Эллипсоид

Квадрическая поверхность, которая выглядит как деформированная сфера

Примеры эллипсоидов с уравнением ⁠х ²/а ²⁠ + ⁠г ²/б ²⁠ + ⁠з ²/с ²⁠ = 1 :

• Сфера , a = b = c = 4 , вверху ;
• Сфероид , a = b = 5 , c = 3 , внизу слева ;
• Трехосный эллипсоид, a = 4,5 , b = 6 ; c = 3 , внизу справа

Эллипсоид — это поверхность, которую можно получить из сферы , деформируя ее с помощью направленного масштабирования или, в более общем смысле, аффинного преобразования .

Эллипсоид — это квадратичная поверхность ; то есть поверхность , которая может быть определена как нулевое множество полинома второй степени от трех переменных. Среди квадратичных поверхностей эллипсоид характеризуется одним из двух следующих свойств. Каждое плоское поперечное сечение является либо эллипсом , либо пустым, либо сводится к одной точке (это объясняет название, означающее «подобный эллипсу»). Он ограничен , что означает, что он может быть заключен в достаточно большую сферу.

Эллипсоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии , которые пересекаются в центре симметрии , называемом центром эллипсоида. Отрезки прямых , ограниченные осями симметрии эллипсоида, называются главными осями или просто осями эллипсоида. Если три оси имеют разную длину, то фигура является трехосным эллипсоидом (редко разносторонним эллипсоидом ), и оси определены однозначно.

Если две из осей имеют одинаковую длину, то эллипсоид является эллипсоидом вращения , также называемым сфероидом . В этом случае эллипсоид инвариантен относительно вращения вокруг третьей оси, и, таким образом, существует бесконечно много способов выбора двух перпендикулярных осей одинаковой длины. Если третья ось короче, эллипсоид является сплющенным сфероидом ; если она длиннее, то это вытянутый сфероид . Если три оси имеют одинаковую длину, эллипсоид является сферой.

Стандартное уравнение

Общий эллипсоид, также известный как трехосный эллипсоид, представляет собой квадратичную поверхность, которая определяется в декартовых координатах как:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

где , и - длины полуосей. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Точки , и лежат на поверхности. Отрезки прямых от начала координат до этих точек называются главными полуосями эллипсоида, поскольку a , b , c составляют половину длины главных осей. Они соответствуют большой полуоси и малой полуоси эллипса . ${\displaystyle (a,0,0)}$ ${\displaystyle (0,b,0)}$ ${\displaystyle (0,0,c)}$

В сферической системе координат , для которой , общий эллипсоид определяется как: ${\displaystyle (x,y,z)=(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )}$

${\displaystyle {r^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi \over a^{2}}+{r^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi \over b^{2}}+{r^{2}\cos ^{2}\theta \over c^{2}}=1,}$

где — полярный угол, — азимутальный угол. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

При , эллипсоид представляет собой сферу. ${\displaystyle a=b=c}$

Когда , эллипсоид является сфероидом или эллипсоидом вращения. В частности, если , то это сплющенный сфероид ; если , то это вытянутый сфероид . ${\displaystyle a=b\neq c}$ ${\displaystyle a=b>c}$ ${\displaystyle a=b<c}$

Параметризация

Эллипсоид может быть параметризован несколькими способами, которые проще выразить, когда оси эллипсоида совпадают с осями координат. Обычный выбор —

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

где

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .}$

Эти параметры можно интерпретировать как сферические координаты , где θ — полярный угол, а φ — азимутальный угол точки ( x , y , z ) эллипсоида. ^[1]

Измерение от экватора, а не от полюса,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(\theta )\cos(\lambda ),\\y&=b\cos(\theta )\sin(\lambda ),\\z&=c\sin(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

где

${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi ,}$

θ — приведенная широта , параметрическая широта или эксцентрическая аномалия , а λ — азимут или долгота.

Измерение углов непосредственно по отношению к поверхности эллипсоида, а не к описанной сфере,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=R{\begin{bmatrix}\cos(\gamma )\cos(\lambda )\\\cos(\gamma )\sin(\lambda )\\\sin(\gamma )\end{bmatrix}}\,\!}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}R={}&{\frac {abc}{\sqrt {c^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\lambda +a^{2}\sin ^{2}\lambda \right)\cos ^{2}\gamma +a^{2}b^{2}\sin ^{2}\gamma }}},\\[3pt]&-{\tfrac {\pi }{2}}\leq \gamma \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi .\end{aligned}}}$

γ будет геоцентрической широтой на Земле, а λ — долготой. Это истинные сферические координаты с началом в центре эллипсоида. ^{[ необходима цитата ]}

В геодезии чаще всего используется геодезическая широта , как угол между вертикалью и экваториальной плоскостью, определяемый для двуосного эллипсоида. Для более общего трехосного эллипсоида см. эллипсоидальная широта .

Объем

Объем , ограниченный эллипсоидом, равен

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc.}$

В терминах главных диаметров A , B , C (где A = 2a , B = 2b , C = 2c ) объем равен

${\displaystyle V={\tfrac {1}{6}}\pi ABC}$.

Это уравнение сводится к уравнению объема сферы, когда все три эллиптических радиуса равны, и к уравнению объема сплющенного или вытянутого сфероида, когда два из них равны.

Объем эллипсоида равен ⁠2/3⁠ объем описанного эллиптического цилиндра , и ⁠π/6⁠ объем описанного параллелепипеда. Объемы вписанного и описанного параллелепипедов соответственно равны:

${\displaystyle V_{\text{inscribed}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc,\qquad V_{\text{circumscribed}}=8abc.}$

Площадь поверхности

Площадь поверхности общего (трехосного) эллипсоида равна ^[2]

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right),}$

где

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

и где F ( φ , k ) и E ( φ , k ) — неполные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. ^[3]

Площадь поверхности этого общего эллипсоида также может быть выражена через ⁠ ⁠ ${\displaystyle R_{G}}$ , одну из симметричных форм Карлсона эллиптических интегралов: ^[4]

${\displaystyle S=4\pi bcR_{G}{\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}},{\frac {c^{2}}{a^{2}}},1\right)}}$

_{Упростив приведенную выше формулу ,} используя свойства RG , ^​​[5] ее можно также выразить через объем эллипсоида V :

${\displaystyle S=3VR_{G}{\left(a^{-2},b^{-2},c^{-2}\right)}}$

В отличие от выражений с F ( φ , k ) и E ( φ , k ) , уравнения в терминах _RG не зависят от выбора порядка по a , b и c .

Площадь поверхности эллипсоида вращения (или сфероида) может быть выражена через элементарные функции :

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c^{2}}{ea^{2}}}\operatorname {artanh} e\right),\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\text{ and }}(c<a),}$

или

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {artanh} e\right)}$

или

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\ +{\frac {\pi c^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}}$

и

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\text{ and }}(c>a),}$

которые, как следует из основных тригонометрических тождеств, являются эквивалентными выражениями (т.е. формула для S _{сплюснутого} может быть использована для вычисления площади поверхности вытянутого эллипсоида и наоборот). В обоих случаях e может быть снова определено как эксцентриситет эллипса, образованного поперечным сечением через ось симметрии. (См. эллипс ). Выводы этих результатов можно найти в стандартных источниках, например Mathworld . ^[6]

Приблизительная формула

${\displaystyle S\approx 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.\,\!}$

Здесь p ≈ 1,6075 дает относительную погрешность не более 1,061%; ^[7] значение p = ⁠8/5⁠ = 1,6 является оптимальным для почти сферических эллипсоидов с относительной погрешностью не более 1,178%.

В «плоском» пределе, когда c намного меньше, чем a и b , площадь приблизительно равна 2π ab , что эквивалентно p = log ₂ 3 ≈ 1,5849625007 .

Сечения плоскости

Плоское сечение эллипсоида

Пересечение плоскости и сферы является окружностью (или сводится к одной точке, или является пустым). Любой эллипсоид является образом единичной сферы при некотором аффинном преобразовании, а любая плоскость является образом некоторой другой плоскости при том же преобразовании. Таким образом, поскольку аффинные преобразования отображают окружности в эллипсы, пересечение плоскости с эллипсоидом является эллипсом или одной точкой, или является пустым. ^[8] Очевидно, что сфероиды содержат окружности. Это также верно, но менее очевидно, для трехосных эллипсоидов (см. Круговое сечение ).

Определение эллипса сечения плоскости

Плоское сечение эллипсоида (см. пример)

Дано: Эллипсоид ⁠х ²/а ²⁠ + ⁠г ²/б ²⁠ + ⁠з ²/с ²⁠ = 1 и плоскость с уравнением n _x x + n _y y + n _z z = d , которые имеют общим эллипс.

Требуется: Три вектора f ₀ (центр) и f ₁ , f ₂ (сопряженные векторы), такие, чтобы эллипс можно было представить параметрическим уравнением

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(см. эллипс ).

Плоское сечение единичной сферы (см. пример)

Решение: Масштабирование u = ⁠х/а⁠ , v = ⁠у/б⁠ , ш = ⁠з/с⁠ преобразует эллипсоид на единичную сферу u ² + v ² + w ² = 1 и заданную плоскость на плоскость с уравнением

${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

Пусть m _u u + m _v v + m _w w = δ — нормальная форма Гессе новой плоскости и

${\displaystyle \;\mathbf {m} ={\begin{bmatrix}m_{u}\\m_{v}\\m_{w}\end{bmatrix}}\;}$

его единичный нормальный вектор. Следовательно

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\delta \mathbf {m} \;}$

является центром окружности пересечения и

${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

его радиус (см. схему).

Где m _w = ±1 (т.е. плоскость горизонтальна), пусть

${\displaystyle \ \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\rho \\0\\0\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\\rho \\0\end{bmatrix}}.}$

Где m _w ≠ ±1 , пусть

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\rho }{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,{\begin{bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _{1}\ .}$

В любом случае векторы e ₁ , e ₂ ортогональны, параллельны плоскости пересечения и имеют длину ρ (радиус окружности). Следовательно, окружность пересечения можно описать параметрическим уравнением

${\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;.}$

Обратное масштабирование (см. выше) преобразует единичную сферу обратно в эллипсоид, а векторы e ₀ , e ₁ , e ₂ отображаются на векторы f ₀ , f ₁ , f ₂ , которые требовались для параметрического представления эллипса пересечения.

Как найти вершины и полуоси эллипса, описано в разделе Эллипс .

Пример: На рисунках изображен эллипсоид с полуосями a = 4, b = 5, c = 3, который пересекается плоскостью x + y + z = 5 .

Конструкция из штифтов и струн

Построение эллипса с помощью булавки и нити:
| S ₁ S ₂ | , длина нити (красная)

Построение эллипсоида с помощью булавок и нитей, синий: фокальные конические сечения

Определение полуоси эллипсоида

Построение эллипсоида с помощью штифтов и нити представляет собой перенос идеи построения эллипса с помощью двух штифтов и нити (см. схему).

Конструкция эллипсоида вращения с помощью штифтов и струн получается с помощью конструкции вращающегося эллипса с помощью штифтов и струн.

Построение точек трехосного эллипсоида более сложно. Первые идеи принадлежат шотландскому физику Дж. К. Максвеллу (1868). ^[9] Основные исследования и распространение на квадрики были выполнены немецким математиком О. Штауде в 1882, 1886 и 1898 годах. ^{[10] [11] [12]} Описание построения эллипсоидов и гиперболоидов с помощью штифтов и струн содержится также в книге «Геометрия и воображение», написанной Д. Гильбертом и С. Фоссеном, ^[13] .

Этапы строительства

1. Выберите эллипс E и гиперболу H , которые представляют собой пару фокальных коник : с вершинами и фокусами эллипса и струной (на схеме красного цвета) длиной l . $${\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi )&=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\\H(\psi )&=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi ),\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\quad F_{1}=(c,0,0),\quad F_{2}=(-c,0,0),\quad S_{2}=(-a,0,0)}$$
2. Прикрепите один конец струны к вершине S ₁ , а другой к фокусу F ₂ . Струна натянута в точке P с положительными координатами y и z так, что струна проходит от S ₁ до P за верхней частью гиперболы (см. диаграмму) и может свободно скользить по гиперболе. Часть струны от P до F ₂ проходит и скользит перед эллипсом. Струна проходит через ту точку гиперболы, для которой расстояние | S ₁ P | над любой точкой гиперболы минимально. Аналогичное утверждение о второй части струны и эллипсе также должно быть верным.
3. Тогда: P — точка эллипсоида с уравнением $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1\\&r_{x}={\tfrac {1}{2}}(l-a+c),\quad r_{y}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}},\quad r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}}.\end{aligned}}}$$
4. Остальные точки эллипсоида могут быть построены путем соответствующих изменений струны в фокальных кониках.

Полуоси

Уравнения для полуосей сгенерированного эллипсоида могут быть получены путем специального выбора точки P :

${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\quad Z=(0,0,r_{z}).}$

Нижняя часть диаграммы показывает, что F ₁ и F ₂ также являются фокусами эллипса в плоскости xy . Следовательно, он конфокален данному эллипсу, а длина струны равна l = 2 r _x + ( a − c ) . Решение относительно r _x дает r _x = ⁠1/2⁠ ( l − a + c ) ; кроме того, r²
_года= р²
_х− с ² .

Из верхней диаграммы видно, что S ₁ и S ₂ являются фокусами эллиптического сечения эллипсоида в плоскости xz и что r²
_з= р²
_х− а ² .

Конверс

Если же, наоборот, трехосный эллипсоид задан своим уравнением, то из уравнений на шаге 3 можно вывести параметры a , b , l для конструкции из штифтов и струн.

Конфокальные эллипсоиды

Если E — эллипсоид, софокусный с E с квадратами его полуосей

${\displaystyle {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

тогда из уравнений E

${\displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

можно обнаружить, что соответствующие фокальные коники, используемые для построения стержней и струн, имеют те же полуоси a , b , c , что и эллипсоид E. Поэтому (аналогично фокусам эллипса) можно рассматривать фокальные коники трехосного эллипсоида как (бесконечное множество) фокусов и называть их фокальными кривыми эллипсоида. ^[14]

Обратное утверждение также верно: если выбрать вторую строку длины l и определить

${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$

тогда уравнения

${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

действительны, что означает, что два эллипсоида являются конфокальными.

Предельный случай, эллипсоид вращения

В случае a = c ( сфероид ) получаем S ₁ = F ₁ и S ₂ = F ₂ , что означает, что фокальный эллипс вырождается в отрезок прямой, а фокальная гипербола схлопывается в два бесконечных отрезка прямой на оси x . Эллипсоид вращательно-симметричный относительно оси x и

${\displaystyle r_{x}={\tfrac {1}{2}}l,\quad r_{y}=r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}}$.

Свойства фокальной гиперболы

Вверху: 3-осевой эллипсоид с его фокальной гиперболой.
Внизу: параллельная и центральная проекция эллипсоида, так что он выглядит как сфера, т.е. его видимая форма — круг

Истинная кривая

Если рассматривать эллипсоид из внешней точки V его фокальной гиперболы, то он кажется сферой, то есть его видимая форма — окружность. Эквивалентно, касательные эллипсоида, содержащие точку V, являются линиями кругового конуса , ось вращения которого является касательной линией гиперболы в точке V. [ ^{15] [16]} Если позволить центру V исчезнуть в бесконечности, то получится ортогональная параллельная проекция с соответствующей асимптотой фокальной гиперболы в качестве ее направления. Истинная кривая формы (точки касания) на эллипсоиде не является окружностью.

В нижней части рисунка слева показана параллельная проекция эллипсоида (с полуосями 60, 40, 30) вдоль асимптоты, а справа — центральная проекция с центром V и главной точкой H на касательной гиперболы в точке V. ( H — основание перпендикуляра из V на плоскость изображения.) Для обеих проекций видимая форма — окружность. В параллельном случае изображение начала координат O является центром окружности; в центральном случае главная точка H является центром.

Пупочные точки

Фокальная гипербола пересекает эллипсоид в его четырех пупочных точках . ^[17]

Свойство фокального эллипса

Фокальный эллипс вместе с его внутренней частью можно рассматривать как предельную поверхность (бесконечно тонкий эллипсоид) пучка софокусных эллипсоидов, определяемых a , b при r _z → 0. Для предельного случая получаем

${\displaystyle r_{x}=a,\quad r_{y}=b,\quad l=3a-c.}$

Эллипсоиды в высших измерениях и общее положение

Стандартное уравнение

Гиперэллипсоид , или эллипсоид размерности в евклидовом пространстве размерности , представляет собой квадратичную гиперповерхность, определяемую многочленом второй степени, имеющим однородную часть второй степени, которая является положительно определенной квадратичной формой . ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

Можно также определить гиперэллипсоид как изображение сферы при обратимом аффинном преобразовании . Спектральная теорема может быть снова использована для получения стандартного уравнения вида

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1.}$

Объем n -мерного гиперэллипсоида можно получить, заменив R ⁿ на произведение полуосей a ₁ a ₂ ... a _n в формуле для объема гиперсферы :

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}\cdot \left({\frac {2e\pi }{n}}\right)^{n/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

(где Γ — гамма-функция ).

Как квадрика

Если A — действительная, симметричная, положительно определенная матрица размера n на n , а v — вектор в, то множество точек x , удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

представляет собой n- мерный эллипсоид с центром в v . Выражение также называется эллипсоидальной нормой x - v . Для каждого эллипсоида существуют уникальные A и v , которые удовлетворяют приведенному выше уравнению. ^{[18] :} 67 ${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )}$

Собственные векторы A являются главными осями эллипсоида, а собственные значения A являются обратными величинами квадратов полуосей (в трех измерениях это a ⁻² , b ⁻² и c ⁻² ). ^[19] В частности :

• Диаметр эллипсоида в два раза больше самой длинной полуоси, которая в два раза больше квадратного корня из величины, обратной наибольшему собственному значению A.
• Ширина эллипсоида в два раза больше самой короткой полуоси, которая в два раза больше квадратного корня из величины, обратной наименьшему собственному значению A.

Обратимое линейное преобразование, примененное к сфере, создает эллипсоид, который может быть приведен к указанной выше стандартной форме с помощью подходящего поворота , что является следствием полярного разложения (см. также спектральную теорему ). Если линейное преобразование представлено симметричной матрицей 3 × 3 , то собственные векторы матрицы ортогональны (вследствие спектральной теоремы ) и представляют направления осей эллипсоида; длины полуосей вычисляются из собственных значений. Сингулярное разложение и полярное разложение являются матричными разложениями, тесно связанными с этими геометрическими наблюдениями.

Для каждой положительно определенной матрицы существует уникальная положительно определенная матрица, обозначенная A ^1/2 , такая, что это обозначение мотивировано тем фактом, что эту матрицу можно рассматривать как «положительный квадратный корень» из Эллипсоид, определяемый как , также может быть представлен как ^{[18] : 67} ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{1/2}{\boldsymbol {A}}^{1/2};}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}.}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

${\displaystyle A^{-1/2}\cdot S(\mathbf {0} ,1)+\mathbf {v} }$

где S( 0 ,1) — единичная сфера вокруг начала координат.

Параметрическое представление

эллипсоид как аффинное изображение единичной сферы

Ключом к параметрическому представлению эллипсоида в общем положении является альтернативное определение:

Эллипсоид является аффинным изображением единичной сферы.

Аффинное преобразование может быть представлено переносом с вектором f ₀ и регулярной матрицей A размером 3 × 3 :

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0}+{\boldsymbol {A}}\mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+x\mathbf {f} _{1}+y\mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$

где f ₁ , f ₂ , f ₃ — векторы-столбцы матрицы A .

Параметрическое представление эллипсоида в общем положении можно получить с помощью параметрического представления единичной сферы (см. выше) и аффинного преобразования:

${\displaystyle \mathbf {x} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\qquad -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}},\quad 0\leq \varphi <2\pi }$.

Если векторы f ₁ , f ₂ , f ₃ образуют ортогональную систему, то шесть точек с векторами f ₀ ± f _1,2,3 являются вершинами эллипсоида, а | f ₁ |, | f ₂ |, | f ₃ | являются полуглавными осями.

Вектор нормали поверхности в точке x ( θ , φ ) равен

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{2}\times \mathbf {f} _{3}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

Для любого эллипсоида существует неявное представление F ( x , y , z ) = 0 . Если для простоты центр эллипсоида является началом координат, f ₀ = 0 , следующее уравнение описывает эллипсоид выше: ^[20]

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

Приложения

Эллипсоидальная форма находит множество практических применений:

Геодезия

• Земной эллипсоид — математическая фигура, приблизительно описывающая форму Земли .
• Референц-эллипсоид — математическая фигура, приблизительно описывающая форму планетных тел в целом.

Механика

• Эллипсоид Пуансо — геометрический метод визуализации движения вращающегося твердого тела без момента силы .
• Эллипсоид напряжений Ламе — альтернатива кругу Мора для графического представления напряженного состояния в точке.
• Эллипсоид манипуляции , используемый для описания свободы движения робота.
• Эллипсоид Якоби , трехосный эллипсоид, образованный вращающейся жидкостью.

Кристаллография

• Эллипсоид показателя преломления — диаграмма эллипсоида, изображающая ориентацию и относительную величину показателей преломления в кристалле .
• Тепловой эллипсоид , эллипсоиды, используемые в кристаллографии для указания величин и направлений тепловых колебаний атомов в кристаллических структурах .

Информатика

• Метод эллипсоида , выпуклый алгоритм оптимизации , имеющий теоретическую значимость.

Освещение

• Прожектор с эллипсоидным отражателем
• Эллипсоидный рефлекторный прожектор

Лекарство

• Измерения, полученные с помощью МРТ- изображения предстательной железы , можно использовать для определения объема железы, используя приближение Д × Ш × В × 0,52 (где 0,52 — это приближение для ⁠π/6⁠ ) ^​​[21]

Динамические свойства

Масса эллипсоида однородной плотности ρ равна

${\displaystyle m=V\rho ={\tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .}$

Моменты инерции эллипсоида однородной плотности равны

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{\mathrm {yy} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }=I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}}$

При a = b = c эти моменты инерции уменьшаются до моментов инерции для сферы однородной плотности.

Художественное представление Хаумеа , карликовой планеты типа эллипсоида Якоби , с двумя ее лунами.

Эллипсоиды и кубоиды вращаются стабильно вдоль своих больших или малых осей, но не вдоль своей средней оси. Это можно увидеть экспериментально, бросая ластик с некоторым вращением. Кроме того, соображения момента инерции означают, что вращение вдоль большой оси легче возмущается, чем вращение вдоль малой оси. ^[22]

Одним из практических следствий этого является то, что разносторонние астрономические тела, такие как Хаумеа, обычно вращаются вокруг своих малых осей (как и Земля, которая просто сплющена ); кроме того, из-за приливного захвата луны на синхронных орбитах, такие как Мимас, вращаются с большой осью, выровненной радиально по отношению к своей планете.

Вращающееся тело однородной самогравитирующей жидкости примет форму либо сфероида Маклорена (сплюснутый сфероид), либо эллипсоида Якоби (разносторонний эллипсоид) в гидростатическом равновесии и при умеренных скоростях вращения. При более быстрых вращениях можно ожидать неэллипсоидальные грушевидные или яйцевидные формы, но они нестабильны.

Динамика жидкости

Эллипсоид является наиболее общей формой, для которой удалось рассчитать ползущий поток жидкости вокруг твердой формы. Расчеты включают силу, необходимую для перемещения через жидкость и вращения внутри нее. Приложения включают определение размера и формы больших молекул, скорости погружения мелких частиц и плавательных способностей микроорганизмов . ^[23]

В теории вероятности и статистики

Эллиптические распределения , которые обобщают многомерное нормальное распределение и используются в финансах , могут быть определены в терминах их функций плотности . Когда они существуют, функции плотности f имеют структуру:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left((\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}\right)}$

где k — масштабный коэффициент, x — n -мерный случайный вектор-строка с медианным вектором μ (который также является средним вектором, если последний существует), Σ — положительно определенная матрица , которая пропорциональна ковариационной матрице, если последняя существует, а g — функция, отображающая неотрицательные действительные числа в неотрицательные действительные числа, дающая конечную площадь под кривой. ^[24] Многомерное нормальное распределение — это особый случай, в котором g ( z ) = exp(− ⁠з/2⁠ ) ​​для квадратичной формы z .

Таким образом, функция плотности является скалярно-скалярным преобразованием квадратичного выражения. Более того, уравнение для любой поверхности изоплотности утверждает, что квадратичное выражение равно некоторой константе, специфичной для этого значения плотности, а поверхность изоплотности является эллипсоидом.

Смотрите также

• Эллипсоидный купол
• Эллипсоидальные координаты
• Эллиптическое распределение в статистике
• Сплющивание , также называемое эллиптичностью и приплюснутостью , является мерой сжатия круга или сферы по диаметру с образованием эллипса или эллипсоида вращения (сфероида) соответственно.
• Фокалоид , оболочка, ограниченная двумя концентрическими, софокусными эллипсоидами
• Геодезические на эллипсоиде
• Геодезические данные , гравитационная модель Земли, смоделированная наилучшим образом подобранным эллипсоидом.
• Гомеоид , оболочка, ограниченная двумя концентрическими подобными эллипсоидами
• Эллипсоид Джона — наименьший эллипсоид, содержащий заданное выпуклое множество.
• Список поверхностей
• Суперэллипсоид

Примечания

1. Крейциг (1972, стр. 455–456)
2. FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert и CW Clark, редакторы, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions ( Cambridge University Press ), Раздел 19.33 "Трехосные эллипсоиды" . Получено 2012-01-08 .
3. «DLMF: 19.2 Определения».
4. "Площадь поверхности эллипсоида". analyticphysics.com . Получено 2024-07-23 .
5. "DLMF: §19.20 Особые случаи ‣ Симметричные интегралы ‣ Глава 19 Эллиптические интегралы". dlmf.nist.gov . Получено 2024-07-23 .
6. W., Weisstein, Eric. "Вытянутый сфероид". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 3 августа 2017 г. . Получено 25 марта 2018 г. .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Окончательные ответы Архивировано 2011-09-30 в Wayback Machine Жераром П. Мишоном (2004-05-13). См. формулы Томсена и комментарии Кантрелла.
8. Альберт, Авраам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Довер, стр. 117, ISBN 978-0-486-81026-3
9. В. Бём: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung , Mathemat. Нахрихтен 13, 1955, С. 151
10. Стауде, О.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Математика. Энн. 20, 147–184 (1882)
11. Штауде, О.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Классы. Математика. Энн. 27, 253–271 (1886).
12. Штауде, О.: Die алгебраишен Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Энн. 50, 398–428 (1898).
13. Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен: Геометрия и воображение , Челси, Нью-Йорк, 1952, ISBN 0-8284-1087-9 , стр. 20. 
14. О. Гессен: Analytische Geometrie des Raumes , Тойбнер, Лейпциг, 1861, стр. 287
15. Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен: Геометрия и воображение , стр. 24
16. О. Гессен: Analytische Geometry des Raumes , с. 301
17. В. Блашке: Аналитическая геометрия , с. 125
18. Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло ; Шрийвер, Александр (1993), Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация, Алгоритмы и комбинаторика, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, Берлин, номер документа : 10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, г-н  1261419
19. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2013-06-26 . Получено 2013-10-12 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)стр. 17–18.
20. Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometry. Архивировано 10 ноября 2013 г. в Wayback Machine Uni Darmstadt (PDF; 3,4 МБ), S. 88.
21. Bezinque, Adam; et al. (2018). «Определение объема простаты: сравнение современных методов». Academic Radiology . 25 (12): 1582–1587. doi :10.1016/j.acra.2018.03.014. PMID  29609953. S2CID  4621745.
22. Голдштейн, Х. Г. (1980). Классическая механика , (2-е издание) Глава 5.
23. Дьюзенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе , Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 978-0-674-03116-6 . 
24. Фрам, Г., Юнкер, М. и Шимайер, А. (2003). Эллиптические копулы: применимость и ограничения. Statistics & Probability Letters, 63(3), 275–286.

Ссылки

• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8

Внешние ссылки

• «Эллипсоид» Джеффа Брайанта, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Эллипсоид и квадратичная поверхность, MathWorld .