Существование и единственность решений начальных задач
В математике , особенно при изучении дифференциальных уравнений , теорема Пикара-Линделефа дает набор условий, при которых начальная задача имеет единственное решение. Она также известна как теорема существования Пикара , теорема Коши-Липшица или теорема существования и единственности .
Позвольте быть замкнутым прямоугольником с внутренней частью . Пусть – функция, непрерывная по и липшицева по . Тогда существует такое ε > 0 , что начальная задача
имеет единственное решение на отрезке . [1] [2]
Эскиз доказательства
Доказательство основано на преобразовании дифференциального уравнения и применении банаховой теоремы о неподвижной точке . Интегрируя обе части, любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, должна также удовлетворять интегральному уравнению
Простое доказательство существования решения получается путем последовательных приближений. В этом контексте метод известен как итерация Пикара .
Набор
и
Затем можно показать, используя теорему Банаха о неподвижной точке , что последовательность «итераций Пикара» φ k сходится и что предел является решением проблемы. Применение леммы Грёнвалля к | φ ( т ) - ψ ( т )| , где φ и ψ — два решения, показывает, что φ ( t ) = ψ ( t ) , тем самым доказывая глобальную уникальность (локальная уникальность является следствием уникальности банаховой неподвижной точки).
Пусть решение уравнения с начальным условием. Начиная с итерации
так что :
и так далее. Очевидно, функции вычисляют разложение в ряд Тейлора нашего известного решения. Поскольку имеет полюсы, при этом сходится к локальному решению только не на всех .
Пример неединственности
Чтобы понять уникальность решений, рассмотрим следующие примеры. [3] Дифференциальное уравнение может иметь точку покоя. Например, для уравненияумри/дт= ay ( ), стационарным решением является y ( t ) = 0 , которое получается для начального условия y (0) = 0 . Начиная с другого начального условия y (0) = y 0 ≠ 0 , решение y ( t ) стремится к стационарной точке, но достигает ее только на пределе бесконечного времени, поэтому единственность решений (за все конечные времена) равна гарантировано.
Однако для уравнения, в котором стационарное решение достигается за конечное время, единственность не достигается. Это происходит, например, для уравненияумри/дт= да2/3, который имеет по крайней мере два решения, соответствующие начальному условию y (0) = 0, такие как: y ( t ) = 0 или
поэтому предыдущее состояние системы не определяется однозначно ее состоянием после t = 0. Теорема единственности не применима, поскольку функция f ( y ) = y2/3имеет бесконечный наклон при y = 0 и, следовательно, не является липшицевым, что нарушает условия теоремы.
Подробное доказательство
Позволять
где:
Это компактный цилиндр, в котором определено f . Позволять
это верхняя граница ( абсолютных значений ) наклонов функции. Наконец, пусть L — константа Липшица функции f относительно второй переменной.
Сначала покажем, что при определенных ограничениях на , принимает в себя пространство непрерывных функций с равномерной нормой. Здесь – замкнутый шар в пространстве непрерывных (и ограниченных ) функций, «центрированный» в постоянной функции . Следовательно, нам нужно показать, что
подразумевает
где - некоторое число, при котором достигается максимум. Последнее неравенство в цепочке верно, если мы наложим требование .
Теперь докажем, что этот оператор является сжимающим отображением.
Мы установили, что оператор Пикара является сжатием банаховых пространств с метрикой, индуцированной равномерной нормой. Это позволяет нам применить теорему Банаха о неподвижной точке и заключить, что оператор имеет единственную неподвижную точку. В частности, существует уникальная функция
такой, что Γ φ = φ . Эта функция является единственным решением задачи начального значения, действительным на интервале I a , где a удовлетворяет условию
Оптимизация интервала решения
Мы хотим убрать зависимость интервала Ia от L. С этой целью существует следствие теоремы Банаха о неподвижной точке: если оператор Tn является сжатием для некоторого n из N , то T имеет единственную неподвижную точку. Прежде чем применять эту теорему к оператору Пикара, напомним следующее:
Лемма — для всех
Доказательство. Индукция по м . Для базы индукции ( m = 1 ) мы это уже видели, поэтому предположим, что неравенство справедливо для m − 1 , тогда мы имеем:
Принимая супремум, мы видим это .
Это неравенство гарантирует , что для некоторых больших m
mα = min{ a ,б/М}
В конечном итоге этот результат показывает, что интервал определения решения не зависит от константы Липшица поля, а только от интервала определения поля и его максимального абсолютного значения.
Другие теоремы существования
Теорема Пикара–Линделёфа показывает, что решение существует и единственно. Теорема существования Пеано показывает только существование, а не единственность, но предполагает только то, что f непрерывна по y , а не липшицева непрерывна . Например, правая часть уравненияумри/дт= у1/3с начальным условием y (0) = 0 непрерывна, но не липшицева. Действительно, это уравнение не уникально, а имеет как минимум три решения: [4]
.
Еще более общей является теорема существования Каратеодори , которая доказывает существование (в более общем смысле) при более слабых условиях на f . Хотя эти условия являются только достаточными, существуют также необходимые и достаточные условия для единственности решения начальной задачи, такие как теорема Окамуры . [5]
Линделеф, Э. (1894). «Применение метода последовательных приближений к différentielles ordinaires du premier ordre». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 118 : 454–7.(В этой статье Линделеф обсуждает обобщение более раннего подхода Пикара.)
Фиксированные точки и алгоритм Пикара, взято с http://www.krellinst.org/UCES/archive/classes/CNA/dir2.6/uces2.6.html.
Грант, Кристофер (1999). «Лекция 4: Теорема Пикара-Линделёфа» (PDF) . Математика 634: Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Департамент математики Университета Бригама Янга.