Спиновое квантовое число

Квантовое число, параметризующее спин и угловой момент

В физике спиновое квантовое число — это квантовое число (обозначаемое s ) , которое описывает собственный угловой момент (или спиновый угловой момент, или просто спин ) электрона или другой частицы . Оно имеет одинаковое значение для всех частиц одного типа, например s =1/2для всех электронов. Это целое число для всех бозонов , таких как фотоны, и полунечетное целое число для всех фермионов , таких как электроны и протоны. Компонента спина вдоль заданной оси задается спиновым магнитным квантовым числом , _{условно} обозначаемым ms . ^[1] Значение m _s — это составляющая спинового углового момента в единицах приведенной постоянной Планка ħ , параллельная заданному направлению (обычно называемому осью z ). Он может принимать значения в диапазоне от + s до – s с целым приращением. Для электрона m _s может быть либо + +1/2или —+1/2.

Фраза «спиновое квантовое число» первоначально использовалась для описания четвертого из набора квантовых чисел ( главное квантовое число n , азимутальное квантовое число ℓ , магнитное квантовое число m и спиновое магнитное квантовое число m _s ), которые полностью описывают квантовое состояние электрона в атоме. В некоторых учебниках вводной химии m _s описывается как спиновое квантовое число , ^{[2] [3]} и s не упоминается, поскольку его значение1/2— фиксированное свойство электрона, иногда с использованием переменной s вместо m _s . ^[4] Некоторые авторы не одобряют такое использование, поскольку оно вызывает путаницу. ^[4] На более продвинутом уровне, где вводятся квантово-механические операторы или связанные спины, s называется спиновым квантовым числом, а m _s описывается как спиновое магнитное квантовое число ^[5] или как z -компонента спина. с _з . ^[6]

Спиновые квантовые числа применимы также к системам связанных спинов, таким как атомы, которые могут содержать более одного электрона. Используются символы с заглавной буквы: _S для полного электронного спина и m _S или MS для компонента оси z . Пара электронов в спин- синглетном состоянии имеет S = 0, а пара в триплетном состоянии - S = 1, при этом m _S = -1, 0 или +1. _{Квантовые} числа ядерного спина обычно обозначаются I для обозначения спина и m _I или MI для компонента оси z .

Название «спин» происходит от геометрического вращения электрона вокруг оси, предложенного Уленбеком и Гаудсмитом . Однако быстро стало понятно, что эта упрощенная картина физически нереалистична, поскольку для этого потребовалось бы, чтобы электроны вращались быстрее скорости света. ^[7] Поэтому оно было заменено более абстрактным квантово-механическим описанием.

Магнитная природа атомов и молекул

Спиновое квантовое число помогает объяснить магнитные свойства атомов и молекул. Вращающийся электрон ведет себя как микромагнит с определенным магнитным моментом. Если атомная или молекулярная орбиталь содержит два электрона, то их магнитные моменты противодействуют и нейтрализуют друг друга.

Если все орбитали дважды заняты электронами, суммарный магнитный момент равен нулю и вещество ведет себя как диамагнитное; он отталкивается внешним магнитным полем. Если некоторые орбитали наполовину заполнены (одиночно заняты), вещество имеет чистый магнитный момент и является парамагнитным; его притягивает внешнее магнитное поле.

История

Ранние попытки объяснить поведение электронов в атомах были сосредоточены на решении волнового уравнения Шрёдингера для атома водорода , простейшего возможного случая, когда один электрон связан с атомным ядром . Это позволило успешно объяснить многие особенности атомных спектров .

Решения требовали, чтобы каждое возможное состояние электрона описывалось тремя «квантовыми числами». Они были идентифицированы как, соответственно, номер электронной «оболочки» n , «орбитальный» номер ℓ и номер «орбитального углового момента» m . Угловой момент — это так называемая «классическая» концепция измерения импульса ^{[ нужна ссылка ]} массы, совершающей круговое движение вокруг точки. Номера оболочек начинаются с 1 и увеличиваются бесконечно. Каждая оболочка номера n содержит n ² орбиталей. Каждая орбиталь характеризуется своим номером ℓ , где ℓ принимает целые значения от 0 до n − 1 , и числом ее углового момента m , где m принимает целые значения от +ℓ до −ℓ . С помощью различных приближений и расширений физики смогли распространить свои исследования по водороду на более сложные атомы, содержащие много электронов.

Атомные спектры измеряют излучение, поглощаемое или испускаемое электронами, «перепрыгивающими» из одного «состояния» в другое, где состояние представлено значениями n , ℓ и m . Так называемое « правило перехода » ограничивает возможные «прыжки». В общем случае прыжок или «переход» допускается только в том случае, если в процессе изменяются все три числа. Это связано с тем, что переход сможет вызвать испускание или поглощение электромагнитного излучения только в том случае, если он включает в себя изменение электромагнитного диполя атома.

Однако на заре квантовой механики было признано, что атомные спектры , измеренные во внешнем магнитном поле (см. эффект Зеемана ), невозможно предсказать с помощью только n , ℓ и m .

В январе 1925 года, когда Ральф Крониг еще был доктором философии Колумбийского университета. Будучи студентом, он впервые предложил спин электрона после того, как услышал Вольфганга Паули в Тюбингене. Вернер Гейзенберг и Паули сразу же возненавидели эту идею: они только что исключили из квантовой механики все мыслимые действия. Теперь Крониг предлагал заставить электрон вращаться в пространстве. Паули особенно высмеял идею раскрутки, заявив, что «она действительно очень умна, но, конечно, не имеет ничего общего с реальностью». Столкнувшись с такой критикой, Крониг решил не публиковать свою теорию, и идее спина электрона пришлось подождать, пока ее признают другие. ^[8] Ральф Крониг выдвинул идею спина электрона за несколько месяцев до Джорджа Уленбека и Сэмюэля Гаудсмита , но большинство учебников приписывают это открытие именно этим двум голландским физикам.

Впоследствии Паули предложил (также в 1925 году) новую квантовую степень свободы (или квантовое число ) с двумя возможными значениями, чтобы разрешить несоответствия между наблюдаемыми молекулярными спектрами и развивающейся теорией квантовой механики.

Вскоре после этого Уленбек и Гаудсмит определили новую степень свободы Паули как спин электрона .

Электронный спин

Спин- 1 /2частица характеризуется квантовым числом углового момента для спина s = 1 /2. В решениях уравнения Шредингера-Паули угловой момент квантовается согласно этому числу, так что величина спинового углового момента равна

$${\displaystyle \|{\mathbf {S}}\|=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\ \hbar ~.}$$

Тонкая структура спектра водорода наблюдается как дублет, соответствующий двум возможностям z -компоненты углового момента, где для любого заданного направления z :

$${\displaystyle s_{z}=\pm {\tfrac {1}{2}}\hbar ~.}$$

решение которого имеет только две возможные z -компоненты для электрона. В электроне две разные ориентации спина иногда называют «спин вверх» или «спин вниз».

Спиновое свойство электрона привело бы к возникновению магнитного момента , который был необходим для четвертого квантового числа.

Вектор магнитного момента спина электрона определяется выражением:

$${\displaystyle \ {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-{\frac {e}{\ 2m\ }}\ g_{\text{s}}\ {\mathbf {S}}\ }$$

где заряд электрона , масса электрона и g-фактор спина электрона , который составляет примерно 2,0023. Его проекция по оси z определяется спиновым магнитным квантовым числом согласно: ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g_{\text{s}}}$ ${\displaystyle m_{\text{s}}}$

$${\displaystyle \mu _{z}=-m_{\text{s}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}=\pm {\tfrac {1}{2}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}\ }$$

где находится магнетон Бора . ${\displaystyle \ \mu _{\mathsf {B}}\ }$

Когда атомы имеют четное количество электронов, спин каждого электрона на каждой орбитали имеет ориентацию, противоположную ориентации его непосредственного соседа (ов). Однако многие атомы имеют нечетное количество электронов или расположение электронов, в котором существует неодинаковое количество ориентаций «спин вверх» и «спин вниз». Говорят, что эти атомы или электроны имеют неспаренные спины, которые обнаруживаются в электронном спиновом резонансе .

Обнаружение вращения

Когда линии спектра водорода исследуются с очень высоким разрешением, оказывается, что они представляют собой близко расположенные дублеты. Это расщепление называется тонкой структурой и было одним из первых экспериментальных свидетельств спина электрона. Прямое наблюдение собственного углового момента электрона было достигнуто в эксперименте Штерна-Герлаха .

Эксперимент Штерна-Герлаха

Теория пространственного квантования спинового момента электронов атомов, находящихся в магнитном поле, нуждалась в экспериментальном подтверждении. В 1922 году (за два года до создания теоретического описания спина) Отто Штерн и Вальтер Герлах наблюдали его в проведенном ими эксперименте.

Атомы серебра испарялись с помощью электрической печи в вакууме. С помощью тонких щелей атомы направлялись в плоский луч, который проходил через неоднородное магнитное поле, прежде чем столкнуться с металлической пластиной. Законы классической физики предсказывают, что совокупность конденсированных атомов серебра на пластине должна образовать тонкую сплошную линию той же формы, что и исходный луч. Однако неоднородное магнитное поле привело к тому, что луч разделился на два отдельных направления, создав две линии на металлической пластине.

Явление можно объяснить пространственным квантованием спинового момента импульса. В атомах электроны спарены так, что один вращается вверх, а другой вниз, нейтрализуя влияние их вращения на действие атома в целом. Но в валентной оболочке атомов серебра имеется единственный электрон, спин которого остается неуравновешенным.

Несбалансированный спин создает спиновый магнитный момент , заставляя электрон действовать как очень маленький магнит. Когда атомы проходят через неоднородное магнитное поле, момент силы в магнитном поле влияет на диполь электрона до тех пор, пока его положение не совпадет с направлением более сильного поля. Тогда атом будет притягиваться к более сильному магнитному полю или от него на определенную величину, в зависимости от значения спина валентного электрона. Когда спин электрона равен ++ 1 /2атом удаляется от более сильного поля, и когда спин —+ 1 /2атом движется к нему. Таким образом, пучок атомов серебра при прохождении через неоднородное магнитное поле расщепляется в соответствии со спином валентного электрона каждого атома.

В 1927 году Фиппс и Тейлор провели аналогичный эксперимент, используя атомы водорода , и получили аналогичные результаты. Позже учёные провели эксперименты с использованием других атомов, имеющих в валентной оболочке только один электрон: ( меди , золота , натрия , калия ). Каждый раз на металлической пластине образовывались две линии.

Атомное ядро ​​тоже может иметь спин, но протоны и нейтроны значительно тяжелее электронов (примерно в 1836 раз), а магнитный дипольный момент обратно пропорционален массе. Таким образом, магнитный дипольный момент ядра намного меньше, чем у всего атома. Этот небольшой магнитный диполь позже был измерен Штерном, Фришем и Истерманом.

Электронный парамагнитный резонанс

Для атомов или молекул с неспаренным электроном также можно наблюдать переходы в магнитном поле, при которых меняется только спиновое квантовое число без изменения электронной орбитали или других квантовых чисел. Это метод электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) или электронного спинового резонанса (ЭПР), используемый для изучения свободных радикалов . Поскольку меняется только магнитное взаимодействие спинов, то изменение энергии гораздо меньше, чем при переходах между орбиталями, и спектры наблюдаются в микроволновой области .

Вывод

Для решения либо нерелятивистского уравнения Паули , либо релятивистского уравнения Дирака квантованный угловой момент (см. квантовое число углового момента ) можно записать как:

$${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert ={\sqrt {s\,(s+1)\,}}\,\hbar }$$

• ${\displaystyle \mathbf {s} }$это квантованный вектор спина или спинор
• ${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert }$— норма вектора спина
• s - спиновое квантовое число, связанное со спиновым угловым моментом.
• ${\displaystyle \hbar }$– приведенная постоянная Планка .

Для произвольного направления z (обычно определяемого внешним магнитным полем) проекция спина z определяется выражением

${\displaystyle s_{z}=m_{s}\,\hbar }$

где m _s — квантовое число вторичного спина , варьирующееся от − s до + s с шагом в единицу. Это генерирует 2  s + 1 различных значений m _s .

Допустимые значения для s — неотрицательные целые или полуцелые числа . Фермионы имеют полуцелые значения, включая электрон , протон и нейтрон , которые все имеют s = + + 1 /2. Бозоны , такие как фотон и все мезоны , имеют целочисленные значения спина.

Алгебра

Алгебраическая теория спина является точной копией момента импульса в теории квантовой механики . ^[9] Прежде всего, спин удовлетворяет фундаментальному коммутационному соотношению :

$${\displaystyle \ [S_{i},S_{j}]=i\ \hbar \ \epsilon _{ijk}\ S_{k}\ ,}$$

$${\displaystyle \ \left[S_{i},S^{2}\right]=0\ }$$

символ Леви-Чивитапринципа неопределенности ${\displaystyle \ \epsilon _{ijk}\ }$

Далее, собственные векторы и удовлетворяют: ${\displaystyle \ S^{2}\ }$ ${\displaystyle \ S_{z}\ }$

$${\displaystyle \ S^{2}\ |s,m_{s}\rangle ={\hbar }^{2}\ s(s+1)\ |s,m_{s}\rangle \ }$$

$${\displaystyle \ S_{z}\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ m_{s}\ |s,m_{s}\rangle \ }$$

$${\displaystyle \ S_{\pm }\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)\ }}\;|s,m_{s}\pm 1\rangle \ }$$

лестничные ${\displaystyle \ S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}\ }$

Уровни энергии из уравнения Дирака

В 1928 году Поль Дирак разработал релятивистское волновое уравнение , теперь называемое уравнением Дирака , которое правильно предсказало спиновый магнитный момент и в то же время рассматривало электрон как точечную частицу. При решении уравнения Дирака для энергетических уровней электрона в атоме водорода все четыре квантовых числа, включая s, возникли естественным образом и хорошо согласовались с экспериментом.

Полный спин атома или молекулы

Для некоторых атомов спины нескольких неспаренных электронов ( s1 , s2 _, ...) связаны, образуя _общее спиновое квантовое число S. ^{[10] [11]} Это происходит особенно в легких атомах (или в молекулах, состоящих только из легких атомов), когда спин-орбитальная связь слаба по сравнению со связью между спинами или связью между орбитальными угловыми моментами, ситуация, известная как L S- связь , потому что L и S — константы движения. Здесь L — квантовое число полного орбитального углового момента. ^[11]

Для атомов с четко определенным S кратность состояния определяется как 2 S + 1 . Это равно числу различных возможных значений полного (орбитального плюс спин) углового момента J для данной комбинации ( L , S ) при условии, что S ≤ L (типичный случай). Например, если S = ​​1, есть три состояния, которые образуют тройку . Собственные значения S _z для этих трех состояний равны +1ħ, 0 и −1ħ . ^[10] Термин «символ атомного состояния» указывает на его значения L , S и J.

Например, основные состояния как атома кислорода, так и молекулы дикислорода имеют два неспаренных электрона и, следовательно, являются триплетными состояниями. Атомное состояние описывается термином-символом ³ P, а молекулярное состояние - термином-символом ³ Σ.⁻
_г.

Ядерный спин

Атомные ядра также имеют спины. Ядерный спин I является фиксированным свойством каждого ядра и может быть целым или полуцелым числом. Компонента m _I ядерного спина, параллельная оси z , может иметь (2 I + 1) значения I , I –1, ..., –I . Например, ядро ^​​14 N имеет I = 1, так что существует 3 возможных ориентации относительно оси z , соответствующих состояниям m _I = +1, 0 и −1. ^[12]

Спины I различных ядер интерпретируются с помощью модели ядерной оболочки . Четно-четные ядра с четным числом протонов и нейтронов, такие как 12 C и 16 O , имеют нулевой спин. Ядра с нечетными массовыми числами имеют полуцелые спины, например3/ 2 за 7 ли , 1 /2для 13 С и5/ 2 для 17 O обычно соответствует угловому моменту последнего добавленного нуклона . Нечетные ядра с нечетным числом протонов и нейтронов имеют целые спины, например 3 для 10 B и 1 для ¹⁴ N. ^[13] Значения ядерного спина для данного изотопа можно найти в списках изотопов для каждого элемента. (См. изотопы кислорода , изотопы алюминия и т. д. и т. п.)

Смотрите также

• Квантовое число полного углового момента
• Ротационная спектроскопия
• Основная квантовая механика

Рекомендации

1. Полинг, Лайнус (1960). Природа химической связи и строение молекул и кристаллов: введение в современную структурную химию . Итака, ISBN штата Нью-Йорк 0-8014-0333-2. ОСЛК  545520.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Петруччи, Ральф Х.; Харвуд, Уильям С.; Херринг, Ф. Джеффри (2002). Общая химия (8-е изд.). Прентис Холл. п. 333. ИСБН 0-13-014329-4.
3. Уиттен, Кеннет В.; Галлей, Кеннет Д.; Дэвис, Раймонд Э. (1992). Общая химия (4-е изд.). Издательство Колледжа Сондерса. п. 196. ИСБН 0-03-072373-6.
4. Перрино, Чарльз Т.; Петерсон, Дональд Л. (1989). «Еще одно квантовое число?». Дж. Хим. Образование . 66 (8): 623. Бибкод :1989JChEd..66..623P. дои : 10.1021/ed066p623. ISSN  0021-9584.
5. Аткинс, Питер; де Паула, Хулио (2006). Физическая химия Аткинса (8-е изд.). У. Х. Фриман. п. 308. ИСБН 0-7167-8759-8.
6. Банвелл, Колин Н.; Маккэш, Элейн М. (1994). Основы молекулярной спектроскопии . МакГроу-Хилл. п. 135. ИСБН 0-07-707976-0.
7. Халперн, Пол (21 ноября 2017 г.). «Спин: квантовое свойство, которое должно было быть невозможным». Форбс . Начинается с грохота. Архивировано из оригинала 10 марта 2018 г. Проверено 10 марта 2018 г.
8. Бертолотти, Марио (2004). История лазера. ЦРК Пресс. стр. 150–153. ISBN 978-1-4200-3340-3. Проверено 22 марта 2017 г.
9. Дэвид Дж. Гриффитс, Введение в квантовую механику , Орегон, Рид-колледж, 2018, 166 стр. ISBN 9781107189638 . 
10. Мерцбахер, Э. (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Джон Уайли. стр. 430–431. ISBN 0-471-88702-1.
11. Аткинс, П .; де Паула, Дж. (2006). Физическая химия (8-е изд.). У. Х. Фриман. п. 352. ИСБН 0-7167-8759-8.
12. Аткинс, Питер; де Паула, Хулио (2006). Физическая химия Аткинса (8-е изд.). У. Х. Фриман. п. 515. ИСБН 0-7167-8759-8.
13. Коттингем, Западная Нью-Йорк; Гринвуд, Д. (1986). Введение в ядерную физику . Издательство Кембриджского университета. стр. 36, 57. ISBN. 0-521-31960-9.

Внешние ссылки

• Вайс, Майкл (2001). «Полное рассмотрение спина, включая происхождение, эволюцию теории спина и детали уравнений спина». Кафедра математики . Калифорнийский университет Риверсайд .