Эллипсоид

Квадрикическая поверхность, похожая на деформированную сферу.

Примеры эллипсоидов с уравнениемх ²/2 ^_+у ²/Би ²+я ²/с ²= 1 :

• Сфера , а = б = с = 4 , вверху ;
• Сфероид , a = b = 5 , c = 3 , внизу слева ;
• Трехосный эллипсоид, a = 4,5 , b = 6 ; c = 3 , внизу справа

Эллипсоид — это поверхность, которую можно получить из сферы , деформируя ее посредством направленного масштабирования или, в более общем смысле, аффинного преобразования .

Эллипсоид — это квадратичная поверхность ; то есть поверхность , которую можно определить как нулевое множество многочлена второй степени от трех переменных. Среди квадратичных поверхностей эллипсоид характеризуется одним из двух следующих свойств. Каждое плоское сечение представляет собой либо эллипс , либо пустое, либо сведенное к одной точке (это объясняет название, означающее «эллипсоподобный»). Оно ограничено , что означает, что его можно заключить в достаточно большую сферу.

Эллипсоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии , которые пересекаются в центре симметрии , называемом центром эллипсоида. Отрезки линий , ограниченные на осях симметрии эллипсоидом, называются главными осями или просто осями эллипсоида. Если три оси имеют разную длину, фигура представляет собой трехосный эллипсоид (редко разносторонний эллипсоид ), и оси определены однозначно.

Если две оси имеют одинаковую длину, то эллипсоид является эллипсоидом вращения , также называемым сфероидом . В этом случае эллипсоид инвариантен относительно вращения вокруг третьей оси, и, таким образом, существует бесконечно много способов выбора двух перпендикулярных осей одинаковой длины. Если третья ось короче, эллипсоид представляет собой сплюснутый сфероид ; если он длиннее, то это вытянутый сфероид . Если три оси имеют одинаковую длину, эллипсоид является сферой.

Стандартное уравнение

Общий эллипсоид, также известный как трехосный эллипсоид, представляет собой квадратичную поверхность, которая определяется в декартовых координатах как:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

где , и – длины полуосей. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Точки , и лежат на поверхности. Отрезки от начала координат до этих точек называются главными полуосями эллипсоида, поскольку a , b , c составляют половину длины главных осей. Они соответствуют большой полуоси и малой полуоси эллипса . ${\displaystyle (a,0,0)}$ ${\displaystyle (0,b,0)}$ ${\displaystyle (0,0,c)}$

В сферической системе координат , для которой общий эллипсоид определяется как: ${\displaystyle (x,y,z)=(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )}$

${\displaystyle {r^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi \over a^{2}}+{r^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi \over b^{2}}+{r^{2}\cos ^{2}\theta \over c^{2}}=1,}$

где – полярный угол, – азимутальный угол. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

Когда , эллипсоид является сферой. ${\displaystyle a=b=c}$

Когда , эллипсоид представляет собой сфероид или эллипсоид вращения. В частности, если , то это сплюснутый сфероид ; если , то это вытянутый сфероид . ${\displaystyle a=b\neq c}$ ${\displaystyle a=b>c}$ ${\displaystyle a=b<c}$

Параметризация

Эллипсоид можно параметризовать несколькими способами, которые проще выразить, когда оси эллипсоида совпадают с осями координат. Общий выбор – это

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

где

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .}$

Эти параметры можно интерпретировать как сферические координаты , где θ — полярный угол, а φ — азимутальный угол точки ( x , y , z ) эллипсоида. ^[1]

Измерение осуществляется от экватора, а не от полюса.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(\theta )\cos(\lambda ),\\y&=b\cos(\theta )\sin(\lambda ),\\z&=c\sin(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

где

${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi ,}$

θ — приведенная широта , параметрическая широта или эксцентрическая аномалия , а λ — азимут или долгота.

Измерение углов непосредственно к поверхности эллипсоида, а не к описанной сфере.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=R{\begin{bmatrix}\cos(\gamma )\cos(\lambda )\\\cos(\gamma )\sin(\lambda )\\\sin(\gamma )\end{bmatrix}}\,\!}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}R={}&{\frac {abc}{\sqrt {c^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\lambda +a^{2}\sin ^{2}\lambda \right)\cos ^{2}\gamma +a^{2}b^{2}\sin ^{2}\gamma }}},\\[3pt]&-{\tfrac {\pi }{2}}\leq \gamma \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi .\end{aligned}}}$

γ будет геоцентрической широтой Земли, а λ — долготой. Это истинные сферические координаты с началом в центре эллипсоида. ^{[ нужна цитата ]}

В геодезии чаще всего используется геодезическая широта , как угол между вертикалью и экваториальной плоскостью, определенный для двухосного эллипсоида. Для более общего трехосного эллипсоида см. эллипсоидную широту .

Объем

Объем , ограниченный эллипсоидом, равен

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc.}$

В терминах главных диаметров A , B , C (где A = 2 a , B = 2 b , C = 2 c ) объем равен

${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{6}}ABC}$.

Это уравнение сводится к уравнению объема сферы, когда все три эллиптических радиуса равны, и к уравнению сплюснутого или вытянутого сфероида , когда два из них равны.

Объем эллипсоида равен2/3объем описанного эллиптического цилиндра иπ/6объем описанной коробки. Объемы вписанного и описанного ящиков равны соответственно :

${\displaystyle V_{\text{inscribed}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc,\qquad V_{\text{circumscribed}}=8abc.}$

Площадь поверхности

Площадь поверхности общего (трехосного) эллипсоида равна ^{[2] [3]}

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right),}$

где

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

и где F ( φ , k ) и E ( φ , k ) — неполные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. ^[4] Площадь поверхности этого общего эллипсоида также может быть выражена с использованием симметричных форм эллиптических интегралов R _F и RD Карлсона путем простой замены приведенной выше формулы на соответствующие определения _:

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+2\pi ab\left[R_{F}\left({\frac {c^{2}}{a^{2}}},{\frac {c^{2}}{b^{2}}},1\right)-{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\right)\left(1-{\frac {c^{2}}{b^{2}}}\right)R_{D}\left({\frac {c^{2}}{a^{2}}},{\frac {c^{2}}{b^{2}}},1\right)\right].}$

В отличие от выражения с F ( φ , k ) и E ( φ , k ) , вариант, основанный на симметричных интегралах Карлсона, дает действительные результаты для сферы, и только ось c должна быть наименьшей, порядок между двумя большими осями, a и b могут быть произвольными.

Площадь поверхности эллипсоида вращения (или сфероида) может быть выражена через элементарные функции :

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c^{2}}{ea^{2}}}\operatorname {artanh} e\right),\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\text{ and }}(c<a),}$

или

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {artanh} e\right)}$

или

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\ +{\frac {\pi c^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}}$

и

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\text{ and }}(c>a),}$

которые, как следует из основных тригонометрических тождеств, являются эквивалентными выражениями (т.е. формулу для _{сплюснутого} S можно использовать для расчета площади поверхности вытянутого эллипсоида и наоборот). В обоих случаях e снова можно определить как эксцентриситет эллипса, образованного поперечным сечением оси симметрии. (См. эллипс ). Выводы этих результатов можно найти в стандартных источниках, например Mathworld . ^[5]

Примерная формула

${\displaystyle S\approx 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.\,\!}$

Здесь p ≈ 1,6075 дает относительную погрешность не более 1,061%; ^[6] значение p =8/5= 1,6 является оптимальным для почти сферических эллипсоидов с относительной погрешностью не более 1,178%.

В «плоском» пределе c , намного меньшем, чем a и b , площадь составляет примерно 2π ab , что эквивалентно p = log ₂ 3 ≈ 1,5849625007 .

Плоские сечения

Плоское сечение эллипсоида

Пересечение плоскости и сферы представляет собой круг (или сведен к одной точке, или пуст). Любой эллипсоид является образом единичной сферы при некотором аффинном преобразовании, а любая плоскость является образом некоторой другой плоскости при том же преобразовании. Итак, поскольку аффинные преобразования отображают круги в эллипсы, пересечение плоскости с эллипсоидом представляет собой эллипс, одну точку или пусто. ^[7] Очевидно, сфероиды содержат круги. Это также верно, но менее очевидно, для трехосных эллипсоидов (см. Круговой раздел ).

Определение эллипса плоского сечения

Плоское сечение эллипсоида (см. пример)

Дано: Эллипсоидх ²/2 ^_+у ²/Би ²+я ²/с ²= 1 и плоскость с уравнением n _x x + n _y y + n _z z = d , которые имеют общий эллипс.

Требуется: три вектора f ₀ (центр) и f ₁ , f ₂ (сопряженные векторы), такие, что эллипс можно представить параметрическим уравнением.

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(см. эллипс ).

Плоское сечение единичной сферы (см. пример)

Решение: Масштабирование u =Икс/а, v =й/б, ш =я/спреобразует эллипсоид в единичную сферу u ² + v ² + w ² = 1 и данную плоскость в плоскость с уравнением

${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

Пусть m _u u + m _v v + m _w w = δ — нормальная форма Гессе новой плоскости и

${\displaystyle \;\mathbf {m} ={\begin{bmatrix}m_{u}\\m_{v}\\m_{w}\end{bmatrix}}\;}$

его единичный вектор нормали. Следовательно

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\delta \mathbf {m} \;}$

является центром окружности пересечения и

${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

его радиус (см. схему).

Где m _w = ±1 (т. е. плоскость горизонтальна), пусть

${\displaystyle \ \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\rho \\0\\0\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\\rho \\0\end{bmatrix}}.}$

Где m _w ≠ ±1 , пусть

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\rho }{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,{\begin{bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _{1}\ .}$

В любом случае векторы e ₁ , e ₂ ортогональны, параллельны плоскости пересечения и имеют длину ρ (радиус окружности). Следовательно, окружность пересечения можно описать параметрическим уравнением

${\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;.}$

Обратное масштабирование (см. выше) преобразует единичную сферу обратно в эллипсоид, а векторы e ₀ , e ₁ , e ₂ отображаются на векторы f ₀ , f ₁ , f ₂ , которые были необходимы для параметрического представления эллипса пересечения. .

Как найти вершины и полуоси эллипса описано в эллипсе .

Пример: На диаграммах изображен эллипсоид с полуосями a = 4, b = 5, c = 3 , который пересекается плоскостью x + y + z = 5 .

Конструкция штифтов и веревок

Струнно-булавочное построение эллипса:
| С ₁ С ₂ | , длина строки (красный)

Струнная конструкция эллипсоида, синий: фокальные коники.

Определение полуоси эллипсоида

Построение эллипсоида в виде булавок и ниток представляет собой передачу идеи построения эллипса с помощью двух булавок и нити (см. схему).

Веревочная конструкция эллипсоида вращения определяется стержневой конструкцией вращающегося эллипса.

Построение точек трехосного эллипсоида более сложное. Первые идеи принадлежат шотландскому физику Дж. К. Максвеллу (1868 г.). ^[8] Основные исследования и распространение на квадрики были выполнены немецким математиком О. Штауде в 1882, 1886 и 1898 годах. ^{[9] [10] [11]} Описание стержне-струнной конструкции эллипсоидов и гиперболоидов приведено содержится в книге «Геометрия и воображение» , написанной Д. Гильбертом и С. Воссеном ^[12] .

Этапы строительства

1. Выберем эллипс E и гиперболу H , которые являются парой фокальных коник :
   $${\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi )&=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\\H(\psi )&=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi ),\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$$
   с вершинами и фокусами эллипса
   $${\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\quad F_{1}=(c,0,0),\quad F_{2}=(-c,0,0),\quad S_{2}=(-a,0,0)}$$
   и строка (на красной диаграмме) длины l .
2. Прикрепите один конец веревки к вершине S1 _, а другой — к фокусу F2 _. Нить удерживается натянутой в точке P с положительными координатами y и z , так что струна проходит от S ₁ до P за верхней частью гиперболы (см. диаграмму) и может свободно скользить по гиперболе. Часть струны от P до F ₂ проходит и скользит перед эллипсом. Нить проходит через ту точку гиперболы, для которой расстояние | С ₁ П | над любой точкой гиперболы минимальна. Аналогичное утверждение для второй части строки и эллипса также должно быть истинным.
3. Тогда: P — точка эллипсоида с уравнением
   $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1\\&r_{x}={\frac {1}{2}}(l-a+c),\quad r_{y}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}},\quad r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}.\end{aligned}}}$$
4. Остальные точки эллипсоида можно построить соответствующими изменениями струны на фокальных кониках.

Полуоси

Уравнения для полуосей созданного эллипсоида можно получить путем специального выбора точки P :

${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\quad Z=(0,0,r_{z}).}$

В нижней части диаграммы видно, что F ₁ и F ₂ также являются фокусами эллипса в плоскости xy . Следовательно, она софокусна данному эллипсу, а длина строки равна l = 2 r _x + ( a - c ) . Решение для r _x дает r _x =1/2( л - а + c ) ; кроме того, р²
_года= р²
_х- с ² .

Из верхней диаграммы мы видим, что S ₁ и S ₂ являются фокусами эллиптического сечения эллипсоида в плоскости xz и что r²
_з= р²
_х− а ² .

Конверсы

Если, наоборот, трехосный эллипсоид задается его уравнением, то из уравнений шага 3 можно вывести параметры a , b , l для конструкции типа «булавка и веревка».

Конфокальные эллипсоиды

Если E — эллипсоид, софокусный E с квадратами его полуосей

${\displaystyle {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

тогда из уравнений E

${\displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

обнаруживается, что соответствующие фокальные коники, используемые для конструкции булавки и струны, имеют те же полуоси a , b , c, что и эллипсоид E. Поэтому (аналогично фокусам эллипса) фокальные коники трехосного эллипсоида рассматриваются как (бесконечное множество) фокусов и называются фокальными кривыми эллипсоида. ^[13]

Обратное утверждение также верно: если выбрать вторую строку длины l и определить

${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$

тогда уравнения

${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

действительны, что означает, что два эллипсоида конфокальные.

Предельный случай, эллипсоид вращения

В случае a = c ( сфероид ) получается S ₁ = F ₁ и S ₂ = F ₂ , что означает, что фокальный эллипс вырождается в отрезок прямой, а фокальная гипербола схлопывается в два бесконечных отрезка прямой на оси x . . Эллипсоид вращательно-симметричен вокруг оси x и

${\displaystyle r_{x}={\frac {l}{2}},\quad r_{y}=r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}$.

Свойства фокальной гиперболы

Вверху: трехосный эллипсоид с фокальной гиперболой.
Внизу: параллельная и центральная проекция эллипсоида, так что он выглядит как сфера, т. е. его видимая форма представляет собой круг.

Истинная кривая

Если рассматривать эллипсоид из внешней точки V его фокальной гиперболы, то он кажется сферой, то есть его видимая форма — круг. Эквивалентно, касательные эллипсоида, содержащего точку V , являются линиями кругового конуса , ось вращения которого является касательной к гиперболе в точке V. ^{[14] [15]} Если позволить центру V исчезнуть в бесконечность, получится ортогональная параллельная проекция с соответствующей асимптотой фокальной гиперболы в качестве направления. Истинная кривая формы (точки касания) на эллипсоиде не является кругом.

В нижней части схемы слева изображена параллельная проекция эллипсоида (с полуосями 60, 40, 30) по асимптоте, а справа центральная проекция с центром V и главной точкой H на касательную гиперболы. в точке В. ( H — основание перпендикуляра, проведенного из V на плоскость изображения.) Для обеих проекций видимая форма представляет собой круг. В параллельном случае образ начала координат О является центром окружности; в центральном случае главной точкой H является центр.

Пупочные точки

Фокальная гипербола пересекает эллипсоид в четырех точках пупка . ^[16]

Свойство фокального эллипса

Фокальный эллипс вместе с его внутренней частью можно рассматривать как предельную поверхность (бесконечно тонкий эллипсоид) пучка софокусных эллипсоидов, определяемого a , b при r _z → 0 . Для предельного случая получаем

${\displaystyle r_{x}=a,\quad r_{y}=b,\quad l=3a-c.}$

Эллипсоиды в высших измерениях и общее положение

Стандартное уравнение

Гиперэллипсоид или эллипсоид размерности в евклидовом пространстве размерности — это квадратичная гиперповерхность , определяемая многочленом второй степени, который имеет однородную часть второй степени, которая является положительно определенной квадратичной формой . ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

Можно также определить гиперэллипсоид как образ сферы при обратимом аффинном преобразовании . Спектральную теорему снова можно использовать для получения стандартного уравнения вида

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1.}$

Объем n -мерного гиперэллипсоида можно получить, заменив _R n ^на произведение полуосей a ₁ a ₂ ... an в формуле объема гиперсферы :

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}\cdot \left({\frac {2e\pi }{n}}\right)^{n/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

(где Γ – гамма-функция ).

Как квадрика

Если v — точка, A — действительная симметричная положительно определенная матрица ^{размером} n × n , а v — вектор в Rn , то набор точек x , удовлетворяющих уравнению

${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

— n -мерный эллипсоид с центром в точке v . Выражение также называется эллипсоидальной нормой x - v . Для каждого эллипсоида существуют уникальные A и v , удовлетворяющие приведенному выше уравнению. ^{[17] : 67} ${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )}$

Собственные векторы A являются главными осями эллипсоида, а собственные значения A являются обратными квадратам полуосей (в трех измерениях это a − ² , b − ² и c ⁻² ). ^[18] В частности:

• Диаметр эллипсоида в два раза больше самой длинной полуоси, что в два раза больше квадратного корня из наибольшего собственного значения A .
• Ширина эллипсоида в два раза равна самой короткой полуоси, что в два раза больше квадратного корня из наименьшего собственного значения A .

Обратимое линейное преобразование , примененное к сфере, дает эллипсоид, который можно привести к указанной выше стандартной форме с помощью подходящего поворота , являющегося следствием полярного разложения (см. также спектральную теорему ). Если линейное преобразование представлено симметричной матрицей 3×3 , то собственные векторы матрицы ортогональны (в силу спектральной теоремы ) и представляют направления осей эллипсоида; длины полуосей вычисляются по собственным значениям. Разложение по сингулярным значениям и полярное разложение представляют собой матричные разложения, тесно связанные с этими геометрическими наблюдениями.

Для каждой положительно определенной матрицы A существует уникальная положительно определенная матрица, обозначаемая A ^1/2 , такая, что A = A ^1/2 *A ^1/2 (этот A ^1/2 можно рассматривать как «квадратный корень» из A ). Эллипсоид, определенный как, также можно представить как ^{[17] : 67} ${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

${\displaystyle A^{1/2}\cdot S(0,1)+\mathbf {v} }$

где S(0,1) — единичная сфера вокруг начала координат.

Параметрическое представление

эллипсоид как аффинный образ единичной сферы

Ключом к параметрическому представлению эллипсоида в общем положении является альтернативное определение:

Эллипсоид — это аффинное изображение единичной сферы.

Аффинное преобразование может быть представлено сдвигом с вектором f ₀ и регулярной матрицей A 3 × 3 :

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0}+{\boldsymbol {A}}\mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+x\mathbf {f} _{1}+y\mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$

где f ₁ , f ₂ , f ₃ — векторы-столбцы матрицы A.

Параметрическое представление эллипсоида общего положения можно получить с помощью параметрического представления единичной сферы (см. выше) и аффинного преобразования:

${\displaystyle \mathbf {x} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\qquad -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}},\quad 0\leq \varphi <2\pi }$.

Если векторы f ₁ , f ₂ , f ₃ образуют ортогональную систему, то шесть точек с векторами f ₀ ± f _1,2,3 являются вершинами эллипсоида и | ж ₁ |, | ж ₂ |, | ж ₃ | являются полуглавными осями.

Вектор нормали к поверхности в точке x ( θ , φ ) равен

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{2}\times \mathbf {f} _{3}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

Для любого эллипсоида существует неявное представление F ( x , y , z ) = 0 . Если для простоты центр эллипсоида является началом координат, f ₀ = 0 , следующее уравнение описывает эллипсоид, приведенный выше: ^[19]

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

Приложения

Эллипсоидальная форма находит множество практических применений:

Геодезия

• Земной эллипсоид — математическая фигура, аппроксимирующая форму Земли .
• Отсчетный эллипсоид , математическая фигура, аппроксимирующая форму планетарных тел в целом.

Механика

• Эллипсоид Пуансо — геометрический метод визуализации движения вращающегося твердого тела без крутящего момента .
• Эллипсоид напряжений Ламе , альтернатива кругу Мора для графического представления напряженного состояния в точке.
• Эллипсоид манипулируемости , используемый для описания свободы движения робота.
• Эллипсоид Якоби — трёхосный эллипсоид, образованный вращающейся жидкостью.

Кристаллография

• Эллипсоид показателя преломления — диаграмма эллипсоида, показывающая ориентацию и относительную величину показателей преломления в кристалле .
• Тепловой эллипсоид , эллипсоиды, используемые в кристаллографии для обозначения величин и направлений тепловых колебаний атомов в кристаллических структурах .

Информатика

• Метод эллипсоида — алгоритм выпуклой оптимизации , имеющий теоретическое значение.

Осветительные приборы

• Прожектор с эллипсоидным рефлектором
• Прожектор с эллипсоидным рефлектором

Лекарство

• Измерения, полученные при МРТ предстательной железы, можно использовать для определения объема железы с использованием приближения L × W × H × 0,52 (где 0,52 — приближение дляπ/6) ^[20]

Динамические свойства

Масса эллипсоида однородной плотности ρ равна

${\displaystyle m=V\rho ={\tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .}$

Моменты инерции эллипсоида однородной плотности равны

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{\mathrm {yy} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }=I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}}$

При a = b = c эти моменты инерции сводятся к моментам инерции сферы однородной плотности.

Представление художника о Хаумеа , карликовой планете Якоби-эллипсоидной формы с двумя спутниками.

Эллипсоиды и кубоиды устойчиво вращаются вдоль своих больших или малых осей, но не вдоль своей срединной оси. В этом можно убедиться экспериментально, бросив с некоторым вращением ластик. Кроме того, соображения момента инерции означают, что вращение вдоль большой оси легче нарушить, чем вращение вдоль малой оси. ^[21]

Одним из практических последствий этого является то, что разносторонние астрономические тела, такие как Хаумеа , обычно вращаются вокруг своих малых осей (как и Земля, которая просто сплюснута ); кроме того, из-за приливной блокировки спутники находятся на синхронной орбите , такой как орбита Мимаса , при этом их главная ось выровнена радиально к их планете.

Вращающееся тело из однородной самогравитирующей жидкости примет форму сфероида Маклорена (сплющенный сфероид) или эллипсоида Якоби (разносторонний эллипсоид) в гидростатическом равновесии и при умеренных скоростях вращения. При более быстром вращении можно ожидать появления неэллипсоидной грушевидной или яйцевидной формы, но они нестабильны.

Динамика жидкостей

Эллипсоид — наиболее общая форма, для которой удалось рассчитать ползущее течение жидкости вокруг твердой формы. В расчеты включена сила, необходимая для перемещения через жидкость и вращения внутри нее. Приложения включают определение размера и формы крупных молекул, скорости погружения мелких частиц и плавательных способностей микроорганизмов . ^[22]

В вероятности и статистике

Эллиптические распределения , которые обобщают многомерное нормальное распределение и используются в финансах , могут быть определены через их функции плотности . Когда они существуют, функции плотности f имеют структуру:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left((\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}\right)}$

где k - масштабный коэффициент, x - n -мерный случайный вектор-строка с медианным вектором µ (который также является средним вектором, если последний существует), Σ - положительно определенная матрица , которая пропорциональна ковариационной матрице , если последняя существует. , а g — отображение функций неотрицательных действительных чисел в неотрицательные действительные числа, дающие конечную площадь под кривой. ^[23] Многомерное нормальное распределение — это частный случай, в котором g ( z ) = exp(−я/2) для квадратичной формы z .

Таким образом, функция плотности представляет собой скалярное преобразование квадратичного выражения. Более того, уравнение для любой поверхности изоплотности утверждает, что квадратичное выражение равно некоторой константе, специфичной для этого значения плотности, а поверхность изоплотности представляет собой эллипсоид.

Смотрите также

• Эллипсоидный купол
• Эллипсоидальные координаты
• Эллиптическое распределение в статистике
• Сплющивание , также называемое эллиптичностью и сжатием , является мерой сжатия круга или сферы по диаметру с образованием эллипса или эллипсоида вращения (сфероида) соответственно.
• Фокалоид — оболочка, ограниченная двумя концентрическими конфокальными эллипсоидами.
• Геодезические на эллипсоиде
• Геодезические данные , гравитационная Земля, смоделированная наиболее подходящим эллипсоидом.
• Гомеоид — оболочка, ограниченная двумя концентрическими одинаковыми эллипсоидами.
• Эллипсоид Джона — наименьший эллипсоид, содержащий заданное выпуклое множество.
• Список поверхностей
• Суперэллипсоид

Примечания

1. Крейциг (1972, стр. 455–456)
2. FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert и CW Clark, редакторы, 2010, Справочник NIST по математическим функциям ( издательство Кембриджского университета ), доступно в Интернете по адресу «DLMF: 19,33 Трехосные эллипсоиды». Архивировано из оригинала 02 декабря 2012 г. Проверено 8 января 2012 г.(см. следующую ссылку).
3. NIST (Национальный институт стандартов и технологий) на http://www.nist.gov. Архивировано 17 июня 2015 г. в Wayback Machine.
4. «DLMF: Определения 19.2» .
5. В., Вайсштейн, Эрик. «Вытянутый сфероид». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 3 августа 2017 года . Проверено 25 марта 2018 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Окончательные ответы. Архивировано 30 сентября 2011 г. в Wayback Machine Жераром П. Мишоном (13 мая 2004 г.). См. формулы Томсена и комментарии Кантрелла.
7. Альберт, Авраам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Дувр, стр. 117, ISBN 978-0-486-81026-3
8. В. Бём: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung , Mathemat. Нахрихтен 13, 1955, С. 151
9. Стауде, О.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Математика. Анна. 20, 147–184 (1882)
10. Штауде, О.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Классы. Математика. Анна. 27, 253–271 (1886).
11. Штауде, О.: Die алгебраические Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Анна. 50, 398–428 (1898).
12. Д. Гильберт и С. Кон-Воссен: Геометрия и воображение , Челси, Нью-Йорк, 1952, ISBN 0-8284-1087-9 , стр. 20 . 
13. О. Гессен: Analytische Geometry des Raumes , Тойбнер, Лейпциг, 1861, стр. 287
14. Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен: Геометрия и воображение , с. 24
15. О. Гессен: Analytische Geometry des Raumes , с. 301
16. В. Блашке: Аналитическая геометрия , с. 125
17. Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло ; Шрийвер, Александр (1993), Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация, Алгоритмы и комбинаторика, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, Берлин, номер документа : 10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, МР  1261419
18. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 июня 2013 г. Проверено 12 октября 2013 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)стр. 17–18.
19. Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometry. Архивировано 10 ноября 2013 г. в Wayback Machine Uni Darmstadt (PDF; 3,4 МБ), S. 88.
20. Безинке, Адам; и другие. (2018). «Определение объема простаты: сравнение современных методов». Академическая радиология . 25 (12): 1582–1587. дои : 10.1016/j.acra.2018.03.014. PMID  29609953. S2CID  4621745.
21. Гольдштейн, Х.Г. (1980). Классическая механика , (2-е издание) Глава 5.
22. Дюсенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 978-0-674-03116-6 . 
23. Фрам Г., Юнкер М. и Симайер А. (2003). Эллиптические копулы: применимость и ограничения. Письма о статистике и вероятности, 63 (3), 275–286.

Рекомендации

• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8

Внешние ссылки

• «Эллипсоид» Джеффа Брайанта, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007 г.
• Эллипсоид и квадратичная поверхность, MathWorld .