Полярный набор

Подмножество всех точек, ограниченное некоторой заданной точкой двойственного множества (в двойственном спаривании)

В функциональном и выпуклом анализе , а также смежных дисциплинах математики полярное множество — это специальное выпуклое множество, связанное с любым подмножеством векторного пространства, лежащим в двойственном пространстве. Биполярное множество подмножества является полярным множеством , но лежит в (не ). ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle A^{\circ },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$

Определения

Существует по крайней мере три конкурирующих определения поляры множества, происходящие из проективной геометрии и выпуклого анализа. ^{[1] [ необходима ссылка ]} В каждом случае определение описывает двойственность между определенными подмножествами пары векторных пространств над действительными или комплексными числами ( и часто являются топологическими векторными пространствами (TVS)). ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Если — векторное пространство над полем , то, если не указано иное, оно обычно, но не всегда, будет некоторым векторным пространством линейных функционалов на , а двойственное спаривание будет билинейным оценочным ( в точке ) отображением, определяемым формулой Если — топологическое векторное пространство , то пространство обычно, но не всегда, будет непрерывным двойственным пространством , и в этом случае двойственное спаривание снова будет оценочным отображением. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x).}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$

Обозначим замкнутый шар радиуса с центром в начале координат в базовом скалярном поле через ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.}$$

Функционально-аналитическое определение

Абсолютно полярный

Предположим, что есть пара . Полярная или абсолютная полярная подмножества — это множество: ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

где обозначает образ множества при отображении, определенном с помощью Если обозначает выпуклую сбалансированную оболочку , которая по определению является наименьшим выпуклым и сбалансированным подмножеством , содержащим , то ${\displaystyle \langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}$

Это аффинный сдвиг геометрического определения; он имеет полезную характеристику, заключающуюся в том, что функционально-аналитическая поляра единичного шара (в ) — это в точности единичный шар (в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Преполярный или абсолютный преполярный подмножество — это множество: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}}$$

Очень часто преполяр подмножества также называют полярным или абсолютным полярным и обозначают как ; на практике это повторное использование обозначений и слова «полярный» редко вызывает какие-либо проблемы (например, неоднозначность), и многие авторы даже не используют слово «преполярный». ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$

Биполярное подмножество часто обозначается как множество ; то есть, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}$ $${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}$$

Настоящий полярный

Действительная полярная подмножество — это множество : а действительная преполярная подмножество — это множество: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}$$

Как и в случае с абсолютным преполяром, действительный преполяр обычно называется действительным поляром и обозначается также как ^[2]. Важно отметить, что некоторые авторы (например, [Schaefer 1999]) определяют «поляр» как «действительный поляр» (а не «абсолютный поляр», как это сделано в этой статье) и используют для него обозначение (а не обозначение , которое используется в этой статье и в [Narici 2011]). ${\displaystyle B^{r}.}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A^{r}}$

Действительный биполяр подмножества иногда обозначается как — это множество ; оно равно -замыканию выпуклой оболочки [ ^2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{rr},}$ ${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}.}$

Для подмножества является выпуклым, -замкнутым и содержит ^[2] В общем случае возможно, что но равенство будет иметь место, если является сбалансированным . Кроме того, где обозначает сбалансированную оболочку [ ^2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle A^{\circ }.}$ ${\displaystyle A^{\circ }\neq A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}$ ${\displaystyle A^{r}.}$

Конкурирующие определения

Определение «полярного» множества не является общепринятым. Хотя в этой статье «полярный» определяется как «абсолютный полярный», некоторые авторы определяют «полярный» как «действительный полярный», а другие авторы используют еще и другие определения. Независимо от того, как автор определяет «полярный», обозначение почти всегда отражает его выбор определения (поэтому значение обозначения может различаться от источника к источнику). В частности, полярное множество иногда определяется как: где обозначение не является стандартным обозначением. ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle A^{|r|}}$

Теперь мы кратко обсудим, как эти различные определения соотносятся друг с другом и когда они эквивалентны.

Всегда имеет место, что и если является вещественным (или, что эквивалентно, если и являются векторными пространствами над ), то $${\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}.}$

Если — симметричное множество (то есть, или эквивалентно, ), то где, если вдобавок — вещественнозначное, то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -A=A}$ ${\displaystyle -A\subseteq A}$ ${\displaystyle A^{|r|}=A^{r}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.}$

Если и являются векторными пространствами над (так что является комплекснозначным) и если (где обратите внимание, что это подразумевает и ), то где если в дополнение к этому для всех действительных то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle iA\subseteq A}$ ${\displaystyle -A=A}$ ${\displaystyle iA=A}$ $${\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }}$$ ${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$

Таким образом, для того, чтобы все эти определения полярного множества согласовывались, достаточно, чтобы для всех скаляров единичной длины ^{[примечание 1]} (где это эквивалентно для всех скаляров единичной длины ). В частности, все определения полярного множества согласуются, когда является сбалансированным множеством (что часто, но не всегда, так), так что часто не имеет значения, какое из этих конкурирующих определений используется. Однако эти различия в определениях «полярного» множества иногда вносят тонкие или важные технические различия, когда не обязательно является сбалансированным. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sA=A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Специализация для канонической двойственности

Алгебраическое дуальное пространство

Если — любое векторное пространство, то пусть обозначает алгебраическое сопряженное пространство , которое является множеством всех линейных функционалов на . Векторные пространства всегда являются замкнутым подмножеством пространства всех -значных функций на относительно топологии поточечной сходимости, поэтому, когда наделено топологией подпространства, то становится Хаусдорфовым полным локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS). Для любого подмножества пусть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Если есть какие-либо подмножества, то и где обозначает выпуклую сбалансированную оболочку Для любого конечномерного векторного подпространства пусть обозначает евклидову топологию , на которой есть единственная топология, которая превращает в хаусдорфово топологическое векторное пространство (TVS). Если обозначает объединение всех замыканий , поскольку изменяется по всем конечномерным векторным подпространствам, то ( см. эту сноску ^{[примечание 2]} для объяснения). Если есть поглощающее подмножество, то по теореме Банаха–Алаоглу , есть слабо-* компактное подмножество ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}}$ ${\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau _{Y}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$

Если — любое непустое подмножество векторного пространства и если — любое векторное пространство линейных функционалов на (то есть векторное подпространство алгебраического сопряженного пространства ) , то действительное отображение ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle |\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }$     определяется     ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}$

является полунормой на Если тогда по определению супремума , так что отображение, определенное выше, не будет вещественнозначным и, следовательно, оно не будет полунормой. ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle \,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,}$ ${\displaystyle \,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,}$

Непрерывное двойное пространство

Предположим, что является топологическим векторным пространством (TVS) с непрерывным дуальным пространством Важный частный случай, когда и скобки представляют каноническое отображение: теперь рассматривается. Тройка называется каноническим спариванием, связанным с ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle Y:=X^{\prime }}$ $${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X.}$

Поляра подмножества относительно этого канонического спаривания равна: ${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ because }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Для любого подмножества , где обозначает замыкание в ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема Банаха–Алаоглу утверждает, что если является окрестностью начала координат в , то и это полярное множество является компактным подмножеством непрерывного сопряженного пространства , когда наделено слабой-* топологией (также известной как топология поточечной сходимости). ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Если выполняется для всех скаляров единичной длины, то можно заменить знаки абсолютного значения на (оператор действительной части) так, что: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Преполярный подмножество — это: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y=X^{\prime }}$ $${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}}$$

Если удовлетворяет для всех скаляров единичной длины, то можно заменить знаки абсолютных значений на так, чтобы: где ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle sB\subseteq B}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ $${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}}$$ ${\displaystyle B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.}$

Теорема о биполяре характеризует биполярность подмножества топологического векторного пространства.

Если — нормированное пространство и — открытый или замкнутый единичный шар в (или даже любое подмножество замкнутого единичного шара, которое содержит открытый единичный шар), то — замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве, когда наделено своей канонической сопряженной нормой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Геометрическое определение конусов

Полярный конус выпуклого конуса — это множество ${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}}$$

Это определение дает дуальность точек и гиперплоскостей, записывая последнюю как пересечение двух противоположно ориентированных полупространств. Полярная гиперплоскость точки является геометрическим местом ; двойственное отношение для гиперплоскости дает полярную точку этой гиперплоскости. ^{[3] [ необходима цитата ]} ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{y~:~\langle y,x\rangle =0\}}$

Некоторые авторы (по ошибке) называют двойной конус полярным конусом; в этой статье мы не будем следовать этому соглашению. ^[4]

Характеристики

Если не указано иное, будет спариванием . Топология является слабой-* топологией на , в то время как является слабой топологией на Для любого множества обозначает действительную полярную для , а обозначает абсолютную полярную для Термин «полярный» будет относиться к абсолютной полярной. ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A.}$

• (Абсолютная) поляра множества выпукла и сбалансирована . ^[5]
• Действительная поляра подмножества является выпуклой, но не обязательно сбалансированной; будет сбалансированной, если сбалансирована. ^[6] ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$
• Если для всех скаляров единичной длины, то ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$
• ${\displaystyle A^{\circ }}$замкнуто в слабой -*-топологии на . ^[3 ] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
• Подмножество слабо ограничено (т.е. -ограничено ) тогда и только тогда, когда является поглощающим в . ^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle Y}$
• Для двойственной пары , где — TVS, а — его непрерывное двойственное пространство, если ограничено, то поглощает в ^[5] Если локально выпукло и поглощает в, то ограничено в Более того , подмножество слабо ограничено тогда и только тогда, когда поглощает в ${\displaystyle \langle X,X^{\prime }\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• Биполяр множества — это замкнутая выпуклая оболочка , которая является наименьшим замкнутым и выпуклым множеством, содержащим как и ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A\cup \{0\},}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0.}$
  • Аналогично, двумерный конус конуса является -замкнутой конической оболочкой [ ^7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A.}$
• Если это база в начале координат для TVS, то ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).}$
• Если — локально выпуклый TVS, то поляры (взятые относительно ) любой базы 0-окрестностей образуют фундаментальное семейство равностепенно непрерывных подмножеств (т.е. для любого ограниченного подмножества существует окрестность начала координат в такая, что ). ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq S^{\circ }}$
  • Обратно, если — локально выпуклое TVS, то поляры (взятые относительно ) любого фундаментального семейства равностепенно непрерывных подмножеств образуют базу окрестностей начала координат в ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle X,X^{\#}\rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$
• Пусть — TVS с топологией Тогда — локально выпуклая топология TVS тогда и только тогда, когда — топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Последние два результата объясняют, почему равностепенно непрерывные подмножества непрерывного сопряженного пространства играют столь важную роль в современной теории функционального анализа: потому что равностепенно непрерывные подмножества содержат в себе всю информацию об исходной топологии локально выпуклого пространства. ${\displaystyle X}$

Установить отношения

• ${\displaystyle X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}}$^[6] и ${\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.}$
• Для всех скаляров и для всех действительных и ${\displaystyle s\neq 0,}$ ${\displaystyle (sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)}$ ${\displaystyle t\neq 0,}$ ${\displaystyle (tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{|r|}\right)}$ ${\displaystyle (tA)^{r}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{r}\right).}$
• ${\displaystyle A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.}$Однако для реальной поляры мы имеем ^[6] ${\displaystyle A^{rrr}\subseteq A^{r}.}$
• Для любого конечного набора множеств ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$ $${\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).}$$
• Если тогда и ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ },}$ ${\displaystyle B^{r}\subseteq A^{r},}$ ${\displaystyle B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.}$
  • Непосредственным следствием является то , что равенство обязательно выполняется, когда является конечным, и может не выполняться, если является бесконечным. ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$и ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.}$
• Если есть конус, то ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\right\}.}$
• Если есть семейство -замкнутых подмножеств, содержащих , то вещественная поляра есть замкнутая выпуклая оболочка ^[6] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in X,}$ ${\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle \cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).}$
• Если тогда ^[9] ${\displaystyle 0\in A\cap B}$ ${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).}$
• Для замкнутого выпуклого конуса в действительном векторном пространстве полярный конус является полярой ; то есть, где ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},}$$ ${\displaystyle \sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .}$

Смотрите также

• Теорема Банаха–Алаоглу  – Теорема в функциональном анализе
• Биполярная теорема  – Теорема в выпуклом анализе
• Полярный конус  – Концепции в выпуклом анализеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Полярная топология  – двойственная топология пространства равномерной сходимости на некоторой подгруппе ограниченных подмножеств
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

Примечания

1. Поскольку для того, чтобы все эти полные определения полярного множества совпадали, если является действительным, то достаточно, чтобы было симметричным, в то время как если является комплексным, то достаточно, чтобы для всех действительных ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ ${\displaystyle s.}$
2. Чтобы доказать, что пусть Если является конечномерным векторным подпространством тогда поскольку является непрерывным (как это верно для всех линейных функционалов на конечномерном хаусдорфовом TVS), то из и будучи замкнутым множеством следует, что Объединение всех таких множеств, следовательно, также является подмножеством что доказывает, что и поэтому В общем случае, если является любой TVS-топологией на тогда ${\displaystyle A^{\#}\subseteq \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#},}$ ${\displaystyle f\in A^{\#}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{Y}:\left(Y,\tau _{Y}\right)\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f(A)\subseteq B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)=f{\big \vert }_{Y}\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }(f(Y\cap A))\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }f(A)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }B_{1}=B_{1}.}$ ${\displaystyle B_{1},}$ ${\displaystyle f\left(A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right)\subseteq B_{1}}$ ${\displaystyle f\in \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\subseteq \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A.}$

Ссылки

1. Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Springer. стр. 215. doi :10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
3. Zălinescu, C. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ: World Scientific. стр. 7–8. ISBN 978-9812380678.
4. Рокафеллар, ТР (1970). Выпуклый анализ . Принстонский университет. С. 121-8. ISBN 978-0-691-01586-6.
5. Trèves 2006, стр. 195–201.
6. Шефер и Вольф 1999, стр. 123–128.
7. Никулеску, CP; Перссон, Ларс-Эрик (2018). Выпуклые функции и их приложения . CMS Books in Mathematics. Cham, Швейцария: Springer. стр. 94–5, 134–5. doi :10.1007/978-3-319-78337-6. ISBN 978-3-319-78337-6.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 472.
9. Jarchow 1981, стр. 148–150.

Библиография

• Jarchow, Hans (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.