мера Хаара

Левоинвариантная (или правоинвариантная) мера на локально компактной топологической группе

В математическом анализе мера Хаара присваивает «инвариантный объем» подмножествам локально компактных топологических групп , следовательно, определяя интеграл для функций на этих группах.

Эта мера была введена Альфредом Хааром в 1933 году, хотя ее частный случай для групп Ли был введен Адольфом Гурвицем в 1897 году под названием «инвариантный интеграл». ^{[1] [2]} Меры Хаара используются во многих разделах анализа , теории чисел , теории групп , теории представлений , статистики , теории вероятностей и эргодической теории .

Предварительные

Пусть будет локально компактной хаусдорфовой топологической группой . -Алгебра, порожденная всеми открытыми подмножествами , называется алгеброй Бореля . Элемент алгебры Бореля называется множеством Бореля . Если является элементом , а является подмножеством , то мы определяем левый и правый трансляции , используя g следующим образом : ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

• Перевод слева: $${\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.}$$
• Правильный перевод: $${\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.}$$

Слева и справа транслирует отображение борелевских множеств в борелевские множества.

Мера на борелевских подмножествах называется инвариантной относительно левого трансляции , если для всех борелевских подмножеств и всех выполняется ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).}$

Мера на подмножествах Бореля называется правотрансляционно-инвариантной, если для всех подмножеств Бореля и всех выполняется ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (Sg)=\mu (S).}$

Теорема Хаара

С точностью до положительной мультипликативной константы существует единственная счетно-аддитивная нетривиальная мера на подмножествах Бореля, удовлетворяющая следующим свойствам: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$

• Мера инвариантна относительно левого трансляции: для всех и каждого борелевского множества . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$
• Мера конечна на каждом компактном множестве: для всех компактных . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$ ${\displaystyle K\subseteq G}$
• Мера внешне регулярна на борелевских множествах : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ $${\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.}$$
• Мера является внутренней регулярной на открытых множествах : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U\subseteq G}$ $${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.}$$

Такая мера на называется левой мерой Хаара. Можно показать, что как следствие приведенных выше свойств для любого непустого открытого подмножества . В частности, если компактно, то конечно и положительно, поэтому мы можем однозначно указать левую меру Хаара на , добавив условие нормализации . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (U)>0}$ ${\displaystyle U\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (G)=1}$

В полной аналогии можно также доказать существование и единственность правой меры Хаара на . Две меры не обязаны совпадать. ${\displaystyle G}$

Некоторые авторы определяют меру Хаара на множествах Бэра, а не на множествах Бореля. Это делает условия регулярности ненужными, поскольку меры Бэра автоматически регулярны. Халмош ^[3] использует нестандартный термин «множество Бореля» для элементов -кольца, порожденного компактными множествами, и определяет меры Хаара на этих множествах. ${\displaystyle \sigma }$

Левая мера Хаара удовлетворяет условию внутренней регулярности для всех -конечных борелевских множеств, но может не быть внутренней регулярностью для всех борелевских множеств. Например, произведение единичной окружности (с ее обычной топологией) и вещественной прямой с дискретной топологией является локально компактной группой с топологией произведения , а мера Хаара на этой группе не является внутренней регулярностью для замкнутого подмножества . (Компактные подмножества этого вертикального сегмента являются конечными множествами, а точки имеют меру , поэтому мера любого компактного подмножества этого вертикального сегмента равна . Но, используя внешнюю регулярность, можно показать, что сегмент имеет бесконечную меру.) ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1\}\times [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

Существование и единственность (с точностью до масштабирования) левой меры Хаара были впервые доказаны в полном объеме Андре Вейлем . ^[4] Доказательство Вейля использовало аксиому выбора , а Анри Картан предоставил доказательство, избегающее ее использования. ^[5] Доказательство Картана также устанавливает существование и единственность одновременно. Упрощенное и полное изложение аргумента Картана было дано Альфсеном в 1963 году. ^[6] Частный случай инвариантной меры для локально компактных групп, поддающихся счету второй степени, был показан Хааром в 1933 году. ^[1]

Примеры

• Если — дискретная группа , то компактные подмножества совпадают с конечными подмножествами, а (инвариантная слева и справа) мера Хаара на является считающей мерой . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• Мера Хаара на топологической группе, принимающая значение на интервале, равна ограничению меры Лебега на борелевские подмножества . Это можно обобщить до ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).}$
• Для того чтобы определить меру Хаара на группе окружностей , рассмотрим функцию из на , определяемую соотношением . Тогда может быть определено соотношением , где — мера Лебега на . Множитель выбирается таким образом, чтобы . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S)),}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$ ${\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}$
• Если — группа положительных действительных чисел при умножении, то мера Хаара задается как для любого борелевского подмножества положительных действительных чисел. Например, если берется как интервал , то мы находим . Теперь мы позволяем мультипликативной группе действовать на этом интервале путем умножения всех ее элементов на число , в результате чего получается интервал Измеряя этот новый интервал, мы находим ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gS}$ ${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}$ ${\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).}$
• Если — группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения, то мера Хаара задается как для любого борелевского подмножества ненулевых действительных чисел. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}$$ ${\displaystyle S}$
• Для общей линейной группы любая левая мера Хаара является правой мерой Хаара и одна такая мера задается как где обозначает меру Лебега на , отождествленную с множеством всех -матриц. Это следует из формулы замены переменных . ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}$$ ${\displaystyle dX}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle n\times n}$
• Обобщая предыдущие три примера, если группа представлена ​​как открытое подмногообразие с гладкими групповыми операциями, то левая мера Хаара на задается выражением , где — элемент групповой идентичности , — определитель Якоби левого умножения на в , а — мера Лебега на . Это следует из формулы замены переменных . Правая мера Хаара задается таким же образом, за исключением того, что является якобианом правого умножения на . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\frac {1}{|J_{(x\cdot )}(e_{1})|}}d^{n}x}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J_{(x\cdot )}(e_{1})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle d^{n}x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle J_{(\cdot x)}(e_{1})}$ ${\displaystyle x}$
• Для ортогональной группы ее мера Хаара может быть построена следующим образом (как распределение случайной величины). Первая выборка , то есть матрица, все элементы которой являются выборками IID нормального распределения со средним значением 0 и дисперсией 1. Затем используйте процесс Грама–Шмидта на матрице; полученная случайная величина принимает значения в и распределяется в соответствии с вероятностной мерой Хаара на этой группе. ^[7] Поскольку специальная ортогональная группа является открытой подгруппой ограничения меры Хаара на , дает меру Хаара на (в терминах случайной величины это означает обуславливание того, что детерминант равен 1, событие с вероятностью 1/2). ${\displaystyle G=O(n)}$ ${\displaystyle A\sim N(0,1)^{n\times n}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$
• Тот же метод, что и для , можно использовать для построения меры Хаара на унитарной группе . Для специальной унитарной группы (которая имеет меру 0 в ) ее меру Хаара можно построить следующим образом. Сначала выбираем из меры Хаара (нормализованной к единице, так что это распределение вероятностей) на , и пусть , где может быть любым из углов, затем независимо выбираем из равномерного распределения на . Затем распределяется как мера Хаара на . ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle G=SU(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }=\det A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{1,...,n\}}$ ${\displaystyle e^{-i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}}A}$ ${\displaystyle SU(n)}$
• Пусть — множество всех аффинных линейных преобразований вида для некоторого фиксированного с Связываем с операцией композиции функций , которая превращается в неабелеву группу. можно отождествить с правой полуплоскостью , относительно которой групповая операция становится Левоинвариантная мера Хаара (соответственно, правоинвариантная мера Хаара ) на задается соотношением и для любого борелевского подмножества Это происходит потому, что если — открытое подмножество , то для фиксированного интегрирование подстановкой дает , а для фиксированного ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\mapsto xr+y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x>0.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}}$ ${\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).}$ ${\displaystyle \mu _{L}}$ ${\displaystyle \mu _{R}}$ ${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy}$$          $${\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (s,t)\in G}$ $${\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}$$ ${\displaystyle (u,v)\in G}$ $${\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}$$
• На любой группе Ли размерности левая мера Хаара может быть связана с любой ненулевой левоинвариантной -формой , как мера Лебега ; и аналогично для правых мер Хаара. Это также означает, что модулярная функция может быть вычислена, как абсолютное значение определителя присоединенного представления . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$

• 

  Заштрихованная область представляет собой одну квадратную единицу.

  Представление меры Хаара положительных действительных чисел в терминах площади под положительной ветвью стандартной гиперболы xy = 1 использует борелевские множества, сгенерированные интервалами [ a,b ], b > a > 0. Например, a = 1 и b = число Эйлера e дает и площадь, равную log (e/1) = 1. Тогда для любого положительного действительного числа c площадь на интервале [ ca, cb ] равна log ( b / a ), так что площадь инвариантна относительно умножения на положительные действительные числа. Обратите внимание, что площадь стремится к бесконечности как при приближении a к нулю, так и при увеличении b . Использование этой меры Хаара для определения функции логарифма привязывает a к 1 и рассматривает площадь на интервале в [b,1], где 0 < b < 1, как отрицательную площадь . Таким образом, логарифм может принимать любое действительное значение, даже если мера всегда положительна или равна нулю.

• Если — группа ненулевых кватернионов , то можно рассматривать как открытое подмножество . Мера Хаара задается выражением , где обозначает меру Лебега в , а — борелевское подмножество . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$$ ${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$
• Если — аддитивная группа -адических чисел для простого числа , то мера Хаара задаётся, если положить меру , где — кольцо -адических целых чисел. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a+p^{n}O}$ ${\displaystyle p^{-n}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle p}$

Построение меры Хаара

Конструкция с использованием компактных подмножеств

Следующий метод построения меры Хаара по сути является методом, использованным Хааром и Вейлем.

Для любых подмножеств с непустым определить как наименьшее число левых трансляций этого покрытия (так что это неотрицательное целое число или бесконечность). Это не аддитивно на компактных множествах , хотя у него есть свойство, что для непересекающихся компактных множеств при условии, что является достаточно малой открытой окрестностью единицы (в зависимости от и ). Идея меры Хаара заключается в том, чтобы взять своего рода предел, когда становится меньше, чтобы сделать его аддитивным на всех парах непересекающихся компактных множеств, хотя сначала его нужно нормализовать, чтобы предел был не просто бесконечностью. Поэтому зафиксируем компактное множество с непустой внутренней частью (которая существует, поскольку группа локально компактна) и для компактного множества определим ${\displaystyle S,T\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [T:S]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K\subseteq G}$ ${\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}$ ${\displaystyle K,L\subseteq G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$

где предел берется по подходящему направленному множеству открытых окрестностей единицы, в конечном счете содержащейся в любой заданной окрестности; существование направленного множества, такого что предел существует, следует из теоремы Тихонова .

Функция аддитивна на непересекающихся компактных подмножествах , что подразумевает, что она является регулярным содержанием . Из регулярного содержания можно построить меру, сначала расширив ее на открытые множества с помощью внутренней регулярности, затем на все множества с помощью внешней регулярности, а затем ограничив ее борелевскими множествами. (Даже для открытых множеств соответствующая мера не обязательно должна задаваться формулой lim sup выше. Проблема в том, что функция, заданная формулой lim sup, не является счетно-субаддитивной в общем случае и, в частности, бесконечна на любом множестве без компактного замыкания, поэтому не является внешней мерой.) ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

Конструкция с использованием компактно поддерживаемых функций

Картан представил другой способ построения меры Хаара как меры Радона (положительный линейный функционал на непрерывных функциях с компактным носителем), который аналогичен конструкции выше, за исключением того, что , , и являются положительными непрерывными функциями с компактным носителем, а не подмножествами . В этом случае мы определяем как инфимум чисел, таких, что меньше линейной комбинации левых трансляций для некоторых . Как и прежде, мы определяем ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}}$ ${\displaystyle K(g)}$ ${\displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in G}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$.

Тот факт, что предел существует, требует некоторых усилий для доказательства, хотя преимущество этого в том, что доказательство избегает использования аксиомы выбора, а также дает уникальность меры Хаара как побочный продукт. Функционал расширяется до положительного линейного функционала на компактно поддерживаемых непрерывных функциях и, таким образом, дает меру Хаара. (Обратите внимание, что даже если предел линеен по , отдельные члены обычно не линейны по .) ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle K}$

Построение с использованием средних значений функций

Фон Нейман дал метод построения меры Хаара с использованием средних значений функций, хотя он работает только для компактных групп. Идея состоит в том, что для данной функции на компактной группе можно найти выпуклую комбинацию (где ) ее левых трансляций, которая отличается от постоянной функции не более чем на некоторое малое число . Затем показывают, что при стремлении к нулю значения этих постоянных функций стремятся к пределу, который называется средним значением (или интегралом) функции . ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \sum a_{i}f(g_{i}g)}$ ${\textstyle \sum a_{i}=1}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$

Для групп, которые локально компактны, но не компактны, эта конструкция не дает меру Хаара, поскольку среднее значение функций с компактным носителем равно нулю. Однако что-то вроде этого работает для почти периодических функций на группе, которые имеют среднее значение, хотя это не дано относительно меры Хаара.

Конструкция на группах Ли

На n -мерной группе Ли мера Хаара может быть легко построена как мера, индуцированная левоинвариантной n -формой. Это было известно до теоремы Хаара.

Правильная мера Хаара

Можно также доказать, что существует единственная (с точностью до умножения на положительную константу) правотрансляционно-инвариантная мера Бореля, удовлетворяющая указанным выше условиям регулярности и конечная на компактных множествах, но она не обязана совпадать с левотрансляционно-инвариантной мерой . Левая и правая меры Хаара совпадают только для так называемых унимодулярных групп (см. ниже). Однако довольно просто найти связь между и . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Действительно, для борелевского множества обозначим через множество обратных элементов . Если мы определим ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

то это правильная мера Хаара. Чтобы показать правую инвариантность, применим определение:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Поскольку правильная мера уникальна, то следует, что она кратна и поэтому ${\displaystyle \mu _{-1}}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

для всех борелевских множеств , где — некоторая положительная константа. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

Модульная функция

Левый транслятор правой меры Хаара является правой мерой Хаара. Точнее, если является правой мерой Хаара, то для любого фиксированного выбора элемента группы g , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad }$

также инвариантен справа. Таким образом, по единственности с точностью до постоянного масштабного множителя меры Хаара существует функция из группы в положительные действительные числа, называемая модулем Хаара , модулярной функцией или модулярным характером , такая, что для каждого борелевского множества ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad }$

Поскольку правая мера Хаара хорошо определена с точностью до положительного масштабного коэффициента, это уравнение показывает, что модулярная функция не зависит от выбора правой меры Хаара в приведенном выше уравнении.

Модулярная функция — это непрерывный гомоморфизм группы из G в мультипликативную группу положительных действительных чисел . Группа называется унимодулярной, если модулярная функция тождественна , или, что эквивалентно, если мера Хаара инвариантна как слева, так и справа. Примерами унимодулярных групп являются абелевы группы , компактные группы , дискретные группы (например, конечные группы ), полупростые группы Ли и связные нильпотентные группы Ли . ^{[ требуется ссылка ]} Примером неунимодулярной группы является группа аффинных преобразований ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

на вещественной прямой. Этот пример показывает, что разрешимая группа Ли не обязательно должна быть унимодулярной. В этой группе левая мера Хаара задается как , а правая мера Хаара как . ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db}$ ${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}da\wedge db}$

Меры на однородных пространствах

Если локально компактная группа действует транзитивно на однородном пространстве , можно спросить, имеет ли это пространство инвариантную меру или, в более общем смысле, полуинвариантную меру со свойством, что для некоторого характера . Необходимым и достаточным условием существования такой меры является то, что ограничение равно , где и являются модулярными функциями от и соответственно. ^[8] В частности, инвариантная мера на существует тогда и только тогда, когда модулярная функция от , ограниченная на , является модулярной функцией от . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi |_{H}}$ ${\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle H}$

Пример

Если — группа и — подгруппа верхних треугольных матриц, то модулярная функция от нетривиальна, но модулярная функция от тривиальна. Фактор-пространство этих матриц не может быть расширено до любого символа из , поэтому фактор-пространство (которое можно рассматривать как одномерное действительное проективное пространство ) не имеет даже полуинвариантной меры. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$

интеграл Хаара

Используя общую теорию интегрирования Лебега , можно затем определить интеграл для всех измеримых по Борелю функций на . Этот интеграл называется интегралом Хаара и обозначается как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}$

где — мера Хаара. ${\displaystyle \mu }$

Одним из свойств левой меры Хаара является то, что если будет элементом , то справедливо следующее: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

для любой интегрируемой функции Хаара на . Это непосредственно для индикаторных функций : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu ,}$

что по сути является определением левой инвариантности.

Использует

В том же выпуске Annals of Mathematics и сразу после статьи Хаара теорема Хаара была использована для решения пятой проблемы Гильберта, ограниченной компактными группами, Джоном фон Нейманом . ^[9]

Если только не является дискретной группой, то невозможно определить счетно-аддитивную левоинвариантную регулярную меру на всех подмножествах , предполагая аксиому выбора , согласно теории неизмеримых множеств . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Абстрактный гармонический анализ

Меры Хаара используются в гармоническом анализе на локально компактных группах, в частности в теории двойственности Понтрягина . ^{[10] [11] [12]} Чтобы доказать существование меры Хаара на локально компактной группе, достаточно указать левоинвариантную меру Радона на . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Математическая статистика

В математической статистике меры Хаара используются для априорных мер, которые являются априорными вероятностями для компактных групп преобразований. Эти априорные меры используются для построения допустимых процедур , путем обращения к характеристике допустимых процедур как байесовских процедур (или пределов байесовских процедур) Вальдом . Например, правая мера Хаара для семейства распределений с параметром местоположения приводит к оценке Питмана , которая является наилучшим эквивариантом . Когда левая и правая меры Хаара различаются, правая мера обычно предпочтительна в качестве априорного распределения. Для группы аффинных преобразований на пространстве параметров нормального распределения правая мера Хаара является априорной мерой Джеффриса . ^[13] К сожалению, даже правые меры Хаара иногда приводят к бесполезным априорным значениям, которые не могут быть рекомендованы для практического использования, как и другие методы построения априорных мер, которые избегают субъективной информации. ^[14]

Другое применение меры Хаара в статистике — условный вывод , в котором распределение выборки статистики обусловлено другой статистикой данных. В условном выводе на основе теории инвариантов распределение выборки обусловлено инвариантом группы преобразований (относительно которой определена мера Хаара). Результат обусловленности иногда зависит от порядка, в котором используются инварианты, и от выбора максимального инварианта, так что сам по себе статистический принцип инвариантности не может выбрать какую-либо уникальную наилучшую условную статистику (если таковая существует); необходим как минимум другой принцип.

Для некомпактных групп статистики расширили результаты меры Хаара, используя поддающиеся распределению группы . ^[15]

Обратная теорема Вейля

В 1936 году Андре Вейль доказал своего рода обратную теорему к теореме Хаара, показав, что если группа имеет левоинвариантную меру с определенным разделяющим свойством ^[3] , то на группе можно определить топологию, а пополнение группы будет локально компактным, а заданная мера по сути совпадает с мерой Хаара на этом пополнении.

Смотрите также

• Инвариантная мера
• Двойственность Понтрягина
• Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани

Примечания

1. Хаар, А. (1933), «Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen», Annals of Mathematics , 2, vol. 34, нет. 1, стр. 147–169, номер документа : 10.2307/1968346, JSTOR  1968346.
2. IM James, История топологии, стр. 186
3. Halmos, Paul R. (1950). Теория меры . Нью-Йорк: Springer Science+Business Media. стр. 219-220. ISBN 978-1-4684-9442-6.
4. Вейль, Андре (1940), L'Intégration dans les groupes topologiques et ses application , Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 869, Париж: Германн
5. Картан, Анри (1940), «Sur la mesure de Haar», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 211 : 759–762
6. Альфсен, Э.М. (1963), «Упрощенное конструктивное доказательство существования и единственности меры Хаара», Math. Scand. , 12 : 106–116
7. Диаконис, Перси (2003-02-12). «Закономерности в собственных значениях: 70-я лекция Джозайи Уилларда Гиббса». Бюллетень Американского математического общества . 40 (2): 155–178. doi : 10.1090/s0273-0979-03-00975-3 . ISSN  0273-0979.
8. Бурбаки, Николас (2004), Интеграция II Гл. 7 § 6 Теорема 3 , Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer
9. фон Нейман, Дж. (1933), «Die Einfuhrung Analytischer Параметр в топологических группах», Annals of Mathematics , 2, vol. 34, нет. 1, стр. 170–179, номер документа : 10.2307/1968347, JSTOR  1968347.
10. Банащик, Войцех (1991). Аддитивные подгруппы топологических векторных пространств . Конспект лекций по математике. Том. 1466. Берлин: Springer-Verlag. стр. VIII+178. ISBN 3-540-53917-4. МР  1119302.
11. Юрий И. Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988.
12. Чарльз Ф. Данкл и Дональд Э. Рамирес: Темы гармонического анализа . Appleton-Century-Crofts. 1971. ISBN 039027819X.
13. Бергер, Джеймс О. (1985), «6 Инвариантность», Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ (второе издание), Springer Verlag, стр. 388–432
14. Роберт, Кристиан П. (2001). Байесовский выбор – мотивация теории принятия решений (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-94296-3.
15. Бондарь, Джеймс В.; Милнс, Пол (1981). «Аменабельность: обзор статистических применений Ханта – Штейна и связанных с ними условий для групп». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 57 : 103–128. дои : 10.1007/BF00533716 .

Дальнейшее чтение

• Дистель, Джо ; Спалсбери, Анджела (2014), Радости меры Хаара , Аспирантура по математике, т. 150, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-0935-7, МР  3186070
• Лумис, Линн (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , D. van Nostrand and Co., hdl : 2027/uc1.b4250788.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963), Абстрактный гармонический анализ. Том. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп. , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 115, Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag, MR  0156915
• Нахбин, Леопольдо (1965), Интеграл Хаара , Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд
• Андре Вайль , Основы теории чисел , Academic Press, 1971.

Внешние ссылки

• Существование и единственность интеграла Хаара на локально компактной топологической группе - Герт К. Педерсен
• О существовании и единственности инвариантных мер на локально компактных группах - Саймон Рубинштейн-Сальседо