Группа Гейзенберга

Группа в теории групп и физике

В математике группа Гейзенберга , названная в честь Вернера Гейзенберга , представляет собой группу верхнетреугольных матриц размера 3×3 вида ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

при операции матричного умножения . Элементы a, b и c могут быть взяты из любого коммутативного кольца с единицей, часто принимаемого за кольцо действительных чисел (что приводит к «непрерывной группе Гейзенберга») или кольцо целых чисел (что приводит к «дискретной группе Гейзенберга»). .

Непрерывная группа Гейзенберга возникает при описании одномерных квантово-механических систем, особенно в контексте теоремы Стоуна-фон Неймана . В более общем смысле можно рассматривать группы Гейзенберга, связанные с n -мерными системами и, вообще говоря, с любым симплектическим векторным пространством .

Трехмерный случай

В трехмерном случае произведение двух матриц Гейзенберга определяется выражением:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+ab'+c'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

Как видно из термина ab' , группа неабелева .

Нейтральным элементом группы Гейзенберга является единичная матрица , а обратные ей задаются формулой

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

Группа является подгруппой двумерной аффинной группы Aff(2): действие на соответствует аффинному преобразованию . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle ({\vec {x}},1)}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}}$

Есть несколько ярких примеров трехмерного случая.

Непрерывная группа Гейзенберга

Если a, b, c — действительные числа (в кольце R ), то существует непрерывная группа Гейзенберга H ₃ ( R ).

Это нильпотентная вещественная группа Ли размерности 3.

Помимо представления в виде вещественных матриц 3×3, непрерывная группа Гейзенберга также имеет несколько различных представлений в терминах функциональных пространств . По теореме Стоуна–фон Неймана существует с точностью до изоморфизма единственное неприводимое унитарное представление группы H, в котором ее центр действует заданным нетривиальным характером . Это представление имеет несколько важных реализаций или моделей. В модели Шредингера группа Гейзенберга действует в пространстве функций, интегрируемых с квадратом . В тэта-представлении он действует на пространстве голоморфных функций в верхней полуплоскости ; оно названо так из-за связи с тэта-функциями .

Дискретная группа Гейзенберга

Часть графа Кэли дискретной группы Гейзенберга с образующими x, y, z, как в тексте (раскраска предназначена только для наглядности.)

Если a, b, c — целые числа (в кольце Z ), то существует дискретная группа Гейзенберга H ₃ ( Z ). Это неабелева нильпотентная группа . Имеет два генератора.

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

и отношения

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}$,

где

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

является генератором центра H ₃ . (Обратите внимание, что обратные значения x , y и z заменяют 1 над диагональю на −1.)

По теореме Басса он имеет полиномиальную скорость роста порядка 4.

Любой элемент можно создать с помощью

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,.}$

Группа Гейзенберга по модулю нечетного простого числа p

Если взять a, b, c в Z / p Z в качестве нечетного простого числа p , то получится группа Гейзенберга по модулю p . Это группа порядка p ³ с образующими x,y и отношениями:

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy.}$

Аналоги групп Гейзенберга над конечными полями нечетного простого порядка p называются дополнительными специальными группами или, точнее, дополнительными специальными группами показателя p . В более общем смысле, если производная подгруппа группы G содержится в центре Z группы G , то отображение из G/Z × G/Z → Z является кососимметричным билинейным оператором на абелевых группах.

Однако требование, чтобы G/Z было конечным векторным пространством, требует, чтобы подгруппа Фраттини G содержалась в центре , а требование, чтобы Z было одномерным векторным пространством над Z / p Z, требует, чтобы Z имел порядок p , поэтому если G не абелева, то G экстраспециальна. Если G является дополнительной специальной, но не имеет показателя p , то общая конструкция, приведенная ниже, примененная к симплектическому векторному пространству G/Z , не дает группы, изоморфной G.

Группа Гейзенберга по модулю 2

Группа Гейзенберга по модулю 2 имеет порядок 8 и изоморфна группе диэдра D ₄ (симметрии квадрата). Заметьте, что если

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$.

Затем

${\displaystyle xy={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

и

${\displaystyle yx={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Элементы x и y соответствуют отражениям (с углом 45° между ними), тогда как xy и yx соответствуют поворотам на 90°. Другие отражения — это xyx и yxy , а поворот на 180° — это xyxy (= yxyx ).

Алгебра Гейзенберга

Алгебра Ли группы Гейзенберга (над действительными числами) известна как алгебра Гейзенберга. ^[1] Его можно представить с использованием пространства матриц 3×3 вида ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}},}$

с . ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

Следующие три элемента составляют основу для ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$

Эти базисные элементы удовлетворяют коммутационным соотношениям:

${\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}$.

Название «группа Гейзенберга» мотивировано предыдущими соотношениями, которые имеют ту же форму, что и канонические коммутационные соотношения в квантовой механике:

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]=i\hbar I;\quad \left[{\hat {x}},i\hbar I\right]=0;\quad \left[{\hat {p}},i\hbar I\right]=0,}$

где – оператор положения, – оператор импульса, – постоянная Планка. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle \hbar }$

Группа Гейзенберга H обладает тем особым свойством, что экспоненциальное отображение является взаимно однозначным и на отображение алгебры Ли в группу H , ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a&c+{\frac {ab}{2}}\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

В конформной теории поля

В конформной теории поля термин «алгебра Гейзенберга» используется для обозначения бесконечномерного обобщения вышеуказанной алгебры. Он натянут на элементы с коммутационными соотношениями ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [a_{n},a_{m}]=\delta _{n+m,0}.}$

При масштабировании это просто счетно-бесконечное число копий указанной выше алгебры.

Высшие измерения

Более общие группы Гейзенберга могут быть определены для более высоких размерностей в евклидовом пространстве и, в более общем плане, в симплектических векторных пространствах . Простейшим общим случаем является действительная группа Гейзенберга размерности для любого целого числа . Группа матриц (или , чтобы указать, что это группа Гейзенберга над полем действительных чисел) определяется как групповая матрица с элементами и имеющими форму: ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle H_{2n+1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}}$

где

a — вектор-строка длины n ,

b — вектор-столбец длины n ,

I _n — единичная матрица размера n .

Структура группы

Это действительно группа, как показывает умножение:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} '&c'\\0&I_{n}&\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} +\mathbf {a} '&c+c'+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '\\0&I_{n}&\mathbf {b} +\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-\mathbf {a} &-c+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&-\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&I_{n}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Алгебра Ли

Группа Гейзенберга — это односвязная группа Ли, алгебра Ли которой состоит из матриц

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

где

a — вектор-строка длины n ,

b — вектор-столбец длины n ,

0 _n — нулевая матрица размера n .

Полагая e ₁ , ..., en _{каноническим} базисом R ⁿ и полагая

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}&={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\\q_{j}&={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&0&0\end{bmatrix}},\\z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

ассоциированная алгебра Ли может быть охарактеризована каноническими коммутационными соотношениями ,

где p ₁ , ...,  p _n , q ₁ , ...,  q _n , z — генераторы алгебры.

В частности, z является центральным элементом алгебры Ли Гейзенберга. Заметим, что алгебра Ли группы Гейзенберга нильпотентна.

Экспоненциальная карта

Позволять

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

что выполняет . Экспоненциальная карта оценивается как ${\displaystyle u^{3}=0_{n+2}}$

${\displaystyle \exp(u)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}u^{k}=I_{n+2}+u+{\tfrac {1}{2}}u^{2}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c+{1 \over 2}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Экспоненциальное отображение любой нильпотентной алгебры Ли является диффеоморфизмом между алгеброй Ли и единственной ассоциированной связной односвязной группой Ли .

Это обсуждение (кроме утверждений, касающихся размерности и группы Ли) применимо и в дальнейшем, если мы заменим R любым коммутативным кольцом A. Соответствующая группа обозначается H _n ( A ).

При дополнительном предположении, что простое число 2 обратимо в кольце A , экспоненциальное отображение также определяется, поскольку оно сводится к конечной сумме и имеет указанную выше форму (например, A может быть кольцом Z / p Z с нечетным простым числом p или любое поле характеристики 0 ) .

Теория представлений

Теория унитарного представления группы Гейзенберга довольно проста – позже обобщена теорией Макки – и послужила мотивацией для ее введения в квантовую физику, как обсуждается ниже.

Для каждого ненулевого действительного числа мы можем определить неприводимое унитарное представление действия в гильбертовом пространстве по формуле: ^[4] ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](x)=e^{i\hbar c}e^{ib\cdot x}\psi (x+\hbar a)}$

Это представление известно как представление Шрёдингера . Мотивацией такого представления является действие возведенных в степень операторов положения и импульса в квантовой механике. Параметр описывает перемещения в пространстве позиций, параметр описывает перемещения в пространстве импульсов, а параметр дает общий фазовый коэффициент. Фазовый множитель необходим для получения группы операторов, поскольку сдвиги в пространстве позиций и сдвиги в пространстве импульсов не коммутируют. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Ключевым результатом является теорема Стоуна-фон Неймана , которая утверждает, что каждое (сильно непрерывное) неприводимое унитарное представление группы Гейзенберга, в котором центр действует нетривиально, эквивалентно для некоторого . ^[5] Альтернативно, все они эквивалентны алгебре Вейля (или алгебре CCR ) на симплектическом пространстве размерности 2 n . ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ ${\displaystyle \hbar }$

Поскольку группа Гейзенберга является одномерным центральным расширением группы , ее неприводимые унитарные представления можно рассматривать как неприводимые унитарные проективные представления группы . Концептуально данное выше представление представляет собой квантовомеханический аналог группы трансляционных симметрий в классическом фазовом пространстве . Тот факт, что квантовая версия является лишь проективным представлением, предполагается уже на классическом уровне. Гамильтоновыми генераторами сдвигов в фазовом пространстве являются функции положения и импульса. Однако диапазон этих функций не образует алгебру Ли под скобкой Пуассона , поскольку , скорее, диапазон функций положения, импульса и констант образует алгебру Ли под скобкой Пуассона. Эта алгебра Ли является одномерным центральным расширением коммутативной алгебры Ли , изоморфной алгебре Ли группы Гейзенберга. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

О симплектических векторных пространствах

Общая абстракция группы Гейзенберга строится на основе любого симплектического векторного пространства . ^[6] Например, пусть ( V , ω) — конечномерное вещественное симплектическое векторное пространство (так что ω — невырожденная кососимметричная билинейная форма на V ). Группа Гейзенберга H( V ) на ( V , ω) (или просто V для краткости) — это множество V × R , наделенное групповым законом

${\displaystyle (v,t)\cdot \left(v',t'\right)=\left(v+v',t+t'+{\frac {1}{2}}\omega \left(v,v'\right)\right).}$

Группа Гейзенберга является центральным расширением аддитивной группы V. Таким образом, существует точная последовательность

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.}$

Любое симплектическое векторное пространство допускает базис Дарбу { e _j , f ^k } _{1 ⩽ j , k ⩽ n} , удовлетворяющий условию ω( e _j , f ^k ) = δ _j ^k и где 2 n — размерность V (размерность V равна обязательно даже). В рамках этого базиса каждый вектор распадается как

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$

Координаты qa ^и pa _{являются} канонически сопряженными . _

Если { e _j , f ^k } _{1 ⩽ j , k ⩽ n} — базис Дарбу для V , то пусть { E } — базис для R и { e _j , f ^k , E } _{1 ⩽ j , k ⩽ n} является соответствующим базисом для V × R . Вектор в H( V ) тогда задается формулой

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$

и групповой закон становится

${\displaystyle (p,q,t)\cdot \left(p',q',t'\right)=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).}$

Поскольку основное многообразие группы Гейзенберга представляет собой линейное пространство, векторы в алгебре Ли можно канонически отождествлять с векторами в группе. Алгебра Ли группы Гейзенберга задается коммутационным соотношением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})}$

или записано в терминах базиса Дарбу

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}\right]=\delta _{a}^{b}}$

и все остальные коммутаторы исчезают.

Также возможно определить групповой закон другим способом, который дает группу, изоморфную группе, которую мы только что определили. Чтобы избежать путаницы, мы будем использовать u вместо t , поэтому вектор задается выражением

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

и групповой закон

${\displaystyle (p,q,u)\cdot \left(p',q',u'\right)=\left(p+p',q+q',u+u'+pq'\right).}$

Элемент группы

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

тогда можно выразить в виде матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$,

что дает точное матричное представление H( V ). u в этой формулировке связана с t в нашей предыдущей формулировке соотношением , так что значение t для продукта составляет ${\displaystyle u=t+{\tfrac {1}{2}}pq}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&u+u'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+{\frac {1}{2}}pq+t'+{\frac {1}{2}}p'q'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+t'+{\frac {1}{2}}\left(pq'-p'q\right)\end{aligned}}}$,

как прежде.

Изоморфизм группы с использованием верхнетреугольных матриц основан на разложении V в базис Дарбу, что представляет собой выбор изоморфизма V ≅ U ⊕ U *. Хотя новый групповой закон дает группу, изоморфную приведенному выше, группу с этим законом иногда называют поляризованной группой Гейзенберга , как напоминание о том, что этот групповой закон основан на выборе базиса (выборе лагранжева подпространства V является поляризацией ) .

Для любой алгебры Ли существует единственная связная односвязная группа Ли G. Все остальные связные группы Ли с той же алгеброй Ли, что и G , имеют вид G / N , где N — центральная дискретная группа в G. В этом случае центром H( V ) является R , и единственные дискретные подгруппы изоморфны Z. Таким образом, H( V )/ Z — еще одна группа Ли, разделяющая эту алгебру Ли. Примечательно, что эта группа Ли не допускает точных конечномерных представлений; он не изоморфен никакой матричной группе. Однако у него есть известное семейство бесконечномерных унитарных представлений.

Связь с алгеброй Вейля

Алгебра Ли группы Гейзенберга была описана выше (1) как алгебра Ли матриц. Теорема Пуанкаре -Биркгофа-Витта применима для определения универсальной обертывающей алгебры . Помимо других свойств, универсальная обертывающая алгебра является ассоциативной алгеброй , в которую инъективно вкладывается. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$

Таким образом, по теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта это свободное векторное пространство , порожденное мономами

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

где все показатели неотрицательны.

Следовательно, состоит из действительных многочленов ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle \sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

с коммутационными соотношениями

${\displaystyle p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.}$

Алгебра тесно связана с алгеброй дифференциальных операторов на ℝ ⁿ с полиномиальными коэффициентами, поскольку любой такой оператор имеет единственное представление в виде ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Эта алгебра называется алгеброй Вейля . Из абстрактной бессмыслицы следует , что алгебра Вейля W _n является фактором . Однако в этом легко убедиться и непосредственно из приведенных выше представлений; а именно путем отображения ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Приложения

Параметризация Вейля квантовой механики

Приложением, которое привело Германа Вейля к явной реализации группы Гейзенберга, был вопрос о том, почему изображения Шредингера и изображения Гейзенберга физически эквивалентны. Абстрактно, причиной является теорема Стоуна-фон Неймана : существует единственное унитарное представление с заданным действием центрального элемента z алгебры Ли с точностью до унитарной эквивалентности: все нетривиальные элементы алгебры эквивалентны обычному положению и импульсу. операторы.

Таким образом, картина Шредингера и картина Гейзенберга эквивалентны – это просто разные способы реализации этого по существу уникального представления.

Тета-представление

Тот же результат о единственности был использован Дэвидом Мамфордом для дискретных групп Гейзенберга в его теории уравнений, определяющих абелевы многообразия . Это большое обобщение подхода, используемого в эллиптических функциях Якоби , который является случаем группы Гейзенберга по модулю 2 порядка 8. Самый простой случай - это тэта- представление группы Гейзенберга, дискретный случай которого дает тета-функцию .

Фурье-анализ

Группа Гейзенберга также встречается в анализе Фурье , где она используется в некоторых формулировках теоремы Стоуна-фон Неймана . В этом случае можно понимать, что группа Гейзенберга действует в пространстве функций, интегрируемых с квадратом ; результатом является представление групп Гейзенберга, которое иногда называют представлением Вейля.

Как субриманово многообразие

Анимация геодезической в ​​группе Гейзенберга.

Трехмерную группу Гейзенберга H ₃ ( R ) на вещественных числах также можно понимать как гладкое многообразие и, в частности, как простой пример субриманова многообразия . ^[7] Для данной точки p =( x , y , z ) в R ³ определим дифференциальную 1-форму Θ в этой точке как

${\displaystyle \Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).}$

Эта одноформа принадлежит кокасательному расслоению к R ³ ; то есть,

${\displaystyle \Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R} }$

является отображением касательного расслоения . Позволять

${\displaystyle H_{p}=\left\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\right\}.}$

Видно, что H является подрасслоением касательного расслоения T R ³ . Кометика на H задается путем проектирования векторов в двумерное пространство, натянутое векторами в направлениях x и y . То есть для данных векторов и в T R ³ скалярный продукт определяется выражением ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},w_{3})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.}$

Полученная структура превращает H в многообразие группы Гейзенберга. Ортонормированный репер на многообразии задается векторными полями Ли

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},\\Y&={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},\\Z&={\frac {\partial }{\partial z}},\end{aligned}}}$

которые подчиняются соотношениям [ X , Y ] = Z и [ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0. Будучи векторными полями Ли, они образуют левоинвариантный базис для действия группы. Геодезические на многообразии представляют собой спирали, проецирующиеся в круги в двух измерениях . То есть, если

${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))}$

является геодезической кривой, то кривая представляет собой дугу окружности, а ${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx}$

с интегралом, ограниченным двумерной плоскостью. То есть высота кривой пропорциональна площади круга, опирающегося на дугу окружности , что следует из теоремы Стокса .

Группа Гейзенберга локально компактной абелевой группы

В более общем смысле можно определить группу Гейзенберга локально компактной абелевой группы K , снабженной мерой Хаара . ^[8] Такая группа имеет двойственную по Понтрягину , состоящую из всех непрерывных -значных характеров на K , которая также является локально компактной абелевой группой, если наделена компактно-открытой топологией . Группа Гейзенберга, связанная с локально компактной абелевой группой K, является подгруппой унитарной группы, порожденной сдвигами из K и умножениями на элементы . ${\displaystyle {\hat {K}}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

Более подробно, гильбертово пространство состоит из комплекснозначных функций, интегрируемых с квадратом на K . Переводы в K образуют унитарное представление K как операторов на : ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$

${\displaystyle (T_{x}f)(y)=f(x+y)}$

для . То же самое делаем и умножения на символы: ${\displaystyle x,y\in K}$

${\displaystyle (M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)}$

для . Эти операторы не коммутируют, а вместо этого удовлетворяют ${\displaystyle \chi \in {\hat {K}}}$

${\displaystyle \left(T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f\right)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)}$

умножение на комплексное число с фиксированным единичным модулем.

Таким образом, группа Гейзенберга , связанная с K , является типом центрального расширения через точную последовательность групп: ${\displaystyle H(K)}$ ${\displaystyle K\times {\hat {K}}}$

${\displaystyle 1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.}$

Более общие группы Гейзенберга описываются 2-коцилами в группе когомологий . Существование двойственности между и порождает канонический коцикл, но, как правило, существуют и другие. ${\displaystyle H^{2}(K,U(1))}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

Группа Гейзенберга действует неприводимо на . Действительно, непрерывные характеры разделяют точки ^[9] , поэтому любой унитарный оператор, коммутирующий с ними, является множителем . Но коммутация с трансляциями подразумевает, что множитель постоянен. ^[10] ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

Версия теоремы Стоуна-фон Неймана , доказанная Джорджем Макки , справедлива для группы Гейзенберга . ^{[11] [12]} Преобразование Фурье является уникальным связующим звеном между представлениями и . Подробности см. в обсуждении теоремы Стоуна – фон Неймана # Отношение к преобразованию Фурье . ${\displaystyle H(K)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{2}\left({\hat {K}}\right)}$

Смотрите также

• Канонические коммутационные соотношения
• Преобразование Вигнера – Вейля
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Проективное представление
• Гипотеза геометризации

Примечания

1. Войт, Питер. Темы теории представлений: Алгебра Гейзенберга (PDF) .
2. Зал 2015 г., Предложение 3.26.
3. Холл 2015 г. Глава 2, Упражнение 9.
4. Зал 2013 г., Предложение 14.7
5. Холл, 2013 г. Теорема 14.8.
6. Ганс Тилгнер, «Класс разрешимых групп Ли и их связь с каноническим формализмом. Архивировано 5 июня 2011 г. в Wayback Machine », Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique , 13 no. 2 (1970), стр. 103–127.
7. Ричард Монтгомери, Экскурсия по субримановой геометрии, их геодезике и приложениям (Математические обзоры и монографии, том 91) , (2002) Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1391-9 . 
8. Дэвид Мамфорд (1991), «Тата-лекции по тэте III», Progress in Mathematics , Birkhauser, 97
9. Карл Генрих Хофманн, Сидни А. Моррис (2006), Структура компактных групп: учебник для студентов, справочник для экспертов , Исследования Де Грюйтера по математике 25 (2-е исправленное изд.), Уолтер де Грюйтер, ISBN 9783110190069
10. Этот аргумент появляется в несколько иной обстановке у Роджера Хоу (1980), «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе», Бюллетень Американского математического общества , 3 (2): 821–844, doi : 10.1090/S0273. -0979-1980-14825-9 , МР  0578375
11. Джордж Макки (1949), «К теореме Стоуна и фон Неймана», Duke Mathematical Journal , 16 (2): 313–326, doi : 10.1215/s0012-7094-49-01631-2
12. А Прасад (2009), «Простое доказательство теоремы Стоуна – фон Неймана – Макки», Expositiones Mathematicae , 29 : 110–118, arXiv : 0912.0574 , doi : 10.1016/j.exmath.2010.06.001, S2CID  56340220

Рекомендации

• Бинц, Эрнст; Стручки, Соня (2008). Геометрия групп Гейзенберга . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222 (второе изд.). Спрингер. ISBN 978-3319134666.
• Хау, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе». Бюллетень Американского математического общества . 3 (2): 821–843. дои : 10.1090/s0273-0979-1980-14825-9 . МР  0578375.
• Кириллов, Александр А. (2004). «Глава 2: «Представления и орбиты группы Гейзенберга». Лекции по методу орбит . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3530-0.
• Макки, Джордж (1976). Теория представлений унитарных групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0226500522.

Внешние ссылки

• Groupprops, The Group Properties Wiki Группа унитреугольных матриц UT(3,p)