Закон Кулона

Основной физический закон электромагнетизма

Величина электростатической силы F между двумя точечными зарядами q ₁ и q ₂ прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Аналогичные заряды отталкивают друг друга, а противоположные заряды притягивают друг друга.

Закон обратных квадратов Кулона , или просто закон Кулона , представляет собой экспериментальный закон ^[1] физики , который рассчитывает величину силы между двумя электрически заряженными частицами в состоянии покоя. Эту электрическую силу условно называют электростатической силой или силой Кулона . ^[2] Хотя закон был известен и раньше, впервые он был опубликован в 1785 году французским физиком Шарлем-Огюстеном де Куломбом . Закон Кулона сыграл важную роль в развитии теории электромагнетизма и, возможно, даже в ее отправной точке ^[1] , поскольку он позволил осмысленно обсуждать величину электрического заряда в частице. ^[3]

Закон гласит, что величина или абсолютное значение электростатической силы притяжения или отталкивания между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению величин их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. ^[4] Кулон обнаружил, что тела с одинаковыми электрическими зарядами отталкиваются:

Таким образом, из этих трех испытаний следует, что сила отталкивания, которую два шара, [которые были] наэлектризованы одинаковым видом электричества, оказывают друг на друга, обратно пропорциональна квадрату расстояния. ^[5]

Кулон также показал, что противоположно заряженные тела притягиваются по закону обратных квадратов:

$${\displaystyle |F|=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}}$$

Здесь k _e — константа, q ₁ и q ₂ — величины каждого заряда, а скаляр r — расстояние между зарядами.

Сила действует вдоль прямой линии, соединяющей два заряда. Если заряды имеют одинаковый знак, электростатическая сила между ними заставляет их отталкиваться; если они имеют разные знаки, сила между ними заставляет их притягиваться.

Будучи законом обратных квадратов , этот закон аналогичен закону обратных квадратов всемирного тяготения Исаака Ньютона , но гравитационные силы всегда заставляют предметы притягиваться, а электростатические силы заставляют заряды притягиваться или отталкиваться. Кроме того, гравитационные силы намного слабее электростатических сил. ^[2] Закон Кулона можно использовать для вывода закона Гаусса , и наоборот. В случае покоящегося точечного заряда эти два закона эквивалентны и выражают один и тот же физический закон по-разному. ^[6] Закон был тщательно проверен , и наблюдения подтвердили его в масштабе от 10 ⁻¹⁶ м до 10 ⁸ м. ^[6]

История

Шарль-Огюстен де Кулон

Древние культуры Средиземноморья знали, что определенные предметы, такие как янтарные палочки , можно натирать кошачьей шерстью, чтобы притягивать легкие предметы, такие как перья и кусочки бумаги . Фалес Милетский сделал первое письменное описание статического электричества около 600 г. до н.э. ^[7] , когда заметил, что трение может заставить кусок янтаря притягивать небольшие предметы. ^{[8] [9]}

В 1600 году английский учёный Уильям Гилберт тщательно изучил электричество и магнетизм, отличив эффект магнита от статического электричества, возникающего при трении янтаря. ^[8] Он придумал неолатинское слово electricus («янтарный» или «подобный янтарю», от ἤλεκτρον [ электрон ], греческого слова «янтарь») для обозначения свойства притягивать мелкие предметы после трения. ^[10] Эта ассоциация породила английские слова «электрический» и «электричество», которые впервые появились в печати в книге Томаса Брауна «Эпидемия псевдодоксии » 1646 года. ^[11]

Среди первых исследователей 18-го века, которые подозревали, что электрическая сила уменьшается с расстоянием так же, как и сила гравитации (т.е. как обратная квадрату расстояния), были Даниэль Бернулли ^[12] и Алессандро Вольта , оба измерили силу между пластинами. конденсатора и Франц Эпин , который предположил закон обратных квадратов в 1758 году. [ ^13]

Основываясь на экспериментах с электрически заряженными сферами, Джозеф Пристли из Англии был одним из первых, кто предположил, что электрическая сила подчиняется закону обратных квадратов , подобному закону всемирного тяготения Ньютона . Однако он не обобщал и не уточнял это. ^[14] В 1767 году он предположил, что сила между зарядами пропорциональна квадрату расстояния. ^{[15] [16]}

Торсионные весы Кулона

В 1769 году шотландский физик Джон Робисон объявил, что, согласно его измерениям, сила отталкивания между двумя сферами с зарядами одного знака изменяется как x ^-2,06 . ^[17]

В начале 1770-х годов зависимость силы между заряженными телами от расстояния и заряда уже была открыта, но не опубликована Генри Кавендишем из Англии. ^[18] В своих заметках Кавендиш писал: «Поэтому мы можем заключить, что электрическое притяжение и отталкивание должны быть обратно пропорциональны некоторой степени расстояния между расстояниями 2 +1/50th и 2 −1/50th , и нет никаких оснований думать, что оно вообще отличается от обратного коэффициента дублирования».

Наконец, в 1785 году французский физик Шарль-Огюстен де Кулон опубликовал свои первые три отчета об электричестве и магнетизме, в которых сформулировал свой закон. Эта публикация имела важное значение для развития теории электромагнетизма . ^[4] Он использовал крутильные весы для изучения сил отталкивания и притяжения заряженных частиц и определил, что величина электрической силы между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния. между ними.

Торсионные весы состоят из стержня, подвешенного к его середине на тонком волокне. Волокно действует как очень слабая торсионная пружина . В эксперименте Кулона торсионные весы представляли собой изолирующий стержень с прикрепленным к одному концу шариком с металлическим покрытием, подвешенным на шелковой нити. Шар был заряжен известным зарядом статического электричества , и к нему поднесли второй заряженный шар той же полярности. Два заряженных шарика отталкивали друг друга, скручивая волокно под определенным углом, который можно было прочитать по шкале на приборе . Зная, какая сила потребуется, чтобы скрутить волокно на заданный угол, Кулон смог вычислить силу между шариками и вывести свой закон пропорциональности обратных квадратов.

Скалярная форма

Закон Кулона можно сформулировать как простое математическое выражение. Скалярная форма дает величину вектора электростатической силы F между двумя точечными зарядами q ₁ и q ₂ , но не ее направление. Если r — расстояние между зарядами, то величина силы равна

$${\displaystyle |\mathbf {F} |={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}},}$$

ε ₀электрическая постояннаяq ₁ q ₂^[19]

Векторная форма

На изображении вектор F ₁ представляет собой силу, испытываемую q ₁ , а вектор F ₂ представляет собой силу, испытываемую q ₂ . При q ₁ q ₂ > 0 силы отталкиваются (как на изображении), а при q ₁ q ₂ < 0 силы притягиваются (напротив изображения). Величина сил всегда будет одинаковой.

Закон Кулона в векторной форме гласит, что электростатическая сила , действующая на заряд в позиции , вблизи другого заряда в позиции , в вакууме, равна ^[20] ${\textstyle \mathbf {F} _{1}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} _{12}}{|\mathbf {r} _{12}|^{2}}}}$$

где – векторное расстояние между зарядами, единичный вектор, направленный от до , и электрическая постоянная . Здесь используется векторная запись. ${\textstyle {\boldsymbol {r}}_{12}={\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}}$ ${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}={\frac {\mathbf {r} _{12}}{|\mathbf {r} _{12}|}}}$ ${\textstyle q_{2}}$ ${\textstyle q_{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {r}} _{12}}$

Векторная форма закона Кулона — это просто скалярное определение закона с направлением, заданным единичным вектором , параллельно линии от заряда к заряду . ^[21] Если оба заряда имеют одинаковый знак (как и заряды), то произведение положительно, а направление силы определяется выражением ; заряды отталкиваются друг от друга. Если заряды имеют противоположные знаки, то произведение отрицательно и направление силы равно ; заряды притягиваются друг к другу. ${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$ ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$

Электростатическая сила , действующая на , согласно третьему закону Ньютона , равна . ${\textstyle \mathbf {F} _{2}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}$

Система дискретных зарядов

Закон суперпозиции позволяет распространить закон Кулона на любое количество точечных зарядов. Сила, действующая на точечный заряд со стороны системы точечных зарядов, представляет собой просто векторное сложение отдельных сил, действующих отдельно на этот точечный заряд со стороны каждого из зарядов. Результирующий вектор силы параллелен вектору электрического поля в этой точке, при этом точечный заряд удален.

Сила , действующая на небольшой заряд в положении , действующая на систему дискретных зарядов в вакууме, равна ^[20] ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle q}$ ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle N}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{{\hat {\mathbf {R} }}_{i} \over |\mathbf {R} _{i}|^{2}},}$$

где и - величина и положение соответственно i- го заряда, - единичный вектор в направлении , вектор, указывающий от зарядов к . ^[21] ${\displaystyle q_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {R} }}_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle q}$

Непрерывное распределение заряда

В этом случае также используется принцип линейной суперпозиции . Для непрерывного распределения заряда интеграл по области, содержащей заряд, эквивалентен бесконечному суммированию, рассматривающему каждый бесконечно малый элемент пространства как точечный заряд . Распределение заряда обычно линейное, поверхностное или объемное. ${\displaystyle dq}$

Для линейного распределения заряда (хорошее приближение заряда в проводе), где дает заряд на единицу длины в позиции и является бесконечно малым элементом длины, ^[22] ${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle d\ell '}$

$${\displaystyle dq'=\lambda (\mathbf {r'} )\,d\ell '.}$$

Для распределения поверхностного заряда (хорошее приближение для заряда на пластине в конденсаторе с параллельными пластинами ) где дает заряд на единицу площади в позиции и является бесконечно малым элементом площади, ${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle dA'}$

$${\displaystyle dq'=\sigma (\mathbf {r'} )\,dA'.}$$

Для объемного распределения заряда (например, заряда в объемном металле), где дает заряд на единицу объема в положении и является бесконечно малым элементом объема, ^[21] ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle dV'}$

$${\displaystyle dq'=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.}$$

Сила, действующая на небольшой пробный заряд в вакууме, определяется интегралом по распределению заряда ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int dq'{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}.}$$

Версия закона Кулона с «непрерывным зарядом» никогда не должна применяться к местам, для которых, поскольку это местоположение напрямую перекрывается с местоположением заряженной частицы (например, электрона или протона), которое не является допустимым местом для анализа электрического поля или потенциал классически. В действительности заряд всегда дискретен, и предположение о «непрерывном заряде» — это всего лишь приближение, которое не должно поддаваться анализу. ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$

Постоянная Кулона

Постоянная Кулона — это коэффициент пропорциональности, который появляется в законе Кулона и связанных с ним формулах. Обозначается , ее также называют электрической силовой постоянной или электростатической константой ^[23] , отсюда и нижний индекс «e». Постоянная Кулона определяется выражением . Константа — это электрическая проницаемость вакуума (также известная как электрическая постоянная ). ^[24] Не следует путать ее с , которая представляет собой безразмерную относительную диэлектрическую проницаемость материала, в который погружены заряды, или с их произведением , которое называется « абсолютной диэлектрической проницаемостью материала» и до сих пор используется в электротехнике . ${\displaystyle k_{\text{e}}}$ ${\textstyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{a}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$

После переопределения базовых единиц СИ в 2019 году [ ^{25] [26]} постоянная Кулона, рассчитанная на основе рекомендуемых значений CODATA 2018, составляет ^[27]

$${\displaystyle k_{\text{e}}=8.987\,551\,792\,3\,(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}} .}$$

Ограничения

Для справедливости закона обратных квадратов Кулона необходимо выполнение трех условий: ^[28]

1. Заряды должны иметь сферически-симметричное распределение (например, точечные заряды или заряженная металлическая сфера).
2. Начисления не должны перекрываться (например, это должны быть отдельные точечные начисления).
3. Заряды должны быть стационарными относительно неускоряющейся системы отсчета.

Последнее из них известно как электростатическое приближение . Когда происходит движение, необходимо учитывать теорию относительности Эйнштейна, и в результате вводится дополнительный фактор, который изменяет силу, действующую на два объекта . Эта дополнительная часть силы называется магнитной силой и описывается магнитными полями . При медленном движении магнитная сила минимальна, и закон Кулона все еще можно считать приблизительно правильным, но когда заряды движутся быстрее относительно друг друга, необходимо учитывать полные правила электродинамики (включая магнитную силу).

Электрическое поле

Если два заряда имеют одинаковый знак, электростатическая сила между ними отталкивает; если они имеют разные знаки, сила между ними притягивается.

Электрическое поле — это векторное поле , которое связывает с каждой точкой пространства кулоновскую силу, действующую на единичный пробный заряд . ^[20] Сила и направление кулоновской силы, действующей на заряд, зависят от электрического поля , создаваемого другими зарядами, в которых он находится, например, . В простейшем случае считается, что поле создается исключительно одним точечным зарядом источника . В более общем смысле, поле может быть создано распределением зарядов, которые вносят вклад в общее состояние по принципу суперпозиции . ${\textstyle \mathbf {F} }$ ${\textstyle q_{t}}$ ${\textstyle \mathbf {E} }$ ${\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }$

Если поле создается положительным точечным зарядом источника , направление электрического поля указывает вдоль линий, направленных радиально наружу от него, т.е. в направлении, в котором перемещался бы положительный точечный пробный заряд, если бы его поместили в поле. Для отрицательного заряда точечного источника направление направлено радиально внутрь. ${\textstyle q}$ ${\textstyle q_{t}}$

Величину электрического поля E можно получить из закона Кулона. Выбрав один из точечных зарядов в качестве источника, а другой в качестве пробного заряда, из закона Кулона следует, что величина электрического поля E , создаваемого одиночным точечным зарядом источника Q на определенном расстоянии от него r в вакуум определяется выражением

$${\displaystyle |\mathbf {E} |=k_{\text{e}}{\frac {|q|}{r^{2}}}}$$

Система N зарядов , находящихся в , создает электрическое поле, величина и направление которого по суперпозиции равны ${\displaystyle q_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}}$$

Атомные силы

Закон Кулона действует даже внутри атомов , правильно описывая силу между положительно заряженным атомным ядром и каждым из отрицательно заряженных электронов . Этот простой закон также правильно объясняет силы, которые связывают атомы вместе, образуя молекулы , и силы, которые связывают атомы и молекулы вместе, образуя твердые тела и жидкости. Обычно по мере увеличения расстояния между ионами сила притяжения и энергия связи приближаются к нулю, и ионная связь становится менее благоприятной. По мере увеличения величины противоположных зарядов энергия увеличивается, и ионная связь становится более благоприятной.

Связь с законом Гаусса

Вывод закона Гаусса из закона Кулона.

Закон Гаусса можно вывести из закона Кулона и предположения, что электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции , который гласит, что результирующее поле представляет собой векторную сумму полей, создаваемых каждой частицей (или интеграл, если заряды распределены в некоторой области пространства). ).

Схема доказательства

Закон Кулона гласит, что электрическое поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом, равно:

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}},}$$

где

• e _r — радиальный единичный вектор ,
• r — радиус, | р | ,
• ε ₀ — электрическая постоянная ,
• q — заряд частицы, которая предполагается находящейся в начале координат .

Используя выражение из закона Кулона, мы получаем полное поле в точке r , используя интеграл для суммирования поля в точке r , обусловленного бесконечно малыми зарядами в каждой точке s в пространстве, что дает

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,d^{3}\mathbf {s} }$$

где ρ — плотность заряда. Если мы возьмем дивергенцию обеих частей этого уравнения по r и воспользуемся известной теоремой ^[29]

$${\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}=-\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} |}}=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$

где δ ( r ) — дельта-функция Дирака , результат:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,d^{3}\mathbf {s} }$$

Используя « свойство просеивания » дельта-функции Дирака, мы приходим к

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$$

что является дифференциальной формой закона Гаусса, как и хотелось.

Обратите внимание: поскольку закон Кулона применим только к стационарным зарядам, нет оснований ожидать, что закон Гаусса будет справедливым и для движущихся зарядов, основываясь только на этом выводе. Фактически закон Гаусса справедлив для движущихся зарядов, и в этом отношении закон Гаусса является более общим, чем закон Кулона.

Вывод закона Кулона из закона Гаусса.

Строго говоря, закон Кулона не может быть выведен только из закона Гаусса, поскольку закон Гаусса не дает никакой информации относительно ротора Е ( см . разложение Гельмгольца и закон Фарадея ). Однако закон Кулона можно доказать из закона Гаусса, если дополнительно предположить, что электрическое поле от точечного заряда сферически симметрично (это предположение, как и сам закон Кулона, в точности верно, если заряд стационарен, и приблизительно верно если заряд находится в движении).

Схема доказательства

Принимая S в интегральной форме закона Гаусса за сферическую поверхность радиуса r с центром в точечном заряде Q , мы имеем

$${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

В предположении сферической симметрии подынтегральная функция является константой, которую можно вынести из интеграла. Результат

$${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

где r̂ — единичный вектор , направленный радиально от заряда. Опять же, согласно сферической симметрии, E указывает в радиальном направлении, и поэтому мы получаем

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$

что по сути эквивалентно закону Кулона. Таким образом, зависимость электрического поля по закону обратных квадратов в законе Кулона следует из закона Гаусса.

В теории относительности

Закон Кулона можно использовать, чтобы понять форму магнитного поля, создаваемого движущимися зарядами, поскольку согласно специальной теории относительности в некоторых случаях можно показать, что магнитное поле представляет собой преобразование сил, вызванных электрическим полем . Когда в истории частицы не участвует никакое ускорение, закон Кулона можно принять для любой пробной частицы в ее собственной инерциальной системе отсчета, подкрепленный аргументами симметрии при решении уравнения Максвелла , показанного выше. Закон Кулона можно расширить, чтобы заставить пробные частицы иметь ту же форму. Это предположение подтверждается законом сил Лоренца , который, в отличие от закона Кулона, не ограничивается стационарными испытательными зарядами. Учитывая, что заряд инвариантен для наблюдателя, электрические и магнитные поля равномерно движущегося точечного заряда могут быть получены путем преобразования Лоренца четырех сил , действующих на пробный заряд в системе отсчета заряда, заданной законом Кулона и приписывающей магнитные и электрические поля по их определениям, данным в виде силы Лоренца . ^[30] Таким образом, найденные поля для равномерно движущихся точечных зарядов имеют вид: ^[31]

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} }$$

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {r} }{c^{2}}}={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}}$$

${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Эта форма решений не обязательно подчиняется третьему закону Ньютона , как это имеет место в рамках специальной теории относительности (но без нарушения закона сохранения импульса релятивистской энергии). ^[32] Обратите внимание, что выражение для электрического поля сводится к закону Кулона для нерелятивистских скоростей точечного заряда и что магнитное поле в нерелятивистском пределе (приближающемся ) может быть применено к электрическим токам, чтобы получить закон Био-Савара . Эти решения, выраженные в запаздывающем времени, также соответствуют общему решению уравнений Максвелла, заданному решениями потенциала Льенара – Вихерта , из-за справедливости закона Кулона в пределах его конкретной области применения. Также обратите внимание, что сферическая симметрия закона Гаусса для стационарных зарядов недействительна для движущихся зарядов из-за нарушения симметрии при указании направления скорости в задаче. Согласие с уравнениями Максвелла также можно проверить вручную для двух приведенных выше уравнений. ^[33] ${\displaystyle \beta \ll 1}$

Кулоновский потенциал

Квантовая теория поля

Самая основная диаграмма Фейнмана для взаимодействия КЭД между двумя фермионами.

Кулоновский потенциал допускает состояния континуума (с E > 0), описывающие электрон-протонное рассеяние , а также дискретные связанные состояния, представляющие атом водорода. ^[34] Его также можно получить в нерелятивистском пределе между двумя заряженными частицами следующим образом:

В приближении Борна в нерелятивистской квантовой механике амплитуда рассеяния равна: ${\textstyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )-1=2\pi \delta (E_{p}-E_{p'})(-i)\int d^{3}\mathbf {r} \,V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }}$$

$${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}e^{ikr_{0}}\langle p',k|S|p,k\rangle }$$

Используя правила Фейнмана для вычисления элемента S-матрицы, в нерелятивистском пределе получаем ${\displaystyle m_{0}\gg |\mathbf {p} |}$

$${\displaystyle \langle p',k|S|p,k\rangle |_{conn}=-i{\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}(2m)^{2}\delta (E_{p,k}-E_{p',k})(2\pi )^{4}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$$

Сравнивая с рассеянием КМ, мы должны отбросить те, которые возникают из-за различных нормировок собственного состояния импульса в КТП по сравнению с КМ, и получить: ${\displaystyle (2m)^{2}}$

$${\displaystyle \int V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }d^{3}\mathbf {r} ={\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}}$$

${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

$${\displaystyle V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi r}}}$$

^[35]

Однако эквивалентные результаты классических выводов Борна для задачи Кулона считаются строго случайными. ^{[36] [37]}

Кулоновский потенциал и его происхождение можно рассматривать как частный случай потенциала Юкавы , который представляет собой случай, когда обменный бозон – фотон – не имеет массы покоя. ^[34]

Простой эксперимент для проверки закона Кулона

Эксперимент для проверки закона Кулона.

Проверить закон Кулона можно с помощью простого эксперимента. Рассмотрим два небольших шара массы и заряда одного знака , подвешенных на двух веревках пренебрежимо малой массы длиной . На каждую сферу действуют три силы: вес , натяжение веревки и электрическая сила . В равновесном состоянии: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle mg}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

и

Разделив ( 1 ) на ( 2 ):

Пусть – расстояние между заряженными сферами; сила отталкивания между ними , если предположить справедливость закона Кулона, равна ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$

так:

Если мы теперь разрядим одну из сфер и приложим ее к заряженной сфере, каждая из них приобретет заряд . В состоянии равновесия расстояние между зарядами будет равно, а сила отталкивания между ними будет: ${\textstyle {\frac {q}{2}}}$ ${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}}$

Мы это знаем и: ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}}$

$${\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}}$$

45

Измерения углов и расстояний между зарядами и достаточно, чтобы убедиться в справедливости равенства с учетом погрешности эксперимента. На практике углы измерить сложно, поэтому, если длина веревок достаточно велика, углы будут достаточно малы, чтобы можно было сделать следующее приближение: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{2}}$

Используя это приближение, соотношение ( 6 ) становится гораздо более простым выражением:

Таким образом, проверка ограничивается измерением расстояния между зарядами и проверкой того, соответствует ли деление теоретическому значению.

Смотрите также

• Портал электроники

• Закон Био – Савара
• Дарвин Лагранжиан
• Электромагнитная сила
• Закон Гаусса
• Метод оплаты имиджа
• Молекулярное моделирование
• Закон всемирного тяготения Ньютона , в котором используется аналогичная структура, но вместо заряда используется масса.
• Статические силы и обмен виртуальными частицами
• Эффект Казимира

Рекомендации

1. Хурей, Пол Г. (2010). Уравнения Максвелла . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. стр. 8, 57. ISBN. 978-0-470-54991-9. ОСЛК  739118459.
2. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2013). Основы физики . Джон Уайли и сыновья. стр. 609, 611. ISBN. 9781118230718.
3. Роллер, Дуэйн; Ролик, DHD (1954). Развитие понятия электрического заряда: Электричество от греков до Кулона . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета . п. 79.
4. Кулон (1785). «Premier mémoire sur l'électricité et le Magnetisme» [Первая диссертация по электричеству и магнетизму]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences [ История Королевской академии наук ] (на французском языке). стр. 569–577.
5. Кулон (1785). «Второй мемуар о электричестве и магнетизме» [Вторая диссертация по электричеству и магнетизму]. Histoire de l'Académie Royale des Sciences [ История Королевской академии наук ] (на французском языке). стр. 578–611. В результате этих трех эссе, отталкивающее действие двух шариков, наэлектризованных от природы, вызывает напряжение в другом месте, соответствует обратному разуму расстояний.
6. Перселл, Эдвард М. (21 января 2013 г.). Электричество и магнетизм (3-е изд.). Кембридж. ISBN 9781107014022.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Корк, ЧР (2015). «Проводящие волокна для электронного текстиля». Электронный текстиль : 3–20. дои : 10.1016/B978-0-08-100201-8.00002-3. ISBN 9780081002018.
8. Стюарт, Джозеф (2001). Промежуточная электромагнитная теория . Всемирная научная. п. 50. ISBN 978-981-02-4471-2.
9. Симпсон, Брайан (2003). Электрическая стимуляция и облегчение боли . Elsevier Науки о здоровье. стр. 6–7. ISBN 978-0-444-51258-1.
10. Бэйгри, Брайан (2007). Электричество и магнетизм: историческая перспектива . Гринвуд Пресс. стр. 7–8. ISBN 978-0-313-33358-3.
11. Чалмерс, Гордон (1937). «Магнит и понимание материи в Англии семнадцатого века». Философия науки . 4 (1): 75–95. дои : 10.1086/286445. S2CID  121067746.
12. Социн, Абель (1760). Acta Helvetica Physico-Mathematico-Anatomico-Botanico-Medica (на латыни). Том. 4. Базилеи. стр. 224–25.
13. Хейлброн, JL (1979). Электричество в 17 и 18 веках: исследование ранней современной физики. Лос-Анджелес, Калифорния: Издательство Калифорнийского университета. стр. 460–462 и 464 (включая сноску 44). ISBN 978-0486406886.
14. Шофилд, Роберт Э. (1997). Просвещение Джозефа Пристли: исследование его жизни и творчества с 1733 по 1773 год . Университетский парк: Издательство Пенсильванского государственного университета. стр. 144–56. ISBN 978-0-271-01662-7.
15. Пристли, Джозеф (1767). История и современное состояние электричества с оригинальными экспериментами. Лондон, Англия. п. 732.
16. Эллиотт, Роберт С. (1999). Электромагнетизм: история, теория и приложения. Уайли. ISBN 978-0-7803-5384-8. Архивировано из оригинала 10 марта 2014 г. Проверено 17 октября 2009 г.
17. Робисон, Джон (1822). Мюррей, Джон (ред.). Система механической философии. Том. 4. Лондон, Англия: Отпечатано для Дж. Мюррея.
18. Максвелл, Джеймс Клерк, изд. (1967) [1879]. «Эксперименты с электричеством: Экспериментальное определение закона электрической силы». Электрические исследования достопочтенного Генри Кавендиша... (1-е изд.). Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. стр. 104–113.
19. «Закон Кулона». Гиперфизика . Архивировано из оригинала 13 апреля 2019 г. Проверено 30 ноября 2007 г.
20. Фейнман, Ричард П. (1970). Лекции Фейнмана по физике Том II. Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201021158.
21. Фитцпатрик, Ричард (2 февраля 2006 г.). «Закон Кулона». Техасский университет. Архивировано из оригинала 9 июля 2015 г. Проверено 30 ноября 2007 г.
22. «Заряженные стержни». PhysicsLab.org . Архивировано из оригинала 10 октября 2014 г. Проверено 6 ноября 2007 г.
23. Уокер, Джерл; Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт (2014). Основы физики (10-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 614. ИСБН 9781118230732. ОСЛК  950235056.
24. Le Système International d'Unités [ Международная система единиц ] (PDF) (на французском и английском языках) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, 2019, стр. 15, ISBN 978-92-822-2272-0
25. Заявление BIPM: Информация для пользователей о предлагаемой редакции SI (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 января 2018 г. , получено 15 апреля 2020 г.
26. «Решение CIPM/105-13 (октябрь 2016 г.)» . Архивировано из оригинала 24 августа 2017 г. Проверено 15 апреля 2020 г.В этот день исполняется 144 года со дня принятия Метрической конвенции .
27. Получено из k _\text{e} = 1 / (4 πε ₀ ) – «Значение CODATA 2018: электрическая проницаемость вакуума». Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 г. Архивировано из оригинала 3 июня 2016 г. Проверено 20 мая 2019 г.
28. Обсуждение инноваций в преподавании физики: на примере закона Кулона . ЦРК Пресс. 28 июля 2015 г. стр. 465–468. дои : 10.1201/b18636-105. ISBN 978-0-429-22704-2. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )
29. Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику (4-е изд.). Прентис Холл. п. 50.
30. Россер, WGV (1968). Классический электромагнетизм через теорию относительности. стр. 29–42. дои : 10.1007/978-1-4899-6559-2. ISBN 978-1-4899-6258-4. Архивировано из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 9 октября 2022 г.
31. Хевисайд, Оливер (1894). Электромагнитные волны, распространение потенциала и электромагнитные эффекты движущегося заряда. Архивировано из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 9 октября 2022 г.
32. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 517. ИСБН 0-13-805326-Х. ОСЛК  40251748.
33. Перселл, Эдвард (22 сентября 2011 г.). Электричество и магнетизм. Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9781139005043. ISBN 978-1-107-01360-5. Архивировано из оригинала 30 декабря 2023 г. Проверено 9 октября 2022 г.
34. Гриффитс, Дэвид Дж. (16 августа 2018 г.). Введение в квантовую механику (Третье изд.). Кембридж, Великобритания. ISBN 978-1-107-18963-8.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
35. «Квантовая теория поля I + II» (PDF) . Институт теоретической физики Гейдельбергского университета . Архивировано (PDF) из оригинала 4 мая 2021 г. Проверено 24 сентября 2020 г.
36. Байм, Гордон (2018). Лекции по квантовой механике . Бока-Ратон. ISBN 978-0-429-49926-5. ОКЛК  1028553174.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
37. Гулд, Роберт Дж. (21 июля 2020 г.). Электромагнитные процессы . Принстон, Нью-Джерси ISBN 978-0-691-21584-6. OCLC  1176566442.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Связанное чтение

• Кулон, Шарль Огюстен (1788) [1785]. «Премьер-мемуар о электричестве и магнетизме». История Королевской академии наук . Импримери Рояль. стр. 569–577.
• Кулон, Шарль Огюстен (1788) [1785]. «Второй мемуар о электричестве и магнетизме». История Королевской академии наук . Импримери Рояль. стр. 578–611.
• Кулон, Шарль Огюстен (1788) [1785]. «Тройная память о электричестве и магнетизме». История Королевской академии наук . Импримери Рояль. стр. 612–638.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Тамм, Игорь Евгеньевич (1979) [1976]. Основы теории электричества (9-е изд.). Москва: Мир. стр. 23–27.
• Типлер, Пол А.; Моска, Джин (2008). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-8964-2. LCCN  2007010418.
• Янг, Хью Д.; Фридман, Роджер А. (2010). Университетская физика Сирса и Земанского: с современной физикой (13-е изд.). Аддисон-Уэсли (Пирсон). ISBN 978-0-321-69686-1.

Внешние ссылки

• Закон Кулона в проекте PHYSNET
• Электричество и атом. Архивировано 21 февраля 2009 г. в Wayback Machine — глава из онлайн-учебника.
• Игра-лабиринт для изучения закона Кулона — игра, созданная с помощью программного обеспечения Molecular Workbench.
• Электрические заряды, поляризация, электрическая сила, закон Кулона Уолтер Левин, 8.02 Электричество и магнетизм, весна 2002 г.: Лекция 1 (видео). MIT OpenCourseWare. Лицензия: Creative Commons с указанием авторства, некоммерческое распространение.