F-пространство

Топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой

В функциональном анализе F -пространство — это векторное пространство над действительными или комплексными числами вместе с метрикой, такой что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. Скалярное умножение в непрерывно относительно и стандартной метрики на или ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
2. Сложение непрерывно относительно ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$
3. Метрика инвариантна относительно трансляции , то есть для всех ${\displaystyle d(x+a,y+a)=d(x,y)}$ ${\displaystyle x,y,a\in X.}$
4. Метрическое пространство является полным . ${\displaystyle (X,d)}$

Операция называется F-нормой , хотя в общем случае F-норма не обязана быть однородной. Благодаря трансляционной инвариантности метрика восстанавливается из F-нормы. Таким образом, действительное или комплексное F-пространство эквивалентно действительному или комплексному векторному пространству, снабженному полной F-нормой. ${\displaystyle x\mapsto \|x\|:=d(0,x)}$

Некоторые авторы используют термин пространство Фреше вместо F-пространства , но обычно термин «пространство Фреше» зарезервирован для локально выпуклых F-пространств. Некоторые другие авторы используют термин «F-пространство» как синоним «пространства Фреше», под которым они подразумевают локально выпуклое полное метризуемое топологическое векторное пространство . Метрика может быть или не быть обязательно частью структуры на F-пространстве; многие авторы требуют только, чтобы такое пространство было метризуемым таким образом, чтобы удовлетворять вышеуказанным свойствам.

Примеры

Все банаховы пространства и пространства Фреше являются F-пространствами. В частности, банахово пространство является F-пространством с дополнительным требованием, что ^[1] ${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$

Пространства L p можно превратить в F-пространства для всех , а для их можно превратить в локально выпуклые и, следовательно, в пространства Фреше и даже в банаховы пространства . ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Пример 1

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$является F-пространством. Оно не допускает непрерывных полунорм и непрерывных линейных функционалов — оно имеет тривиальное двойственное пространство .

Пример 2

Пусть — пространство всех комплекснозначных рядов Тейлора на единичном круге, таких, что тогда для — F-пространства относительно p-нормы : ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ $${\displaystyle \sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty }$$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$$

На самом деле, является квазибанаховой алгеброй . Более того, для любого с отображением является ограниченным линейным (мультипликативным функционалом) на ${\displaystyle W_{p}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$ ${\displaystyle f\mapsto f(\zeta )}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$

Достаточные условия

Теорема ^{[2] [3]}  (Кли (1952))  —  Пусть будет любой ^{[примечание 1]} метрикой на векторном пространстве, такой, что топология, индуцированная на , превращает в топологическое векторное пространство. Если — полное метрическое пространство, то — полное топологическое векторное пространство . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Связанные свойства

Теорема об открытом отображении подразумевает, что если существуют топологии на , которые превращают оба и в полные метризуемые топологические векторные пространства (например, пространства Банаха или Фреше ), и если одна топология тоньше или грубее другой, то они должны быть равны (то есть, если ). ^[4] ${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$

• Линейное почти непрерывное отображение в F-пространство, график которого замкнут, непрерывно. ^[5]
• Линейное почти открытое отображение в F-пространство, график которого замкнут, обязательно является открытым отображением . ^[5]
• Линейное непрерывное почти открытое отображение из F-пространства обязательно является открытым отображением . ^[6]
• Линейное непрерывное почти открытое отображение из F-пространства, образ которого имеет вторую категорию в области значений, обязательно является сюръективным открытым отображением . ^[5]

Смотрите также

• Банахово пространство  – Нормированное векторное пространство, которое является полным
• Бочечное пространство  – Тип топологического векторного пространстваСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Счетно квазибочечное пространство
• Полное метрическое пространство  – Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство  – TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся в точку
• DF-пространство  – класс специального локально-выпуклого пространстваСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Пространство Фреше  – локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Гильбертово пространство  – Тип топологического векторного пространства
• K-пространство (функциональный анализ)
• LB-пространство
• LF-пространство  – Топологическое векторное пространство
• Метризуемое топологическое векторное пространство  – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Ядерное пространство  – обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
• Проективное тензорное произведение  – тензорное произведение, определенное на двух топологических векторных пространствахСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

Ссылки

1. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. (1958). Линейные операторы. Часть I: общая теория. Interscience publishers, inc., Нью-Йорк. стр. 59
2. Шефер и Вольф 1999, стр. 35.
3. Клее, В. Л. (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
4. Тревес 2006, стр. 166–173.
5. Хусейн и Халилулла 1978, с. 14.
6. Хусейн и Халилулла 1978, стр. 15.

Примечания

1. Не предполагается, что они инвариантны к трансляции.

Источники

• Хусайн, Такдир; Халилулла, SM (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1966). Действительный и комплексный анализ . McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.