Динамическая система, сохраняющая меру

Предмет исследования эргодической теории

В математике динамическая система, сохраняющая меру, является объектом изучения в абстрактной формулировке динамических систем , и эргодической теории в частности. Системы, сохраняющие меру, подчиняются теореме о возвращении Пуанкаре и являются частным случаем консервативных систем . Они обеспечивают формальную математическую основу для широкого спектра физических систем, и, в частности, многих систем из классической механики (в частности, большинства недиссипативных систем), а также систем в термодинамическом равновесии .

Определение

Динамическая система, сохраняющая меру, определяется как вероятностное пространство и сохраняющее меру преобразование на нем. Более подробно, это система

${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$

со следующей структурой:

• ${\displaystyle X}$это набор,
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является σ-алгеброй над , ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]}$является вероятностной мерой , так что , и , ${\displaystyle \mu (X)=1}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$является измеримым преобразованием, которое сохраняет меру , т.е. . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$

Обсуждение

Можно задаться вопросом, почему сохраняющее меру преобразование определяется в терминах обратного, а не прямого преобразования . Это можно понять интуитивно. ${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$

Рассмотрим типичную меру на единичном интервале и карту . Это карта Бернулли . Теперь распределим равномерный слой краски на единичном интервале , а затем нанесем краску вперед. Краска на половине распределяется тонким слоем по всему , и краска на половине тоже. Два слоя тонкой краски, наложенные вместе, воссоздают точно такую ​​же толщину краски. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Tx=2x\mod 1={\begin{cases}2x{\text{ if }}x<1/2\\2x-1{\text{ if }}x>1/2\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [1/2,1]}$

В более общем смысле, краска, которая поступает в подмножество, поступает из подмножества . Чтобы толщина краски оставалась неизменной (сохраняя меру), масса входящей краски должна быть одинаковой: . ${\displaystyle A\subset [0,1]}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$

Рассмотрим отображение множеств мощности : ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)}$

Рассмотрим теперь особый случай отображений , которые сохраняют пересечения, объединения и дополнения (так что это отображение борелевских множеств ), а также отправляют в (потому что мы хотим, чтобы оно было консервативным ). Каждое такое консервативное, сохраняющее борелевское отображение может быть задано некоторым сюръективным отображением, записав . Конечно, можно также определить , но этого недостаточно, чтобы задать все такие возможные отображения . То есть консервативные, сохраняющие борелевское отображение не могут, вообще говоря, быть записаны в виде . ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$

${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))}$имеет форму pushforward , тогда как в общем случае называется pullback . Почти все свойства и поведение динамических систем определяются в терминах pushforward. Например, оператор переноса определяется в терминах pushforward преобразования map ; мера теперь может пониматься как инвариантная мера ; это просто собственный вектор Фробениуса–Перрона оператора переноса (напомним, собственный вектор FP является наибольшим собственным вектором матрицы; в этом случае это собственный вектор, который имеет собственное значение один: инвариантная мера.) ${\displaystyle \mu (T(A))}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Есть две проблемы классификации, представляющие интерес. Одна, обсуждаемая ниже, фиксирует и спрашивает о классах изоморфизма отображения преобразования . Другая, обсуждаемая в операторе переноса , фиксирует и , и спрашивает об отображениях , которые являются мероподобными. Мероподобными, в том смысле, что они сохраняют свойства Бореля, но больше не являются инвариантными; они в общем случае диссипативны и, таким образом, дают представление о диссипативных системах и пути к равновесию. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

С точки зрения физики динамическая система, сохраняющая меру, часто описывает физическую систему, которая находится в равновесии, например, термодинамическое равновесие . Можно спросить: как она стала такой? Часто ответом является перемешивание, смешивание , турбулентность , термализация или другие подобные процессы. Если карта преобразования описывает это перемешивание, смешивание и т. д., то система — это все, что осталось после того, как все переходные режимы затухли. Переходные режимы — это именно те собственные векторы оператора переноса, которые имеют собственное значение меньше единицы; инвариантная мера — это единственный режим, который не затухает. Скорость затухания переходных режимов задается (логарифмом) их собственных значений; собственное значение единица соответствует бесконечному периоду полураспада. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle \mu }$

Неформальный пример

Микроканонический ансамбль из физики дает неформальный пример. Рассмотрим, например, жидкость, газ или плазму в ящике шириной, длиной и высотой, состоящем из атомов. Отдельный атом в этом ящике может находиться где угодно, имея произвольную скорость; он будет представлен одной точкой в ​​Заданный набор атомов будет тогда одной точкой где-то в пространстве «Ансамбль» — это набор всех таких точек, то есть набор всех таких возможных ящиков (которых существует несчетно-бесконечное количество). Этот ансамбль всех-возможных-ящиков — это пространство выше. ${\displaystyle w\times l\times h,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R} ^{3N}.}$ ${\displaystyle X}$

В случае идеального газа мера задается распределением Максвелла–Больцмана . Это мера произведения , в том смысле, что если — вероятность того, что атом имеет положение и скорость , то для атомов вероятность является произведением этих величин. Предполагается, что эта мера применяется к ансамблю. Так, например, один из возможных ящиков в ансамбле имеет все атомы на одной стороне ящика. Можно вычислить вероятность этого в мере Максвелла–Больцмана. Она будет чрезвычайно мала, порядка Из всех возможных ящиков в ансамбле это смехотворно малая доля. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).}$

Единственная причина, по которой это «неформальный пример», заключается в том, что записать функцию перехода сложно, и даже если записать, с ней трудно выполнять практические вычисления. Трудности усугубляются, если есть взаимодействия между самими частицами, такие как взаимодействие Ван-дер-Ваальса или какое-либо другое взаимодействие, подходящее для жидкости или плазмы; в таких случаях инвариантная мера больше не является распределением Максвелла–Больцмана. Искусство физики заключается в нахождении разумных приближений. ${\displaystyle T}$

Эта система демонстрирует одну ключевую идею из классификации динамических систем, сохраняющих меру: два ансамбля, имеющие разные температуры, неэквивалентны. Энтропия для данного канонического ансамбля зависит от его температуры; как физические системы, «очевидно», что когда температуры различаются, то различаются и системы. Это справедливо в общем случае: системы с разной энтропией не изоморфны.

Примеры

Пример отображения, сохраняющего ( меру Лебега ): T  : [0,1) → [0,1), ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1.}$

В отличие от неформального примера выше, приведенные ниже примеры достаточно четко определены и понятны, что позволяет выполнять явные формальные вычисления.

• μ может быть нормализованной угловой мерой dθ/2π на единичной окружности , а T — вращением. См. теорему о равнораспределении ;
• схема Бернулли ;
• преобразование обмена интервалами ;
• с определением соответствующей меры, подсдвиг конечного типа ;
• базовый поток случайной динамической системы ;
• поток гамильтонова векторного поля на касательном расслоении замкнутого связного гладкого многообразия сохраняет меру (используя меру, индуцированную на борелевских множествах симплектической формой объема ) по теореме Лиувилля (гамильтониан) ; ^[1]
• Для некоторых отображений и марковских процессов теорема Крылова–Боголюбова устанавливает существование подходящей меры для формирования динамической системы, сохраняющей меру.

Обобщение на группы и моноиды

Определение динамической системы, сохраняющей меру, можно обобщить на случай, когда T — это не одно преобразование, которое итерируется для задания динамики системы, а вместо этого является моноидом ( или даже группой , в этом случае мы имеем действие группы на заданное вероятностное пространство) преобразований T _s  : X → X, параметризованных s ∈ Z (или R , или N ∪ {0}, или [0, +∞)), где каждое преобразование T _s удовлетворяет тем же требованиям, что и T выше. ^[1] В частности, преобразования подчиняются правилам:

• ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X}$, функция тождества на X ;
• ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}}$, когда все термины четко определены ;
• ${\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}}$, когда все термины четко определены.

Более ранний, более простой случай вписывается в эту структуру, определяя T _s = T ^s для s ∈ N .

Гомоморфизмы

Можно определить понятия гомоморфизма и изоморфизма .

Рассмотрим две динамические системы и . Тогда отображение ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$

${\displaystyle \varphi :X\to Y}$

является гомоморфизмом динамических систем , если он удовлетворяет следующим трем свойствам:

1. Карта измерима .​ ${\displaystyle \varphi \ }$
2. Для каждого есть . ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)}$
3. Для -почти всех , есть . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \varphi (Tx)=S(\varphi x)}$

Система тогда называется фактором . ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

Отображение является изоморфизмом динамических систем , если, кроме того, существует другое отображение ${\displaystyle \varphi \;}$

${\displaystyle \psi :Y\to X}$

это также гомоморфизм, который удовлетворяет

1. для -почти всех , один имеет ; ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x=\psi (\varphi x)}$
2. для -почти всех , один имеет . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y=\varphi (\psi y)}$

Следовательно, можно образовать категорию динамических систем и их гомоморфизмов.

Общие точки

Точка x ∈ X называется общей точкой, если орбита точки распределена равномерно согласно мере.

Символические имена и генераторы

Рассмотрим динамическую систему , и пусть Q = { Q ₁ , ..., Q _k } будет разбиением X на k измеримых попарно непересекающихся множеств. Для данной точки x ∈ X , очевидно, что x принадлежит только одному из Q _i . Аналогично, итерированная точка T ⁿ x также может принадлежать только одной из частей. Символическое имя x , относительно разбиения Q , является последовательностью целых чисел { a _n } такой, что ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

Набор символических имен относительно разбиения называется символической динамикой динамической системы. Разбиение Q называется генератором или генерирующим разбиением, если μ-почти каждая точка x имеет уникальное символическое имя.

Операции над разделами

Дано разбиение Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и динамическая система , определим T -образный обратный путь Q как ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.}$

Далее, учитывая два разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и R = { R ₁ , ..., R _m }, определим их уточнение как

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.}$

С помощью этих двух конструкций уточнение итерационного обратного вывода определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

что играет решающую роль в построении теоретико-мерной энтропии динамической системы.

Энтропия теории меры

Энтропия раздела определяется как ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

${\displaystyle H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).}$

Тогда теоретико-мерная энтропия динамической системы относительно разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } определяется как ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

Наконец, метрика Колмогорова–Синая или теоретико-мерная энтропия динамической системы определяется как ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{\mathcal {Q}}h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}}).}$

где супремум берется по всем конечным измеримым разбиениям. Теорема Якова Синая 1959 года показывает, что супремум фактически получается на разбиениях, которые являются генераторами. Так, например, энтропия процесса Бернулли равна log 2, поскольку почти каждое действительное число имеет уникальное двоичное разложение . То есть, можно разбить единичный интервал на интервалы [0, 1/2) и [1/2, 1]. Каждое действительное число x либо меньше 1/2, либо нет; и точно так же дробная часть 2 ⁿ x .

Если пространство X компактно и наделено топологией или является метрическим пространством, то можно также определить топологическую энтропию .

Если — эргодическое, кусочно-расширяющееся и марковское на , и абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то имеем формулу Рохлина ^[4] (раздел 4.3 и раздел 12.3 ^[5] ): Это позволяет вычислять энтропию многих интервальных отображений, таких как логистическое отображение . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle h_{\mu }(T)=\int \ln |dT/dx|\mu (dx)}$$

Эргодический означает, что подразумевает полную меру или нулевую меру. Кусочно расширяющийся и Марков означает, что существует разбиение на конечное число открытых интервалов, такое, что для некоторых , на каждом открытом интервале. Марков означает, что для каждого из этих открытых интервалов, либо , либо . ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |T'|\geq 1+\epsilon }$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=\emptyset }$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=I_{i}}$

Теоремы классификации и антиклассификации

Одним из основных видов деятельности при изучении систем, сохраняющих меру, является их классификация в соответствии с их свойствами. То есть, пусть будет пространством меры, а пусть будет множеством всех систем, сохраняющих меру . Изоморфизм двух преобразований определяет отношение эквивалентности . Цель состоит в том, чтобы описать отношение . Было получено несколько теорем классификации; но, что довольно интересно, было также найдено несколько теорем антиклассификации. Теоремы антиклассификации утверждают, что существует более чем счетное число классов изоморфизма, и что счетного количества информации недостаточно для классификации изоморфизмов. ^{[6] [7]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle S\sim T}$ ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset U\times U.}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Первая теорема антиклассификации, выдвинутая Хьортом, утверждает, что если наделено слабой топологией , то множество не является множеством Бореля . ^[8] Существует множество других результатов антиклассификации. Например, заменяя изоморфизм эквивалентностью Какутани , можно показать, что существует несчетное множество неэквивалентных какутани эргодических преобразований, сохраняющих меру, каждого типа энтропии. ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Они противостоят теоремам классификации. К ним относятся:

• Были классифицированы эргодические преобразования, сохраняющие меру, с чисто точечным спектром. ^[10]
• Сдвиги Бернулли классифицируются по их метрической энтропии. ^{[11] [12] [13]} Подробнее см . теорию Орнштейна .

Теорема Кригера о конечном генераторе ^[14]  (Krieger 1970)  —  Дана динамическая система на пространстве Лебега меры 1, где обратима, сохраняет меру и эргодична. ${\textstyle T}$

Если для некоторого целого числа , то в системе имеется генератор размера. ${\displaystyle h_{T}\leq \ln k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Если энтропия в точности равна , то такой генератор существует тогда и только тогда, когда система изоморфна сдвигу Бернулли на символах с равными мерами. ${\displaystyle \ln k}$ ${\displaystyle k}$

Смотрите также

• Теорема Крылова–Боголюбова о существовании инвариантных мер
• Теорема возвращения Пуанкаре  – Определенные динамические системы в конечном итоге вернутся к своему начальному состоянию (или приблизятся к нему).

Ссылки

1. Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Springer. ISBN 0-387-95152-0.
2. Синай, Я. Г. (1959). «О понятии энтропии динамической системы». Доклады Академии наук СССР . 124 : 768–771.
3. Синай, Я. Г. (2007). «Метрическая энтропия динамической системы» (PDF) .
4. Теорема Шеннона-Макмиллана-Бреймана
5. Полликотт, Марк; Юрий, Мичико (1998). Динамические системы и эргодическая теория. Студенческие тексты Лондонского математического общества. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57294-1.
6. Форман, Мэтью; Вайс, Бенджамин (2019). «От одометров к круговым системам: Теорема глобальной структуры». Журнал современной динамики . 15 : 345–423. arXiv : 1703.07093 . doi : 10.3934/jmd.2019024. S2CID  119128525.
7. Форман, Мэтью; Вайс, Бенджамин (2022). «Сохраняющие меру диффеоморфизмы тора неклассифицируемы». Журнал Европейского математического общества . 24 (8): 2605–2690. arXiv : 1705.04414 . doi : 10.4171/JEMS/1151 .
8. Hjorth, G. (2001). «Об инвариантах для преобразований, сохраняющих меру». Fund. Math . 169 (1): 51–84. doi : 10.4064/FM169-1-2 . S2CID  55619325.
9. Орнштейн, Д .; Рудольф, Д.; Вайс, Б. (1982). Эквивалентность преобразований, сохраняющих меру . Mem. American Mathematical Soc. Vol. 37. ISBN 0-8218-2262-4.
10. Халмош, П.; фон Нейман, Дж. (1942). «Операторные методы в классической механике. II». Annals of Mathematics . (2). 43 (2): 332–350. doi :10.2307/1968872. JSTOR  1968872.
11. Синай, Я. (1962). «Слабый изоморфизм преобразований с инвариантной мерой». Доклады Академии наук СССР . 147 : 797–800.
12. Орнштейн, Д. (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны». Advances in Mathematics . 4 (3): 337–352. doi : 10.1016/0001-8708(70)90029-0 .
13. Каток, А.; Хассельблатт, Б. (1995). «Введение в современную теорию динамических систем». Энциклопедия математики и ее приложений . Т. 54. Cambridge University Press.
14. Downararowicz, Tomasz (2011). Энтропия в динамических системах . Новые математические монографии. Кембридж: Cambridge University Press. стр. 106. ISBN 978-0-521-88885-1.

Дальнейшее чтение

• Майкл С. Кин, «Эргодическая теория и подсдвиги конечного типа» (1991), опубликовано в качестве главы 2 в книге «Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства» , под ред. Тима Бедфорда, Майкла Кина и Кэролайн. Oxford University Press, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X (Содержит пояснительное введение с упражнениями и обширными ссылками.) 
• Лай-Санг Янг , «Энтропия в динамических системах» (pdf; ps), появляющаяся как Глава 16 в Entropy , Андреас Гревен, Герхард Келлер и Джеральд Варнеке, ред. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси (2003). ISBN 0-691-11338-6 
• T. Schürmann и I. Hoffmann, Энтропия странных биллиардов внутри n-симплексов. J. Phys. A 28(17), стр. 5033, 1995. PDF-документ (дает более сложный пример динамической системы, сохраняющей меру.)