Крайне разобщенное пространство

Топологическое пространство, в котором замыкание каждого открытого множества открыто

В математике экстремально несвязное пространство — это топологическое пространство , в котором замыкание каждого открытого множества открыто. (Термин «экстремально несвязный» является правильным, хотя слово «экстремально» не встречается в большинстве словарей ^[1] и иногда ошибочно принимается программистами за омофон «экстремально несвязный» .)

Экстремально несвязное пространство, которое также является компактным и хаусдорфовым , иногда называют стоуновым пространством . Это не то же самое, что стоуновое пространство , которое является полностью несвязным компактным хаусдорфовым пространством. Каждое стоуновое пространство является стоуновым пространством, но не наоборот. В двойственности между стоуновыми пространствами и булевыми алгебрами стоуновые пространства соответствуют полным булевым алгебрам .

Экстремально несвязное, с первой счетностью, поколлективно хаусдорфово пространство должно быть дискретным . В частности, для метрических пространств свойство быть экстремально несвязным (замыкание каждого открытого множества открыто) эквивалентно свойству быть дискретным (каждое множество открыто).

Примеры и не примеры

• Каждое дискретное пространство крайне несвязно. Каждое недискретное пространство одновременно крайне несвязно и связно.
• Компактификация Стоуна –Чеха дискретного пространства является крайне несвязной.
• Спектр абелевой алгебры фон Неймана крайне несвязен.
• Любая коммутативная AW*-алгебра изоморфна , для некоторого пространства , которое экстремально несвязно, компактно и хаусдорфово. ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Любое бесконечное пространство с кофинитной топологией является одновременно экстремально несвязным и связным . В более общем смысле, каждое гиперсвязное пространство является экстремально несвязным.
• Пространство на трех точках с базой дает конечный пример пространства, которое одновременно экстремально несвязно и связно. Другой пример дает пространство Серпинского , поскольку оно конечно, связно и гиперсвязно. ${\displaystyle \{\{x,y\},\{x,y,z\}\}}$

Следующие пространства не являются чрезвычайно разобщенными:

• Множество Кантора не является экстремально несвязным. Однако оно полностью несвязно.

Эквивалентные характеристики

Теорема Глисона (1958) утверждает, что проективные объекты категории компактных хаусдорфовых пространств — это в точности экстремально несвязные компактные хаусдорфовы пространства. Упрощенное доказательство этого факта дано Рейнвотером (1959).

Компактное хаусдорфово пространство экстремально несвязно тогда и только тогда, когда оно является ретрактом компактификации Стоуна–Чеха дискретного пространства. ^[2]

Приложения

Хартиг (1983) доказывает теорему о представлении Рисса–Маркова–Какутани , сводя ее к случаю экстремально несвязных пространств, в этом случае теорему о представлении можно доказать элементарными средствами.

Смотрите также

• Полностью изолированное пространство

Ссылки

1. "extremally" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
2. Семадени (1971, Thm. 24.7.1)

• А. В. Архангельский (2001) [1994], "Экстремально-несвязное пространство", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Глисон, Эндрю М. (1958), «Проективные топологические пространства», Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215/ijm/1255454110 , MR  0121775
• Хартиг, Дональд Г. (1983), «Повторный взгляд на теорему о представлении Рисса», American Mathematical Monthly , 90 (4): 277–280, doi :10.2307/2975760, JSTOR  2975760
• Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные пространства . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
• Рейнуотер, Джон (1959), «Заметка о проективных резолюциях», Труды Американского математического общества , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR  2033466
• Семадени, Збигнев (1971), Банаховы пространства непрерывных функций. Том I , PWN---Польские научные издательства, Варшава, MR  0296671