Шестиугольник

Многоугольник с 16 ребрами

В математике шестиугольник (иногда называемый шестиугольником или 16 -угольником ) — это шестнадцатисторонний многоугольник . ^[1]

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны конгруэнтны. Его символ Шлефли — {16}, и его можно построить в виде усечённого восьмиугольника t{8} и дважды усечённого квадрата tt{4}. Усеченный шестиугольник t{16} является триаконтадигоном {32}.

Строительство

Поскольку 16 = 2 ⁴ ( степень двойки ), правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки : это было уже известно древнегреческим математикам. ^[2]

Измерения

Каждый угол правильного шестиугольника равен 157,5 градусов , а общий угол любого шестиугольника равен 2520 градусов.

Площадь правильного шестиугольника с длиной ребра t равна

${\displaystyle {\begin{aligned}A=4t^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=&4t^{2}\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)\\=&4t^{2}({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1).\end{aligned}}}$

Поскольку число сторон шестиугольника равно степени двойки , его площадь можно вычислить через радиус описанной окружности R , усекая формулу Вьета :

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=4R^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.}$

Поскольку площадь описанной окружности равна правильному шестиугольнику, она заполняет примерно 97,45% описанной окружности. ${\displaystyle \pi R^{2},}$

Симметрия

Правильный шестиугольник имеет симметрию Dih ₁₆ , порядок 32. Существует 4 диэдральных подгруппы: Dih ₈ , Dih ₄ , Dih ₂ и Dih ₁ , а также 5 циклических подгрупп : Z ₁₆ , Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ и Z _{1 .} , последнее не подразумевает отсутствия симметрии.

В правильном шестиугольнике имеется 14 различных симметрий. Джон Конвей обозначает полную симметрию как r32 , а отсутствие симметрии обозначается как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены буквой g для их центрального порядка вращения. ^[3]

Наиболее распространенными шестиугольниками высокой симметрии являются d16 , изогональный шестиугольник, построенный из восьми зеркал, которые могут чередовать длинные и короткие ребра, и p16 , изотоксический шестиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершины чередуют два разных внутренних угла. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестидесятиугольника.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g16 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Диссекция

Коксетер утверждает, что любой зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма.^[4] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного шестиугольника m = 8 , и его можно разделить на 28: 4 квадрата и 3 набора по 8 ромбов. Это разложение основано на многоугольной проекции Петри 8-куба с 28 из 1792 граней. В списке OEIS : A006245 количество решений указано как 1232944, включая до 16-кратных вращений и киральные формы в отражении.

Наклон шестиугольника

Косой шестиугольник — это косой многоугольник с 24 вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренность такого шестиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный шестиугольник имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.

Правильный косой шестиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер. В трехмерном измерении это будет зигзагообразный перекошенный шестиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых краях восьмиугольной антипризмы с той же симметрией D _8d , [2 ⁺ ,16] порядка 32. Октаграммная антипризма s{ 2,16/3} и октаграммная скрещенная антипризма , s{2,16/5} также имеют правильные косые восьмиугольники.

Полигоны Петри

Правильный шестиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников более высокой размерности, показанных в этих косо ортогональных проекциях , в том числе:

Связанные цифры

Шестнадцатигранный звездчатый многоугольник, обозначаемый символом {16/n} . Есть три правильных звездчатых многоугольника : {16/3}, {16/5}, {16/7}, использующие одни и те же вершины, но соединяющие каждую третью, пятую или седьмую точку. Также есть три составных элемента: {16/2} сокращается до 2{8} как два восьмиугольника , {16/4} сокращается до 4{4} как четыре квадрата и {16/6} сокращается до 2{8/3. } как две октаграммы и, наконец, {16/8} сокращается до 8{2} как восемь двуугольников .

Более глубокие усечения правильного восьмиугольника и октаграммы могут создавать изогональные ( вершинно-транзитивные ) промежуточные формы гексадекаграммы с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. ^[5]

Усеченный восьмиугольник — это шестиугольник, t{8}={16}. Квазиусеченный восьмиугольник, перевернутый как {8/7}, представляет собой гексадекаграмму: t{8/7}={16/7}. Усеченная октаграмма {8/3} представляет собой гексадекаграмму: t{8/3}={16/3}, а квазиусеченная октаграмма, перевернутая как {8/5}, представляет собой гексадекаграмму: t{8/5}={16 /5}.

В искусстве

Шестиугольная башня из картины Рафаэля « Обручение Богородицы».

В начале 16 века Рафаэль первым сконструировал перспективное изображение правильного шестиугольника: башня на его картине « Брак Богородицы» имеет 16 сторон, развивая восьмигранную башню на предыдущей картине Пьетро Перуджино . ^[6]

Шестидекаграммный узор из Альгамбры .

Гексадекаграммы (16-гранные звездчатые многоугольники ) включены в узоры Гирих в Альгамбре . ^[7]

Неправильные шестиугольники

Восьмиугольную звезду можно рассматривать как вогнутый шестиугольник:

Последний можно увидеть во многих архитектурах, от христианских до исламских, а также в логотипе IRIB TV4 .

Смотрите также

• Октаграмма
• Румлайновая сеть

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. (2002). CRC Краткая математическая энциклопедия, второе издание . ЦРК Пресс. п. 1365. ИСБН 9781420035223.
2. Коши, Томас (2007), Элементарная теория чисел с приложениями (2-е изд.), Academic Press, стр. 142, ISBN 9780080547091.
3. Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278) 
4. Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
5. Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по занимательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум
6. Спейзер, Дэвид (2011), «Архитектура, математика и теология в картинах Рафаэля», в Уильямс, Ким (ред.), Перекресток: история науки, история искусства. Очерки Дэвида Спайзера, том. II , Springer, стр. 29–39, номер документа : 10.1007/978-3-0348-0139-3_3.. Первоначально опубликовано в журнале Nexus III: Architecture and Mathematics , Ким Уильямс , изд. (Оспедалетто, Пиза: Pacini Editore, 2000), стр. 147–156.
7. Ханкин, Э. Хэнбери (май 1925 г.), «Примеры методов рисования геометрических арабесок», The Mathematical Gazette , 12 (176): 370–373, doi : 10.2307/3604213.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Шестидесятиугольник». Математический мир .