В математике , особенно в теории колец , элемент кручения — это элемент модуля , который дает ноль при умножении на некоторый ненулевой делитель кольца . Подмодуль кручения модуля — это подмодуль , образованный элементами кручения (в тех случаях, когда это действительно подмодуль, например, когда кольцо коммутативно ). Торсионный модуль – модуль, полностью состоящий из торсионных элементов. Модуль не имеет кручения, если его единственным элементом кручения является нулевой элемент.
Эта терминология чаще используется для модулей над областью определения , то есть когда регулярными элементами кольца являются все его ненулевые элементы.
Эта терминология применима к абелевым группам (где «модуль» и «подмодуль» заменены на « группа » и « подгруппа »). Это допускается тем фактом, что абелевы группы являются модулями над кольцом целых чисел (фактически отсюда и возникла терминология, которая была введена для абелевых групп до того, как была обобщена на модули).
В случае некоммутативных групп периодический элемент — это элемент конечного порядка . В отличие от коммутативного случая, элементы кручения, вообще говоря, не образуют подгруппу.
Элемент m модуля M над кольцом R называется периодическим элементом модуля, если существует регулярный элемент r кольца (элемент, не являющийся ни левым, ни правым делителем нуля ), аннулирующий m , т. е. r m = 0. В области целостности ( коммутативное кольцо без делителей нуля) каждый ненулевой элемент регулярен, поэтому элемент кручения модуля над областью целостности - это элемент, аннулируемый ненулевым элементом области целостности. Некоторые авторы используют это определение торсионного элемента, но это определение не работает для более общих колец.
Модуль M над кольцом R называется периодическим, если все его элементы являются периодическими элементами, и без кручения, если единственным периодическим элементом является нуль. [1] Если кольцо R коммутативно , то множество всех элементов кручения образует подмодуль M , называемый подмодулем кручения M , иногда обозначаемый T( M ). Если R не коммутативен, T( M ) может быть или не быть подмодулем. В (Lam 2007) показано, что R является правым кольцом Оре тогда и только тогда, когда T( M ) является подмодулем M для всех правых R -модулей. Поскольку правая нётерова область — это Оре, это охватывает случай, когда R — нётерова справа область ( которая может не быть коммутативной).
В более общем смысле, пусть M — модуль над кольцом R , а S — мультипликативно замкнутое подмножество кольца R. Элемент m кольца M называется элементом S -кручения, если существует элемент s из S такой, что s аннулирует m , т. е. s m = 0. В частности, в качестве S можно взять множество регулярных элементов кольца R и восстановить определение выше.
Элемент g группы G называется периодическим элементом группы, если он имеет конечный порядок, т. е. если существует целое положительное число m такое, что g m = e , где e обозначает единичный элемент группы, а g m обозначает произведение m копий g . Группа называется периодической (или периодической), если все ее элементы являются периодическими элементами, агруппа без кручения, если ее единственным элементом кручения является единичный элемент. Любуюабелеву группуможно рассматривать как модуль над кольцомZ, и в этом случае два понятия кручения совпадают.
Предположим, что R — (коммутативная) область главных идеалов , а M — конечно порожденный R -модуль . Тогда структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов дает детальное описание модуля M с точностью до изоморфизма . В частности, оно утверждает, что
где F — свободный R -модуль конечного ранга (зависящий только от M ) , а T( M ) — периодический подмодуль M. Как следствие , любой конечно порожденный модуль без кручения над R свободен. Это следствие не справедливо для более общих коммутативных областей, даже для R = K [ x , y ], кольца многочленов от двух переменных. Для неконечно сгенерированных модулей приведенная выше прямая декомпозиция неверна. Периодическая подгруппа абелевой группы не может быть ее прямым слагаемым .
Предположим, что R — коммутативная область, а M — R -модуль. Пусть Q — поле частных кольца R . Тогда можно рассмотреть Q -модуль
полученное из M расширением скаляров . Поскольку Q — поле, модуль над Q — векторное пространство, возможно, бесконечномерное. Существует канонический гомоморфизм абелевых групп из M в MQ , и ядром этого гомоморфизма является в точности подмодуль кручения T( M ). В более общем смысле, если S — мультипликативно замкнутое подмножество кольца R , то мы можем рассмотреть локализацию R -модуля M ,
который является модулем над локализацией RS . Существует каноническое отображение M в MS , ядром которого является в точности S - торсионный подмодуль M. Таким образом, торсионный подмодуль М можно интерпретировать как совокупность элементов, «исчезающих в локализации». Та же интерпретация продолжает сохраняться в некоммутативной ситуации для колец, удовлетворяющих условию Оре , или, в более общем смысле, для любого множества правого знаменателя S и правого R -модуля M.
Понятие кручения играет важную роль в гомологической алгебре . Если M и N — два модуля над коммутативной областью R (например, две абелевы группы, когда R = Z ), функторы Tor дают семейство R -модулей Tor i ( M , N ). S -кручение R -модуля M канонически изоморфно Tor R 1 ( M , RS / R ) посредством точной последовательности Tor R * : Короткая точная последовательность R -модулей дает точную последовательность и, следовательно , является ядро карты локализации M . Символ Tor, обозначающий функторы, отражает эту связь с алгебраическим кручением. Тот же результат справедлив для некоммутативных колец, а также до тех пор, пока множество S является множеством правого знаменателя .
Элементами кручения абелева многообразия являются точки кручения или, в более старой терминологии, точки деления . На эллиптических кривых они могут быть вычислены с помощью полиномов деления .
