Причинная структура

В математической физике причинная структура лоренцева многообразия описывает причинные связи между точками в многообразии.

Введение

В современной физике (особенно в общей теории относительности ) пространство-время представляется лоренцевым многообразием . Причинно-следственные связи между точками многообразия интерпретируются как описание того, какие события в пространстве-времени могут влиять на какие другие события.

Причинная структура произвольного (возможно, искривленного) лоренцева многообразия усложняется наличием кривизны . Обсуждение причинной структуры таких многообразий должно быть сформулировано в терминах гладких кривых , соединяющих пары точек. Тогда условия на касательных векторах кривых определяют причинно-следственные связи.

Касательные векторы

Разделение пространства-времени Минковского относительно точки на четыре непересекающихся множества. Световой конус , причинное будущее , причинное прошлое и где-то ещё . Терминология определена в этой статье.

Если это лоренцево многообразие (для метрики на многообразии ), то ненулевые касательные векторы в каждой точке многообразия можно разделить на три непересекающихся типа. Касательный вектор : ${\displaystyle \,(M,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

• похоже на время , если ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• нулевой или светоподобный , если ${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• пространственноподобный , если ${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

Здесь мы используем метрическую сигнатуру . Мы говорим, что касательный вектор непространственноподобен, если он равен нулю или времениподобен. ${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$

Каноническое лоренцево многообразие — это пространство-время Минковского , где и — плоская метрика Минковского . Названия касательных векторов взяты из физики этой модели. Причинно-следственные связи между точками в пространстве-времени Минковского принимают особенно простую форму, поскольку касательное пространство также является таковым, и, следовательно, касательные векторы могут быть отождествлены с точками в пространстве. Четырехмерный вектор классифицируется по знаку , где – декартова координата в трехмерном пространстве, – константа, представляющая универсальный предел скорости, – время. Классификация любого вектора в пространстве будет одинаковой во всех системах отсчета, связанных преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре , поскольку при этом начало координат может быть смещено) из-за инвариантности метрики. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle X=(t,r)}$ ${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$

Ориентированность во времени

В каждой точке времениподобные касательные векторы в касательном пространстве точки можно разделить на два класса. Для этого мы сначала определим отношение эквивалентности на парах времениподобных касательных векторов. ${\displaystyle M}$

Если и являются двумя времениподобными касательными векторами в точке, мы говорим, что и эквивалентны (записывается ), если . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\sim Y}$ ${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$

Тогда существуют два класса эквивалентности , которые между собой содержат все времениподобные касательные векторы в точке. Мы можем (произвольно) назвать один из этих классов эквивалентности ориентированным в будущее , а другой — ориентированным в прошлое . Физически такое обозначение двух классов времениподобных векторов, направленных в будущее и прошлое, соответствует выбору стрелы времени в точке. Обозначения, ориентированные на будущее и прошлое, могут быть расширены до нулевых векторов в точке за счет непрерывности.

Лоренцево многообразие является ориентированным во времени ^[1] , если непрерывное обозначение направленных в будущее и направленных в прошлое для непространственноподобных векторов может быть сделано на всем многообразии.

Кривые

Путь в — это непрерывное отображение, где — невырожденный интервал (т . е. связное множество, содержащее более одной точки) в . Гладкий путь имеет дифференцируемость соответствующее количество раз (обычно ) , а регулярный путь имеет ненулевую производную. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Кривая в — это образ пути или, точнее, класс эквивалентности образов путей, связанных перепараметризацией, т. е . гомеоморфизмами или диффеоморфизмами пути . Когда кривая ориентирована по времени, кривая ориентирована , если требуется, чтобы изменение параметра было монотонным . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$

Гладкие регулярные кривые (или пути) можно классифицировать в зависимости от их касательных векторов. Такая кривая ${\displaystyle M}$

• хронологический (или времениподобный ), если касательный вектор времениподобен во всех точках кривой. Также называется мировой линией . ^[2]
• null , если касательный вектор равен нулю во всех точках кривой.
• пространственноподобен , если касательный вектор пространственноподобен во всех точках кривой.
• причинный (или непространственноподобный ), если касательный вектор времениподобен или равен нулю во всех точках кривой.

Требования регулярности и невырожденности гарантируют, что замкнутые причинные кривые (например, состоящие из одной точки) не допускаются автоматически во все пространства-времени. ${\displaystyle \Sigma }$

Если многообразие ориентировано во времени, то непространственноподобные кривые можно дополнительно классифицировать в зависимости от их ориентации относительно времени.

Хронологическая, нулевая или причинно-следственная кривая ${\displaystyle M}$

• направлено в будущее , если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в будущее.
• направлено в прошлое , если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в прошлое.

Эти определения применимы только к причинным (хронологическим или нулевым) кривым, поскольку только времениподобным или нулевым касательным векторам можно присвоить ориентацию относительно времени.

• Замкнутая времяподобная кривая — это замкнутая кривая, которая везде времениподобна, направленная в будущее (или всюду времениподобна, направленная в прошлое).
• Замкнутая нулевая кривая — это замкнутая кривая, которая везде имеет нулевое значение, направленное в будущее (или всюду нулевое, направленное в прошлое).
• Голономия отношения скорости изменения аффинного параметра вокруг замкнутой нулевой геодезической является фактором красного смещения .

Причинно-следственные связи

Между точками и в многообразии существует несколько причинно-следственных связей . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle x}$ хронологически предшествует (часто обозначается ), если существует направленная в будущее хронологическая (времяподобная) кривая от до . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \,x\ll y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ строго причинно предшествует (часто обозначается ), если существует направленная в будущее причинная (непространственноподобная) кривая от до . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ причинно предшествует (часто обозначается или ), если строго причинно предшествует или . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle x}$ horismos ^[3] (часто обозначается или ), если или существует направленная в будущее нулевая кривая от до ^[4] (или, что то же самое, и ). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\to y}$ ${\displaystyle x\nearrow y}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle x\not \ll y}$

Эти отношения удовлетворяют следующим свойствам:

• ${\displaystyle x\ll y}$подразумевает (это тривиально следует из определения) ^[5] ${\displaystyle x\prec y}$
• ${\displaystyle x\ll y}$, подразумевает ^[5] ${\displaystyle y\prec z}$ ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle x\prec y}$, подразумевает ^[5] ${\displaystyle y\ll z}$ ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle \ll }$, , транзитивны . _ ^[5] не является транзитивным. ^[6] ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle \to }$
• ${\displaystyle \prec }$, рефлексивны ^[4 ] ${\displaystyle \to }$

Для точки многообразия определим ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

• Хронологическое будущее России обозначается , как совокупность всех точек в таком, что хронологически предшествует : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• Хронологическое прошлое России обозначается , как совокупность всех точек в таком виде, что хронологически предшествует : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

Аналогично определяем

• Причинное будущее (также называемое абсолютным будущим ) обозначается как совокупность всех точек в таком, что причинно предшествует : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• Причинное прошлое (также называемое абсолютным прошлым ) обозначается как совокупность всех точек в таком, что причинно предшествует : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• Будущий нулевой конус как набор всех точек в таком, что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\to y}$
• Прошлый нулевой конус как набор всех точек в таком, что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y\to x}$
• Световой конус как будущее и прошлое составляют нулевые конусы вместе. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• в другом месте как точки, не находящиеся в световом конусе, причинном будущем или причинном прошлом. ^[7]

Точки, содержащиеся в , например, могут быть достигнуты с помощью времениподобной кривой, направленной в будущее. Точка может быть достигнута, например, из точек, содержащихся в направленной в будущее непространственноподобной кривой. ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

В пространстве-времени Минковского множество представляет собой внутреннюю часть будущего светового конуса в точке . Набор представляет собой полный световой конус будущего по адресу , включая сам конус. ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Эти множества , определенные для всех в , вместе называются причинной структурой . ${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Для подмножества определим ^[ 5 ] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

Для двух подмножеств мы определяем ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle M}$

• Хронологическое будущее относительно ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ , ​​является хронологическим будущим рассматриваемого как подмногообразие . Обратите внимание, что это совершенно другая концепция , которая дает набор точек, в которых могут быть достигнуты направленные в будущее времениподобные кривые, начиная с . В первом случае кривые должны лежать, во втором — нет. См. Хокинг и Эллис. ${\displaystyle I^{+}[S;T]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$
• Причинное будущее относительно ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ , ​​является причинным будущим, рассматриваемым как подмногообразие . Обратите внимание, что это совершенно другая концепция, которая дает набор точек, в которых могут быть достигнуты направленные в будущее причинные кривые, начиная с . В первом случае кривые должны лежать, во втором — нет. См. Хокинг и Эллис. ${\displaystyle J^{+}[S;T]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$
• Будущее множество — это множество, закрытое в хронологическом будущем.
• Прошлый набор — это набор, закрытый по хронологическому прошлому.
• Неразложимое прошлое множество (IP) — это прошлое множество, которое не является объединением двух разных подмножеств открытого прошлого.
• IP, который не совпадает с прошлым какой-либо точки, называется терминальным неразложимым множеством прошлого (TIP). ${\displaystyle M}$
• Правильный неразложимый набор прошлого (PIP) — это IP, который не является TIP. является собственным неразложимым прошлым множеством (PIP). ${\displaystyle I^{-}(x)}$
• Будущее развитие Коши представляет собой набор всех точек , для которых каждая направленная в прошлое нерастяжимая причинная кривая пересекается хотя бы один раз. То же самое и с прошлым развитием Коши. Развитие Коши представляет собой объединение будущих и прошлых разработок Коши. Разработки Коши важны для изучения детерминизма . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D^{+}(S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$
• Подмножество является хрональным, если не существует такого , что или, что то же самое, if не пересекается с . ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle q,r\in S}$ ${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I^{+}[S]}$

Причинный алмаз

• Поверхность Коши представляет собой замкнутое хрональное множество, развитие Коши которого равно . ${\displaystyle M}$
• Метрика называется глобально гиперболической, если она расслаивается на поверхности Коши.
• Множеством , нарушающим хронологию , называется множество точек, через которые проходят замкнутые времениподобные кривые.
• Множество , нарушающее причинность, — это множество точек, через которые проходят замкнутые причинные кривые.
• Границей множества, нарушающего причинность, является горизонт Коши . Если горизонт Коши создается замкнутыми нулевыми геодезическими, то с каждой из них связан коэффициент красного смещения.
• Для причинной кривой причинный ромб ( здесь мы используем более широкое определение «кривой», согласно которому это просто набор точек) — это точка в причинном прошлом . Другими словами: причинный ромб мировой линии частицы — это совокупность всех событий, которые лежат как в прошлом некоторой точки в , так и в будущем некоторой точки в . В дискретной версии причинный ромб представляет собой совокупность всех причинных путей, соединяющихся с . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})}$ ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})}$

Характеристики

См. Пенроуз (1972), стр. 13.

• Точка находится в том и только в том случае, если находится в . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,I^{-}(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• Горизм порождается нулевыми геодезическими конгруэнтностями.

Топологические свойства:

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$открыт для всех точек в . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$открыт для всех подмножеств . ${\displaystyle S\subset M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$для всех подмножеств . Вот и завершение подмножества . ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$

Конформная геометрия

Две метрики и конформно связаны ^[8] , если для некоторой вещественной функции, называемой конформным фактором . (См. конформную карту ). ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}=\Omega ^{2}g}$ ${\displaystyle \Omega }$

Глядя на определения того, какие касательные векторы являются времениподобными, нулевыми и пространственноподобными, мы видим, что они остаются неизменными, если мы используем или . В качестве примера предположим , что это времениподобный касательный вектор относительно метрики. Это значит, что . Тогда мы имеем, что это времениподобный касательный вектор относительно тоже . ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$ ${\displaystyle {\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

Отсюда следует, что причинная структура лоренцева многообразия не изменяется при конформном преобразовании .

Нулевая геодезическая остается нулевой геодезической при конформном изменении масштаба.

Конформная бесконечность

Бесконечная метрика допускает геодезические бесконечной длины/собственного времени. Однако иногда мы можем выполнить конформное масштабирование метрики с конформным коэффициентом, который достаточно быстро падает до 0 по мере приближения к бесконечности, чтобы получить конформную границу многообразия. Топологическая структура конформной границы зависит от причинной структуры.

• Направленные в будущее времениподобные геодезические в конечном итоге оказываются на будущей времениподобной бесконечности . ${\displaystyle i^{+}}$
• Направленные в прошлое времяподобные геодезические в конечном итоге оказываются в прошлом , подобном времени, бесконечности . ${\displaystyle i^{-}}$
• Направленная в будущее нулевая геодезическая в конечном итоге оказывается на ℐ ⁺ , будущей нулевой бесконечности .
• Нулевая геодезическая, направленная в прошлое, оказывается на ℐ ⁻ , нулевой бесконечности прошлого .
• Пространственноподобные геодезические оказываются на пространственноподобной бесконечности .

В различных помещениях:

• Пространство Минковского : точки, ℐ ^± — нулевые листы, а пространственноподобная бесконечность имеет коразмерность 2. ${\displaystyle i^{\pm }}$
• Пространство Антиде Ситтера : не существует времениподобной или нулевой бесконечности, а пространственноподобная бесконечность имеет коразмерность 1.
• Пространство де Ситтера : будущее и прошлое времениподобной бесконечности имеют коразмерность 1.

Гравитационная сингулярность

Если геодезическая заканчивается после конечного аффинного параметра и невозможно расширить многообразие для расширения геодезической, то мы имеем особенность .

• Для черных дыр будущая времяподобная граница в некоторых местах заканчивается сингулярностью .
• Для Большого взрыва прошедшая времяподобная граница также является сингулярностью.

Абсолютный горизонт событий — это нулевой конус будущего времениподобной бесконечности. Он создается нулевыми геодезическими, которые подчиняются оптическому уравнению Райчаудхури .

Смотрите также

• Причинно-динамическая триангуляция (CDT)
• Условия причинности
• Причинные множества
• Поверхность Коши
• Замкнутая времениподобная кривая
• Гипотеза космической цензуры
• Глобально гиперболическое многообразие
• Пространство-время Маламента – Хогарта
• Нулевая бесконечность
• Диаграмма Пенроуза
• Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях
• Пространство-время

Примечания

1. Хокинг и Израиль 1979, с. 255
2. Галлоуэй, Грегори Дж. «Заметки о лоренцевой причинности» (PDF) . Летняя школа ESI-EMS-IAMP по математической теории относительности . Университет Майами. п. 4 . Проверено 2 июля 2021 г.
3. Пенроуз 1972, с. 15
4. Пападопулос, Кириакос; Ачарджи, Сантану; Пападопулос, Бэзил К. (май 2018 г.). «Порядок на световом конусе и его индуцированная топология». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 15 (5): 1850069–1851572. arXiv : 1710.05177 . Бибкод : 2018IJGMM..1550069P. дои : 10.1142/S021988781850069X. S2CID  119120311.
5. Пенроуз 1972, с. 12
6. Стойка, OC (25 мая 2016 г.). «Причинная структура и измерение пространства-времени на основе горизмотических отношений». Журнал гравитации . 2016 : 1–6. arXiv : 1504.03265 . дои : 10.1155/2016/6151726 .
7. Сард 1970, с. 78
8. Хокинг и Эллис 1973, с. 42

Рекомендации

• Хокинг, Юго-Запад ; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-20016-4
• Хокинг, Юго-Запад ; Израиль, В. (1979), Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-22285-0
• Пенроуз, Р. (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности , SIAM, ISBN 0898710057
• Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 978-0805384918.

дальнейшее чтение

• Г.В. Гиббонс , С.Н. Солодухин; Геометрия малых причинных ромбов arXiv:hep-th/0703098 (Каузальные интервалы)
• С.В. Хокинг , А.Р. Кинг, П.Дж. Маккарти; Новая топология искривленного пространства-времени, включающая причинную, дифференциальную и конформную структуры ; Дж. Математика. Физ. 17 2:174-181 (1976); (Геометрия, Причинная структура )
• А.В. Левичев; Задание конформной геометрии лоренцева многообразия посредством его причинной структуры ; Советская математика. Докл. 35:452-455 (1987); (Геометрия, Причинная структура )
• Д. Маламент ; Класс непрерывных времяподобных кривых определяет топологию пространства-времени ; Дж. Математика. Физ. 18 7:1399-1404 (1977); (Геометрия, Причинная структура )
• А. А. Робб ; Теория времени и пространства ; Издательство Кембриджского университета, 1914 год; (Геометрия, Причинная структура )
• А. А. Робб ; Абсолютные отношения времени и пространства ; Издательство Кембриджского университета, 1921; (Геометрия, Причинная структура )
• А. А. Робб ; Геометрия времени и пространства ; Издательство Кембриджского университета, 1936; (Геометрия, Причинная структура )
• Р.Д. Соркин , Э. Вулгар; Причинный порядок для пространства-времени с лоренцевой метрикой C^0: доказательство компактности пространства причинных кривых ; Классическая и квантовая гравитация 13: 1971–1994 (1996); arXiv:gr-qc/9508018 ( Причинная структура )

Внешние ссылки

• Причинно-следственные сети машины Тьюринга, Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram
• Вайсштейн, Эрик В. «Причинно-следственная сеть». Математический мир .