S-матрица

Амплитуда рассеяния

В физике S -матрица или матрица рассеяния связывает начальное и конечное состояние физической системы, подвергающейся процессу рассеяния . Она используется в квантовой механике , теории рассеяния и квантовой теории поля (КТП).

Более формально, в контексте QFT, S -матрица определяется как унитарная матрица, соединяющая множества асимптотически свободных состояний частиц ( in-states и out-states ) в гильбертовом пространстве физических состояний. Многочастичное состояние называется свободным (или невзаимодействующим), если оно преобразуется при преобразованиях Лоренца как тензорное произведение , или прямое произведение на физическом языке, одночастичных состояний , как предписано уравнением (1) ниже. Асимптотически свободное тогда означает, что состояние имеет этот вид либо в далеком прошлом, либо в далеком будущем.

В то время как S -матрица может быть определена для любого фона ( пространства-времени ), который асимптотически разрешим и не имеет горизонтов событий , она имеет простую форму в случае пространства Минковского . В этом особом случае пространство Гильберта является пространством неприводимых унитарных представлений неоднородной группы Лоренца ( группы Пуанкаре ); S - матрица является оператором эволюции между (далеким прошлым) и (далеким будущим). Она определена только в пределе нулевой плотности энергии (или бесконечного расстояния разделения частиц). ${\displaystyle t=-\infty }$ ${\displaystyle t=+\infty }$

Можно показать, что если квантовая теория поля в пространстве Минковского имеет массовую щель , то состояние в асимптотическом прошлом и в асимптотическом будущем описываются пространствами Фока .

История

Начальные элементы теории S -матрицы найдены в статье Поля Дирака 1927 года «О квантовой механике распределения». ^{[1] [2]} S - матрица была впервые должным образом введена Джоном Арчибальдом Уилером в статье 1937 года «О математическом описании легких ядер методом резонирующей групповой структуры». ^[3] В этой статье Уиллер ввел матрицу рассеяния — унитарную матрицу коэффициентов, связывающую «асимптотическое поведение произвольного частного решения [интегральных уравнений] с асимптотическим поведением решений стандартной формы», ^[4] но не развил ее полностью.

В 1940-х годах Вернер Гейзенберг независимо разработал и обосновал идею S -матрицы. Из-за проблемных расхождений, присутствовавших в квантовой теории поля в то время, Гейзенберг был мотивирован выделить существенные черты теории , которые не будут затронуты будущими изменениями по мере развития теории. При этом он пришел к введению унитарной «характеристической» S -матрицы. ^[4]

Однако сегодня точные результаты S -матрицы важны для конформной теории поля , интегрируемых систем и нескольких других областей квантовой теории поля и теории струн . S -матрицы не заменяют теоретико-полевой обработки, а скорее дополняют ее конечные результаты.

Мотивация

В физике частиц высоких энергий интерес представляет вычисление вероятности различных результатов в экспериментах по рассеянию . Эти эксперименты можно разбить на три этапа:

1. Заставить совокупность входящих частиц столкнуться (обычно это два вида частиц с высокими энергиями).
2. Позволяя входящим частицам взаимодействовать. Эти взаимодействия могут изменить типы присутствующих частиц (например, если электрон и позитрон аннигилируют, они могут произвести два фотона ).
3. Измерение полученных исходящих частиц.

Процесс, посредством которого входящие частицы преобразуются (через их взаимодействие ) в исходящие частицы, называется рассеянием . Для физики элементарных частиц физическая теория этих процессов должна быть способна вычислять вероятность для различных исходящих частиц, когда различные входящие частицы сталкиваются с различными энергиями.

S -матрица в квантовой теории поля достигает именно этого. Предполагается, что приближение малой плотности энергии справедливо в этих случаях .

Использовать

S -матрица тесно связана с амплитудой вероятности перехода в квантовой механике и сечениями различных взаимодействий; элементы (отдельные числовые записи) в S -матрице известны как амплитуды рассеяния . Полюса S -матрицы в плоскости комплексной энергии отождествляются со связанными состояниями , виртуальными состояниями или резонансами . Разрезы ветвей S - матрицы в плоскости комплексной энергии связаны с открытием канала рассеяния .

В гамильтоновом подходе к квантовой теории поля S -матрица может быть рассчитана как упорядоченная по времени экспонента интегрированного гамильтониана в картине взаимодействия ; она также может быть выражена с использованием интегралов Фейнмана по траекториям . В обоих случаях пертурбативный расчет S -матрицы приводит к диаграммам Фейнмана .

В теории рассеяния S - матрица является оператором, отображающим состояния свободной частицы в состояниях свободной частицы ( каналы рассеяния ) в картине Гейзенберга . Это очень полезно, поскольку часто мы не можем точно описать взаимодействие (по крайней мере, не самые интересные из них).

В одномерной квантовой механике

Сначала для наглядности рассматривается простой прототип, в котором S -матрица является двумерной. В нем частицы с резкой энергией E рассеиваются от локализованного потенциала V в соответствии с правилами одномерной квантовой механики. Уже эта простая модель демонстрирует некоторые черты более общих случаев, но с ней легче работать.

Каждая энергия E дает матрицу S = S ( E ) , которая зависит от V . Таким образом, общая S -матрица может быть, образно говоря, визуализирована в подходящем базисе как «непрерывная матрица» с каждым элементом, равным нулю, за исключением 2 × 2 -блоков вдоль диагонали для заданного V .

Определение

Рассмотрим локализованный одномерный потенциальный барьер V ( x ) , подвергаемый воздействию пучка квантовых частиц с энергией E. Эти частицы падают на потенциальный барьер слева направо.

Решения уравнения Шредингера вне потенциального барьера представляют собой плоские волны, заданные для области слева от потенциального барьера и для области справа от потенциального барьера, где — волновой вектор . Зависимость от времени не нужна в нашем обзоре и поэтому опущена. Член с коэффициентом A представляет входящую волну, тогда как член с коэффициентом C представляет выходящую волну. B обозначает отражающую волну. Поскольку мы задаем входящую волну движущейся в положительном направлении (приходящую слева), D равен нулю и может быть опущен. $${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$$ $${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}}$$ $${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$$

«Амплитуда рассеяния», т.е. переходное перекрытие исходящих волн с входящими волнами, является линейной зависимостью, определяющей S -матрицу, $${\displaystyle {\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.}$$

Вышеуказанное соотношение можно записать в виде , где Элементы S полностью характеризуют рассеивающие свойства потенциального барьера V ( x ) . $${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$$ $${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}={\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{\rm {in}}={\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}$$

Унитарная собственность

Унитарное свойство S -матрицы напрямую связано с сохранением тока вероятности в квантовой механике .

Плотность тока вероятности J волновой функции ψ ( x ) определяется как Плотность тока вероятности слева от барьера равна, а плотность тока вероятности справа от барьера равна $${\displaystyle J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right).}$$ ${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)}$ $${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right),}$$ ${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)}$ $${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right).}$$

Для сохранения тока вероятности J _L = J _R. Это означает, что S -матрица является унитарной матрицей .

Доказательство

$${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\rm {L}}=J_{\rm {R}}\\&|A|^{2}-|B|^{2}=|C|^{2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _{\text{out}}^{\dagger }\Psi _{\text{out}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&\Psi _{\text{in}}^{\dagger }S^{\dagger }S\Psi _{\text{in}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&S^{\dagger }S=I\\\end{aligned}}}$$

Симметрия обращения времени

Если потенциал V ( x ) является действительным, то система обладает симметрией обращения времени . При этом условии, если ψ ( x ) является решением уравнения Шредингера, то ψ *( x ) также является решением.

Обращенное во времени решение дается выражением для области слева от потенциального барьера и для области справа от потенциального барьера, где члены с коэффициентами B * , C * представляют входящую волну, а члены с коэффициентами A * , D * представляют исходящую волну. $${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}$$ $${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}$$

Они снова связаны S -матрицей, то есть Теперь эти соотношения вместе дают условие Это условие в сочетании с соотношением унитарности подразумевает, что S -матрица симметрична, как результат симметрии относительно обращения времени, $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$$
$${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*}.}$$ $${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*},\quad \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$$ $${\displaystyle S^{*}S=I}$$ $${\displaystyle S^{T}=S.}$$

Объединив симметрию и унитарность, S-матрицу можно выразить в виде: с и . Таким образом, S-матрица определяется тремя действительными параметрами. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{i\varphi }e^{i\delta }\cdot r&e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}\\e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{i\varphi }e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}=e^{i\varphi }{\begin{pmatrix}e^{i\delta }\cdot r&{\sqrt {1-r^{2}}}\\{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$ ${\displaystyle r\in [0;1]}$

Матрица переноса

Матрица переноса связывает плоские волны и на правой стороне рассеивающего потенциала с плоскими волнами и на левой стороне: ^[5] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Ce^{ikx}}$ ${\displaystyle De^{-ikx}}$ ${\displaystyle Ae^{ikx}}$ ${\displaystyle Be^{-ikx}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}}$$и ее компоненты могут быть получены из компонентов S-матрицы с помощью: ^[6] и , при этом предполагается симметрия относительно обращения времени. ${\displaystyle M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}}$ ${\displaystyle M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}}$

В случае симметрии относительно обращения времени матрица переноса может быть выражена тремя действительными параметрами: ${\displaystyle \mathbf {M} }$

$${\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}}$$ с и (в случае r = 1 не было бы связи между левой и правой стороной) ${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$ ${\displaystyle r\in [0;1]}$

Конечный квадратный колодец

Одномерная нерелятивистская задача с симметрией относительно обращения времени для частицы с массой m, которая приближается к (статической) конечной прямоугольной яме , имеет потенциальную функцию V с Рассеяние можно решить путем разложения волнового пакета свободной частицы на плоские волны с волновыми числами для плоской волны, приходящей (далеко) с левой стороны или аналогично (далеко) с правой стороны. $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{for}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{and}}\\[1ex]0&{\text{for}}~~|x|>a\end{cases}}}$$ ${\displaystyle A_{k}\exp(ikx)}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle D_{k}\exp(-ikx)}$

S-матрица для плоской волны с волновым числом k имеет решение: ^[6] и  ; следовательно , и поэтому и в этом случае. $${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}}$$ ${\displaystyle S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}}$ ${\displaystyle e^{i\delta }=\pm i}$ ${\displaystyle -e^{-i\delta }=e^{i\delta }}$ ${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

Где — (увеличенное) волновое число плоской волны внутри квадратной ямы, поскольку собственное значение энергии , связанное с плоской волной, должно оставаться постоянным: ${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}}$

Передача - это ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$

В случае тогда и поэтому и т.е. плоская волна с волновым числом k проходит яму без отражения, если для ${\displaystyle \sin(2la)=0}$ ${\displaystyle \cos(2la)=\pm 1}$ ${\displaystyle S_{11}=S_{22}=0}$ ${\displaystyle |S_{21}|=|S_{12}|=1}$ ${\displaystyle k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Конечный квадратный барьер

Квадратный барьер похож на квадратный колодец с той разницей, что для . ${\displaystyle V(x)=+V_{0}>0}$ ${\displaystyle |x|\leq a}$

В зависимости от собственного значения энергии плоских волн (с волновыми числами k и соответственно − k ) вдали от барьера возможны три различных случая : ${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

• ${\displaystyle E_{k}>V_{0}}$: В этом случае формулы для имеют тот же вид, что и в случае квадратной ямы, а передача равна ${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$
• ${\displaystyle E_{k}=V_{0}}$: В этом случае волновая функция имеет свойство внутри барьера и ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}=0}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi ''(x)=0}$

  ${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{1-ika}}}$ и ${\displaystyle S_{11}=S_{22}={\frac {-ika\cdot \exp(-2ika)}{1-ika}}}$

  Передача такова: Этот промежуточный случай не является единичным, это предел ( соотв. ) с обеих сторон. ${\displaystyle T_{k}={\frac {1}{1+k^{2}a^{2}}}}$ ${\displaystyle l\to 0}$ ${\displaystyle \kappa \to 0}$
• ${\displaystyle E_{k}<V_{0}}$:В этом случае — мнимое число. Поэтому волновая функция внутри барьера имеет компоненты и с . ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle e^{\kappa x}}$ ${\displaystyle e^{-\kappa x}}$ ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}}}}$

  Решение для S-матрицы: ^[7] ${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cosh(2\kappa a)-i\sinh(2\kappa a){\frac {k^{2}-{\kappa }^{2}}{2k\kappa }}}}}$

  и аналогично: и также в этом случае . ${\displaystyle S_{11}=-i{\frac {k^{2}+\kappa ^{2}}{2k\kappa }}\sinh(2\kappa a)\cdot S_{12}}$ ${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

  Передача — . ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sinh(2\kappa a))^{2}{\frac {(k^{2}+\kappa ^{2})^{2}}{4k^{2}\kappa ^{2}}}}}}$

Коэффициент пропускания и коэффициент отражения

Коэффициент пропускания слева от потенциального барьера равен, когда D = 0 , $${\displaystyle T_{\rm {L}}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}$$

Коэффициент отражения слева от потенциального барьера равен, когда D = 0 , $${\displaystyle R_{\rm {L}}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}$$

Аналогично, коэффициент передачи справа от потенциального барьера равен, когда A = 0 , $${\displaystyle T_{\rm {R}}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}$$

Коэффициент отражения справа от потенциального барьера равен при A = 0 : $${\displaystyle R_{\rm {R}}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}$$

Соотношения между коэффициентами пропускания и отражения имеют вид и Это тождество является следствием свойства унитарности S -матрицы. $${\displaystyle T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1}$$ $${\displaystyle T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.}$$

При наличии симметрии относительно обращения времени S-матрица симметрична и, следовательно, и . ${\displaystyle T_{\rm {L}}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}=T_{\rm {R}}}$ ${\displaystyle R_{\rm {L}}=R_{\rm {R}}}$

Оптическая теорема в одном измерении

В случае свободных частиц V ( x ) = 0 , S -матрица равна ^[8] Однако всякий раз , когда V ( x ) отлично от нуля, происходит отклонение S -матрицы от вышеуказанной формы, к Это отклонение параметризуется двумя комплексными функциями энергии, r и t . Из унитарности также следует связь между этими двумя функциями, $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).}$$

Аналог этого тождества в трех измерениях известен как оптическая теорема .

Определение в квантовой теории поля

Интерактивная картинка

Простой способ определения S -матрицы начинается с рассмотрения картины взаимодействия . ^[9] Пусть гамильтониан H разделен на свободную часть H ₀ и взаимодействие V , H = H ₀ + V . В этой картине операторы ведут себя как операторы свободного поля, а векторы состояния имеют динамику в соответствии с взаимодействием V . Пусть обозначает состояние, которое развилось из свободного начального состояния. Элемент S -матрицы затем определяется как проекция этого состояния на конечное состояние Таким образом $${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$$ $${\displaystyle \left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$ $${\displaystyle \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|.}$$ $${\displaystyle S_{\rm {fi}}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|S\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$

где S — S-оператор . Большим преимуществом этого определения является то, что оператор эволюции во времени U , развивающий состояние в картине взаимодействия, формально известен, ^[10] где T обозначает упорядоченное по времени произведение . Выраженное в этом операторе, из которого Расширение с использованием знания об U дает ряд Дайсона , или, если V приходит как плотность гамильтониана , $${\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},}$$ $${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$ $${\displaystyle S=U(\infty ,-\infty ).}$$ $${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right].}$$

Будучи специальным типом оператора эволюции во времени, S является унитарным. Для любого начального состояния и любого конечного состояния можно найти $${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$

Этот подход несколько наивен, поскольку потенциальные проблемы заметаются под ковер. ^[11] Это сделано намеренно. Подход работает на практике, и некоторые технические вопросы рассматриваются в других разделах.

В и из штатов

Здесь используется немного более строгий подход для решения потенциальных проблем, которые были проигнорированы в подходе с использованием картины взаимодействия, описанном выше. Окончательный результат, конечно, такой же, как и при использовании более быстрого пути. Для этого необходимы понятия состояний «в» и «вне». Они будут разработаны двумя способами: из вакуума и из состояний свободных частиц. Излишне говорить, что эти два подхода эквивалентны, но они освещают вопросы с разных сторон.

Из вакуума

Если a ^† ( k ) — оператор рождения , то его эрмитово сопряженное выражение является оператором уничтожения и разрушает вакуум, $${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$$

В нотации Дирака , определяем как вакуумное квантовое состояние , т. е. состояние без реальных частиц. Звездочка означает, что не все вакуумы обязательно равны, и, конечно, не равны нулевому состоянию гильбертова пространства 0 . Все вакуумные состояния предполагаются инвариантными относительно Пуанкаре , инвариантными относительно трансляций, вращений и усилений, ^[11] формально, где P ^μ — генератор трансляции в пространстве и времени, а M ^μν — генератор преобразований Лоренца . Таким образом, описание вакуума не зависит от системы отсчета. С состояниями in и out, которые необходимо определить, связаны операторы in и out полей (они же поля ) Φ _i и Φ _o . Здесь внимание сосредоточено на простейшем случае — случае скалярной теории , чтобы проиллюстрировать с наименьшим возможным загромождением обозначений. In и out поля удовлетворяют свободному уравнению Клейна–Гордона . Предполагается, что эти поля имеют те же самые равные временные коммутационные соотношения (ETCR), что и свободные поля, где π _{i , j} — поле, канонически сопряженное с Φ _{i , j} . С полями in и out связаны два набора операторов создания и уничтожения, a ^† _i ( k ) и a ^† _f ( k ) , действующих в одном и том же гильбертовом пространстве [ ^12] на двух различных полных наборах ( пространства Фока ; начальное пространство i , конечное пространство f ). Эти операторы удовлетворяют обычным правилам коммутации, $${\displaystyle |*,0\rangle }$$ $${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0}$$ $${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$$

Действие операторов создания на их соответствующие вакуумы и состояния с конечным числом частиц в состояниях in и out задается выражением , где вопросы нормализации были проигнорированы. См. следующий раздел для подробного описания того, как нормализуется общее состояние n -частиц . Начальное и конечное пространства определяются выражением $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}$$

Предполагается, что асимптотические состояния имеют хорошо определенные свойства преобразования Пуанкаре, т.е. предполагается, что они преобразуются как прямое произведение одночастичных состояний. ^[13] Это характеристика невзаимодействующего поля. Из этого следует, что асимптотические состояния являются собственными состояниями оператора импульса P ^μ , ^[11] В частности, они являются собственными состояниями полного гамильтониана, $${\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$$ $${\displaystyle H=P^{0}.}$$

Обычно постулируется, что вакуум стабилен и уникален, ^{[11] [примечание 1]} $${\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$$

Предполагается, что взаимодействие включается и выключается адиабатически.

Гейзенберг фотография

В дальнейшем используется картина Гейзенберга . В этой картине состояния не зависят от времени. Таким образом, вектор состояния Гейзенберга представляет собой полную историю пространства-времени системы частиц. ^[13] Маркировка состояний in и out относится к асимптотическому виду. Состояние Ψ _{α , in} характеризуется тем, что при t → −∞ содержимое частиц представляет собой то, что в совокупности представлено α . Аналогично, состояние Ψ _{β , out} будет иметь содержимое частиц, представленное β при t → +∞ . Используя предположение, что состояния in и out, а также взаимодействующие состояния, находятся в одном и том же гильбертовом пространстве, и предполагая полноту нормализованных состояний in и out (постулат асимптотической полноты ^[11] ), начальные состояния можно разложить в базисе конечных состояний (или наоборот). Явное выражение будет дано позже после введения дополнительных обозначений и терминологии. Коэффициенты разложения — это именно элементы S -матрицы, которые будут определены ниже.

В то время как векторы состояния постоянны во времени в картине Гейзенберга, физические состояния, которые они представляют, не являются . Если обнаружено, что система находится в состоянии Ψ в момент времени t = 0 , то она будет обнаружена в состоянии U ( τ )Ψ = e ^{− iHτ} Ψ в момент времени t = τ . Это не (обязательно) тот же самый вектор состояния Гейзенберга, но это эквивалентный вектор состояния, что означает, что при измерении он будет обнаружен как одно из конечных состояний из расширения с ненулевым коэффициентом. Позволяя τ изменяться, можно увидеть, что наблюдаемый Ψ (не измеренный) действительно является вектором состояния картины Шредингера . Повторяя измерение достаточно много раз и усредняя, ​​можно сказать, что тот же самый вектор состояния действительно находится в момент времени t = τ , что и в момент времени t = 0 . Это отражает расширение выше состояния in в состояния out.

Из состояний свободных частиц

Для этой точки зрения следует рассмотреть, как выполняется архетипический эксперимент по рассеянию. Начальные частицы готовятся в четко определенных состояниях, где они находятся так далеко друг от друга, что не взаимодействуют. Их каким-то образом заставляют взаимодействовать, и конечные частицы регистрируются, когда они находятся так далеко друг от друга, что перестают взаимодействовать. Идея состоит в том, чтобы искать состояния в картине Гейзенберга, которые в далеком прошлом имели вид состояний свободных частиц. Это будут состояния in. Аналогично, out будет состоянием, которое в далеком будущем будет иметь вид состояния свободных частиц. ^[13]

Будут использоваться обозначения из общей ссылки для этого раздела, Weinberg (2002). Общее невзаимодействующее многочастичное состояние задается как где $${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$$

• p — импульс,
• σ — спиновая z-компонента или, в безмассовом случае, спиральность ,
• n — вид частиц.

Эти состояния нормализуются как Перестановки работают как таковые; если s ∈ S _k является перестановкой k объектов (для k -частичного состояния) таким образом, что тогда получается ненулевой член. Знак плюс, если только s не включает нечетное число фермионных транспозиций, в этом случае он минус. Обозначение обычно сокращается, позволяя одной греческой букве обозначать весь набор, описывающий состояние. В сокращенной форме нормализация становится При интегрировании по состояниям свободных частиц записывают в этой нотации , где сумма включает только члены, такие, что никакие два члена не равны по модулю перестановки индексов типа частиц. Предполагается, что искомые наборы состояний являются полными . Это выражается как что можно перефразировать как где для каждого фиксированного α правая часть является оператором проекции на состояние α . При неоднородном преобразовании Лоренца (Λ, a ) поле преобразуется в соответствии с правилом $${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$$ $${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$$ $${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$ $${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$$ $${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$$ $${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$$

где W (Λ, p ) - вращение Вигнера , а D ^{( j )} - (2 j + 1) -мерное представление SO(3) . Полагая Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0) , для которого U равно exp( iHτ ) , в (1) , немедленно следует, что искомые состояния in и out являются собственными состояниями полного гамильтониана, которые обязательно не взаимодействуют из-за отсутствия смешанных членов энергии частиц. Обсуждение в разделе выше предполагает, что состояния in Ψ ⁺ и out Ψ ⁻ должны быть такими, чтобы для больших положительных и отрицательных τ имели вид соответствующего пакета, представленного g , состояний свободных частиц, g предполагается гладким и соответствующим образом локализованным по импульсу. Волновые пакеты необходимы, иначе временная эволюция даст только фазовый множитель, указывающий на свободные частицы, что не может иметь места. Правая часть следует из того, что состояния in и out являются собственными состояниями гамильтониана согласно вышеизложенному. Чтобы формализовать это требование, предположим, что полный гамильтониан H можно разделить на два члена, гамильтониан свободной частицы H ₀ и взаимодействие V , H = H ₀ + V , так что собственные состояния Φ _γ H 0 имеют тот же вид, что и состояния in и out относительно свойств нормализации и преобразования Лоренца _, $${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha \ e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$$ $${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$$ $${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$

Состояния in и out определяются как собственные состояния полного гамильтониана, удовлетворяющие для τ → −∞ или τ → +∞ соответственно. Определим тогда Это последнее выражение будет работать только с использованием волновых пакетов. Из этих определений следует, что состояния in и out нормализованы так же, как и состояния свободных частиц, и три набора унитарно эквивалентны. Теперь перепишем уравнение собственных значений, где были добавлены члены ± iε , чтобы сделать оператор в левой части обратимым. Поскольку состояния in и out сводятся к состояниям свободных частиц при V → 0 , поместим в правую часть, чтобы получить Затем используем полноту состояний свободных частиц, чтобы окончательно получить Здесь H ₀ было заменено его собственным значением в состояниях свободных частиц. Это уравнение Липпмана–Швингера . $${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$ $${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$$ $${\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$$ $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$$ $${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$$ $${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$ $${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$$ $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.}$$ $${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$$ $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$$

В штатах выражено как вне штатов

Начальные состояния можно разложить по базису конечных состояний (или наоборот). Используя соотношение полноты, где | C _m | ² — вероятность того, что взаимодействие преобразуется в По обычным правилам квантовой механики, и можно записать Коэффициенты разложения — это в точности элементы S -матрицы, которые будут определены ниже. $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$$ $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$$ $${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$$ $${\displaystyle \left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}.}$$ $${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$$ $${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}$$

TheС-матрица

S - матрица теперь определяется как ^[13] $${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle \mathrm {f} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle ,\qquad |\mathrm {f} ,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {f}},\quad |\mathrm {i} ,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {i}}.}$$

Здесь α и β — это сокращения, которые представляют содержимое частиц, но подавляют отдельные метки. С S -матрицей связан S-оператор S , определяемый как ^[13] $${\displaystyle \langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },}$$

где Φ _γ — состояния свободных частиц. ^{[13] [nb 2]} Это определение соответствует прямому подходу, используемому в картине взаимодействия. Также, из-за унитарной эквивалентности, $${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}$$

В качестве физического требования S должен быть унитарным оператором . Это утверждение о сохранении вероятности в квантовой теории поля. Но по полноте тогда S является унитарным преобразованием из внутренних состояний в внешние состояния. Лоренц-инвариантность является еще одним важным требованием к S -матрице. ^{[13] [nb 3]} S-оператор представляет собой квантовое каноническое преобразование начальных внутренних состояний в конечные внешние состояния. Более того, S оставляет вакуумное состояние инвариантным и преобразует поля внутреннего пространства в поля внешнего пространства, [ ^{nb 4]} $${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .}$$ $${\displaystyle S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,}$$ $${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$$ $${\displaystyle \phi _{\mathrm {f} }=S\phi _{\mathrm {i} }S^{-1}~.}$$

В терминах операторов создания и уничтожения это становится, следовательно, Аналогичное выражение справедливо, когда S действует влево на выходном состоянии. Это означает, что S -матрица может быть выражена как $${\displaystyle a_{\rm {f}}(p)=Sa_{\rm {i}}(p)S^{-1},a_{\rm {f}}^{\dagger }(p)=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(p)S^{-1},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S|\mathrm {i} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]&=a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \mathrm {o} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {i} ,\beta |S|\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {o} ,\beta |S|\mathrm {o} ,\alpha \rangle .}$$

Если S правильно описывает взаимодействие, эти свойства также должны быть верны:

• Если система состоит из одной частицы в собственном состоянии импульса | k ⟩ , то S | k ⟩ = | k ⟩ . Это следует из приведенного выше расчета как частный случай.
• Элемент S -матрицы может быть ненулевым только тогда, когда выходное состояние имеет тот же полный импульс , что и входное состояние. Это следует из требуемой лоренц-инвариантности S -матрицы.

Оператор эволюцииУ

Определим зависящий от времени оператор создания и уничтожения следующим образом: для полей, где $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}^{\dagger }{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\\[1ex]a{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\,,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \phi _{\rm {f}}=U^{-1}(\infty )\phi _{\rm {i}}U(\infty )=S^{-1}\phi _{\rm {i}}S~,}$$ $${\displaystyle S=e^{i\alpha }\,U(\infty ).}$$

Мы допускаем разность фаз, определяемую как, поскольку для S , $${\displaystyle e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,}$$ $${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\left\langle 0|0\right\rangle =1~.}$$

Подставляя явное выражение для U , получаем , где — часть взаимодействия гамильтониана, а — упорядочение по времени. $${\displaystyle S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,}$$ ${\displaystyle H_{\rm {int}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

При рассмотрении можно заметить, что эта формула не является явно ковариантной.

Серия Дайсон

Наиболее широко используемым выражением для S -матрицы является ряд Дайсона. Он выражает оператор S -матрицы как ряд :

$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}$$

где:

• ${\displaystyle T[\cdots ]}$обозначает упорядочение по времени ,
• ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)}$обозначает плотность гамильтониана взаимодействия , которая описывает взаимодействия в теории.

Не-С-матрица

Поскольку преобразование частиц из черной дыры в излучение Хокинга не могло быть описано с помощью S -матрицы, Стивен Хокинг предложил «не- S -матрицу», для которой он использовал знак доллара ($), и которая поэтому также была названа «долларовой матрицей». ^[14]

Смотрите также

• Математический портал

• Диаграмма Фейнмана
• Формула снижения LSZ
• Теорема Вика
• Теорема Хаага
• Интерактивная картинка
• Начальное и конечное состояние излучения

Замечания

1. Это неверно, если изучается открытая система. Под влиянием внешнего поля внутренний и внешний вакуумы могут различаться, поскольку внешнее поле может производить частицы.
2. Здесь предполагается, что полный гамильтониан H можно разделить на два члена: гамильтониан свободной частицы H ₀ и взаимодействие V , H = H ₀ + V , так что собственные состояния Φ _γ H ₀ имеют тот же вид, что и внутренние и внешние состояния относительно нормализации и свойств преобразования Лоренца. См. Weinberg (2002), стр. 110 .
3. Если Λ является (неоднородным) собственным ортохронным преобразованием Лоренца, то теорема Вигнера гарантирует существование унитарного оператора U (Λ), действующего либо на H _{i ,} либо на H _f . Говорят, что теория является лоренц-инвариантной, если один и тот же U (Λ) действует на H _i и H _f . Используя унитарность U (Λ) , S _βα = ⟨ i , β | f , α ⟩ = ⟨ i , β | U (Λ) ^† U (Λ)| f , α ⟩ . Правую часть можно разложить, используя знание того, как преобразуются невзаимодействующие состояния, чтобы получить выражение, и это выражение следует рассматривать как определение того, что означает для S -матрицы быть лоренц-инвариантной. См. Weinberg (2002), уравнение 3.3.1 дает явную форму.
4. Здесь применяется постулат асимптотической полноты . Состояния in и out охватывают одно и то же гильбертово пространство, которое, как предполагается, согласуется с гильбертовым пространством взаимодействующей теории. Это не тривиальный постулат. Если частицы могут быть постоянно объединены в связанные состояния, структура гильбертова пространства меняется. См. Greiner & Reinhardt 1996, раздел 9.2.

Примечания

1. Дирак, Поль (1 августа 1927). «Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 44 (8): 585–595. Бибкод : 1927ZPhy...44..585D. дои : 10.1007/BF01451660. ISSN  0044-3328.
2. Санюк, Валерий И.; Суханов, Александр Д. (2003-09-01). «Дирак в физике 20 века: оценка столетия». Успехи физики . 46 (9): 937–956. doi :10.1070/PU2003v046n09ABEH001165. ISSN  1063-7869.
3. Джон Арчибальд Уилер, «О математическом описании легких ядер методом резонирующей групповой структуры», Phys. Rev. 52, 1107–1122 (1937).
4. Джагдиш Мехра , Хельмут Рехенберг , Историческое развитие квантовой теории (страницы 990 и 1031) Springer, 2001 ISBN 0-387-95086-9 , ISBN 978-0-387-95086-0  
5. "Формулировка матричной передачи теории рассеяния в произвольных размерностях" (PDF) . gemma.ujf.cas.cz . Получено 29 октября 2022 г. .
6. "EE201/MSE207 Lecture 6" (PDF) . intra.ece.ucr.edu . Получено 29 октября 2022 г. .
7. "Потенциальный барьер". quantummechanics.ucsd.edu . Получено 1 ноября 2022 г. .
8. Merzbacher 1961 Ch 6. Более распространенное соглашение, используемое ниже, состоит в том, чтобы привести S -матрицу к тождеству в случае свободной частицы.
9. Грейнер и Рейнхардт 1996 Раздел 8.2.
10. Грейнер и Рейнхардт 1996 Уравнение 8.44.
11. Greiner & Reinhardt 1996 Глава 9.
12. Weinberg 2002 Глава 3. См. особое замечание в начале раздела 3.2.
13. Вайнберг 2002 Глава 3.
14. Леонард Сасскинд , Война черной дыры , глава 11.

Ссылки

• Л. Д. Ландау , Э. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.§125
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, т. I , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
• Мерцбахер, Ойген (1961), Квантовая механика , Wiley & Sons, Гл. 13, §3; Гл. 19, §6, ISBN 0-471-59670-1
• Сакурай, Дж. Дж. ; Наполитано, Дж. (2011) [1964]. Современная квантовая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли . Глава 6. ISBN 978-0-8053-8291-4.
• Барут, Асим Орхан (1967). Теория матрицы рассеяния для взаимодействий фундаментальных частиц . Макмиллан.
• Альберт Мессия (1999). Квантовая механика. Dover Publications. ISBN 0-486-40924-4.
• Тони Филипс (ноябрь 2001 г.). "Конечномерные диаграммы Фейнмана". Что нового в математике . Американское математическое общество . Получено 23 октября 2007 г.
• Стивен Гасиорович (1974). Квантовая физика. Wiley & Sons. ISBN 0-471-29281-8.
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer Publishing , ISBN 3-540-59179-6
• Муссардо, Г. (1992). "Некритические статистические модели: Факторизованные теории рассеяния и программа бутстрапа". Physics Reports . 218 (5–6): 215–379. Bibcode :1992PhR...218..215M. doi :10.1016/0370-1573(92)90047-4.
• Замолодчиков, AB (1979). «Факторизованные S-матрицы в двух измерениях как точные решения некоторых релятивистских моделей квантовой теории поля». Annals of Physics . 120 (2): 253–291. Bibcode : 1979AnPhy.120..253Z. doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9.