12-равномерная темперация ( 12-ET ) [a] — музыкальная система, которая делит октаву на 12 частей, все из которых одинаково темперированы (равнорасположены) по логарифмической шкале , с отношением, равным 12-му корню из 2 ( 12 √ 2 ≈ 1,05946). Этот полученный наименьший интервал, 1 ⁄ 12 ширины октавы, называется полутоном или полутоном.
Двенадцатитоновая равномерная темперация — самая распространенная система в музыке сегодня. Она была преобладающей системой настройки западной музыки, начиная с классической музыки , с 18-го века, и Европа почти исключительно использовала ее приближения на протяжении тысячелетий до этого. [ необходима цитата ] Она также использовалась в других культурах.
В наше время 12-ET обычно настраивается относительно стандартной высоты тона 440 Гц, называемой A440 , что означает, что одна нота, A , настроена на 440 герц , а все остальные ноты определяются как некоторое кратное полутонов от нее, либо выше, либо ниже по частоте . Стандартная высота тона не всегда была 440 Гц. Она менялась и, как правило, повышалась за последние несколько сотен лет. [1]
Двумя фигурами, которым часто приписывают достижение точного расчета двенадцатитоновой равномерной темперации, являются Чжу Цзайюй (также романизированный как Чу-Цайюй. Китайский:朱載堉) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Фрица А. Каттнера, критика теории, [2] известно, что «Чу-Цайюй представил высокоточный, простой и гениальный метод арифметического расчета моноаккордов равномерной темперации в 1584 году» и что «Симон Стевин предложил математическое определение равномерной темперации плюс несколько менее точное вычисление соответствующих числовых значений в 1585 году или позже». Разработки происходили независимо. [3]
Кеннет Робинсон приписывает изобретение равномерной темперации Чжу Цзайюю [4] и приводит текстовые цитаты в качестве доказательства. [5] Чжу Цзайюй цитируется, говоря, что в тексте, датируемом 1584 годом, «Я основал новую систему. Я устанавливаю одну стопу как число, из которого должны быть извлечены другие, и, используя пропорции, я извлекаю их. В общей сложности нужно найти точные цифры для волынщиков за двенадцать операций». [5] Каттнер не соглашается и замечает, что его утверждение «не может считаться правильным без серьезных оговорок». [2] Каттнер предполагает, что ни Чжу Цзайюй, ни Саймон Стевин не достигли равномерной темперации и что ни один из них не должен считаться изобретателем. [3]
Полный набор бронзовых колокольчиков, среди множества музыкальных инструментов, найденных в гробнице маркиза И из Цзэна (начало Сражающихся царств, ок. V в. до н. э. в китайском бронзовом веке), охватывает пять полных октав из 7 нот в тональности до мажор, включая 12 полутонов в середине диапазона. [6]
Приближение для равномерной темперации было описано Хэ Чэнтянем , математиком Южной и Северной династий , который жил с 370 по 447 год. [7] Он вывел самую раннюю зафиксированную приблизительную числовую последовательность в отношении равномерной темперации в истории: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509,5 479 450. [8]
Чжу Цзайюй (朱載堉), принц двора Мин , провел тридцать лет за исследованиями, основанными на идее равномерной темперации, первоначально постулированной его отцом. Он описал свою новую теорию высоты тона в своем труде Fusion of Music and Calendar 律暦融通, опубликованном в 1580 году. За этим последовала публикация подробного отчета о новой теории равномерной темперации с точной числовой спецификацией для 12-ET в его 5000-страничном труде Complete Compendium of Music and Pitch ( Yuelü quan shu 樂律全書) в 1584 году. [9] Расширенный отчет также дает Джозеф Нидхэм. [5] Чжу получил свой результат математически, последовательно разделив длину струны и трубы на 12 √ 2 ≈ 1,059463, а длину трубы на 24 √ 2 , [10] таким образом, что после двенадцати делений (октава) длина делилась на коэффициент 2:
Аналогично, после 84 делений (7 октав) длина делилась в 128 раз:
Чжу Цзайюй считается первым человеком, решившим задачу равномерной темперации математически. [11] По крайней мере один исследователь предположил, что Маттео Риччи , иезуит в Китае, записал эту работу в своем личном журнале [11] [12] и, возможно, передал ее обратно в Европу. (Стандартные ресурсы по теме не упоминают о какой-либо такой передаче. [13] ) В 1620 году на работу Чжу ссылался европейский математик. [ кто? ] [12] Мюррей Барбур сказал: «Первое известное появление в печати правильных цифр для равномерной темперации было в Китае, где блестящее решение принца Цайюй остается загадкой». [14] Немецкий физик 19-го века Герман фон Гельмгольц писал в своей книге «Ощущения тона» , что китайский принц (см. ниже) ввел гамму из семи нот, и что разделение октавы на двенадцать полутонов было открыто в Китае. [15]
Чжу Цзайюй проиллюстрировал свою теорию равномерной темперации, построив набор из 36 бамбуковых настроечных трубок, расположенных в 3 октавах, с инструкциями о типе бамбука, цвете краски и подробной спецификацией их длины, внутреннего и внешнего диаметров. Он также сконструировал 12-струнный настроечный инструмент с набором настроечных трубок, спрятанных внутри его нижней полости. В 1890 году Виктор-Шарль Махиллон , куратор музея консерватории в Брюсселе, сделал копию набора тоновых трубок в соответствии со спецификацией Чжу Цзайюй. Он сказал, что китайская теория тонов знала больше о длине тоновых трубок, чем ее западный аналог, и что набор трубок, продублированных в соответствии с данными Цзайюй, доказал точность этой теории.
Одно из самых ранних обсуждений равномерной темперации встречается в трудах Аристоксена , датируемых IV в. до н. э. [16].
Винченцо Галилей (отец Галилео Галилея ) был одним из первых практических сторонников двенадцатитоновой равномерной темперации. Он составил набор танцевальных сюит на каждой из 12 нот хроматической гаммы во всех «транспозиционных тональностях», а также опубликовал в своем « Фронимо » 1584 года 24 + 1 ричеркара . [17] Он использовал соотношение 18:17 для ладов лютни (хотя для чистых октав требовалась некоторая корректировка). [18]
Соотечественник и коллега Галилея, лютнист Джакомо Горзанис, писал музыку, основанную на равномерной темперации, к 1567 году. [19] Горзанис был не единственным лютнистом, исследовавшим все лады и тональности: Франческо Спиначино написал «Recercare de tutti li Toni» ( Ричеркар во всех тонах) еще в 1507 году. [20] В XVII веке лютнист и композитор Джон Уилсон написал цикл из 30 прелюдий, включая 24 во всех мажорных/минорных тональностях. [21] [22] Генрикус Грамматеус в 1518 году приблизился к равномерной темперации. Первые правила настройки в равномерной темперации были даны Джовани Марией Ланфранко в его «Scintille de musica». [23] Царлино в своей полемике с Галилеем изначально выступал против равномерной темперации, но в конечном итоге уступил ей в отношении лютни в своих «Музыкальных сочинениях» в 1588 году.
Первое упоминание о равномерной темперации, связанной с корнем двенадцатой степени из двух на Западе, появилось в рукописи Саймона Стевина Van De Spiegheling der singconst (ок. 1605 г.), опубликованной посмертно почти три столетия спустя, в 1884 г. [24] Однако из-за недостаточной точности его расчетов многие из полученных им чисел длин аккордов отличались на одну или две единицы от правильных значений. [13] В результате частотные соотношения аккордов Саймона Стевина не имеют единого соотношения, а только одно соотношение на тон, что Джин Чо считает неверным. [25]
Ниже была длина аккорда Саймона Стевина из Van de Spiegheling der Singconst : [26]
Поколение спустя французский математик Марен Мерсенн представил несколько длин равнотемперированных аккордов, полученных Жаном Бограном, Исмаэлем Буйо и Жаном Галле. [27]
В 1630 году Иоганн Фаульхабер опубликовал таблицу монохорда в 100 центов, которая содержала несколько ошибок из-за использования им логарифмических таблиц. Он не объяснил, как он получил свои результаты. [28]
С 1450 по 1800 год исполнители на щипковых инструментах (лютнисты и гитаристы) в целом отдавали предпочтение равномерной темперации [29] , а лютневая рукопись Броссара, составленная в последней четверти XVII века, содержит серию из 18 прелюдий, приписываемых Боке, написанных во всех тональностях, включая последнюю прелюдию под названием Prélude sur tous les tons , которая энгармонически модулируется во всех тональностях. [30] [ необходимо разъяснение ] Анджело Микеле Бартолотти опубликовал серию пассакалий во всех тональностях с соединительными энгармонически модулирующими пассажами. Среди композиторов клавира XVII века Джироламо Фрескобальди выступал за равномерную темперацию. Некоторые теоретики, такие как Джузеппе Тартини , выступали против принятия равномерной темперации; они считали, что снижение чистоты каждого аккорда снижает эстетическую привлекательность музыки, хотя Андреас Веркмейстер решительно выступал за равномерную темперацию в своем трактате 1707 года, опубликованном посмертно. [31]
Двенадцатитоновая равномерная темперация закрепилась по ряду причин. Она была удобной для существующей конструкции клавиатуры и допускала полную гармоническую свободу с бременем умеренной примеси в каждом интервале, особенно несовершенных консонансов. Это позволяло большую выразительность посредством энгармонической модуляции , которая стала чрезвычайно важной в 18 веке в музыке таких композиторов, как Франческо Джеминиани , Вильгельм Фридеман Бах , Карл Филипп Эммануил Бах и Иоганн Готфрид Мютель . [ необходима цитата ] Двенадцатитоновая равномерная темперация имела некоторые недостатки, такие как несовершенные терции, но когда Европа перешла на равномерную темперацию, она изменила музыку, которую писала, чтобы приспособиться к системе и минимизировать диссонанс. [b]
Развитие равномерной темперации с середины XVIII века подробно описано в ряде современных научных публикаций: она уже была предпочтительной темперацией в эпоху классицизма (вторая половина XVIII века), [ нужна ссылка ] и стала стандартом в эпоху раннего романтизма (первое десятилетие XIX века), [ нужна ссылка ] за исключением органов, которые перешли на нее более постепенно, завершив переход только во втором десятилетии XIX века. (В Англии некоторые соборные органисты и хормейстеры выступали против нее даже после этой даты; например, Сэмюэл Себастьян Уэсли выступал против нее все время. Он умер в 1876 году.) [ нужна ссылка ]
Точная равномерная темперация возможна с использованием метода Саббатини 17-го века, разделяющего октаву сначала на три темперированные мажорные терции. [32] Это также предлагалось несколькими авторами в классическую эпоху. Настройка без темпов биений, но с использованием нескольких проверок, достигающих практически современной точности, уже была сделана в первые десятилетия 19-го века. [33] Использование темпов биений, впервые предложенных в 1749 году, стало обычным после их распространения Гельмгольцем и Эллисом во второй половине 19-го века. [34] Максимальная точность была доступна с 2-десятичными таблицами, опубликованными Уайтом в 1917 году. [35]
Именно в среде равномерной темперации развивались и процветали новые стили симметричной тональности и политональности , атональная музыка , например, написанная с использованием двенадцатитоновой техники или сериализма , а также джаз (по крайней мере, его фортепианный компонент).
В двенадцатитоновой равномерной темперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона , т. е. отношение частот интервала между двумя соседними нотами, равна двенадцатому корню из двух :
Этот интервал делится на 100 центов .
Чтобы найти частоту P n ноты в 12-ET, можно использовать следующее определение:
В этой формуле P n относится к высоте тона или частоте (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. P a относится к частоте опорной высоты тона. n и a относятся к числам, назначенным желаемой высоте тона и опорной высоте тона соответственно. Эти два числа берутся из списка последовательных целых чисел, назначенных последовательным полутонам. Например, A 4 (опорная высота тона) является 49-й клавишей с левого конца фортепиано (настроенной на 440 Гц ), а C 4 ( средняя C ) и F# 4 являются 40-й и 46-й клавишами соответственно. Эти числа можно использовать для нахождения частоты C 4 и F# 4 :
Интервалы 12-ET очень близки к некоторым интервалам только по интонации . [37]
12 ET очень точен в пределе 3, но по мере увеличения пределов prime до 11 он постепенно ухудшается примерно на одну шестую полутона каждый раз. Его одиннадцатая и тринадцатая гармоники крайне неточны. Семнадцатая и девятнадцатая гармоники 12 ET почти так же точны, как и его третья гармоника, но к этому моменту предел prime стал слишком высоким, чтобы звучать консонансно для большинства людей. [ необходима цитата ]
12 ET имеет очень хорошее приближение к чистой квинте ( 3 /2 ) и ее обращение , чистая кварта ( 4 /3 ), особенно для деления октавы на относительно небольшое количество тонов. В частности, чистая квинта всего на одну пятьдесят первую полутона выше, чем равномерно темперированное приближение. Поскольку мажорный тон ( 9 /8 ) — это просто две полные квинты минус октава, а ее обращение — пифагорейская малая септима ( 16 /9 ), это просто две полные четверти, объединенные вместе, они, по большей части, сохраняют точность своих предшественников; ошибка удваивается, но она остается небольшой – настолько небольшой, что люди не могут ее заметить. Можно продолжать использовать дроби с более высокими степенями трех, следующие две – 27 /16 и 32 /27 , но по мере того, как члены дробей становятся больше, они становятся менее приятными для слуха. [ необходима цитата ]
12 Приближение ET пятой гармоники ( 5 /4 ) примерно на одну седьмую полутона ниже. Поскольку интервалы, которые ниже четверти шкалы, все еще звучат в тональности, другие пятиступенчатые интервалы в 12 ET, такие как 5 /3 и 8 /5 , имеют ошибки аналогичного размера. Таким образом, мажорное трезвучие звучит в унисон, поскольку его частотное соотношение составляет приблизительно 4:5:6, далее, в сочетании с его первым обращением и двумя субоктавными тониками, оно составляет 1:2:3:4:5:6, все шесть самых низких натуральных гармоник басового тона. [ необходима цитата ]
12 Приближение ET седьмой гармоники ( 7 /4 ) составляет около одной трети полутона. Поскольку ошибка больше четверти полутона, интервалы семи пределов в 12 ET имеют тенденцию звучать нестройно. В тритоновых дробях 7 /5 и 10 /7 , ошибки пятой и седьмой гармоник частично компенсируют друг друга, так что справедливые дроби находятся в пределах четверти полутона от их равнотемперированных эквивалентов. [ необходима цитата ]
Одиннадцатая гармоника ( 11 /8 ), в 551,32 цента, попадает почти точно посередине между двумя ближайшими одинаково темперированными интервалами в 12 ET и, следовательно, не аппроксимируется ни одним из них. Фактически, 11 /8 почти так же далека от любого равномерно темперированного приближения, как это возможно в 12 ET. Тринадцатая гармоника ( 13 /8 ), на две пятых полутона выше малой сексты, почти так же неточно. Хотя это означает, что дробь 13 /11 а также его инверсия ( 22 /13 ) точно аппроксимируются (в частности, тремя полутонами), поскольку ошибки одиннадцатой и тринадцатой гармоник в основном компенсируются, большинство людей, не знакомых с четвертями тонов или микротональностью, не будут знакомы с одиннадцатой и тринадцатой гармониками. Аналогично, хотя ошибка одиннадцатой или тринадцатой гармоники может быть в основном компенсирована ошибкой седьмой гармоники, большинство западных музыкантов не сочтут полученные дроби консонантными, поскольку 12 ET не аппроксимирует их точно. [ необходима цитата ]
Семнадцатая гармоника ( 17 /16 ) всего на 5 центов выше, чем один полутон в 12 ET. Его можно объединить с приближением 12 ET третьей гармоники, чтобы получить 17 /12 , что является следующим приближением Пелля после 7 /5 , всего в трех центах от равномерно темперированного тритона (квадратный корень из двух), и 17 /9 , что всего на один цент от большой септаккорды 12 ET. Девятнадцатая гармоника всего на 2,5 цента ниже, чем три полутона 12 ET, поэтому ее можно также объединить с третьей гармоникой, чтобы получить 19 /12 , что примерно на 4,5 цента ниже, чем равномерно темперированная малая секста, и 19 /18 , что примерно на 6,5 центов ниже полутона. Однако, поскольку 17 и 19 довольно велики для соотношений согласных, и большинство людей не знакомы с интервалами предела 17 и предела 19, интервалы предела 17 и предела 19 бесполезны для большинства целей, поэтому их, вероятно, нельзя считать играющими роль в каких-либо консонансах 12 ET. [ необходима цитата ]
В следующей таблице размеры различных точных интервалов сравниваются с их равнотемперированными аналогами, указанными как отношение, так и в центах . Различия менее шести центов большинство людей не замечают, а интервалы, составляющие более четверти тона; что в данном случае составляет 25 центов, звучат фальшиво. [ необходима цитата ]
12-ET смягчает несколько запятых , что означает, что есть несколько дробей, близких к 1 /1 которые рассматриваются как 1 /1 по 12-ET из-за его отображения различных дробей в один и тот же равномерно темперированный интервал. Например, 729/512 ( 3 6 /2 9 ) и 1024 /729 ( 2 10 /3 6 ) каждый отображается на тритон, поэтому они рассматриваются как номинально один и тот же интервал; следовательно, их частное, 531441/ 524288 ( 3 12 /2 19 ) отображается/обрабатывается как унисон. Это пифагорейская запятая , и это единственная запятая с тремя пределами в 12-ET. Однако по мере увеличения предела простого числа и включения большего количества интервалов количество запятых увеличивается. Самая важная запятая с пятью пределами в 12-ET — это 81/ 80 ( 3 4/ 2 4 × 5 1 ), которая известна как синтоническая запятая и является множителем между пифагорейскими терциями и секстами и их точным аналогом. Другие запятые 12-ET с пределом 5 включают в себя:
Одной из 7-предельных запятых, которую смягчает 12-ET, является семеричная клеизма , которая равна 225/ 224 , или 3 2 ×5 2 /2 5 ×7 1 . Другие запятые с ограничением в 7 в 12-ET включают:
Исторически использовались несколько систем настройки, которые можно рассматривать как небольшие вариации 12-TEDO, с двенадцатью нотами на октаву, но с некоторыми вариациями между размерами интервалов, так что ноты не совсем равномерно распределены. Одним из примеров этого является трехпредельная гамма, в которой равномерно темперированные чистые квинты в 700 центов заменяются на чисто интонированные чистые квинты в 701,955 центов. Поскольку два интервала отличаются менее чем на 2 цента, или 1 ⁄ 600 октавы, эти две гаммы очень похожи. Фактически, китайцы разработали 3-предельную чистую интонацию по крайней мере за столетие до того, как Хэ Чэнтянь создал последовательность 12-TEDO. [38] Аналогично, пифагорейская настройка, разработанная древними греками, была преобладающей системой в Европе до эпохи Возрождения, когда европейцы поняли, что диссонирующие интервалы, такие как 81 ⁄ 64 [39], можно сделать более консонирующими, темперируя их до более простых соотношений, таких как 5 ⁄ 4 , в результате чего в Европе была разработана серия темпераций meanone , которые немного изменили размеры интервалов, но все еще могли рассматриваться как приближенные к 12-TEDO. Из-за тенденции темпераций meanone концентрировать ошибку на одной энгармонической чистой квинте, делая ее очень диссонирующей , европейские теоретики музыки, такие как Андреас Веркмейстер, Иоганн Филипп Кирнбергер, Франческо Антонио Валлотти и Томас Янг, создали различные темперации well с целью разделения комм, чтобы уменьшить диссонанс наиболее затронутых интервалов. Веркмейстер и Кирнбергер были недовольны своим первым темпераментом и поэтому создали множественные темпераменты, причем последние темпераменты были ближе к равномерному темпераменту, чем первые. Аналогично, Европа в целом постепенно перешла от meanone и well темпераций к 12-TEDO, системе, которую она использует и по сей день.
В то время как некоторые типы музыки, такие как сериализм , используют все двенадцать нот 12-TEDO, большинство музыки использует только ноты из определенного подмножества 12-TEDO, известного как гамма. Существует много различных типов гамм.
Самый популярный тип гаммы в 12-TEDO — meanone. Meantone относится к любой гамме, в которой все ее ноты последовательны на квинтовом круге. Существуют гаммы meanone разных размеров, и некоторые используемые гаммы meanone включают в себя meanone из пяти нот , meanone из семи нот и meanone из девяти нот . Meantone присутствует в конструкции западных инструментов. Например, клавиши пианино и его предшественников структурированы таким образом, что белые клавиши образуют гамму meanone из семи нот, а черные клавиши образуют гамму meanone из пяти нот. Другой пример — гитары и другие струнные инструменты, имеющие как минимум пять струн, обычно настраиваются так, что их открытые струны образуют гамму meanone из пяти нот.
Другие гаммы, используемые в 12-TEDO, включают восходящую мелодическую минорную гамму , гармонический минор , гармонический мажор , уменьшенную гамму и меньшую гамму .
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0e94dc870dfc2af0eb35a7b362eb3776054719)
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc85da07cabc4f33cc3fc965e9ef6e74361e7c7)
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\approx 1,059463}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232c2beab28b1c46c328080d982595d9ef196e08)
![{\displaystyle P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(na)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3381e111c79f7e16a073bbe05c6cabeaba2ff79a)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}P_{40}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}&&\approx 261,626\ \mathrm {Гц} \\P_{46}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}&&\approx 369,994\ \mathrm {Гц} \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2cc77efb874655e7633d236cfd2c9f7e5b8229)