В математике теория пересечений — один из основных разделов алгебраической геометрии , где она дает информацию о пересечении двух подмногообразий данного многообразия . [1] Теория многообразий более старая, ее корни лежат в теореме Безу о кривых и теории исключения . С другой стороны, топологическая теория быстрее приняла окончательную форму.
Теория пересечения все еще продолжает развиваться. В настоящее время основное внимание уделяется: виртуальным фундаментальным циклам, квантовым кольцам пересечений, теории Громова-Виттена и расширению теории пересечений от схем до стеков . [2]
Для связного ориентированного многообразия M размерности 2 n форма пересечения определяется на n -й группе когомологий (то, что обычно называют «средним измерением») путем вычисления произведения чашки на фундаментальном классе [ M ] в H 2 п ( M , ∂ M ) . Точнее говоря, существует билинейная форма
данный
с
Это симметричная форма для четного n (так что 2 n = 4 k дважды четный ), и в этом случае подпись M определяется как подпись формы и альтернативная форма для нечетного n (так что 2 n = 4 k +2 единично четно ). Их можно единообразно назвать ε-симметричными формами , где ε = (−1) n = ±1 соответственно для симметричных и кососимметричных форм. В некоторых случаях можно уточнить эту форму до ε -квадратичной формы , хотя для этого требуются дополнительные данные, такие как оснащение касательного расслоения. Можно отказаться от условия ориентируемости и вместо этого работать с коэффициентами Z /2 Z.
Эти формы являются важными топологическими инвариантами . Например, теорема Майкла Фридмана утверждает, что односвязные компактные 4-многообразия (почти) определяются своими формами пересечения с точностью до гомеоморфизма .
Благодаря двойственности Пуанкаре оказывается, что есть способ представить это геометрически. Если возможно, выберите представительные n -мерные подмногообразия A , B для двойственных Пуанкаре к a и b . Тогда λ M ( a , b ) — это ориентированное число пересечений A и B , которое четко определено, поскольку, поскольку сумма размеров A и B равна общей размерности M , они обычно пересекаются в изолированных точках. Этим объясняется форма пересечения терминологии .
Уильям Фултон в «Теории пересечений» (1984) пишет
... если A и B являются подмногообразиями неособого многообразия X , произведение пересечений A · B должно быть классом эквивалентности алгебраических циклов, тесно связанным с геометрией того, как A ∩ B , A и B расположены в X. Наиболее известны два крайних случая. Если пересечение собственное , т.е. dim( A ∩ B ) = dim A + dim B − dim X , то A · B представляет собой линейную комбинацию неприводимых компонентов A ∩ B с коэффициентами, представляющими кратности пересечения. С другой стороны, если A = B — неособое подмногообразие, формула самопересечения говорит, что A · B представлено верхним классом Чженя нормального расслоения A в X.
Дать определение в общем случае кратности пересечений было главной задачей Андре Вейля в книге «Основы алгебраической геометрии» 1946 года . Работа Б.Л. ван дер Вардена в 1920-х годах уже затронула этот вопрос; в итальянской школе алгебраической геометрии эти идеи были хорошо известны, но фундаментальные вопросы не рассматривались в том же духе.
Хорошо работающий механизм пересекающихся алгебраических циклов V и W требует большего, чем просто взятие теоретико-множественного пересечения V ∩ W рассматриваемых циклов. Если два цикла находятся в «хорошем положении», то продукт пересечения , обозначенный V · W , должен состоять из теоретико-множественного пересечения двух подмногообразий. Однако циклы могут находиться в неправильном положении, например, две параллельные линии на плоскости или плоскость, содержащая линию (пересекающуюся в трехмерном пространстве). В обоих случаях пересечение должно быть точкой, потому что, опять же, если переместить один цикл, это будет пересечение. Пересечение двух циклов V и W называется собственным , если коразмерность (теоретико-множественного) пересечения V ∩ W является суммой коразмерностей V и W соответственно, т. е. «ожидаемым» значением.
Поэтому используется концепция перемещения циклов с использованием соответствующих отношений эквивалентности на алгебраических циклах . Эквивалентность должна быть достаточно широкой, чтобы для любых двух циклов V и W существовали эквивалентные циклы V′ и W′ такие, что пересечение V′ ∩ W′ является собственным. Конечно, с другой стороны, для второго эквивалента V'' и W'' , V' ∩ W' должен быть эквивалентен V'' ∩ W'' .
Для целей теории пересечений наиболее важной является рациональная эквивалентность . Короче говоря, два r -мерных цикла на многообразии X рационально эквивалентны, если существует рациональная функция f на ( r + 1) -мерном подмногообразии Y , т.е. элемент функционального поля k ( Y ) или, что эквивалентно, функция f : Y → P 1 , такой что V − W = f −1 (0) − f −1 (∞) , где f −1 (⋅) считается с кратностью. Рациональная эквивалентность удовлетворяет потребности, изложенные выше.
Руководящим принципом определения кратности пересечений циклов является непрерывность в определенном смысле. Рассмотрим следующий элементарный пример: пересечение параболы y = x 2 и оси y = 0 должно быть 2 · (0, 0) , поскольку если один из циклов движется (пока в неопределенном смысле), то существует ровно два точки пересечения, которые сходятся к (0, 0) , когда циклы приближаются к изображенному положению. (Картина вводит в заблуждение, поскольку кажущееся пустым пересечение параболы и прямой y = −3 пусто, поскольку изображены только действительные решения уравнений).
Первое вполне удовлетворительное определение кратностей пересечений было дано Серром : пусть объемлющее многообразие X гладкое (или все локальные кольца регулярны ). Далее, пусть V и W — два (неприводимых приведенно замкнутых) подмногообразия, пересечение которых является собственным. Конструкция локальна, поэтому многообразия могут быть представлены двумя идеалами I и J в координатном кольце X . Пусть Z — неприводимая компонента теоретико-множественного пересечения V ∩ W , а z — его общая точка . Кратность Z в произведении пересечений V · W определяется формулой
знакопеременная сумма по длине по локальному кольцу X в z периодических групп фактор-колец, соответствующих подмногообразиям. Это выражение иногда называют Тор-формулой Серра .
Примечания:
Кольцо Чоу — это группа алгебраических циклов по модулю рациональной эквивалентности вместе со следующим коммутативным произведением пересечения :
всякий раз, когда V и W правильно встречаются, где – разложение теоретико-множественного пересечения на неприводимые компоненты.
Учитывая два подмногообразия V и W , можно взять их пересечение V ∩ W , но также возможно, хотя и более тонко, определить самопересечение одного подмногообразия.
Учитывая, например, кривую C на поверхности S , ее пересечение с самой собой (как множествами) — это просто она сама: C ∩ C = C . Это, очевидно, правильно, но, с другой стороны, неудовлетворительно: любые две различные кривые на поверхности (не имеющие общих компонентов) пересекаются в некотором наборе точек, которые, например, можно посчитать, получив число пересечений , и мы возможно, захочет сделать то же самое для данной кривой: аналогия состоит в том, что пересечение различных кривых похоже на умножение двух чисел: xy , а самопересечение — на возведение в квадрат одного числа : x2 . Формально аналогия формулируется как симметричная билинейная форма (умножение) и квадратичная форма (возведение в квадрат).
Геометрическое решение этой проблемы состоит в том, чтобы пересечь кривую C не с самой собой, а со слегка отодвинутой версией самой себя. На плоскости это просто означает перемещение кривой C в некотором направлении, но в общем случае речь идет о взятии кривой C' , которая линейно эквивалентна C , и подсчете пересечения C · C' , таким образом получая номер пересечения, обозначаемый C. · С. _ Обратите внимание, что в отличие от отдельных кривых C и D , фактические точки пересечения не определены, поскольку они зависят от выбора C' , но «точки самопересечения C'' можно интерпретировать как k общих точек на C , где k знак равно C · C . Точнее, точка самопересечения C — это общая точка C , взятая с кратностью C · C.
Альтернативно, можно «решить» (или мотивировать) эту проблему алгебраически, дуализируя и рассматривая класс [ C ] ∪ [ C ] — это одновременно дает число и поднимает вопрос о геометрической интерпретации. Заметим, что переход к классам когомологий аналогичен замене кривой линейной системой.
Обратите внимание, что число самопересечения может быть отрицательным, как показано в примере ниже.
Рассмотрим прямую L в проективной плоскости P2 : она имеет номер самопересечения 1, поскольку все остальные прямые пересекают ее один раз: можно сдвинуть L в L ′ , и L · L′ = 1 (для любого выбора) из L′ , следовательно, L · L знак равно 1 . Говоря о формах пересечения, мы говорим, что плоскость имеет форму x 2 (существует только один класс прямых, и все они пересекаются друг с другом).
Обратите внимание, что на аффинной плоскости можно оттолкнуть L до параллельной прямой, поэтому (мысля геометрически) количество точек пересечения зависит от выбора способа отталкивания. Говорят, что «аффинная плоскость не имеет хорошей теории пересечений», а теория пересечений на непроективных многообразиях гораздо сложнее.
Прямая на P 1 × P 1 (которую также можно интерпретировать как неособую квадрику Q в P 3 ) имеет самопересечение 0 , поскольку линию можно отодвинуть от самой себя. (Это линейчатая поверхность .) С точки зрения форм пересечения мы говорим, что P 1 × P 1 имеет один тип xy – существуют два основных класса линий, которые пересекают друг друга в одной точке ( xy ), но имеют нулевую собственную форму. -пересечение (без членов x 2 или y 2 ).
Ключевым примером чисел самопересечения является исключительная кривая раздутия, которая является центральной операцией в бирациональной геометрии . Учитывая алгебраическую поверхность S , разрушение в точке создает кривую C. Эту кривую C можно узнать по ее роду, равному 0 , и числу самопересечения, равному −1 . (Это не очевидно.) Заметим, что, как следствие, P 2 и P 1 × P 1 являются минимальными поверхностями (они не являются раздутиями), поскольку у них нет кривых с отрицательным самопересечением. Фактически, теорема о сжатии Кастельнуово утверждает обратное: каждая (−1) -кривая является исключительной кривой некоторого раздутия (ее можно «раздуть»).
![{\displaystyle \lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5224441f15083b73af07a158d2c8f3ddc7e2ce70)
