу, поскольку n -е k -симплексное число равно k -му n- симплексному числу из-за симметрии треугольника Паскаля , а его диагонали являются симплексными числами; аналогично пятое треугольное число (15) равно третьему числу пентатопа и так далее.

Другие объекты недвижимости

Треугольные числа соответствуют случаю первой степени формулы Фаульхабера .

Перемежающиеся треугольные числа (1, 6, 15, 28,...) также являются шестиугольными числами.

Каждое четное совершенное число является треугольным (а также шестиугольным) и определяется формулой где M _p — простое число Мерсенна . Нечетные совершенные числа неизвестны; следовательно, все известные совершенные числа треугольны. $${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$

Например, третье треугольное число — (3×2=)6, седьмое — (7×4=)28, 31-е — (31×16=)496, а 127-е — (127×64=)8128.

Последняя цифра треугольного числа — 0, 1, 3, 5, 6 или 8, поэтому такие числа никогда не оканчиваются на 2, 4, 7 или 9. Последней цифре 3 должна предшествовать 0 или 5; последней восьмерке должна предшествовать цифра 2 или 7.

В системе счисления 10 цифровой корень ненулевого треугольного числа всегда равен 1, 3, 6 или 9. Следовательно, каждое треугольное число либо делится на три, либо имеет остаток 1 при делении на 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

Цифровой корневой шаблон для треугольных чисел, повторяющийся каждые девять членов, как показано выше, — это «1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9».

Однако обратное утверждение выше не всегда верно. Например, цифровой корень из 12, который не является треугольным числом, равен 3 и делится на три.

Если x — треугольное число, то ax + b также является треугольным числом, учитывая, что a — нечетный квадрат и b =а - 1/8. Обратите внимание, что b всегда будет треугольным числом, потому что 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ² , что дает все нечетные квадраты, которые выявляются путем умножения треугольного числа на 8 и добавления 1, а процесс для b задан a – нечетный квадрат – это обратная операция. Первые несколько пар этой формы (не считая 1 x + 0 ): 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 ,... и т. д. Если x равен T _n , эти формулы дают T _{3 n + 1} , T _{5 n + 2} , T _{7 n + 3} , T _{9 n + 4} и т. д.

Сумма обратных величин всех ненулевых треугольных чисел равна $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$$

Это можно показать, используя основную сумму телескопического ряда : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$$

Две другие формулы, касающиеся треугольных чисел, обе могут быть легко установлены либо путем рассмотрения точечных рисунков (см. выше), либо с помощью какой-либо простой алгебры. $${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$ $${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$

В 1796 году Гаусс открыл, что каждое положительное целое число представимо в виде суммы трёх треугольных чисел (возможно, включая Т ₀ = 0), записав в своём дневнике свои знаменитые слова: « ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ». Из этой теоремы не следует, что треугольные числа различны (как в случае 20 = 10 + 10 + 0) или что должно существовать решение ровно с тремя ненулевыми треугольными числами. Это частный случай теоремы Ферма о многоугольных числах .

Самое большое треугольное число вида 2 ^k − 1 равно 4095 (см. уравнение Рамануджана–Нагеля ).

Вацлав Францишек Серпинский поставил вопрос о существовании четырех различных треугольных чисел в геометрической прогрессии . Польский математик Казимир Шимичек предположил, что это невозможно, и позже это доказали Фанг и Чен в 2007 году. ^{[10] [11]}

Формулы, включающие выражение целого числа как суммы треугольных чисел, связаны с тета-функциями , в частности с тета-функцией Рамануджана . ^{[12] [13]}

Сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратным числом, поскольку: ^{[14] [15]}

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}}$

${\displaystyle =n^{2}}$

Это свойство, в просторечии известное как теорема Теона Смирнского ^[16] , наглядно демонстрируется в следующей сумме, которая представляет собой суммы цифр : ${\displaystyle T_{4}+T_{5}=5^{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}}$

Приложения

Максимальное количество кусков p , которое можно получить с помощью n прямых разрезов, равно n -му треугольному числу плюс один, образуя последовательность ленивого поставщика провизии (OEIS A000124).

Полностью подключенная сеть из n вычислительных устройств требует наличия T _{n - 1} кабелей или других соединений; это эквивалентно проблеме рукопожатия, упомянутой выше.

В формате турнира, использующем групповой этап по круговой системе , количество матчей, которые необходимо сыграть между n командами, равно треугольному числу T _{n − 1} . Например, групповой этап с 4 командами требует 6 матчей, а групповой этап с 8 командами — 28 матчей. Это также эквивалентно проблеме установления связи и проблемам полностью подключенной сети.

Одним из способов расчета амортизации актива является метод суммы цифр лет , который включает в себя определение T _n , где n — продолжительность срока службы актива в годах. Ежегодно товар теряет ( b − s ) ×п - у/Т _н, где b — начальная стоимость предмета (в денежных единицах), s — его окончательная ликвидационная стоимость, n — общее количество лет, в течение которых предмет можно использовать, а y — текущий год в графике амортизации. Согласно этому методу, предмет со сроком годности n = 4 года потеряет4/10его «убыточной» стоимости в первый год,3/10В секунду,2/10в третьем и1/10в четвертом, накапливая общую амортизацию10/10(вся) убыточной стоимости.

Дизайнеры настольных игр Джеффри Энгельштейн и Исаак Шалев описывают треугольные числа как достигшие «почти статуса мантры или коана среди гейм-дизайнеров », описывая их как «глубоко интуитивные» и «используемые в огромном количестве игр, [доказывая] невероятно универсальные». в предоставлении растущих вознаграждений за более крупные наборы без чрезмерного стимулирования специализации и исключения всех других стратегий». ^[17]

Треугольные корни и тесты для треугольных чисел

По аналогии с квадратным корнем из x можно определить (положительный) треугольный корень из x как число n такое, что T _n = x : ^[18] $${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$

что непосредственно следует из квадратичной формулы . Таким образом, целое число x является треугольным тогда и только тогда, когда 8 x + 1 — квадрат. Аналогично, если положительный треугольный корень n из x является целым числом, то x — n -е треугольное число. ^[18]

альтернативное имя

Как уже говорилось, альтернативное название, предложенное Дональдом Кнутом , по аналогии с факториалами , — «термиальное», с обозначением n ? для n -го треугольного числа. ^[19] Однако, хотя некоторые другие источники используют это название и обозначения, ^[20] они не получили широкого распространения.

Смотрите также

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Двойное треугольное число — треугольное число, положение которого в последовательности треугольных чисел также является треугольным числом.
• Тетрактис , расположение десяти точек в треугольнике, важное в пифагорействе.

Рекомендации

1. «Треугольная числовая последовательность». Математика — это весело .
2. Спивак, Майкл (2008). Исчисление (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни. стр. 21–22. ISBN 978-0-914098-91-1.
3. Хейс, Брайан. «День расплаты Гаусса». Американский учёный . Вычислительная наука. Архивировано из оригинала 02 апреля 2015 г. Проверено 16 апреля 2014 г.
4. Ивс, Ховард. «Веб-страница цитирует ВВЕДЕНИЕ В ИСТОРИЮ МАТЕМАТИКИ». Матцентрал . Проверено 28 марта 2015 г.
5. Эспозито, М. Неопубликованный астрономический трактат ирландского монаха Дикуила. Труды Королевской ирландской академии, XXXVI C. Дублин, 1907, 378–446.
6. Росс, Х.Э. и Нотт, Б.И. «Дикуил (9 век) о треугольных и квадратных числах». Британский журнал истории математики, 2019, 34 (2), 79–94. https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687.
7. «Проблема рукопожатия | Национальная ассоциация математических кружков» . MathCircles.org . Архивировано из оригинала 10 марта 2016 года . Проверено 12 января 2022 г.
8. Кнут, Дональд. Искусство компьютерного программирования . Том. 1 (3-е изд.). п. 48.
9. Бауманн, Майкл Генрих (12 декабря 2018 г.). «К-мерная пирамида Шампанского» (PDF) . Mathematische Semesterberichte (на немецком языке). 66 : 89–100. doi : 10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN  1432-1815. S2CID  125426184.
10. Чен, Фанг: Треугольные числа в геометрической прогрессии
11. Клык: отсутствие геометрической прогрессии, содержащей четыре треугольных числа.
12. Лю, Чжи-Го (1 декабря 2003 г.). «Личность Рамануджана и представление целых чисел в виде суммы треугольных чисел». Журнал Рамануджана . 7 (4): 407–434. doi :10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae. ISSN  1382-4090. S2CID  122221070.
13. Сунь, Чжи-Хун (24 января 2016 г.). «Тэта-функции Рамануджана и суммы треугольных чисел». arXiv : 1601.06378 [math.NT].
14. Белдон, Том; Гардинер, Тони (2002). «Треугольные числа и совершенные квадраты». Математический вестник . 86 (507): 423–431. JSTOR  3621134 . Проверено 25 апреля 2024 г.
15. Эрик В. Вайсштейн. «Треугольное число». Вольфрам Математический мир . Проверено 14 апреля 2024 г.См. уравнения 18–20.
16. Шелл-Геллаш, Эми; Тху, Джон (15 октября 2015 г.). Алгебра в контексте: вводная алгебра от истоков к приложениям. Издательство Университета Джонса Хопкинса. п. 210. ИСБН 9781421417288.
17. Энгельштейн, Джеффри; Шалев, Исаак (25 июня 2019 г.). Строительные блоки дизайна настольных игр. дои : 10.1201/9780429430701. ISBN 978-0-429-43070-1. S2CID  198342061.
18. Эйлер, Леонард ; Лагранж, Жозеф Луи (1810), Элементы алгебры , том. 1 (2-е изд.), Дж. Джонсон и Ко, стр. 332–335.
19. Дональд Э. Кнут (1997). Искусство компьютерного программирования: Том 1: Фундаментальные алгоритмы . 3-е изд. Аддисон Уэсли Лонгман, США с. 48.
20. Стоун, Джон Дэвид (2018), Алгоритмы функционального программирования , Springer, стр. 282, номер домена : 10.1007/978-3-662-57970-1, ISBN 978-3-662-57968-8, S2CID  53079729

Внешние ссылки

• «Арифметический ряд», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Треугольные числа на развязке
• Существуют треугольные числа, которые при разрезании узла также являются квадратными.
• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольное число». Математический мир .
• Гипертетраэдрические многогранные корни Роба Хаббарда, включая обобщение на треугольные кубические корни , некоторые более высокие измерения и некоторые приближенные формулы