Многообразие Калаби–Яу

Риманово многообразие с SU(n) голономией

Двумерный срез шестимерного многообразия Калаби–Яу пятого порядка.

В алгебраической и дифференциальной геометрии многообразие Калаби–Яу , также известное как пространство Калаби–Яу , представляет собой особый тип многообразия , обладающего определенными свойствами, такими как плоскостность Риччи , что дает приложения в теоретической физике . В частности, в теории суперструн иногда предполагается, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби–Яу, что привело к идее зеркальной симметрии . Их название было придумано Канделасом и др. (1985) в честь Эухенио Калаби  (1954, 1957), который первым предположил, что такие поверхности могут существовать, и Шинг-Тунг Яу  (1978), который доказал гипотезу Калаби .

Многообразия Калаби–Яу — это комплексные многообразия , которые являются обобщениями поверхностей K3 в любом количестве комплексных измерений (т. е. любом четном количестве действительных измерений ). Первоначально они были определены как компактные кэлеровы многообразия с исчезающим первым классом Черна и риччи-плоской метрикой, хотя иногда используются и многие другие похожие, но неэквивалентные определения.

Определения

Мотивационное определение, данное Шинг-Тунг Яу, представляет собой компактное кэлерово многообразие с исчезающим первым классом Черна, которое также является плоским по Риччи. ^[1]

Существует много других определений многообразия Калаби–Яу, используемых разными авторами, некоторые из которых неэквивалентны. В этом разделе суммируются некоторые из наиболее распространенных определений и соотношения между ними.

Калаби–Яу -фолд или многообразие Калаби–Яу (комплексной) размерности иногда определяется как компактное -мерное кэлерово многообразие, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• Каноническая связка тривиальна . ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$имеет голоморфную -форму, которая нигде не исчезает. ${\displaystyle n}$
• Структурную группу касательного расслоения можно свести из , унитарной группы , к , специальной унитарной группе . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle SU(n)}$
• ${\displaystyle M}$имеет метрику Кэлера с глобальной голономией, содержащуюся в . ${\displaystyle SU(n)}$

Эти условия подразумевают, что первый целочисленный класс Черна равен нулю. Тем не менее, обратное неверно. Простейшими примерами, где это происходит, являются гиперэллиптические поверхности , конечные факторы комплексного тора комплексной размерности 2, которые имеют нулевой первый целочисленный класс Черна, но нетривиальное каноническое расслоение. ${\displaystyle c_{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Для компактного -мерного кэлерова многообразия следующие условия эквивалентны друг другу, но слабее приведенных выше условий, хотя иногда они используются в качестве определения многообразия Калаби–Яу: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$имеет исчезающий первый настоящий класс Черна.
• ${\displaystyle M}$имеет метрику Кэлера с исчезающей кривизной Риччи.
• ${\displaystyle M}$имеет кэлерову метрику с локальной голономией, содержащуюся в . ${\displaystyle SU(n)}$
• Положительная степень канонического расслоения тривиальна . ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$имеет конечное покрытие, имеющее тривиальное каноническое расслоение.
• ${\displaystyle M}$имеет конечное покрытие, являющееся произведением тора и односвязного многообразия с тривиальным каноническим расслоением.

Если компактное кэлерово многообразие односвязно, то слабое определение выше эквивалентно более сильному определению. Поверхности Энриквеса дают примеры комплексных многообразий, которые имеют риччи-плоские метрики, но их канонические расслоения нетривиальны, поэтому они являются многообразиями Калаби–Яу согласно второму, но не первому определению выше. С другой стороны, их двойные покрытия являются многообразиями Калаби–Яу для обоих определений (фактически, поверхности K3).

Самая сложная часть доказательства эквивалентностей между различными свойствами выше — это доказательство существования риччи-плоских метрик. Это следует из доказательства Яу гипотезы Калаби , которая подразумевает, что компактное кэлерово многообразие с исчезающим первым действительным классом Черна имеет кэлерову метрику в том же классе с исчезающей кривизной Риччи. (Класс кэлеровой метрики — это класс когомологий ее ассоциированной 2-формы.) Калаби показал, что такая метрика единственна.

Иногда используются и многие другие неэквивалентные определения многообразий Калаби–Яу, которые отличаются (помимо прочего) следующим:

• Первый класс Черна может исчезнуть как целочисленный класс или как действительный класс.
• Большинство определений утверждают, что многообразия Калаби–Яу компактны, но некоторые допускают, что они некомпактны. В обобщении на некомпактные многообразия разница должна исчезать асимптотически. Здесь — кэлерова форма, связанная с кэлеровой метрикой, . ^[2] ${\displaystyle (\Omega \wedge {\bar {\Omega }}-\omega ^{n}/n!)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$
• Некоторые определения накладывают ограничения на фундаментальную группу многообразия Калаби–Яу, например, требуя, чтобы оно было конечным или тривиальным. Любое многообразие Калаби–Яу имеет конечное покрытие, которое является произведением тора и односвязного многообразия Калаби–Яу.
• Некоторые определения требуют, чтобы голономия была точно равна , а не являлась ее подгруппой, что подразумевает, что числа Ходжа равны нулю для . Абелевы поверхности имеют плоскую метрику Риччи с голономией строго меньшей, чем (фактически тривиальной), поэтому не являются многообразиями Калаби–Яу согласно таким определениям. ${\displaystyle SU(n)}$ ${\displaystyle h^{i,0}}$ ${\displaystyle 0<i<\dim(M)}$ ${\displaystyle SU(2)}$
• Большинство определений предполагают, что многообразие Калаби–Яу имеет риманову метрику, но некоторые рассматривают их как комплексные многообразия без метрики.
• Большинство определений предполагают, что многообразие невырожденное, но некоторые допускают мягкие сингулярности. В то время как класс Черна не может быть хорошо определен для сингулярных Калаби–Яу, каноническое расслоение и канонический класс все еще могут быть определены, если все сингулярности являются горенштейновыми , и поэтому могут использоваться для расширения определения гладкого многообразия Калаби–Яу до возможно сингулярного многообразия Калаби–Яу.

Примеры

Фундаментальный факт заключается в том, что любое гладкое алгебраическое многообразие , вложенное в проективное пространство, является кэлеровым многообразием, поскольку существует естественная метрика Фубини–Штуди на проективном пространстве, которую можно ограничить до алгебраического многообразия. По определению, если ω — кэлерова метрика на алгебраическом многообразии X, а каноническое расслоение K _X тривиально, то X является расслоением Калаби–Яу. Более того, существует единственная кэлерова метрика ω на X, такая что [ ω ₀ ] = [ ω ] ∈  H ² ( X , R ), факт, который был выдвинут Эудженио Калаби и доказан Шинг-Тунгом Яу (см. гипотеза Калаби ).

Алгебраические кривые Калаби–Яу

В одном комплексном измерении единственными компактными примерами являются торы , которые образуют однопараметрическое семейство. Риччи-плоская метрика на торе на самом деле является плоской метрикой , так что голономия — это тривиальная группа SU(1). Одномерное многообразие Калаби–Яу — это комплексная эллиптическая кривая , и, в частности, алгебраическая .

CY алгебраические поверхности

В двух комплексных измерениях поверхности K3 предоставляют единственные компактные односвязные многообразия Калаби–Яу. Они могут быть построены как поверхности четвертой степени в , такие как комплексное алгебраическое многообразие, определяемое исчезающим локусом ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$для ${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]\in \mathbb {P} ^{3}}$

Другие примеры могут быть построены как эллиптические расслоения, ^[3] как факторы абелевых поверхностей, ^[4] или как полные пересечения .

Неодносвязные примеры даются абелевыми поверхностями , которые являются действительными четырьмя торами, снабженными комплексной структурой многообразия. Поверхности Энриквеса и гиперэллиптические поверхности имеют первый класс Черна, который исчезает как элемент действительной группы когомологий, но не как элемент целочисленной группы когомологий, поэтому теорема Яу о существовании риччи-плоской метрики все еще применима к ним, но иногда они не считаются многообразиями Калаби–Яу. Абелевы поверхности иногда исключаются из классификации как являющиеся многообразиями Калаби–Яу, поскольку их голономия (снова тривиальная группа) является собственной подгруппой SU(2), а не изоморфна SU(2). Однако подмножество поверхностей Энриквеса не полностью соответствует подгруппе SU(2) в ландшафте теории струн . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{4}}$

CY трижды

В трех комплексных измерениях классификация возможных многообразий Калаби–Яу является открытой проблемой, хотя Яу подозревает, что существует конечное число семейств (хотя и гораздо большее, чем его оценка 20-летней давности). В свою очередь, Майлз Рид также предположил , что число топологических типов трехмерных многообразий Калаби–Яу бесконечно, и что все они могут быть непрерывно преобразованы (через определенные мягкие сингуляризации, такие как конифолды ) друг в друга — во многом так же, как это могут делать римановы поверхности . ^[5] Одним из примеров трехмерного многообразия Калаби–Яу является неособое трехмерное квинтическое многообразие в CP 4 , которое является алгебраическим многообразием, состоящим из всех нулей однородного квинтического полинома в однородных координатах CP ⁴ . Другим примером является гладкая модель квинтики Барта–Ньето . Некоторые дискретные факторы квинтики по различным действиям Z ₅ также являются Калаби–Яу и получили много внимания в литературе. Один из них связан с исходной квинтикой зеркальной симметрией .

Для каждого положительного целого числа n нулевое множество в однородных координатах комплексного проективного пространства CP ^{n +1} невырожденного однородного полинома степени n  + 2 от n  + 2 переменных является компактным n -кратным Калаби–Яу. Случай n  = 1 описывает эллиптическую кривую, а при n  = 2 получается поверхность K3.

В более общем смысле, многообразия/орбифолды Калаби–Яу можно найти как взвешенные полные пересечения во взвешенном проективном пространстве . Основным инструментом для нахождения таких пространств является формула присоединения .

Все гиперкэлеровы многообразия являются многообразиями Калаби–Яу.

Построено из алгебраических кривых

Для алгебраической кривой можно построить квазипроективное трехмерное пространство Калаби-Яу ^[6] как полное пространство , где . Для канонической проекции мы можем найти относительное касательное расслоение , используя последовательность относительных касательных ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V={\text{Tot}}({\mathcal {L}}_{1}\oplus {\mathcal {L}}_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\otimes {\mathcal {L}}_{2}\cong \omega _{C}}$ ${\displaystyle p:V\to C}$ ${\displaystyle T_{V/C}}$ ${\displaystyle p^{*}({\mathcal {L}}_{1}\oplus {\mathcal {L}}_{2})}$

${\displaystyle 0\to T_{V/C}\to T_{V}\to p^{*}T_{C}\to 0}$

и наблюдая, что только касательные векторы в волокне, которые не находятся в прообразе, канонически связаны с волокнами векторного расслоения. Используя это, мы можем использовать относительную последовательность котангенса ${\displaystyle p^{*}T_{C}}$

${\displaystyle 0\to p^{*}\Omega _{C}\to \Omega _{V}\to \Omega _{V/C}\to 0}$

вместе со свойствами клиновых сил, которые

${\displaystyle \omega _{V}=\bigwedge ^{3}\Omega _{V}\cong f^{*}\omega _{C}\otimes \bigwedge ^{2}\Omega _{V/C}}$

и придавая тривиальность . ${\displaystyle \Omega _{V/C}\cong {\mathcal {L}}_{1}^{*}\oplus {\mathcal {L}}_{2}^{*}}$ ${\displaystyle \omega _{V}}$

Построено из алгебраических поверхностей

Используя аналогичный аргумент, как и для кривых, полное пространство канонического пучка для алгебраической поверхности образует трехмерное многообразие Калаби-Яу. Простой пример — над проективным пространством. ${\displaystyle {\text{Tot}}(\omega _{S})}$ ${\displaystyle \omega _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Tot}}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(-3))}$

Приложения в теории суперструн

Многообразия Калаби–Яу играют важную роль в теории суперструн . По сути, многообразия Калаби–Яу являются формами, которые удовлетворяют требованию пространства для шести «невидимых» пространственных измерений теории струн, которые могут быть меньше наших наблюдаемых в настоящее время длин, поскольку они еще не обнаружены. Популярная альтернатива, известная как большие дополнительные измерения , которая часто встречается в моделях мира на бране , заключается в том, что Калаби–Яу велико, но мы ограничены небольшим подмножеством, на котором оно пересекает D-брану . Дальнейшие расширения в более высокие измерения в настоящее время изучаются с дополнительными ответвлениями для общей теории относительности .

В большинстве обычных моделей суперструн десять предполагаемых измерений в теории струн предположительно приходят как четыре из которых мы знаем, неся некое расслоение с размерностью слоя шесть. Компактификация на n -складках Калаби–Яу важна, потому что она оставляет часть исходной суперсимметрии ненарушенной. Точнее, в отсутствие потоков компактификация на 3-складке Калаби–Яу (действительная размерность 6) оставляет одну четверть исходной суперсимметрии ненарушенной, если голономия является полной SU(3).

В более общем случае компактификация без потоков на n -многообразии с голономией SU( n ) оставляет 2 ^{1− n} исходной суперсимметрии ненарушенной, что соответствует 2 ^{6− n} суперзарядам в компактификации супергравитации типа IIA или 2 ^{5− n} суперзарядам в компактификации типа I. Когда потоки включены, условие суперсимметрии вместо этого подразумевает, что многообразие компактификации будет обобщенным Калаби–Яу, понятие, введенное Хитчином (2003). Эти модели известны как компактификации потоков .

Компактификации F-теории на различных четырехмерных многообразиях Калаби–Яу предоставляют физикам метод нахождения большого числа классических решений в так называемом ландшафте теории струн .

С каждым отверстием в пространстве Калаби-Яу связана группа низкоэнергетических колебательных паттернов струн. Поскольку теория струн утверждает, что наши знакомые элементарные частицы соответствуют низкоэнергетическим колебаниям струн, наличие нескольких отверстий приводит к тому, что струнные паттерны распадаются на несколько групп или семейств . Хотя следующее утверждение было упрощено, оно передает логику аргумента: если Калаби-Яу имеет три отверстия, то экспериментально будут наблюдаться три семейства колебательных паттернов и, следовательно, три семейства частиц.

Логично, что поскольку струны вибрируют во всех измерениях, форма скрученных струн будет влиять на их вибрации и, таким образом, на свойства наблюдаемых элементарных частиц. Например, Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен показали, что массы частиц зависят от способа пересечения различных отверстий в пространстве Калаби-Яу. Другими словами, Строминджер и Виттен обнаружили, что положения отверстий относительно друг друга и относительно вещества пространства Калаби-Яу определенным образом влияют на массы частиц. Это справедливо для всех свойств частиц. ^[7]

Алгебра Калаби-Яу

Алгебра Калаби–Яу была введена Виктором Гинзбургом для переноса геометрии многообразия Калаби–Яу в некоммутативную алгебраическую геометрию . ^{[8] [9]}

Смотрите также

• Квинтика трехкратная
• G2 коллектор

В поп-культуре

• Многообразие Калаби-Яу было предметом статьи, написанной в соавторстве с Шелдоном Купером во 2-м эпизоде ​​седьмого сезона сериала «Детство Шелдона» .
• Образы, основанные на многообразиях Калаби-Яу, использовались в 5-м эпизоде ​​сериала « Проблема трех тел» для иллюстрации многомерных возможностей инопланетной цивилизации Сан-Ти.
• В Half-Life 2 доктор Моссман описывает телепорты как работающие с помощью «струнной» технологии, использующей «модель Калаби-Яу».

Ссылки

1. Яу и Надис (2010).
2. Тянь и Яу (1991).
3. Пропп, Орон Ю. (2019-05-22). «Построение явных спектров K3». стр. 4. arXiv : 1810.08953 [math.AT].
4. Szymik, Markus (2020-02-12). "K3 spectra". Бюллетень Лондонского математического общества . 42 : 137–148. arXiv : 2002.04879 . doi :10.1112/blms/bdp106. S2CID  1070427.
5. Рид, Майлз (1987). «Пространство модулей 3-мерных многообразий с K  = 0 может, тем не менее, быть неприводимым». Mathematische Annalen . 278 (1–4): 329–334. doi :10.1007/bf01458074. S2CID  120390363.
6. Сзендрой, Балаж (27 апреля 2016 г.). «Когомологическая теория Дональдсона-Томаса». arXiv : 1503.07349 [math.AG].
7. "Форма скрученных измерений". Архивировано из оригинала 13 сентября 2006 г.
8. Гинзбург, Виктор (2007). «Алгебры Калаби-Яу». arXiv : math/0612139 .
9. Шедлер, Трэвис (2019). «Деформации алгебр в некоммутативной геометрии». arXiv : 1212.0914 [math.RA].

• Калаби, Эухенио (1954), «Пространство метрик Кэлера», Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam , т. 2, стр. 206–207, архивировано из оригинала 2011-07-17
• Калаби, Эухенио (1957), «О кэлеровых многообразиях с исчезающим каноническим классом», в Fox, Ralph H. ; Spencer, Donald C. ; Tucker, Albert W. (ред.), Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь С. Лефшеца, Princeton Mathematical Series, т. 12, Princeton University Press , стр. 78–89, ISBN 9780691079073, МР  0085583
• Канделас, Филипп; Горовиц, Гари; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985), «Вакуумные конфигурации для суперструн», Nuclear Physics B , 258 : 46–74, Bibcode : 1985NuPhB.258...46C, doi : 10.1016/0550-3213(85)90602-9, архивировано из оригинала 20 декабря 2012 г.
• Хитчин, Найджел (2003), «Обобщенные многообразия Калаби–Яу», The Quarterly Journal of Mathematics , 54 (3): 281–308, arXiv : math.DG/0209099 , CiteSeerX  10.1.1.237.8935 , doi :10.1093/qmath/hag025, MR  2013140
• Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1991), "Полные кэлеровы многообразия с нулевой кривизной Риччи, II", Invent. Math. , 106 (1): 27–60, Bibcode : 1991InMat.106...27T, doi : 10.1007/BF01243902, S2CID  122638262
• Яу, Шинг Тунг (1978), «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I», Сообщения по чистой и прикладной математике , 31 (3): 339–411, doi :10.1002/cpa.3160310304, MR  0480350
• Яу, Шинг-Тунг (2009a), «Обзор многообразий Калаби–Яу», Геометрия, анализ и алгебраическая геометрия: сорок лет журналу дифференциальной геометрии , Обзоры дифференциальной геометрии, т. 13, Сомервилл, Массачусетс: Int. Press, стр. 277–318, doi : 10.4310/SDG.2008.v13.n1.a9 , MR  2537089
• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010), Форма внутреннего пространства , Basic Books, ISBN 978-0-465-02023-2

Дальнейшее чтение

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-15279-8, OCLC  13793300
• Бини; Яконо (2016), Классы диффеоморфизма многообразий Калаби – Яу (PDF) , arXiv : 1612.04311 , Bibcode : 2016arXiv161204311B
• Чан, Ят-Мин (2004), Десингуляризации трехмерных многообразий Калаби-Яу с конической особенностью , arXiv : math/0410260 , Bibcode : 2004math.....10260C
• Грин, Брайан (1997), Теория струн на многообразиях Калаби–Яу , Поля, струны и дуальность (Боулдер, Колорадо, 1996), River Edge, Нью-Джерси: World Sci. Publ., стр. 543–726, arXiv : hep-th/9702155v1 , Bibcode : 1997hep.th....2155G, MR  1479700
• Гросс, М.; Хайбрехтс, Д.; Джойс, Доминик (2003), Многообразия Калаби–Яу и связанные с ними геометрии , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-19004-9 , ISBN 978-3-540-44059-8, MR  1963559, OCLC  50695398
• Хе, Ян-Ху (2021), Ландшафт Калаби–Яу: от геометрии к физике и машинному обучению , Швейцария: Springer International Publishing, ISBN 978-3-030-77562-9
• Хюбш, Тристан (1994), Многообразия Калаби–Яу: бестиарий для физиков, Сингапур, Нью-Йорк: World Scientific , ISBN 978-981-02-1927-7, OCLC  34989218, заархивировано из оригинала 2010-01-13 , извлечено 2009-02-04
• Джойс, Доминик (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850601-0, OCLC  43864470
• Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1990), "Полные кэлеровы многообразия с нулевой кривизной Риччи, I", J. Amer. Math. Soc. , 3 (3): 579–609, doi :10.2307/1990928, JSTOR  1990928
• Яу, ST (2009b), «Многообразие Калаби – Яу», Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode : 2009SchpJ...4.6524Y, doi : 10.4249/scholarpedia.6524(аналогично (Яу 2009а))

Внешние ссылки

• Домашняя страница Калаби–Яу представляет собой интерактивный справочник, описывающий множество примеров и классов многообразий Калаби–Яу, а также физические теории, в которых они появляются.
• Видео о вращающемся пространстве Калаби-Яу.
• Пространство Калаби–Яу Эндрю Дж. Хансона с дополнительным вкладом Джеффа Брайанта, Wolfram Demonstrations Project .
• Вайсштейн, Эрик В. «Пространство Калаби–Яу». MathWorld .

Статьи для начинающих

• Обзор эллиптических расслоений Калаби-Яу
• Лекции о пейзаже Калаби-Яу
• Расслоения в трехмерных многообразиях CICY - ( полное пересечение Калаби-Яу)