Законы Кеплера о движении планет

Иллюстрация законов Кеплера с двумя планетными орбитами.

1. Орбиты представляют собой эллипсы с фокусами F ₁ и F ₂ для Планеты 1 и F ₁ и F ₃ для Планеты 2. Солнце находится в точке F ₁ .
2. Заштрихованные области A ₁ и A ₂ равны и охватываются орбитой Планеты 1 за одинаковое время.
3. Отношение времени обращения Планеты 1 к времени обращения Планеты 2 составляет . ${\textstyle ({a_{1}}/{a_{2}})^{3/2}}$

В астрономии законы движения планет Кеплера , опубликованные Иоганном Кеплером без третьего закона в 1609 году и полностью в 1619 году, описывают орбиты планет вокруг Солнца. Эти законы заменили круговые орбиты и эпициклы в гелиоцентрической теории Николая Коперника эллиптическими орбитами и объяснили, как изменяются скорости планет. Три закона гласят, что: ^{[1] [2]}

1. Орбита планеты представляет собой эллипс, в одном из двух фокусов которого находится Солнце .
2. Отрезок прямой, соединяющий планету и Солнце, за равные промежутки времени описывает равные площади.
3. Квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу длины большой полуоси ее орбиты.

Эллиптические орбиты планет были указаны расчетами орбиты Марса . Из этого Кеплер сделал вывод, что другие тела в Солнечной системе , включая те, которые находятся дальше от Солнца, также имеют эллиптические орбиты. Второй закон устанавливает, что когда планета находится ближе к Солнцу, она движется быстрее. Третий закон выражает, что чем дальше планета от Солнца, тем больше ее орбитальный период.

В 1687 году Исаак Ньютон показал, что соотношения, подобные соотношениям Кеплера, применимы в Солнечной системе как следствие его собственных законов движения и закона всемирного тяготения .

Более точный исторический подход можно найти в Astronomia nova и Epitome Astronomiae Copernicanae .

Сравнение с Коперником

Законы Иоганна Кеплера улучшили модель Коперника . Согласно Копернику: ^{[3] [4]}

1. Планетная орбита представляет собой окружность с эпициклами.
2. Солнце находится примерно в центре орбиты.
3. Скорость планеты на главной орбите постоянна.

Несмотря на то, что Коперник был прав, утверждая, что планеты вращаются вокруг Солнца, он был неправ в определении их орбит. Вводя физические объяснения движения в пространстве за пределы геометрии, Кеплер правильно определил орбиту планет следующим образом: ^{[1] [2] [5] : 53–54}

1. Планетарная орбита представляет собой не окружность с эпициклами, а эллипс .
2. Солнце находится не в центре, а в фокусе эллиптической орбиты.
3. Ни линейная скорость, ни угловая скорость планеты на орбите не постоянны, но скорость площади (тесно связанная исторически с понятием момента импульса ) постоянна.

Эксцентриситет орбиты Земли делает время от мартовского равноденствия до сентябрьского равноденствия , около 186 дней, неравным времени от сентябрьского равноденствия до мартовского равноденствия, около 179 дней. Диаметр разрезал бы орбиту на равные части, но плоскость, проходящая через Солнце параллельно экватору Земли , разрезает орбиту на две части с площадями в соотношении 186 к 179, поэтому эксцентриситет орбиты Земли приблизительно равен

${\displaystyle e\approx {\frac {\pi }{4}}{\frac {186-179}{186+179}}\approx 0.015,}$

что близко к правильному значению (0,016710218). Точность этого расчета требует, чтобы две выбранные даты были вдоль малой оси эллиптической орбиты, а средние точки каждой половины были вдоль большой оси. Поскольку две выбранные здесь даты являются равноденствиями, это будет правильно, когда перигелий , дата, когда Земля находится ближе всего к Солнцу, приходится на солнцестояние . Текущий перигелий, около 4 января, довольно близок к солнцестоянию 21 или 22 декабря.

Номенклатура

Потребовалось почти два столетия, чтобы нынешняя формулировка работы Кеплера обрела свою устоявшуюся форму. « Eléments de la philosophie de Newton» ( Элементы философии Ньютона ) Вольтера 1738 года была первой публикацией, в которой использовалась терминология «законов». ^{[6] [7]} « Биографическая энциклопедия астрономов» в своей статье о Кеплере (стр. 620) утверждает, что терминология научных законов для этих открытий была актуальной по крайней мере со времен Жозефа де Лаланда . ^[8] Именно изложение Роберта Смолла в «Отчете об астрономических открытиях Кеплера» (1814) составило набор из трех законов, добавив третий. ^[9] Смолл также утверждал, вопреки истории, что это были эмпирические законы , основанные на индуктивном рассуждении . ^{[7] [10]}

Кроме того, нынешнее использование «Второго закона Кеплера» является не совсем правильным. У Кеплера было две версии, связанные в качественном смысле: «закон расстояния» и «закон площади». «Закон площади» — это то, что стало Вторым законом в наборе из трех; но сам Кеплер не отдавал ему привилегий таким образом. ^[11]

История

Кеплер опубликовал свои первые два закона о движении планет в 1609 году, ^[12] найдя их путем анализа астрономических наблюдений Тихо Браге . ^{[13] [14] [15] [5] : 53} Третий закон Кеплера был опубликован в 1619 году. ^{[16] [14]} Кеплер верил в модель Коперника Солнечной системы, которая предполагала круговые орбиты, но он не мог согласовать высокоточные наблюдения Браге с круговым соответствием орбите Марса – Марс по совпадению имел самый высокий эксцентриситет среди всех планет, за исключением Меркурия. ^[17] Его первый закон отражал это открытие.

В 1621 году Кеплер отметил, что его третий закон применим к четырем самым ярким лунам Юпитера . ^{[Nb 1]} Годфруа Венделин также сделал это наблюдение в 1643 году. ^{[Nb 2] Второй закон} , в форме «закона площадей», оспаривался Николаем Меркатором в книге 1664 года, но к 1670 году его «Философские труды» были в его пользу. ^{[18] [19]} По мере того, как столетие продолжалось, он становился все более широко принятым. ^[20] Восприятие в Германии заметно изменилось между 1688 годом, когда были опубликованы «Начала» Ньютона и которые считались в основном коперниковскими, и 1690 годом, к этому времени была опубликована работа Готфрида Лейбница о Кеплере. ^[21]

Ньютону приписывают понимание того, что второй закон не является особым для закона обратных квадратов гравитации, являясь следствием только радиальной природы этого закона, тогда как другие законы зависят от формы обратных квадратов притяжения. Карл Рунге и Вильгельм Ленц гораздо позже определили принцип симметрии в фазовом пространстве движения планет ( действующая ортогональная группа O(4)), который объясняет первый и третий законы в случае ньютоновской гравитации, как сохранение момента импульса делает это через вращательную симметрию для второго закона. ^[22]

Формуляр

Математическая модель кинематики планеты, подчиняющаяся законам, допускает широкий спектр дальнейших расчетов.

Первый закон

Первый закон Кеплера гласит:

Орбита каждой планеты представляет собой эллипс, в одном из двух фокусов которого находится Солнце .

Первый закон Кеплера, помещающий Солнце в один из фокусов эллиптической орбиты

Гелиоцентрическая система координат ( r , θ ) для эллипса. Также показаны: большая полуось a , малая полуось b и прямая полуось p ; центр эллипса и два его фокуса отмечены большими точками. Для θ = 0° , r = r _min и для θ = 180° , r = r _max . 

Математически эллипс можно представить формулой:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},}$

где — полуширота прямой , ε — эксцентриситет эллипса, r — расстояние от Солнца до планеты, а θ — угол к текущему положению планеты от ее наибольшего сближения, если смотреть со стороны Солнца. Таким образом, ( r ,  θ ) — полярные координаты . ${\displaystyle p}$

Для эллипса 0 <  ε  < 1; в предельном случае ε = 0 орбита представляет собой окружность с Солнцем в центре (т.е. где эксцентриситет равен нулю).

При θ = 0°, перигелий , расстояние минимально

${\displaystyle r_{\min }={\frac {p}{1+\varepsilon }}}$

При θ = 90° и при θ = 270° расстояние равно . ${\displaystyle p}$

При θ = 180°, афелий , расстояние максимально (по определению, афелий – неизменно – перигелий плюс 180°)

${\displaystyle r_{\max }={\frac {p}{1-\varepsilon }}}$

Большая полуось a представляет собой среднее арифметическое между r _min и r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{\max }+r_{\min }}{2}}\\[3pt]a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}\end{aligned}}}$

Малая полуось b представляет собой среднее геометрическое между r _min и r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {r_{\max }r_{\min }}}\\[3pt]b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}}$

Полуширина прямой кишки p представляет собой гармоническое среднее между r _min и r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\left({\frac {r_{\max }^{-1}+r_{\min }^{-1}}{2}}\right)^{-1}\\pa&=r_{\max }r_{\min }=b^{2}\,\end{aligned}}}$

Эксцентриситет ε — это коэффициент вариации между r _min и r _max :

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\max }-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}}.}$

Площадь эллипса равна

${\displaystyle A=\pi ab\,.}$

Частным случаем окружности является ε = 0, в результате чего r = p = r _min = r _max = a = b и A = πr ² .

Второй закон

Второй закон Кеплера гласит:

Линия, соединяющая планету и Солнце, за равные промежутки времени описывает равные площади. ^[23]

Та же (синяя) область выметается за фиксированный период времени. Зеленая стрелка — скорость. Фиолетовая стрелка, направленная к Солнцу, — ускорение. Две другие фиолетовые стрелки — компоненты ускорения, параллельные и перпендикулярные скорости.

Радиус орбиты и угловая скорость планеты на эллиптической орбите будут меняться. Это показано на анимации: планета движется быстрее, когда она ближе к Солнцу, и медленнее, когда она дальше от Солнца. Второй закон Кеплера гласит, что синий сектор имеет постоянную площадь.

История и доказательства

Кеплер, в частности, пришел к этому закону посредством предположений, которые были либо лишь приблизительно верными, либо полностью ложными, и их можно изложить следующим образом:

1. Планеты толкаются вокруг Солнца силой, действующей со стороны Солнца. Это ложное предположение основано на неверной физике Аристотеля , что объект должен толкаться для поддержания движения.
2. Сила тяги Солнца обратно пропорциональна расстоянию от Солнца. Кеплер рассуждал так, полагая, что распространение гравитации в трех измерениях было бы пустой тратой, поскольку планеты населяли плоскость. Таким образом, вместо [правильного] закона обратных квадратов получился обратный закон.
3. Поскольку Кеплер считал, что сила будет пропорциональна скорости, из утверждений № 1 и № 2 следовало, что скорость будет обратно пропорциональна расстоянию от Солнца. Это также неверный принцип аристотелевской физики.
4. Поскольку скорость обратно пропорциональна времени, расстояние от Солнца будет пропорционально времени, необходимому для прохождения небольшого участка орбиты. Это приблизительно справедливо для эллиптических орбит.
5. Площадь, выметенная пропорциональна общему времени. Это также приблизительно верно.
6. Орбиты планет являются круговыми (Кеплер открыл свой Второй закон раньше, чем Первый, что противоречит этому).

Тем не менее, результат Второго закона абсолютно верен, поскольку он логически эквивалентен сохранению момента импульса, который верен для любого тела, испытывающего радиально-симметричную силу. ^[24] Правильное доказательство может быть показано с помощью этого. Поскольку векторное произведение двух векторов дает площадь параллелограмма, имеющего стороны этих векторов, треугольная площадь dA, выметенная за короткий промежуток времени, дается половиной векторного произведения векторов r и dx для некоторого короткого отрезка орбиты, dx .

${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {dx}})={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {v}}dt)}$для небольшого участка орбиты dx и времени его прохождения dt .

Таким образом ${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {v}}).}$

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{m}}{\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {p}}).}$

Поскольку окончательное выражение пропорционально полному угловому моменту , закон равных площадей Кеплера будет справедлив для любой системы, сохраняющей угловой момент. Поскольку любая радиальная сила не будет создавать крутящего момента для движения планеты, угловой момент будет сохраняться. ${\displaystyle ({\vec {r}}\times {\vec {p}})}$

С точки зрения эллиптических параметров

За короткое время планета описывает небольшой треугольник с основанием , высотой и площадью , поэтому постоянная площадная скорость равна ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\,d\theta }$ ${\textstyle dA={\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r\,d\theta }$ $${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}.}$$

Площадь, ограниченная эллиптической орбитой, равна . Таким образом, период удовлетворяет условию ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T\cdot {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab}$

и среднее движение планеты вокруг Солнца

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$

удовлетворяет

${\displaystyle r^{2}\,d\theta =abn\,dt.}$

И так, $${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {abn}{2}}={\frac {\pi ab}{T}}.}$$

Третий закон

Третий закон Кеплера гласит:

Отношение квадрата орбитального периода объекта к кубу большой полуоси его орбиты одинаково для всех объектов, вращающихся вокруг одной и той же главной звезды.

Это отражает связь между расстоянием планет от Солнца и их орбитальными периодами.

Кеплер сформулировал этот третий закон в 1619 году ^[16] в трудоемкой попытке определить то, что он рассматривал как « музыку сфер » в соответствии с точными законами, и выразить это в терминах музыкальной нотации. ^[25] Поэтому он был известен как гармонический закон . ^[26] Первоначальная форма этого закона (относящаяся не к большой полуоси, а скорее к «среднему расстоянию») верна только для планет с малыми эксцентриситетами, близкими к нулю. ^[27]

Используя закон тяготения Ньютона (опубликованный в 1687 году), это соотношение можно найти в случае круговой орбиты, установив центростремительную силу равной силе тяготения:

${\displaystyle mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}}$

Затем, выражая угловую скорость ω через орбитальный период и выполняя преобразования, получаем третий закон Кеплера: ${\displaystyle {T}}$

${\displaystyle mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\implies T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\implies T^{2}\propto r^{3}}$

Более подробный вывод можно сделать с общими эллиптическими орбитами вместо окружностей, а также с вращением центра масс вместо просто большой массы. Это приводит к замене кругового радиуса, , на большую полуось, , эллиптического относительного движения одной массы относительно другой, а также к замене большой массы на . Однако, поскольку массы планет намного меньше масс Солнца, эта поправка часто игнорируется. Полная соответствующая формула выглядит так: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M+m}$

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}{\text{ is constant}}}$

где — масса Солнца , — масса планеты, — гравитационная постоянная , — период обращения, — большая полуось эллипса, — астрономическая единица , среднее расстояние от Земли до Солнца. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{AU}}}$

Стол

В следующей таблице показаны данные, которые использовал Кеплер для эмпирического вывода своего закона:

Кеплер узнал о недавнем изобретении Джоном Непером логарифмов и двойных логарифмических графиков еще до того, как он открыл эту закономерность. ^[28]

Обнаружив эту закономерность, Кеплер написал: ^[29]

Сначала я подумал, что сплю... Но совершенно точно и достоверно, что соотношение, существующее между периодами обращения любых двух планет, в точности равно соотношению 3/2 степени среднего расстояния.

—  перевод из «Гармонии мира» Кеплера (1619)

Логарифмический график периода T в зависимости от большой полуоси a (среднее значение афелия и перигелия) некоторых орбит Солнечной системы (крестики обозначают значения Кеплера), показывающий, что a ³/ T ² является постоянным (зеленая линия)

Для сравнения, вот современные оценки: ^{[ необходима ссылка ]}

Планетарное ускорение

Исаак Ньютон в своем труде «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» вычислил ускорение планеты, движущейся в соответствии с первым и вторым законами Кеплера .

1. Направление ускорения — к Солнцу .
2. Величина ускорения обратно пропорциональна квадрату расстояния планеты от Солнца ( закон обратных квадратов ).

Это подразумевает, что Солнце может быть физической причиной ускорения планет. Однако Ньютон утверждает в своих Principia , что он рассматривает силы с математической точки зрения, а не с физической, тем самым занимая инструменталистскую позицию. ^[30] Более того, он не приписывает причину гравитации. ^[31]

Ньютон определил силу, действующую на планету, как произведение ее массы и ускорения (см. законы движения Ньютона ). Итак:

1. Каждая планета притягивается к Солнцу.
2. Сила, действующая на планету, прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от Солнца.

Солнце играет несимметричную роль, которая необоснованна. Поэтому он предположил в законе всемирного тяготения Ньютона :

1. Все тела в Солнечной системе притягиваются друг к другу.
2. Сила между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Поскольку массы планет по сравнению с массой Солнца невелики, орбиты приблизительно соответствуют законам Кеплера. Модель Ньютона улучшает модель Кеплера и точнее соответствует фактическим наблюдениям. (См. задачу двух тел .)

Ниже приведен подробный расчет ускорения планеты, движущейся согласно первому и второму законам Кеплера.

Вектор ускорения

С гелиоцентрической точки зрения рассмотрим вектор к планете, где — расстояние до планеты, а — единичный вектор, направленный к планете. ${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ $${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}}$$

где — единичный вектор, направление которого составляет 90 градусов против часовой стрелки , — полярный угол, а точка над переменной обозначает дифференциацию по времени. ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \theta }$

Дифференцируем вектор положения дважды, чтобы получить вектор скорости и вектор ускорения: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$$

Итак, где радиальное ускорение , а где поперечное ускорение ? $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$$ $${\displaystyle a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}}$$ $${\displaystyle a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.}$$

Закон обратных квадратов

Второй закон Кеплера гласит, что это постоянная величина. $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}$$

Поперечное ускорение равно нулю: ${\displaystyle a_{\theta }}$ $${\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.}$$

Таким образом, ускорение планеты, подчиняющейся второму закону Кеплера, направлено к Солнцу.

Радиальное ускорение равно ${\displaystyle a_{\text{r}}}$ $${\displaystyle a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.}$$

Первый закон Кеплера гласит, что орбита описывается уравнением: $${\displaystyle {\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).}$$

Дифференцирование по времени или $${\displaystyle -{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }}}$$ $${\displaystyle p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).}$$

Дифференцируем еще раз $${\displaystyle p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).}$$

Радиальное ускорение удовлетворяет ${\displaystyle a_{\text{r}}}$ $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).}$$

Подставляя уравнение эллипса, получаем $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.}$$

Соотношение дает простой конечный результат ${\displaystyle b^{2}=pa}$ $${\displaystyle a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.}$$

Это означает, что вектор ускорения любой планеты, подчиняющейся первому и второму законам Кеплера, удовлетворяет закону обратных квадратов , где — константа, — единичный вектор, направленный от Солнца к планете, — расстояние между планетой и Солнцем. ${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$ $${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$$ $${\displaystyle \alpha =n^{2}a^{3}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle r\,}$

Поскольку среднее движение , где период, согласно третьему закону Кеплера, имеет одинаковое значение для всех планет. Поэтому закон обратных квадратов для планетарных ускорений применим во всей Солнечной системе. ${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha }$

Закон обратных квадратов является дифференциальным уравнением . Решения этого дифференциального уравнения включают кеплеровские движения, как показано, но они также включают движения, где орбита является гиперболой , параболой или прямой линией . (См. Орбита Кеплера .)

Закон тяготения Ньютона

По второму закону Ньютона сила тяготения, действующая на планету, равна: $${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{planet}}\mathbf {\ddot {r}} =-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}}$$

где - масса планеты и имеет одинаковое значение для всех планет Солнечной системы. Согласно третьему закону Ньютона , Солнце притягивается к планете силой одинаковой величины. Поскольку сила пропорциональна массе планеты, при симметричном рассмотрении она также должна быть пропорциональна массе Солнца, . Так где - гравитационная постоянная . ${\displaystyle m_{\text{planet}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m_{\text{Sun}}}$ $${\displaystyle \alpha =Gm_{\text{Sun}}}$$ ${\displaystyle G}$

Ускорение тела Солнечной системы номер i , согласно законам Ньютона, равно: где - масса тела j , - расстояние между телом i и телом j , - единичный вектор от тела i к телу j , а суммирование векторов ведется по всем телам Солнечной системы, кроме самого тела i . $${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle r_{ij}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$

В частном случае, когда в Солнечной системе всего два тела, Земля и Солнце, ускорение становится что является ускорением движения Кеплера. Так что эта Земля движется вокруг Солнца по законам Кеплера. $${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}}$$

Если два тела в Солнечной системе — Луна и Земля, то ускорение Луны становится $${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}}$$

Таким образом, в этом приближении Луна движется вокруг Земли по законам Кеплера.

В случае трех тел ускорения равны $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}\end{aligned}}}$$

Эти ускорения не являются ускорениями орбит Кеплера, и задача трех тел сложна. Но кеплеровское приближение является основой для расчетов возмущений . (См. Лунная теория .)

Позиция как функция времени

Кеплер использовал свои два первых закона для вычисления положения планеты как функции времени. Его метод включает решение трансцендентного уравнения, называемого уравнением Кеплера .

Процедура расчета гелиоцентрических полярных координат ( r , θ ) планеты в зависимости от времени t с момента перигелия состоит из следующих пяти шагов:

1. Вычислите среднее движение n = (2 π рад)/ P , где P — период.
2. Вычислите среднюю аномалию M = nt , где t — время с момента перигелия.
3. Вычислите эксцентрическую аномалию E, решив уравнение Кеплера: где — эксцентриситет. $${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E,}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$
4. Вычислите истинную аномалию θ, решив уравнение: $${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$$
5. Вычислите гелиоцентрическое расстояние r : где — большая полуось. $${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E),}$$ ${\displaystyle a}$

Полярные координаты положения ( r , θ ) теперь можно записать как декартов вектор , а декартов вектор скорости можно затем вычислить как , где — стандартный гравитационный параметр . ^[32] ${\displaystyle \mathbf {p} =r\left\langle \cos {\theta },\sin {\theta }\right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\sqrt {\mu a}}{r}}\left\langle -\sin {E},{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\cos {E}\right\rangle }$ ${\displaystyle \mu }$

Важный частный случай круговой орбиты, ε  = 0, дает θ = E = M. Поскольку равномерное круговое движение считалось нормальным , отклонение от этого движения считалось аномалией.

Доказательство этой процедуры показано ниже.

Средняя аномалия,М

Геометрическое построение для расчета θ Кеплером. Солнце (расположенное в фокусе) обозначено S , а планета P. Вспомогательный круг является вспомогательным для расчета. Линия xd перпендикулярна основанию и проходит через планету P. Заштрихованные сектора расположены так, чтобы иметь равные площади путем позиционирования точки y .

Задача Кеплера предполагает эллиптическую орбиту и четыре точки:

• s Солнце (в одном из фокусов эллипса);
• z перигелий​
• c центр эллипса
• п планета

и

• ${\displaystyle a=|cz|,}$расстояние между центром и перигелием, большая полуось,
• ${\displaystyle \varepsilon ={|cs| \over a},}$эксцентричность,
• ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}$малая полуось,
• ${\displaystyle r=|sp|,}$расстояние между Солнцем и планетой.
• ${\displaystyle \theta =\angle zsp,}$направление на планету, наблюдаемое со стороны Солнца, истинная аномалия .

Задача состоит в вычислении полярных координат ( r , θ ) планеты по времени, прошедшему с момента перигелия,  t .

Решается пошагово. Кеплер рассматривал окружность с большой осью в качестве диаметра, и

• ${\displaystyle x,}$проекция планеты на вспомогательный круг
• ${\displaystyle y,}$точка на окружности такая, что площади секторов | zcy | и | zsx | равны,
• ${\displaystyle M=\angle zcy,}$средняя аномалия .

Секторные области связаны ${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.}$

Площадь кругового сектора ${\displaystyle |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.}$

Площадь, охваченная с момента перигелия, по второму закону Кеплера пропорциональна времени с момента перигелия. Таким образом, средняя аномалия, M , пропорциональна времени с момента перигелия, t . где n — среднее движение . $${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},}$$ $${\displaystyle M=nt,}$$

Эксцентрическая аномалия,Э

Когда вычисляется средняя аномалия M , целью является вычисление истинной аномалии θ . Однако функция θ  =  f ( M ) не является элементарной. ^[33] Решение Кеплера заключается в использовании x , как видно из центра, эксцентрической аномалии в качестве промежуточной переменной, и сначала вычислении E как функции M путем решения уравнения Кеплера ниже, а затем вычислении истинной аномалии θ из эксцентрической аномалии E . Вот подробности. $${\displaystyle E=\angle zcx,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|\\with|scx|&={\frac {|cs|.|dx|}{2}}\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}\end{aligned}}}$$

Деление на ^2/2 дает уравнение Кеплера $${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E.}$$

Это уравнение дает M как функцию E. Определение E для заданного M является обратной задачей. Обычно используются итерационные численные алгоритмы.

Вычислив эксцентрическую аномалию E , следующим шагом будет вычисление истинной аномалии  θ .

Но обратите внимание: декартовы координаты положения относительно центра эллипса равны ( a  cos  E ,  b  sin  E )

Относительно Солнца (с координатами ( c ,0) = ( ae ,0) ), r = ( a  cos  E – ae , b  sin  E )

Истинная аномалия будет arctan( r _{y / r} x ), величина r будет √ r  ·  r .

Настоящая аномалия,θ

Обратите внимание на рисунок, что так что $${\displaystyle |cd|=|cs|+|sd|}$$ $${\displaystyle a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .}$$

Разделив на и подставив из первого закона Кеплера, получим ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$$ $${\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.}$$

Результатом является полезная связь между эксцентрической аномалией E и истинной аномалией  θ .

Более удобная с точки зрения вычислений форма получается путем подстановки в тригонометрическое тождество : $${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}.}$$

Получать $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\[8pt]&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

Умножение на 1 +  ε дает результат $${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$$

Это третий шаг в связи между временем и положением на орбите.

Расстояние,г

Четвертый шаг — вычисление гелиоцентрического расстояния r из истинной аномалии θ по первому закону Кеплера: $${\displaystyle r(1+\varepsilon \cos \theta )=a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}$$

Используя приведенное выше соотношение между θ и E, окончательное уравнение для расстояния r имеет вид: $${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E).}$$

Смотрите также

• Круговое движение
• Время свободного падения
• Гравитация
• орбита Кеплера
• проблема Кеплера
• Уравнение Кеплера
• Вектор Лапласа–Рунге–Ленца
• Удельный относительный момент импульса , относительно простой вывод законов Кеплера, начиная с сохранения момента импульса

Пояснительные записки

1. В 1621 году Иоганн Кеплер отметил, что спутники Юпитера подчиняются (приблизительно) его третьему закону в его Epitome Astronomiae Copernicanae [Воплощение коперниканской астрономии] (Линц («Lentiis ad Danubium»), (Австрия): Иоганн Планк, 1622), книга 4 , часть 2, страницы 554–555. Со стр. 554–555: «... plane ut est cum sex Planet около Солема, ... prodit Marius in suo mundo Ioviali ista 3.5.8.13 (vel 14. Galilæo) ... Periodica vero tempora prodit idem Marius .. .sunt maiora simplis, minora vero duplis». (... так же, как это очевидно [истинно] относительно шести планет вокруг Солнца, так это также верно относительно четырех [спутников] Юпитера, потому что вокруг тела Юпитера любой [спутник], который может удалиться от него дальше, вращается по орбите медленнее, и даже этот [период орбиты] не находится в той же пропорции, но больше [расстояния от Юпитера]; то есть, 3/2 ( sescupla ) пропорции каждого из расстояний от Юпитера, что, очевидно, та самая [пропорция], которая используется для шести планет выше. В своей [книге] Мир Юпитера [ Mundus Jovialis , 1614], [Саймон Майр или] "Мариус" [1573–1624] представляет эти расстояния, от Юпитера, из четырех [спутников] Юпитера: 3, 5, 8, 13 (или 14 [согласно] Галилею) [Примечание: Расстояния спутников Юпитера от Юпитера выражены как кратные диаметру Юпитера.] ... Майр представляет их временные периоды: 1 день 18 1/2 часов, 3 дня 13 1/3 часов, 7 дней 2 часа, 16 дней 18 часов: для всех [этих данных] пропорция больше, чем вдвое, таким образом, больше, чем [пропорция] расстояний 3, 5, 8, 13 или 14, хотя меньше, чем [пропорция] квадратов, которые удваивают пропорции расстояния, а именно 9, 25, 64, 169 или 196, так же как [степень] 3/2 также больше 1, но меньше 2.)
2. Годфруа Венделин написал письмо Джованни Баттисте Риччоли о связи между расстояниями спутников Юпитера от Юпитера и периодами их орбит, показав, что периоды и расстояния соответствуют третьему закону Кеплера. См.: Joanne Baptista Riccioli, Almagestum novum ... (Болонья (Бонония), (Италия): Victor Benati, 1651), том 1, стр. 492 Scholia III. На полях рядом с соответствующим абзацем напечатано: Vendelini ingeniosa speculatio circa motus & intervalla satellitum Jovis . (Хитроумные рассуждения Венделина о движении и расстояниях спутников Юпитера.) Со стр. 492: «III. Non minus Kepleriana ingeniosa est Vendelini ... и D. 7. 164/1000. pro penextimo и D. 16. 756/1000. pro extimo». (Не менее умным, [чем] исследование Кеплера, является исследование глубочайшего астронома Венделина пропорции периодов и расстояний спутников Юпитера, которое он сообщил мне с большой щедростью [в] очень длинном и очень ученом письме. Итак, как и в [случае] больших планет, средние расстояния планет от Солнца находятся соответственно в 3/2 отношении их периодов; так и расстояния этих малых планет Юпитера от Юпитера (которые равны 3, 5, 8 и 14) находятся соответственно в 3/2 отношении [их] периодов (которые составляют 1,769 дня для самой внутренней [Ио], 3,554 дня для следующей за самой внутренней [Европы], 7,164 дня для следующей за самой внешней [Ганимеда] и 16,756 дня для самой внешней [Каллисто]).)

Ссылки

1. "Законы Кеплера". hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Получено 2022-12-13 .
2. "Орбиты и законы Кеплера". NASA Solar System Exploration . Получено 2022-12-13 .
3. «Движение планет: история идеи, которая запустила научную революцию». earthobservatory.nasa.gov . 2009-07-07 . Получено 2022-12-13 .
4. "Николай Коперник". history.com . Получено 2022-12-13 .
5. Gingerich, Owen (2011). «Великая марсианская катастрофа и как ее исправил Кеплер» (PDF) . Physics Today . 64 (9): 50–54. Bibcode :2011PhT....64i..50G. doi :10.1063/PT.3.1259 . Получено 27 июля 2023 г. .
6. Вольтер, Элементы философии Ньютона [Элементы философии Ньютона] (Лондон: 1738). См., например:
   • Из стр. 162: «Par une des grandes loix de Kepler, toute Planete décrit des aires égales en temp égaux: par une autre loi non-moins sûre, chaque Planete fait sa revolution autour du Soleil en Telle sort, que si, sa moyenne distance au Soleil есть 10. prenez le куб де се номер, ce qui sera 1000., и le tems de la revolution de cette Planete autour du Soleil sera пропорционально à la racine quarrée de ce nombre 1000.» (По одному из великих законов Кеплера каждая планета описывает равные площади за равное время; по другому закону, не менее верному, каждая планета совершает свой оборот вокруг Солнца таким образом, что если ее среднее расстояние от Солнца равно 10, то возьмите куб этого числа, который будет равен 1000, а время обращения этой планеты вокруг Солнца будет пропорционально квадратному корню этого числа 1000.)
   • Из стр. 205: «Il est donc prouvé par la loi de Kepler & par celle de Neuton, que chaque Planete gravite vers le Soleil,...» (Таким образом, законом Кеплера и законом Ньютона доказано, что каждая планета вращается вокруг Солнца...)
7. Wilson, Curtis (май 1994). "Законы Кеплера, так называемые" (PDF) . HAD News (31): 1–2 . Получено 27 декабря 2016 .
8. Де ла Ланде, Астрономия , том. 1 (Париж: Десен и Сайян, 1764). См., например:
   • Из стр. 390 . faire sa révolution douze fois plus de temps ou environ..." (...но согласно знаменитому закону Кеплера, который будет объяснен в следующей книге [т.е. главе] (п. 892), соотношение периоды всегда больше, чем расстояния, [так что, например] планете, находящейся в пять раз дальше от Солнца, требуется примерно в двенадцать раз больше времени, чтобы совершить свой оборот [вокруг Солнца]...)
   • Из стр. 429: «Les Quarrés des Temps periodiques sont comme les Cubes des Distances. 892. La plus Famoususe loi du mouvement des Planetes decouverte par Kepler, est celle du report qu'il ya entre les grandeurs de leurs Orbites, & le temps qu'elles» emploient à les parcourir...» (Квадраты периодов подобны кубам расстояний. 892. Самый известный закон движения планет, открытый Кеплером, — это закон соотношения между размерами их орбит и время, которое требуется [планетам] для прохождения их...)
   • Из стр. 430: «Les Aires sontпропорционеллы au Temps. 895. Cette loi générale du mouvement des Planetes Devenue si важный в астрономии, потому что que les aires sontпропорционеллы au temps, est encore une des découvertes de Kepler; ...» ( Площади пропорциональны времени. 895. Этот общий закон движения планет, [который стал] столь важным в астрономии, а именно, что площади пропорциональны времени, является одним из открытий Кеплера...)
   • Из стр. 435: «On a appellé cette loi des airesпропорционеллы aux temps, Loi de Kepler, aussi bien que celle de l'article 892, du nome de ce célebre Inventeur; ...» (Одни назвали этот закон площадей пропорциональными временам ( закон Кеплера), а также параграф 892, по имени этого знаменитого изобретателя...)
9. Роберт Смолл, Отчет об астрономических открытиях Кеплера (Лондон: J Mawman, 1804), стр. 298–299.
10. Роберт Смолл, Отчет об астрономических открытиях Кеплера (Лондон: J. Mawman, 1804).
11. Брюс Стивенсон (1994). Физическая астрономия Кеплера. Princeton University Press. стр. 170. ISBN 978-0-691-03652-6.
12. Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex Observeibus GV Tychnonis. Прага, 1609 г.; англ. тр. WH Донахью, Кембридж, 1992.
13. В своей Astronomia nova Кеплер представил только доказательство того, что орбита Марса является эллиптической. Доказательства того, что орбиты других известных планет являются эллиптическими, были представлены только в 1621 году.
    См.: Johannes Kepler, Astronomia nova ... (1609), стр. 285. Отвергнув круговые и овальные орбиты, Кеплер пришел к выводу, что орбита Марса должна быть эллиптической. В начале страницы 285: «Ergo ellipsis est Planetæ iter; ...» (Таким образом, эллипс — это путь планеты [т. е. Марса]; ...) Далее на той же странице: «... ut sequenti capite patescet: ubi simul etiam demostrabitur, nullam Planetæ relinqui figuram Orbitæ, præterquam perfecte ellipticam; ...» ( как будет показано в следующей главе: где затем также будет доказано, что необходимо отказаться от любой фигуры орбиты планеты, кроме идеального эллипса...) И затем: «Caput LIX. эллипс появляется как Protheorema XI на страницах 289–290.
    Кеплер утверждал, что каждая планета движется по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце в: Johannes Kepler, Epitome Astronomiae Copernicanae [Краткое изложение коперниканской астрономии] (Линц («Lentiis ad Danubium»), (Австрия): Johann Planck, 1622), книга 5, часть 1, III. De Figura Orbitæ (III. О фигуре [т. е. форме] орбит), страницы 658–665. Со стр. 658: "Ellipsin fieri orbitam planetæ ... " (Из эллипса сделана орбита планеты ... ). Со стр. 659: " ... Sole (Foco altero huius ellipsis) ... " ( ... Солнце (другой фокус этого эллипса) ... ).
14. Холтон, Джеральд Джеймс; Браш, Стивен Г. (2001). Физика, человеческое приключение: от Коперника до Эйнштейна и далее (3-е издание в мягкой обложке). Пискатауэй, Нью-Джерси: Издательство Ратгерского университета. С. 40–41. ISBN 978-0-8135-2908-0. Получено 27 декабря 2009 г. .
15. В своей Astronomia nova ... (1609) Кеплер не представил свой второй закон в его современной форме. Он сделал это только в своей Epitome 1621 года. Более того, в 1609 году он представил свой второй закон в двух различных формах, которые ученые называют «законом расстояния» и «законом площади».
    • Его «закон расстояния» представлен в: «Caput XXXII. Virtutem quam Planetam moven in circulum attenuari cum discessu a Fonte». (Глава 32. Сила, перемещающая планету по кругу, ослабевает по мере удаления от источника.) См.: Иоганн Кеплер, Astronomia nova ... (1609), стр. 165–167. На странице 167 Кеплер утверждает: «..., quanto longior est αδ quam αε, tanto diutius moratur Planeta in certo aliquo arcui excentrici apud δ, quam in æquali arcu excentrici apud ε». (..., поскольку αδ длиннее αε, то планета будет оставаться на определенной дуге эксцентрика вблизи δ намного дольше, чем на равной дуге эксцентрика вблизи ε.) То есть, чем дальше планета от Солнце (в точке α), тем медленнее оно движется по своей орбите, поэтому радиус от Солнца до планеты проходит через равные площади за равное время. Однако, как представил его Кеплер, его аргумент верен только для окружностей, а не для эллипсов .
    • Его «закон площади» представлен в: «Caput LIX. Demonstratio, quod Orbita Martis,..., fiat perfecta ellipsis:...» (Глава 59. Доказательство того, что орбита Марса,..., представляет собой идеальный эллипс: ...), Протеоремы XIV и XV, стр. 291–295. На верхнем стр. 294, там написано: «Arcum ellipseos, cujus moras metitur area AKN, debere terminari в LK, ut sit AM». (Дуга эллипса, продолжительность которого ограничена [т.е. измерена] площадью AKM, должна заканчиваться в LK, так что она [т.е. дуга] равна AM.) Другими словами, время, которое Марс требуется для движения по дуге AM его эллиптической орбиты, измеряемой площадью сегмента AMN эллипса (где N - положение Солнца), которая в свою очередь пропорциональна сечению AKN окружности, описывающей эллипс и которая касается ее. Таким образом, площадь, которая выметается радиусом от Солнца до Марса, когда Марс движется по дуге своей эллиптической орбиты, пропорциональна времени, которое требуется Марсу для движения по этой дуге. Таким образом, радиус от Солнца до Марса за равные промежутки времени охватывает равные площади.
    В 1621 году Кеплер переформулировал свой второй закон для любой планеты: Иоганн Кеплер, Epitome Astronomiae Copernicanae [Краткое изложение астрономии Коперника] (Линц («Lentiis ad Danubium»), (Австрия): Иоганн Планк, 1622), книга 5, страница 668. Со страницы 668: «Dictum quidem est in superioribus, divisa orbita in particulas minutissimas æquales: accrescete iis moras planetæ per eas, in ratione intervallorum inter eas & Solem». (Выше было сказано, что если орбиту планеты разделить на наименьшие равные части, то время нахождения планеты в них увеличивается пропорционально расстоянию между ними и Солнцем.) То есть скорость планеты по ее орбите обратно пропорциональна ее расстоянию от Солнца. (Остальная часть абзаца ясно показывает, что Кеплер имел в виду то, что сейчас называется угловой скоростью.)
16. Иоганн Кеплер, Harmonices Mundi [Гармония мира] (Линц, (Австрия): Иоганн Планк, 1619), книга 5, глава 3, стр. 189. С конца стр. 189: "Sed res est certissima exactissimaque quod proportio qua est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora perioda, sit præcise sesquialtera ratiois mediarum distanceiarum, ... " (Но абсолютно достоверно и точно, что пропорция между периодическими временами любых двух планет в точности равна полуторачасовой пропорции [т. е. отношению 3:2] их средних расстояний, ... ")
    Английский перевод Harmonices Mundi Кеплера доступен как: Johannes Kepler с EJ Aiton, AM Duncan, and JV Field , trans., The Harmony of the World (Филадельфия, Пенсильвания: Американское философское общество, 1997); см. особенно стр. 411.
17. Национальная ассоциация преподавателей наук о Земле (9 октября 2008 г.). «Таблица данных по планетам и карликовым планетам». Окна во Вселенную . Получено 2 августа 2018 г.
18. Меркатор, Николаус (1664). Николаи Меркатор Гипотеза astronomica nova, et консенсус eius cum Observeibus [ Новая астрономическая гипотеза Николая Меркатора и ее согласие с наблюдениями ] (на латыни). Лондон, Англия: Лейборн.
19. Меркатор, Ник. (25 марта 1670 г.). «Некоторые соображения г-на Ник. Меркатора относительно геометрического и прямого метода синьора Кассини для нахождения апогеев, эксцентриситетов и аномалий планет; ...» . Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 5 (57): 1168–1175. doi :10.1098/rstl.1670.0018. Меркатор раскритиковал метод Кассини по нахождению линии апсид орбиты по трем наблюдениям. Кассини предполагал (ошибочно), что планеты движутся равномерно по своим эллиптическим орбитам. Со стр. 1174: "Sed cum id Observationibus nequaquam congruere animadverteret, mutavit sententiam, & lineam veri motus Planetæ æqualibus temporibus æquales areas Ellipticas verrere professus est: ... " (Но когда он заметил, что это совсем не согласуется с наблюдениями, он изменил свое мнение и заявил, что линия [от Солнца до планеты, обозначающая] истинное движение планеты, заметает равные площади эллипса за равные промежутки времени: ... [что является формой "площади" второго закона Кеплера])
20. Уилбур Эпплбаум (2000). Энциклопедия научной революции: от Коперника до Ньютона. Routledge. стр. 603. Bibcode :2000esrc.book.....A. ISBN 978-1-135-58255-5.
21. Рой Портер (1992). Научная революция в национальном контексте . Cambridge University Press. стр. 102. ISBN 978-0-521-39699-8.
22. Виктор Гийемен; Шломо Штернберг (2006). Вариации на тему Кеплера. Американское математическое общество. стр. 5. ISBN 978-0-8218-4184-6.
23. Брайант, Джефф; Павлик, Александр. «Второй закон Кеплера», Wolfram Demonstrations Project . Получено 27 декабря 2009 г.
24. Холтон, Джеральд; Браш, Стивен (2001). Браш и Холтон - Физика: Человеческое приключение . Princeton University Press. стр. 42–43. ISBN 978-0813529080.
25. Бертт, Эдвин . Метафизические основы современной физической науки . стр. 52.
26. Джеральд Джеймс Холтон, Стивен Г. Браш (2001). Физика, человеческое приключение. Издательство Ратгерского университета. стр. 45. ISBN 978-0-8135-2908-0.
27. Виджая, ГК (2019). «Первоначальная форма Третьего закона Кеплера и его неправильное применение в предложениях XXXII–XXXVII в «Началах» Ньютона (книга I)». Heliyon . 5 (2): e01274. Bibcode :2019Heliy...501274V. doi : 10.1016/j.heliyon.2019.e01274 . PMC 6395789 . PMID  30886926. 
28. Каспар, Макс (1993). Кеплер . Нью-Йорк: Довер. стр. 304. ISBN 9780486676050.
29. Каспар, Макс (1993). Кеплер . Нью-Йорк: Довер. стр. 286. ISBN 9780486676050.
30. И. Ньютон, Principia , стр. 408 в переводе И. Б. Коэна и А. Уитмена
31. И. Ньютон, «Начала» , стр. 943 в переводе И. Б. Коэна и А. Уитмена.
32. Шварц, Рене. "Меморандум № 1: Элементы кеплеровской орбиты → Декартовы векторы состояния" (PDF) . Получено 4 мая 2018 г. .
33. Мюллер, М (1995). «Уравнение времени – проблема в астрономии». Acta Physica Polonica A . Получено 23 февраля 2013 г.

Общая библиография

• Жизнь Кеплера кратко изложена на стр. 523–627, а пятая книга его главного произведения Harmonice Mundi ( гармонии мира ) перепечатана на стр. 635–732 книги On the Shoulders of Giants : The Great Works of Physics and Astronomy (работы Коперника, Кеплера , Галилея , Ньютона и Эйнштейна ). Стивен Хокинг , ред. 2002 ISBN 0-7624-1348-4 
• Вывод третьего закона Кеплера о движении планет является стандартной темой на занятиях по инженерной механике. См., например, стр. 161–164 Meriam, JL (1971) [1966]. Динамика (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley. ISBN 978-0-471-59601-1..
• Мюррей и Дермотт, Динамика Солнечной системы , Cambridge University Press 1999, ISBN 0-521-57597-4 
• В.И. Арнольд, Математические методы классической механики , Гл. 2. Springer 1989, ISBN 0-387-96890-3 

Внешние ссылки

• B. Surendranath Reddy; анимация законов Кеплера: апплет Архивировано 2013-10-06 на Wayback Machine
• Кроуэлл, Бенджамин, «Свет и материя» , онлайн-книга , которая дает доказательство первого закона без использования исчисления (см. раздел 15.7)
• Дэвид Макнамара и Джанфранко Видали, «Второй закон Кеплера – интерактивное руководство по Java», интерактивный Java-апплет, помогающий понять Второй закон Кеплера.
• Кейн, Гей (10 мая 2010 г.), Astronomy Cast , "Эпизод 189: Иоганн Кеплер и его законы движения планет"
• Кафедра физики и астрономии Университета Теннесси: Астрономия 161, «Иоганн Кеплер: Законы движения планет»
• Симулятор Солнечной системы (интерактивный апплет) Архивировано 13 декабря 2018 г. на Wayback Machine
• «Кеплер и его законы» в книге «От звездочетов к звездолетам » Дэвида П. Стерна (10 октября 2016 г.)
• «Три закона Кеплера о движении планет» на YouTube от Йенса Пуле (27 декабря 2023 г.) – видео, объясняющее и наглядно демонстрирующее три закона Кеплера о движении планет