3-сфера

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красные), меридианов (синие) и гипермеридианов (зеленые). Поскольку эта проекция является конформной , кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, пересекающие ⟨0,0,0,1⟩, имеют бесконечный радиус (= прямая линия). На этом рисунке все трехмерное пространство отображает поверхность гиперсферы , тогда как на следующем рисунке трехмерное пространство содержало тень объемной гиперсферы.

Прямая проекция *3-сферы* в 3D-пространство и покрытие поверхностной сеткой, показывающее структуру в виде стопки 3D-сфер ( *2-сферы* )

В математике гиперсфера , 3-сфера или глом — это 4-мерный аналог сферы , и является 3-мерной n -сферой . В 4-мерном евклидовом пространстве это множество точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки. Внутренняя часть 3-сферы — это 4 -шар , или гонгил .

Она называется 3-сферой, потому что топологически сама поверхность является 3-мерной, хотя она и изогнута в 4-е измерение. Например, путешествуя по 3-сфере, вы можете идти на север и юг, на восток и на запад или вдоль 3-го набора основных направлений. Это означает, что 3-сфера является примером 3-многообразия .

Определение

В координатах 3-сфера с центром $(C 0, C 1, C 2, C 3)$ и радиусом $r$ — это множество всех точек $(x 0, x 1, x 2, x 3)$ в реальном 4-мерном пространстве ( $R 4$ ) таких, что

\sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

3-сфера с центром в начале координат и радиусом 1 называется единичной 3-сферой и обычно обозначается $S 3$ :

S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.

Часто удобно рассматривать $R 4$ как пространство с 2 комплексными измерениями ( $C 2$ ) или кватернионами ( $H$ ). Единичная 3-сфера тогда задается как

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}

или

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.

Это описание как кватернионов нормы один идентифицирует 3-сферу с версорами в кольце деления кватерниона . Так же, как единичная окружность важна для плоских полярных координат , так и 3-сфера важна в полярном представлении 4-пространства, вовлеченного в умножение кватернионов. См. полярное разложение кватерниона для подробностей этого развития 3-сферы. Это представление 3-сферы является основой для изучения эллиптического пространства , разработанного Жоржем Леметром . ^[1]

Характеристики

Элементарные свойства

Объем трехмерной поверхности трехмерной сферы радиуса $r$ равен

SV=2\pi ^{2}r^{3}\,

в то время как 4-мерный гиперобъем (содержимое 4-мерной области или шара, ограниченного 3-сферой)

H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.

Каждое непустое пересечение 3-сферы с трехмерной гиперплоскостью является 2-сферой (если только гиперплоскость не касается 3-сферы, в этом случае пересечение является единственной точкой). Когда 3-сфера движется через заданную трехмерную гиперплоскость, пересечение начинается как точка, затем становится растущей 2-сферой, которая достигает своего максимального размера, когда гиперплоскость пересекает прямо «экватор» 3-сферы. Затем 2-сфера снова сжимается до единственной точки, когда 3-сфера покидает гиперплоскость.

В заданной трехмерной гиперплоскости 3-сфера может вращаться вокруг «экваториальной плоскости» (аналогично вращению 2-сферы вокруг центральной оси), и в этом случае она будет представлять собой 2-сферу, размер которой постоянен.

Топологические свойства

3-сфера — это компактное , связное , 3-мерное многообразие без границы. Оно также односвязно . В широком смысле это означает, что любая петля или круговой путь на 3-сфере может быть непрерывно сжата до точки, не покидая 3-сферу. Гипотеза Пуанкаре , доказанная в 2003 году Григорием Перельманом , утверждает, что 3-сфера — единственное трехмерное многообразие (с точностью до гомеоморфизма ) с этими свойствами.

3-сфера гомеоморфна одноточечной компактификации R $3.$ В общем случае любое топологическое пространство $,$ гомеоморфное 3-сфере, называется топологической 3-сферой .

Группы гомологий 3-сферы следующие: $H 0 (S 3, Z)$ и $H 3 (S 3, Z)$ обе бесконечные циклические , в то время как $H i (S 3, Z) = {}$ для всех других индексов $i$ . Любое топологическое пространство с этими группами гомологий известно как гомологическая 3-сфера . Первоначально Пуанкаре предположил, что все гомологические 3-сферы гомеоморфны $S 3$ , но затем он сам построил негомеоморфную, теперь известную как гомологическая сфера Пуанкаре . Сейчас известно, что существует бесконечно много гомологических сфер. Например, заполнение Дена с наклоном $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/н⁠$ на любом узле в 3-сфере дает гомологическую сферу; обычно они не гомеоморфны 3-сфере.

Что касается гомотопических групп , то $π 1 (S 3) = π 2 (S 3) = {}$ и $π 3 (S 3)$ является бесконечной циклической группой. Все высшие гомотопические группы ( $k \geq 4$ ) являются конечными абелевыми , но в остальном не следуют никакой различимой закономерности. Для более подробного обсуждения см. гомотопические группы сфер .

Геометрические свойства

3-сфера естественно является гладким многообразием , фактически, замкнутым вложенным подмногообразием R $4 .$ Евклидова метрика на $R 4$ индуцирует метрику на 3-сфере, придавая ей структуру риманова многообразия . Как и все сферы, 3-сфера имеет постоянную положительную секционную кривизну, равную $⁠$ $1 / г 2 ⁠$ где $r$ — радиус.

Большая часть интересной геометрии 3-сферы вытекает из того факта, что 3-сфера имеет естественную структуру группы Ли, заданную умножением кватернионов (см. раздел ниже о структуре группы). Единственными другими сферами с такой структурой являются 0-сфера и 1-сфера (см. группу окружности ).

В отличие от 2-сферы, 3-сфера допускает неисчезающие векторные поля ( сечения ее касательного расслоения ). Можно даже найти три линейно независимых и неисчезающих векторных поля. Их можно взять за любые левоинвариантные векторные поля, образующие базис для алгебры Ли 3-сферы. Это подразумевает, что 3-сфера параллелизуема . Из этого следует, что касательное расслоение 3-сферы тривиально . Для общего обсуждения числа линейно независимых векторных полей на $n-$ сфере см. статью векторные поля на сферах .

Существует интересное действие группы окружности $T$ на $S 3 ,$ дающее 3-сфере структуру главного расслоения окружности, известного как расслоение Хопфа . Если рассматривать $S 3$ как подмножество $C 2$ , действие задается как

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T}

Пространство орбит этого действия гомеоморфно двумерной сфере $S 2.$ Поскольку $S 3$ не гомеоморфно $S 2 \times S 1$ , расслоение Хопфа нетривиально.

Топологическое построение

Существует несколько известных конструкций трехсферы. Здесь мы описываем склеивание пары трехшариков и затем одноточечную компактификацию.

Склеивание

3-сфера может быть построена топологически путем «склеивания» границ пары 3- шаров . Граница 3-шара является 2-сферой, и эти две 2-сферы должны быть идентифицированы. То есть, представьте себе пару 3-шаров одинакового размера, затем наложите их так, чтобы их 2-сферические границы совпали, и пусть совпадающие пары точек на паре 2-сфер будут тождественно эквивалентны друг другу. По аналогии со случаем 2-сферы (см. ниже), поверхность склеивания называется экваториальной сферой.

Обратите внимание, что внутренности 3-шаров не склеены друг с другом. Один из способов думать о четвертом измерении — это как о непрерывной действительной функции 3-мерных координат 3-шара, возможно, рассматриваемой как «температура». Мы принимаем «температуру» за ноль вдоль склеивающей 2-сферы и позволяем одному из 3-шаров быть «горячим», а другому 3-шару быть «холодным». «Горячий» 3-шар можно рассматривать как «верхнее полушарие», а «холодный» 3-шар можно рассматривать как «нижнее полушарие». Температура самая высокая/самая низкая в центрах двух 3-шаров.

Эта конструкция аналогична конструкции 2-сферы, выполненной путем склеивания границ пары дисков. Диск — это 2-шар, а граница диска — круг (1-сфера). Пусть пара дисков будет одинакового диаметра. Наложите их друг на друга и приклейте соответствующие точки на их границах. Снова можно думать о третьем измерении как о температуре. Аналогично мы можем раздуть 2-сферу, переместив пару дисков так, чтобы они стали северным и южным полушариями.

Компактификация по одной точке

После удаления одной точки из 2-сферы, то, что остается, гомеоморфно евклидовой плоскости. Таким же образом, удаление одной точки из 3-сферы дает трехмерное пространство. Чрезвычайно полезный способ увидеть это — стереографическая проекция . Сначала мы опишем версию с меньшим числом измерений.

Остановим южный полюс единичной 2-сферы на плоскости $xy$ в трехмерном пространстве. Мы отображаем точку $P$ сферы (за вычетом северного полюса $N$ ) на плоскость, отправляя $P$ на пересечение прямой $NP$ с плоскостью. Стереографическая проекция 3-сферы (снова удаляя северный полюс) отображается на трехмерное пространство таким же образом. (Обратите внимание, что, поскольку стереографическая проекция является конформной , круглые сферы отправляются на круглые сферы или на плоскости.)

Несколько иной способ думать об одноточечной компактификации — через экспоненциальное отображение . Возвращаясь к нашей картине единичной двумерной сферы, расположенной на евклидовой плоскости: рассмотрим геодезическую на плоскости, основанную на начале координат, и отобразим ее в геодезическую на двумерной сфере той же длины, основанную на южном полюсе. При этом отображении все точки окружности радиуса $π$ отправляются в северный полюс. Поскольку открытый единичный диск гомеоморфен евклидовой плоскости, это снова одноточечная компактификация.

Экспоненциальное отображение для 3-сферы строится аналогичным образом; его также можно обсудить, используя тот факт, что 3-сфера является группой Ли единичных кватернионов.

Системы координат на 3-сфере

Четыре евклидовы координаты для $S 3$ избыточны, поскольку они подчиняются условию $x 02 + x 12 + x 22 + x 32 = 1$ . Как 3-мерное многообразие, можно параметризовать $S 3$ тремя координатами, так же как можно параметризовать 2-сферу, используя две координаты (такие как широта и долгота ). Из-за нетривиальной топологии $S 3$ невозможно найти единый набор координат, который покрывает все пространство. Так же, как и на 2-сфере, необходимо использовать по крайней мере две координатные карты . Ниже приведены некоторые различные варианты выбора координат.

Гиперсферические координаты

Удобно иметь некий вид гиперсферических координат на $S 3$ по аналогии с обычными сферическими координатами на $S 2.$ Один из таких выборов — отнюдь не единственный — заключается в использовании $(ψ, θ, φ)$ , где

{\begin{align}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos \theta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \end{align}}

где $ψ$ и $θ$ находятся в диапазоне от 0 до $π$ , а $φ$ находится в диапазоне от 0 до 2 $π$ . Обратите внимание, что для любого фиксированного значения $ψ$ , $θ$ и $φ$ параметризуют 2-сферу радиуса , за исключением вырожденных случаев, когда $ψ$ равно 0 или $π$ , в этом случае они описывают точку. $r\sin \psi$

Круглая метрика на 3-сфере в этих координатах задается выражением ^[2]

ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]

и объемная форма по

dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \right)\,d\psi \wedge d\theta \wedge d\varphi .

Эти координаты имеют элегантное описание в терминах кватернионов . Любой единичный кватернион $q$ может быть записан как версор :

q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi

где $τ$ — единичный мнимый кватернион ; то есть кватернион, удовлетворяющий $τ 2 = -1$ . Это кватернионный аналог формулы Эйлера . Теперь единичные мнимые кватернионы все лежат на единичной 2-сфере в $Im H,$ поэтому любой такой $τ$ можно записать:

\tau =(\cos \theta)i+(\sin \theta \cos \varphi)j+(\sin \theta \sin \varphi)k

При такой форме $τ$ единичный кватернион $q$ задается выражением

q=e^{\tau \psi}=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k

где $x 0,1,2,3$ такие же, как и выше.

Когда $q$ используется для описания пространственных вращений (ср. кватернионы и пространственные вращения ), он описывает вращение вокруг $τ$ на угол $2 ψ$ .

Координаты Хопфа

$Для$ $единичного$ $радиуса$ $другой$ выбор гиперсферических координат, $(η, ξ1, ξ2)$ , использует вложение $S3$ в $C2$ . В комплексных $координатах$ $($ $z1, z2$ $)$ $\in$ $C2$ мы $записываем$

{\begin{align}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{align}}

Это также можно выразить в $R 4$ как

{\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}

Здесь $η$ пробегает диапазон от 0 до ⁠ $π$ /2⁠ , а $ξ 1$ и $ξ 2$ могут принимать любые значения между 0 и 2 $π$ . Эти координаты полезны при описании 3-сферы как расслоения Хопфа

S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,

Для любого фиксированного значения $η$ между 0 и ⁠ $π$ /2⁠ , координаты $(ξ 1, ξ 2)$ параметризуют 2-мерный тор . Кольца констант $ξ 1$ и $ξ 2$ выше образуют простые ортогональные сетки на торах. См. изображение справа. В вырожденных случаях, когда $η$ равно 0 или ⁠ $π$ /2⁠ , эти координаты описывают окружность .

Круговая метрика на 3-сфере в этих координатах задается выражением

ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}

и объемная форма по

dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.

Чтобы получить переплетенные окружности расслоения Хопфа , сделайте простую замену в уравнениях выше ^[3]

{\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned}}

В этом случае $η$ и $ξ 1$ определяют, какой круг, а $ξ 2$ определяет положение вдоль каждого круга. Один круговой обход (от 0 до 2 $π$ ) $ξ 1$ или $ξ 2$ равен круговому обходу тора в 2 соответствующих направлениях.

Стереографические координаты

Другой удобный набор координат может быть получен с помощью стереографической проекции S $3$ из полюса на соответствующую экваториальную гиперплоскость $R$ $3$ . Например, если мы проецируем из точки $(-1, 0, 0, 0),$ $мы$ можем записать точку $p$ в $S$ $3$ как

p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}

где $u = (u 1, u 2, u 3)$ — вектор в $R 3$ и $‖ u ‖ 2 = u 12 + u 22 + u 32$ . Во втором равенстве выше мы отождествили $p$ с единичным кватернионом, а $u = u 1 i + u 2 j + u 3 k$ — с чистым кватернионом. (Обратите внимание, что числитель и знаменатель здесь коммутируют, хотя кватернионное умножение, как правило, некоммутативно). Обратное отображение этого преобразования преобразует $p = (x 0, x 1, x 2, x 3)$ в $S 3$ в

\mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).

Мы могли бы с тем же успехом проецировать из точки $(1, 0, 0, 0)$ , в этом случае точка $p$ задается как

p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}

где $v = (v 1, v 2, v 3)$ — другой вектор в $R 3$ . Обратное отображение переводит $p$ в

\mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).

Обратите внимание, что координаты $u$ определены везде, кроме $(-1, 0, 0, 0)$ , а координаты $v$ везде, кроме $(1, 0, 0, 0)$ . Это определяет атлас на $S 3 ,$ состоящий из двух координатных карт или «патчей», которые вместе покрывают всю $S 3$ . Обратите внимание, что функция перехода между этими двумя картами при их перекрытии задается как

\mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u}

и наоборот.

Структура группы

При рассмотрении в качестве набора единичных кватернионов , $S 3$ наследует важную структуру, а именно структуру кватернионного умножения. Поскольку набор единичных кватернионов замкнут относительно умножения, $S 3$ принимает структуру группы . Более того, поскольку кватернионное умножение является гладким , $S 3$ можно рассматривать как действительную группу Ли . Это неабелева компактная группа Ли размерности 3. При рассмотрении в качестве группы Ли $S 3$ часто обозначается $Sp(1)$ или $U(1, H)$ .

Оказывается, что единственными сферами , которые допускают структуру группы Ли, являются $S 1$ , рассматриваемая как множество единичных комплексных чисел , и $S 3$ , множество единичных кватернионов (вырожденный случай $S 0$ , который состоит из действительных чисел 1 и −1, также является группой Ли, хотя и 0-мерной). Можно было бы подумать, что $S 7$ , множество единичных октонионов , будет образовывать группу Ли, но это неверно, поскольку умножение октонионов неассоциативно . Октонионная структура действительно придает $S 7$ одно важное свойство: параллелизуемость . Оказывается, единственными сферами, которые можно параллелизировать, являются $S 1$ , $S 3$ и $S 7$ .

Используя матричное представление кватернионов $H$ , получаем матричное представление $S 3.$ Один удобный выбор дается матрицами Паули :

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

Это отображение задает инъективный гомоморфизм алгебры из $H$ в множество комплексных матриц 2 × 2. Оно обладает тем свойством, что абсолютное значение кватерниона $q$ равно квадратному корню из определителя матричного образа $q$ .

Набор единичных кватернионов тогда задается матрицами вышеуказанной формы с единичным определителем. Эта матричная подгруппа — это в точности специальная унитарная группа $SU(2)$ . Таким образом, $S 3$ как группа Ли изоморфна SU $(2)$ .

Используя наши координаты Хопфа $(η, ξ 1, ξ 2),$ мы можем записать любой элемент $SU(2)$ в виде

{\begin{pmatrix}e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \\-e^{-i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}.

Другой способ сформулировать этот результат — выразить матричное представление элемента $SU(2)$ как экспоненту линейной комбинации матриц Паули. Видно, что произвольный элемент $U \in SU(2)$ можно записать как

U=\exp \left(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i}\right).

^[4]

Условие, что определитель $U$ равен +1, подразумевает, что коэффициенты $α 1$ ограничены и лежат на 3-сфере.

В литературе

В книге Эдвина Эбботта « Флатландия» , опубликованной в 1884 году, и в книге Диониса Бюргера «Страна сфер» , продолжении « Флатландии » 1965 года , 3-сфера называется надсферой , а 4-сфера — гиперсферой .

В своей статье в American Journal of Physics [ ^5] Марк А. Петерсон описывает три различных способа визуализации трехмерных сфер и указывает на язык в «Божественной комедии» , который предполагает, что Данте рассматривал Вселенную таким же образом; Карло Ровелли поддерживает ту же идею. ^[6]

В книге «Искусство встречается с математикой в четвертом измерении » ^[7] Стивен Л. Липскомб развивает концепцию измерений гиперсферы в ее связи с искусством, архитектурой и математикой.

Смотрите также

Ссылки

^ Леметр, Жорж (1948). «Кватернионы и эллиптическое пространство». Акта . 12 . Папская академия наук : 57–78.
^ Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1988). Классическая теория поля. Курс теоретической физики . Т. 2 (7-е изд.). М.: Наука . С. 385. ISBN 978-5-02-014420-0.
^ Банчофф, Томас. «Плоский тор в трехсфере».
^ Швихтенберг, Якоб (2015). Физика из симметрии . Cham: Springer. ISBN 978-3-319-19201-7. OCLC 910917227.
^ Петерсон, Марк А. (1979). «Данте и 3-сфера». American Journal of Physics . 47 (12): 1031–1035. Bibcode : 1979AmJPh..47.1031P. doi : 10.1119/1.11968. Архивировано из оригинала 23 февраля 2013 г.
^ Ровелли, Карло (9 сентября 2021 г.). Общая теория относительности: Основы. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1-00-901369-7. Получено 13 сентября 2021 г. .
^ Липскомб, Стивен (2014). Искусство встречает математику в четвертом измерении (2-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-319-06254-9. OCLC 893872366.

Дальнейшее чтение

Хендерсон, Дэвид В. (2001). "Глава 20: 3-сферы и гиперболические 3-пространства". Experiencing Geometry: In Euclidean, Spherical, and Hyperbolic Spaces (второе изд.). Prentice-Hall. Архивировано из оригинала 2018-06-19.
Weeks, Jeffrey R. (1985). "Глава 14: Гиперсфера". Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия. Предупреждение о терминологии: наша двумерная сфера определена в трехмерном пространстве, где она является границей трехмерного шара. Эта терминология является стандартной среди математиков, но не среди физиков. Так что не удивляйтесь, если вы обнаружите, что люди называют двумерную сферу трехмерной сферой.
Zamboj, Michal (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Journal of Computational Design and Engineering . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Гиперсфера». Математический мир . Примечание : в данной статье используется альтернативная схема наименования сфер, в которой сфера в $n$ -мерном пространстве называется $n$ -сферой.