артинское кольцо

В математике , в частности, в абстрактной алгебре , артиново кольцо (иногда кольцо Артина ) — это кольцо , которое удовлетворяет условию нисходящей цепи на (односторонних) идеалах ; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артиновы кольца названы в честь Эмиля Артина , который первым обнаружил, что условие нисходящей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и кольца, являющиеся конечномерными векторными пространствами над полями . Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие нисходящей цепи эквивалентным понятием: условием минимума .

Точнее, кольцо является артиновым слева , если оно удовлетворяет условию обрыва нисходящей цепи на левых идеалах, артиновым справа, если оно удовлетворяет условию обрыва нисходящей цепи на правых идеалах, и артиновым или двусторонне артиновым, если оно является как левым, так и правым артиновым. ^[1] Для коммутативных колец левое и правое определения совпадают, но в общем случае они отличны друг от друга.

Теорема Веддерберна –Артина характеризует каждое простое артиново кольцо как кольцо матриц над телом . Это означает, что простое кольцо является артиновым слева тогда и только тогда, когда оно является артиновым справа.

То же определение и терминологию можно применить к модулям , заменив идеалы подмодулями .

Хотя условие нисходящей цепи кажется дуальным условию восходящей цепи , в кольцах это на самом деле более сильное условие. В частности, следствием теоремы Акизуки–Хопкинса–Левицки является то, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) нётеровым кольцом . Это неверно для общих модулей; то есть артинов модуль не обязательно должен быть нётеровым модулем .

Примеры и контрпримеры

• Целостная область является артиновой тогда и только тогда, когда она является полем.
• Кольцо с конечным числом, скажем, левых, идеалов является артиновым слева. В частности, конечное кольцо (например, ) является артиновым слева и справа. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Пусть k — поле. Тогда является артиновым для любого положительного целого числа n . ${\displaystyle k[t]/(t^{n})}$
• Аналогично, является артиновым кольцом с максимальным идеалом . ${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\oplus k\cdot y^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$
• Пусть — эндоморфизм между конечномерным векторным пространством V. Тогда подалгебра, порожденная им, является коммутативным артиновым кольцом. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle x}$
• Если I — ненулевой идеал дедекиндовой области A , то — главное артиново кольцо. ^[2] ${\displaystyle A/I}$
• Для каждого полное матричное кольцо над левым артиновым (соответственно левым нётеровым) кольцом R является левым артиновым (соответственно левым нётеровым). ^[3] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$

Следующие два примера являются примерами неартиновых колец.

• Если R — любое кольцо, то кольцо многочленов R [ x ] не является артиновым, поскольку идеал, порожденный , (собственно) содержится в идеале, порожденном для всех натуральных чисел n . Напротив, если R — нётерово, то R [ x ] является нётеровым по теореме Гильберта о базисе . ${\displaystyle x^{n+1}}$ ${\displaystyle x^{n}}$
• Кольцо целых чисел является нётеровым кольцом, но не артиновым. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Модули над артиновыми кольцами

Пусть M — левый модуль над левым артиновым кольцом. Тогда следующие условия эквивалентны ( теорема Хопкинса ): (i) M конечно порожден , (ii) M имеет конечную длину (т.е. имеет композиционный ряд ), (iii) M нётеров, (iv) M артинов. ^[4]

Коммутативные артиновы кольца

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие условия эквивалентны.

• А — артиновский.
• A — конечное произведение коммутативных артиновых локальных колец . ^[5]
• A / nil( A ) — полупростое кольцо , где nil( A ) — нильрадикал кольца A . ^{[ требуется ссылка ]}
• Каждый конечно порождённый модуль над A имеет конечную длину. (см. выше)
• A имеет нулевую размерность Крулля . ^[6] (В частности, нильрадикал является радикалом Джекобсона, поскольку простые идеалы максимальны.)
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$конечен и дискретен.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$является дискретным. ^[7]

Пусть k — поле и A — конечно порожденная k - алгебра . Тогда A является артиновой тогда и только тогда, когда A конечно порождена как k -модуль.

Артиново локальное кольцо полно. Фактор и локализация артинова кольца артиновы.

Простое артиновское кольцо

Одна из версий теоремы Веддерберна–Артина утверждает, что простое артиново кольцо A является матричным кольцом над телом. Действительно, ^[8] пусть I — минимальный (ненулевой) правый идеал кольца A , который существует, поскольку A артиново (и остальная часть доказательства не использует тот факт, что A артиново). Тогда, поскольку — двусторонний идеал, поскольку A простое. Таким образом, мы можем выбрать так, что . Предположим, что k минимально относительно этого свойства. Рассмотрим отображение правых A -модулей: ${\displaystyle AI}$ ${\displaystyle AI=A}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle 1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I}$

${\displaystyle {\begin{cases}I^{\oplus k}\to A,\\(y_{1},\dots ,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots +a_{k}y_{k}\end{cases}}}$

Он сюръективен . Если он не инъективен , то, скажем, с ненулевым . Тогда, в силу минимальности I , имеем: . Отсюда следует: ${\displaystyle a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}A=I}$

${\displaystyle a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I}$,

что противоречит минимальности k . Следовательно, и, таким образом , . ${\displaystyle I^{\oplus k}\simeq A}$ ${\displaystyle A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))}$

Смотрите также

• алгебра Артина
• артиновский идеал
• Последовательный модуль
• Полуидеальное кольцо
• Кольцо Горенштейна
• Кольцо Нётера

Цитаты

1. Брешар 2014, стр. 73
2. Кларк, Теорема 20.11
3. Кон 2003, 5.2 Упражнение 11
4. Бурбаки 2012, VIII, стр. 7
5. Атья и Макдональд 1969, Теоремы 8.7
6. Атья и Макдональд 1969, Теоремы 8.5
7. Атья и Макдональд 1969, Гл. 8, Упражнение 2
8. Милнор 1971, стр. 144

Ссылки

• Ауслендер, Морис; Рейтен, Идун; Смало, Сверре О. (1995), Теория представлений алгебр Артина , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 36, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511623608, ISBN 978-0-521-41134-9, г-н  1314422
• Бурбаки, Николя (2012). Алгебра. Глава 8, Модули и другие полупростые методы . Гейдельберг: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-35315-7.
• Чарльз Хопкинс. Кольца с условием минимальности для левых идеалов. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712–730.
• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Кон, Пол Мориц (2003). Основы алгебры: группы, кольца и поля . Springer. ISBN 978-1-85233-587-8.
• Брешар, Матей (2014). Введение в некоммутативную алгебру . Springer. ISBN 978-3-319-08692-7.
• Кларк, Пит Л. "Коммутативная алгебра" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2010-12-14.
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую К-теорию , Annals of Mathematics Studies, т. 72, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , MR  0349811, Zbl  0237.18005