Половина

Несократимая дробь

Натуральное число

Половина — это несократимая дробь, получающаяся в результате деления единицы ( 1 ) на два ( 2 ), или дробь, получающаяся в результате деления любого числа на его удвоенное значение.

Он часто встречается в математических уравнениях , рецептах , измерениях и т. д.

Как слово

Половина — одна из немногих дробей, которые обычно выражаются в естественных языках с помощью супплеции, а не регулярной деривации. В английском языке , например, сравните составное слово «one half» с другими регулярными образованиями, такими как «one-sixth».

Половину можно также назвать одной частью чего-то, разделенной на две равные части. Половину можно писать как дефисное слово, one-half .

Математика

Одна половина — это рациональное число , которое находится посередине между нулем и единицей (которые являются элементарными аддитивными и мультипликативными тождествами ) как частное первых двух ненулевых целых чисел , . Она имеет два различных десятичных представления в десятичной системе счисления , привычное и повторяющееся , с аналогичной парой расширений в любой четной системе счисления ; в то время как в нечетных системах счисления одна половина не имеет конечного представления , она имеет только одно представление с повторяющимся дробным компонентом (например, в троичной и пятеричной ). ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle 0.4{\overline {9}}}$ ${\displaystyle 0.{\overline {1}}}$ ${\displaystyle 0.{\overline {2}}}$

Умножение на половину эквивалентно делению на два или «уполовиниванию»; и наоборот, деление на половину эквивалентно умножению на два или «удвоению».

Квадрат со стороной длиной один , здесь разрезанным на прямоугольники , площади которых являются последовательными степенями одной половины .

Число, возведенное в степень одну вторую, равно квадратному корню из , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n^{\tfrac {1}{2}}={\sqrt {n}}.}$

Характеристики

Полусовершенное число — это положительное целое число с полуцелым индексом изобилия :

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}={\frac {k}{2}},}$

где нечетно , а — функция суммы делителей . Первые три полусовершенных числа — 2 , 24 и 4320. ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$

Площадь треугольника с основанием и высотой вычисляется как ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle T={\frac {b}{2}}\times h.}$

Эд Пегг-младший отметил, что длина, равная почти целому числу , приблизительно 7,0000000857. ^{[2] [3]} ${\displaystyle d}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{30}}(61421-23{\sqrt {5831385}})}}}$

Одна половина фигурирует в формуле для вычисления фигурных чисел , например, -го треугольного числа : ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}};}$

и в формуле вычисления магических констант для магических квадратов ,

${\displaystyle M_{2}(n)={\frac {n}{2}}\left(n^{2}+1\right).}$

Последовательные натуральные числа дают -ое металлическое среднее по уравнению, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M_{(n)}={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}.}$

При изучении конечных групп знакопеременные группы имеют порядок

${\displaystyle {\frac {n!}{2}}.}$

По Эйлеру , классическая формула, включающая пи , и дающая простое выражение: ^[4]

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ,{\text{ }}}$

где — число простых множителей вида (см. модульная арифметика ). ${\displaystyle \varepsilon (n)}$ ${\displaystyle p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle n}$

Фундаментальная область модулярного j-инварианта в верхней полуплоскости (закрашена серым цветом ), с модульным дискриминантом и , где ${\displaystyle |\tau |\geq 1}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1.}$

Для гамма-функции нецелый аргумент , равный половине, дает:

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {\pi }};}$

в то время как внутри константы Апери , которая представляет собой сумму обратных величин всех положительных кубов , есть ^{[5] [6]}

${\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1);{\text{ }}}$

с полигамма -функцией порядка комплексных чисел . ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Верхняя полуплоскость — это множество точек в декартовой плоскости с . В контексте комплексных чисел верхняя полуплоскость определяется как ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y>0}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

В дифференциальной геометрии это универсальное накрывающее пространство поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной согласно теореме об униформизации .

Число Бернулли имеет значение (его знак зависит от конкурирующих соглашений). ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}}$

Гипотеза Римана — это предположение о том, что каждый нетривиальный комплексный корень дзета -функции Римана имеет действительную часть, равную . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Компьютерные персонажи

Символ «половина» имеет собственную кодовую точку как предварительный символ в блоке числовых форм Unicode , отображаемый как ½ .

Уменьшенный размер этого символа может сделать его неразборчивым для читателей с относительно легкими нарушениями зрения ; следовательно, разложенные формы 1 ⁄ 2 или ⁠1/2⁠ может быть более уместным.

Смотрите также

Почтовая марка, Ирландия, 1940 г.: к оплате почтового сбора в полпенни.

• Деление на два

Ссылки

1. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A159907 (Числа n с полуцелым индексом обилия, sigma(n)/n равно k+1/2 с целым числом k.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2023-07-31 .
2. Эд Пегг-младший (июль 2000 г.). «Комментарий к еженедельным головоломкам». Mathpuzzle . Получено 17 августа 2023 г.
3. Weisstein, Eric W. "Почти целое число". MathWorld -- Ресурс WolframAlpha . Получено 17 августа 2023 г.
4. Эйлер, Леонард (1748). Introductio in analysin infinitorum (на латыни). Том. 1. apud Маркум-Михаэлем Буске и социос. п. 244.
5. Евграфов, М.А.; Бежанов К.А.; Сидоров Ю.В.; Федорюк, М.В.; Шабунин, М.И. (1972). Сборник задач по теории аналитических функций (на русском языке). Москва: Наука . п. 263 (Исх. 30.10.1).
6. Блох, Спенсер; Маша, Власенко. "Гамма-функции, монодромия и константы Апери" (PDF) . Чикагский университет (статья). стр. 1–34. S2CID  126076513.