Род мультипликативной последовательности

Кольцевой гомоморфизм из кольца кобордизмов многообразий в другое кольцо

Кобордизм ( W ; M , N ).

В математике род мультипликативной последовательности — это кольцевой гомоморфизм из кольца гладких компактных многообразий с точностью до эквивалентности ограничения гладкого многообразия с краем (т. е. с точностью до подходящего кобордизма ) в другое кольцо, обычно рациональных чисел , обладающее тем свойством, что оно построено из последовательности многочленов в характеристических классах, которые возникают как коэффициенты в формальных степенных рядах с хорошими мультипликативными свойствами.

Определение

Род присваивает номер каждому многообразию X, так что ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi (X)}$

1. ${\displaystyle \Phi (X\sqcup Y)=\Phi (X)+\Phi (Y)}$(где находится непересекающееся объединение); ${\displaystyle \sqcup }$
2. ${\displaystyle \Phi (X\times Y)=\Phi (X)\Phi (Y)}$;
3. ${\displaystyle \Phi (X)=0}$ если X — граница многообразия с границей.

Многообразия и многообразия с границей могут потребовать иметь дополнительную структуру; например, они могут быть ориентированными, спиновыми, стабильно комплексными и т. д. (см. список теорий кобордизма для многих других примеров). Значение находится в некотором кольце, часто кольце рациональных чисел, хотя это могут быть и другие кольца, такие как или кольцо модулярных форм. ${\displaystyle \Phi (X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Условия можно перефразировать так, что есть кольцевой гомоморфизм из кольца кобордизмов многообразий (с дополнительной структурой) в другое кольцо. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Пример: Если — сигнатура ориентированного многообразия X , то — род от ориентированных многообразий до кольца целых чисел. ${\displaystyle \Phi (X)}$ ${\displaystyle \Phi }$

Род, связанный с формальным степенным рядом

Последовательность многочленов от переменных называется мультипликативной, если ${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots }$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$

${\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )}$

подразумевает, что

${\displaystyle \sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{j}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}}$

Если — формальный степенной ряд по z с постоянным членом 1, то мы можем определить мультипликативную последовательность ${\displaystyle Q(z)}$

${\displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots }$

к

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots }$,

где — k -я элементарная симметрическая функция от неизвестных . (На практике переменными часто будут классы Понтрягина .) ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle p_{k}}$

Род компактных , связных , гладких , ориентированных многообразий , соответствующих Q, задается формулой ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )}$

где — классы Понтрягина X . Степенной ряд Q называется характеристическим степенным рядом рода . Теорема Рене Тома , утверждающая, что рациональные числа, тензоризированные с кольцом кобордизмов, являются полиномиальной алгеброй от генераторов степени 4 k для положительных целых чисел k , подразумевает, что это дает биекцию между формальным степенным рядом Q с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1 и родами из ориентированных многообразий в рациональные числа. ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Род L

Род L — это род формального степенного ряда

${\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots }$

где числа — числа Бернулли . Первые несколько значений: ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}&={\tfrac {1}{3}}p_{1}\\L_{2}&={\tfrac {1}{45}}\left(7p_{2}-p_{1}^{2}\right)\\L_{3}&={\tfrac {1}{945}}\left(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3}\right)\\L_{4}&={\tfrac {1}{14175}}\left(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

(для получения дополнительных L -полиномов см. ^[1] или OEIS : A237111 ). Теперь пусть M будет замкнутым гладким ориентированным многообразием размерности 4 n с классами Понтрягина . Фридрих Хирцебрух показал, что род L многообразия M в размерности 4 n , вычисленный на фундаментальном классе , обозначенном , равен , сигнатуре M (т.е. сигнатуре формы пересечения на 2 n -й группе когомологий M ): ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle \sigma (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\ldots ,p_{n}(M)),[M]\rangle }$.

Теперь это известно как теорема Хирцебруха о сигнатуре (или иногда теорема Хирцебруха об индексе ).

Тот факт, что всегда является целым числом для гладкого многообразия, был использован Джоном Милнором , чтобы привести пример 8-мерного PL-многообразия без гладкой структуры . Числа Понтрягина также могут быть определены для PL-многообразий, и Милнор показал, что его PL-многообразие имеет нецелое значение , и поэтому не является сглаживаемым. ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

Применение на поверхностях K3

Поскольку проективные поверхности K3 являются гладкими комплексными многообразиями размерности два, их единственный нетривиальный класс Понтрягина находится в . Его можно вычислить как -48, используя касательную последовательность и сравнения с комплексными классами Черна. Поскольку , у нас есть его сигнатура. Это можно использовать для вычисления его формы пересечения как унимодулярной решетки, поскольку она имеет , и используя классификацию унимодулярных решеток. ^[2] ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle H^{4}(X)}$ ${\displaystyle L_{1}=-16}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} \left(H^{2}(X)\right)=22}$

Род Тодда

Род Тодда — это род формального степенного ряда

${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}z^{i}}$

с как и прежде, числа Бернулли. Первые несколько значений ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Td_{0}&=1\\Td_{1}&={\frac {1}{2}}c_{1}\\Td_{2}&={\frac {1}{12}}\left(c_{2}+c_{1}^{2}\right)\\Td_{3}&={\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}\\Td_{4}&={\frac {1}{720}}\left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}\right)\end{aligned}}}$

Род Тодда обладает особым свойством, заключающимся в том, что он присваивает значение 1 всем комплексным проективным пространствам (т.е. ), и этого достаточно, чтобы показать, что род Тодда согласуется с арифметическим родом для алгебраических многообразий, поскольку арифметический род также равен 1 для комплексных проективных пространств. Это наблюдение является следствием теоремы Хирцебруха–Римана–Роха и фактически является одним из ключевых достижений, которые привели к формулировке этой теоремы. ${\displaystyle \mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1}$

 род

Род Â — это род, связанный с характеристическим степенным рядом.

${\displaystyle Q(z)={\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}}{\sinh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)}}=1-{\frac {z}{24}}+{\frac {7z^{2}}{5760}}-\cdots }$

(Существует также род А, который используется реже и связан с характерным рядом .) Первые несколько значений: ${\displaystyle Q(16z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}&=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}\\{\hat {A}}_{2}&={\tfrac {1}{5760}}\left(-4p_{2}+7p_{1}^{2}\right)\\{\hat {A}}_{3}&={\tfrac {1}{967680}}\left(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3}\right)\\{\hat {A}}_{4}&={\tfrac {1}{464486400}}\left(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

Род спинового многообразия является целым числом, и четным целым числом, если размерность равна 4 mod 8 (что в размерности 4 подразумевает теорему Рохлина ) – для общих многообразий род Â не всегда является целым числом. Это было доказано Хирцебрухом и Арманом Борелем ; этот результат мотивировался и позже был объяснен теоремой Атьи–Зингера об индексе , которая показала, что род Â спинового многообразия равен индексу его оператора Дирака .

Объединив этот результат индекса с формулой Вейценбока для лапласиана Дирака, Андре Лихнерович вывел, что если компактное спиновое многообразие допускает метрику с положительной скалярной кривизной, его род Â должен исчезать. Это создает препятствие для положительной скалярной кривизны только тогда, когда размерность кратна 4, но Найджел Хитчин позже обнаружил аналогичное -значное препятствие в размерностях 1 или 2 mod 8. Эти результаты по существу точны. Действительно, Михаил Громов , Х. Блейн Лоусон и Стефан Штольц позже доказали, что род Â и -значный аналог Хитчина являются единственными препятствиями для существования метрик положительной скалярной кривизны на односвязных спиновых многообразиях размерности, большей или равной 5. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Эллиптический род

Род называется эллиптическим, если степенной ряд удовлетворяет условию ${\displaystyle Q(z)=z/f(z)}$

${\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}$

для констант и . (Как обычно, Q — характеристический степенной ряд рода.) ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Одно явное выражение для f ( z ) имеет вид

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{a}}\operatorname {sn} \left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{a^{2}}}\right)}$

где

${\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {\delta ^{2}-\epsilon }}}}}$

а sn — эллиптическая функция Якоби.

Примеры:

• ${\displaystyle \delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)}$. Это L-род.
• ${\displaystyle \delta =-{\frac {1}{8}},\epsilon =0,f(z)=2\sinh \left({\frac {1}{2}}z\right)}$. Это род Â.
• ${\displaystyle \epsilon =\delta ^{2},f(z)={\frac {\tanh({\sqrt {\delta }}z)}{\sqrt {\delta }}}}$. Это обобщение рода L.

Первые несколько значений таких родов:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\delta p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{90}}\left[\left(-4\delta ^{2}+18\epsilon \right)p_{2}+\left(7\delta ^{2}-9\epsilon \right)p_{1}^{2}\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{1890}}\left[\left(16\delta ^{3}+108\delta \epsilon \right)p_{3}+\left(-44\delta ^{3}+18\delta \epsilon \right)p_{2}p_{1}+\left(31\delta ^{3}-27\delta \epsilon \right)p_{1}^{3}\right]}$

Пример (эллиптический род для кватернионной проективной плоскости):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(HP^{2})&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )p_{2}+(7\delta ^{2}-9\epsilon )p_{1}^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )(7u^{2})+(7\delta ^{2}-9\epsilon )(2u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}[u^{2}\epsilon ]\\&=\epsilon \int _{HP^{2}}[u^{2}]\\&=\epsilon *1=\epsilon \end{aligned}}}$

Пример (эллиптический род для октонионной проективной плоскости или плоскости Кэли):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(OP^{2})&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}\left[(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{4}+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{2}^{2}\right]\\&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}{\big [}(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(39u^{2})+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(6u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{OP^{2}}{\big [}\epsilon ^{2}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}\int _{OP^{2}}{\big [}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}*1=\epsilon ^{2}\\&=\Phi _{ell}(HP^{2})^{2}\end{aligned}}}$

Род Виттена

Род Виттена — это род, связанный с характеристическим степенным рядом

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{\sigma _{L}(z)}}=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)}$

где σ _L — сигма-функция Вейерштрасса для решетки L , а G — кратное ряда Эйзенштейна .

Род Виттена 4k - мерного компактного ориентированного гладкого спинового многообразия с исчезающим первым классом Понтрягина является модулярной формой веса 2k с целыми коэффициентами Фурье.

Смотрите также

• Теорема Атьи–Зингера об индексе
• Список теорий когомологий

Примечания

1. Мактаг, Карл (2014) «Вычисление L-полиномов Хирцебруха».
2. Хайбрехтс, Дэниел. "14.1 Существование, единственность и вложения решеток". Лекции по K3 Surfaces (PDF) . стр. 285.

Ссылки

• Фридрих Хирцебрух Топологические методы в алгебраической геометрии ISBN 3-540-58663-6 Текст оригинальной немецкой версии: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf 
• Фридрих Хирцебрух, Томас Бергер, Райнер Юнг Многообразия и модульные формы ISBN 3-528-06414-5 
• Милнор, Сташефф, Характерные классы , ISBN 0-691-08122-0 
• А.Ф. Харшиладзе (2001) [1994], "Класс Понтрягина", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• «Эллиптические роды», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]