модель Изинга

Математическая модель ферромагнетизма в статистической механике

Модель Изинга (или модель Ленца–Изинга ) , названная в честь физиков Эрнста Изинга и Вильгельма Ленца , является математической моделью ферромагнетизма в статистической механике . Модель состоит из дискретных переменных , которые представляют магнитные дипольные моменты атомных «спинов» , которые могут находиться в одном из двух состояний (+1 или −1). Спины расположены в графе, обычно решетке ( где локальная структура периодически повторяется во всех направлениях), что позволяет каждому спину взаимодействовать со своими соседями. Соседние спины, которые согласуются, имеют более низкую энергию, чем те, которые не согласуются; система стремится к самой низкой энергии, но тепло нарушает эту тенденцию, тем самым создавая возможность различных структурных фаз. Модель позволяет идентифицировать фазовые переходы как упрощенную модель реальности. Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой является одной из простейших статистических моделей для демонстрации фазового перехода . ^[1]

Модель Изинга была изобретена физиком Вильгельмом Ленцем  (1920), который дал ее в качестве задачи своему студенту Эрнсту Изингу. Одномерная модель Изинга была решена Изингом (1925) в одиночку в его диссертации 1924 года; ^[2] она не имеет фазового перехода. Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой намного сложнее и была дана аналитическим описанием гораздо позже, Ларсом Онзагером  (1944). Обычно она решается методом матрицы переноса , хотя существуют и другие подходы, больше связанные с квантовой теорией поля .

В размерностях больше четырех фазовый переход модели Изинга описывается теорией среднего поля . Модель Изинга для больших размерностей также исследовалась в отношении различных топологий деревьев в конце 1970-х годов, что привело к точному решению модели Барта (1981) с нулевым полем, независимой от времени, для замкнутых деревьев Кэли с произвольным отношением ветвления и, таким образом, произвольно большой размерностью внутри ветвей дерева. Решение этой модели продемонстрировало новое необычное поведение фазового перехода, наряду с неисчезающими дальнодействующими и ближайшими соседними спин-спиновыми корреляциями, которые считались релевантными для больших нейронных сетей как одно из возможных применений.

Проблему Изинга без внешнего поля можно эквивалентно сформулировать как задачу максимального разреза графа (Max-Cut), которая может быть решена с помощью комбинаторной оптимизации .

Определение

Рассмотрим набор узлов решетки, каждый из которых имеет набор смежных узлов (например, граф ), образующих -мерную решетку. Для каждого узла решетки существует дискретная переменная, такая что , представляющая спин узла. Конфигурация спина , представляет собой присвоение значения спина каждому узлу решетки. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k\in \Lambda }$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}\in \{-1,+1\}}$ ${\displaystyle {\sigma }=\{\sigma _{k}\}_{k\in \Lambda }}$

Для любых двух соседних сайтов существует взаимодействие . Также сайт имеет внешнее магнитное поле , взаимодействующее с ним. Энергия конфигурации задается функцией Гамильтона ${\displaystyle i,j\in \Lambda }$ ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle j\in \Lambda }$ ${\displaystyle h_{j}}$ ${\displaystyle {\sigma }}$

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sigma _{j},}$$

где первая сумма берется по парам соседних спинов (каждая пара учитывается один раз). Обозначение указывает, что узлы и являются ближайшими соседями. Магнитный момент определяется как . Обратите внимание, что знак во втором члене гамильтониана выше должен быть фактически положительным, поскольку магнитный момент электрона антипараллелен его спину, но отрицательный член используется условно. ^[3] Вероятность конфигурации определяется распределением Больцмана с обратной температурой : ${\displaystyle \langle ij\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \beta \geq 0}$

$${\displaystyle P_{\beta }(\sigma )={\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{\beta }}},}$$

где , и константа нормировки ${\displaystyle \beta =1/(k_{\text{B}}T)}$

$${\displaystyle Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{-\beta H(\sigma )}}$$

это функция распределения . Для функции спинов («наблюдаемой») обозначается ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \langle f\rangle _{\beta }=\sum _{\sigma }f(\sigma )P_{\beta }(\sigma )}$$

математическое ожидание (среднее) значение . ${\displaystyle f}$

Вероятности конфигурации представляют собой вероятность того, что (в равновесии) система находится в состоянии с конфигурацией . ${\displaystyle P_{\beta }(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$

Обсуждение

Знак минус на каждом члене функции Гамильтона является общепринятым. Используя это соглашение о знаках, модели Изинга можно классифицировать по знаку взаимодействия: если для пары i ,  j ${\displaystyle H(\sigma )}$

• ${\displaystyle J_{ij}>0}$, взаимодействие называется ферромагнитным ,
• ${\displaystyle J_{ij}<0}$, взаимодействие называется антиферромагнитным ,
• ${\displaystyle J_{ij}=0}$, спины не взаимодействуют .

Система называется ферромагнитной или антиферромагнитной, если все взаимодействия ферромагнитные или все антиферромагнитные. Первоначальные модели Изинга были ферромагнитными, и до сих пор часто предполагается, что «модель Изинга» означает ферромагнитную модель Изинга.

В ферромагнитной модели Изинга спины стремятся выровняться: конфигурации, в которых соседние спины имеют одинаковый знак, имеют большую вероятность. В антиферромагнитной модели соседние спины имеют тенденцию иметь противоположные знаки.

Соглашение о знаках H (σ) также объясняет, как спиновый сайт j взаимодействует с внешним полем. А именно, спиновый сайт стремится выстроиться в линию с внешним полем. Если:

• ${\displaystyle h_{j}>0}$, спиновый узел j стремится выстроиться в положительном направлении,
• ${\displaystyle h_{j}<0}$, спиновый узел j стремится выстроиться в отрицательном направлении,
• ${\displaystyle h_{j}=0}$, на спиновый участок не оказывается никакого внешнего воздействия.

Упрощения

Модели Изинга часто рассматриваются без внешнего поля, взаимодействующего с решеткой, то есть h  = 0 для всех j в решетке Λ. Используя это упрощение, гамильтониан становится

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

Когда внешнее поле везде равно нулю, h  = 0, модель Изинга симметрична относительно переключения значения спина во всех узлах решетки; ненулевое поле нарушает эту симметрию.

Другое распространенное упрощение заключается в предположении, что все ближайшие соседи ⟨ ij ⟩ имеют одинаковую силу взаимодействия. Тогда мы можем установить J _ij = J для всех пар i ,  j в Λ. В этом случае гамильтониан еще больше упрощается до

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

Подключение кграфик максимальный разрез

Подмножество S множества вершин V(G) взвешенного неориентированного графа G определяет разрез графа G на S и его дополнительное подмножество G\S. Размер разреза равен сумме весов ребер между S и G\S. Максимальный размер разреза равен по крайней мере размеру любого другого разреза, варьируя S.

Для модели Изинга без внешнего поля на графе G гамильтониан становится следующей суммой по ребрам графа E(G)

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$.

Здесь каждая вершина i графа является местом спина, которое принимает значение спина . Заданная конфигурация спина разбивает множество вершин на два -зависимых подмножества, те, у которых спин вверх, и те, у которых спин вниз . Обозначим через -зависимое множество ребер, которое соединяет два дополнительных подмножества вершин и . Размер разреза для двудольного взвешенного неориентированного графа G можно определить как ${\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle V(G)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle V^{+}}$ ${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle \delta (V^{+})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle V^{+}}$ ${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$ ${\displaystyle \delta (V^{+})}$

$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|={\frac {1}{2}}\sum _{ij\in \delta (V^{+})}W_{ij},}$$

где обозначает вес ребра , а масштабирование 1/2 вводится для компенсации двойного подсчета одинаковых весов . ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$

Идентичности

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\sigma )&=-\sum _{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum _{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}\\&=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}}$$

где общая сумма в первом члене не зависит от , подразумевается, что минимизация в эквивалентна минимизации . Определение веса ребра таким образом превращает задачу Изинга без внешнего поля в задачу максимального разреза графа ^[4], максимизирующую размер разреза , который связан с гамильтонианом Изинга следующим образом, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}}$ ${\displaystyle W_{ij}=-J_{ij}}$ ${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$

$${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left|\delta (V^{+})\right|.}$$

Вопросы

Значительное количество статистических вопросов, которые следует задать относительно этой модели, находятся в пределе большого числа спинов:

• В типичной конфигурации большинство спинов равны +1 или −1, или они разделены поровну?
• Если спин в любой заданной позиции i равен 1, какова вероятность того, что спин в позиции j также равен 1?
• Если β изменяется, происходит ли фазовый переход?
• На решетке Λ какова фрактальная размерность формы большого кластера спинов +1?

Основные свойства и история

Визуализация трансляционно-инвариантной вероятностной меры одномерной модели Изинга

Наиболее изученным случаем модели Изинга является трансляционно-инвариантная ферромагнитная модель нулевого поля на d -мерной решетке, а именно, Λ =  Z ^d , J _ij  = 1, h  = 0.

Отсутствие фазового перехода в одном измерении

В своей докторской диссертации 1924 года Изинг решил модель для случая d  = 1, которую можно рассматривать как линейную горизонтальную решетку, где каждый узел взаимодействует только со своим левым и правым соседом. В одном измерении решение не допускает фазового перехода . ^[5] А именно, для любого положительного β корреляции ⟨σ _i σ _j ⟩ экспоненциально затухают по | i  −  j |: $${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp \left(-c(\beta )|i-j|\right),}$$

и система неупорядочена. На основе этого результата он сделал ошибочный вывод ^{[ необходима цитата ]} , что эта модель не демонстрирует фазового поведения ни в одном измерении.

Фазовый переход и точное решение в двух измерениях

Модель Изинга претерпевает фазовый переход между упорядоченной и неупорядоченной фазой в 2 измерениях или более. А именно, система неупорядочена при малых β, тогда как при больших β система демонстрирует ферромагнитный порядок:

$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.}$$

Впервые это доказал Рудольф Пайерлс в 1936 году ^[6] , используя то, что сейчас называется аргументом Пайерлса .

Модель Изинга на двумерной квадратной решетке без магнитного поля была аналитически решена Ларсом Онсагером  (1944). Онсагер показал, что корреляционные функции и свободная энергия модели Изинга определяются невзаимодействующим фермионом решетки. Онсагер объявил формулу для спонтанной намагниченности для двумерной модели в 1949 году, но не дал вывода. Янг (1952) дал первое опубликованное доказательство этой формулы, используя предельную формулу для детерминантов Фредгольма , доказанную в 1951 году Сегё в прямом ответе на работу Онсагера. ^[7]

Неравенства корреляции

Для спиновых корреляций Изинга (для общих решеточных структур) был строго выведен ряд корреляционных неравенств , которые позволили математикам изучить модель Изинга как в условиях критичности, так и вне ее.

Неравенство Гриффитса

Для любого подмножества спинов и на решетке справедливо следующее неравенство: ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$

$${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle ,}$$

где . ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle =\langle \prod _{j\in A}\sigma _{j}\rangle }$

При этом возникает особый случай . ${\displaystyle B=\emptyset }$ ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$

Это означает, что спины положительно коррелируют на ферромагнетике Изинга. Непосредственное применение этого заключается в том, что намагниченность любого набора спинов увеличивается относительно любого набора констант связи . ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$ ${\displaystyle J_{B}}$

неравенство Саймона-Либа

Неравенство Саймона-Либа ^[8] утверждает, что для любого множества, не связанного с (например, границей ящика, находящейся внутри ящика и находящейся снаружи), ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \langle \sigma _{x}\sigma _{y}\rangle \leq \sum _{z\in S}\langle \sigma _{x}\sigma _{z}\rangle \langle \sigma _{z}\sigma _{y}\rangle .}$$

Это неравенство можно использовать для установления резкости фазового перехода для модели Изинга. ^[9]

FKG неравенство

Это неравенство впервые доказано для типа положительно-коррелированной модели перколяции , которая включает представление модели Изинга. Оно используется для определения критических температур плоской модели Поттса с использованием аргументов перколяции (которая включает модель Изинга как частный случай). ^[10]

Историческое значение

Одним из аргументов Демокрита в поддержку атомизма было то, что атомы естественным образом объясняют резкие границы фаз, наблюдаемые в материалах ^{[ требуется ссылка ]} , например, когда лед тает и превращается в воду или вода превращается в пар. Его идея состояла в том, что небольшие изменения в свойствах атомного масштаба приведут к большим изменениям в поведении агрегата. Другие считали, что материя по своей сути непрерывна, а не атомарна, и что крупномасштабные свойства материи не сводятся к основным атомным свойствам.

В то время как законы химической связи ясно показали химикам девятнадцатого века, что атомы реальны, среди физиков дебаты продолжались вплоть до начала двадцатого века. Атомисты, в частности Джеймс Клерк Максвелл и Людвиг Больцман , применили формулировку Гамильтона законов Ньютона к большим системам и обнаружили, что статистическое поведение атомов правильно описывает газы при комнатной температуре. Но классическая статистическая механика не учитывала все свойства жидкостей и твердых тел, а также газов при низкой температуре.

После того, как была сформулирована современная квантовая механика , атомизм больше не противоречил эксперименту, но это не привело к всеобщему принятию статистической механики, которая вышла за рамки атомизма. Джозайя Уиллард Гиббс дал полный формализм для воспроизведения законов термодинамики из законов механики. Но многие ошибочные аргументы сохранились с 19-го века, когда статистическая механика считалась сомнительной. Пробелы в интуиции в основном проистекали из того факта, что предел бесконечной статистической системы имеет много законов «ноль-единица» , которые отсутствуют в конечных системах: бесконечно малое изменение параметра может привести к большим различиям в общем, совокупном поведении, как и ожидал Демокрит.

Отсутствие фазовых переходов в конечном объеме

В начале двадцатого века некоторые полагали, что статистическая сумма никогда не сможет описать фазовый переход, основываясь на следующем аргументе:

1. Статистическая сумма представляет собой сумму e ^{− βE} по всем конфигурациям.
2. Экспоненциальная функция всюду аналитична как функция β.
3. Сумма аналитических функций является аналитической функцией.

Этот аргумент работает для конечной суммы экспонент и правильно устанавливает, что нет никаких сингулярностей в свободной энергии системы конечного размера. Для систем, которые находятся в термодинамическом пределе (то есть для бесконечных систем), бесконечная сумма может привести к сингулярностям. Сходимость к термодинамическому пределу быстрая, так что фазовое поведение очевидно уже на относительно небольшой решетке, даже если сингулярности сглажены конечным размером системы.

Впервые это установил Рудольф Пайерлс в модели Изинга.

Капельки Пайерлса

Вскоре после того, как Ленц и Изинг построили модель Изинга, Пайерлс смог явно показать, что фазовый переход происходит в двух измерениях.

Для этого он сравнил пределы высокой и низкой температуры. При бесконечной температуре (β = 0) все конфигурации имеют одинаковую вероятность. Каждый спин полностью независим от любого другого, и если типичные конфигурации при бесконечной температуре изобразить так, чтобы плюс/минус были представлены черным и белым, они будут выглядеть как телевизионный снег . Для высокой, но не бесконечной температуры, есть небольшие корреляции между соседними позициями, снег имеет тенденцию немного комковаться, но экран остается случайным, и нет чистого избытка черного или белого.

Количественной мерой избытка является намагниченность , которая представляет собой среднее значение спина:

$${\displaystyle M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.}$$

Ложный аргумент, аналогичный аргументу в предыдущем разделе, теперь устанавливает, что намагниченность в модели Изинга всегда равна нулю.

1. Каждая конфигурация спинов имеет такую ​​же энергию, как и конфигурация, в которой все спины перевернуты.
2. Таким образом, для каждой конфигурации с намагниченностью M с равной вероятностью существует конфигурация с намагниченностью − M.
3. Следовательно , система должна проводить одинаковое количество времени в конфигурации с намагниченностью M и с намагниченностью − M.
4. Таким образом, средняя намагниченность (за все время) равна нулю.

Как и прежде, это доказывает только то, что средняя намагниченность равна нулю при любом конечном объеме. Для бесконечной системы флуктуации могут оказаться неспособными переместить систему из преимущественно положительного состояния в преимущественно отрицательное с ненулевой вероятностью.

При очень высоких температурах намагниченность равна нулю, как и при бесконечной температуре. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если спин A имеет только небольшую корреляцию ε со спином B, а B только слабо коррелирует с C, но C в остальном независим от A, то величина корреляции A и C будет равна ε ² . Для двух спинов, разделенных расстоянием L , величина корреляции будет равна ε ^L , но если существует более одного пути, по которому могут распространяться корреляции, эта величина увеличивается на число путей.

Число путей длины L на квадратной решетке в d измерениях равно , поскольку на каждом шаге существует 2 d вариантов выбора, куда пойти. $${\displaystyle N(L)=(2d)^{L},}$$

Граница общей корреляции определяется вкладом в корреляцию, получаемым путем суммирования по всем путям, соединяющим две точки, который ограничен сверху суммой по всем путям длины L, деленной на , которая стремится к нулю, когда ε мало. $${\displaystyle \sum _{L}(2d)^{L}\varepsilon ^{L},}$$

При низких температурах (β ≫ 1) конфигурации близки к конфигурации с самой низкой энергией, где все спины положительные или все спины отрицательные. Пайерлс задался вопросом, возможно ли статистически при низкой температуре, начиная со всех спинов отрицательных, флуктуировать в состояние, где большинство спинов положительные. Чтобы это произошло, капли со спином плюс должны иметь возможность затвердевать, чтобы создать состояние плюс.

Энергия капли с плюс-спином на минус-фоне пропорциональна периметру капли L, где плюс-спины и минус-спины соседствуют друг с другом. Для капли с периметром L площадь находится где-то между ( L  − 2)/2 (прямая линия) и ( L /4) ² (квадрат). Вероятностная стоимость введения капли имеет множитель e ^{−β L} , но это вносит вклад в функцию распределения, умноженную на общее число капель с периметром L , которое меньше общего числа путей длиной L : Так что общий спиновый вклад от капель, даже пересчитывая, позволяя каждому месту иметь отдельную каплю, ограничен сверху $${\displaystyle N(L)<4^{2L}.}$$ $${\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{2L}e^{-4\beta L},}$$

который стремится к нулю при больших β. При достаточно больших β это экспоненциально подавляет длинные петли, так что они не могут возникнуть, и намагниченность никогда не флуктуирует слишком далеко от −1.

Итак, Пайерлс установил, что намагниченность в модели Изинга в конечном итоге определяет суперселективные сектора — отдельные домены, не связанные конечными флуктуациями.

Двойственность Крамерса–Ванье

Крамерс и Ванье смогли показать, что высокотемпературное и низкотемпературное расширения модели равны с точностью до общего масштабирования свободной энергии. Это позволило точно определить точку фазового перехода в двумерной модели (в предположении, что существует единственная критическая точка).

Нули Янга–Ли

После решения Онзагера Янг и Ли исследовали, каким образом статистическая сумма становится сингулярной, когда температура приближается к критической.

Методы Монте-Карло для численного моделирования

Закалка системы Изинга на двумерной квадратной решетке (500 × 500) с обратной температурой β  = 10, начиная со случайной конфигурации

Определения

Модель Изинга часто бывает трудно оценить численно, если в системе много состояний. Рассмотрим модель Изинга с

L = |Λ|: общее число узлов на решетке,

σ _j ∈ {−1, +1}: отдельный спиновый узел на решетке, j  = 1, ..., L ,

S ∈ {−1, +1} ^L : состояние системы.

Поскольку каждый спиновый участок имеет спин ±1, возможны 2 ^L различных состояний. ^[11] Это мотивирует причину моделирования модели Изинга с использованием методов Монте-Карло . ^[11]

Гамильтониан , который обычно используется для представления энергии модели при использовании методов Монте-Карло, является Более того, гамильтониан еще больше упрощается, если предположить нулевое внешнее поле h , поскольку на многие вопросы, которые должны быть решены с помощью модели, можно ответить и при отсутствии внешнего поля. Это приводит нас к следующему уравнению энергии для состояния σ: Учитывая этот гамильтониан, можно вычислить интересующие величины, такие как удельная теплоемкость или намагниченность магнита при заданной температуре. ^[11] $${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum _{j}\sigma _{j}.}$$ $${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

Алгоритм Метрополиса

Обзор

Алгоритм Метрополиса –Хастингса является наиболее часто используемым алгоритмом Монте-Карло для вычисления оценок модели Изинга. ^[11] Сначала алгоритм выбирает вероятности выбора g (μ, ν), которые представляют вероятность того, что состояние ν будет выбрано алгоритмом из всех состояний, при условии, что одно из них находится в состоянии μ. Затем он использует вероятности принятия A (μ, ν), чтобы был удовлетворен подробный баланс . Если новое состояние ν принято, то мы переходим в это состояние и повторяем с выбором нового состояния и решением принять его. Если ν не принято, то мы остаемся в μ. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнен некоторый критерий остановки, который для модели Изинга часто наступает, когда решетка становится ферромагнитной , то есть все узлы указывают в одном направлении. ^[11]

При реализации алгоритма необходимо убедиться, что g (μ, ν) выбрано таким образом, чтобы соблюдалась эргодичность . В тепловом равновесии энергия системы колеблется только в небольшом диапазоне. ^[11] Это мотивация концепции динамики с одним переворотом спина , ^[12] которая гласит, что при каждом переходе мы будем менять только один из спиновых узлов на решетке. ^[11] Более того, используя динамику с одним переворотом спина, можно перейти из любого состояния в любое другое состояние, переворачивая каждый узел, который отличается между двумя состояниями, по одному за раз.

Максимальное количество изменений между энергией текущего состояния H _μ и энергией любого возможного нового состояния H _ν (используя динамику одиночного переворота спина) составляет 2 Дж между спином, который мы выбираем для «переворота», чтобы перейти в новое состояние, и соседом этого спина. ^[11] Таким образом, в одномерной модели Изинга, где каждый узел имеет двух соседей (левого и правого), максимальная разница в энергии составит 4 Дж .

Пусть c представляет собой координационное число решетки ; число ближайших соседей, которое имеет любой узел решетки. Мы предполагаем, что все узлы имеют одинаковое число соседей из-за периодических граничных условий . ^[11] Важно отметить, что алгоритм Метрополиса–Гастингса не работает хорошо вблизи критической точки из-за критического замедления. Другие методы, такие как многосеточные методы, алгоритм Нидермайера, алгоритм Свендсена–Ванга или алгоритм Вольфа, необходимы для разрешения модели вблизи критической точки; требование для определения критических показателей системы.

Доступны пакеты с открытым исходным кодом, реализующие эти алгоритмы. ^[13]

Спецификация

Конкретно для модели Изинга и с использованием динамики одиночного переворота спина можно установить следующее.

Поскольку на решетке всего L узлов, используя одиночный спин-флип как единственный способ перехода в другое состояние, мы можем видеть, что всего L новых состояний ν из нашего текущего состояния μ. Алгоритм предполагает, что вероятности выбора равны L состояниям: g (μ, ν) = 1/ L . Подробный баланс говорит нам, что должно выполняться следующее уравнение:

$${\displaystyle {\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

Таким образом, мы хотим выбрать вероятность принятия для нашего алгоритма, чтобы удовлетворить $${\displaystyle {\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

Если H _ν > H _µ , то A (ν, µ) > A (µ, ν). Metropolis устанавливает большее из значений A (μ, ν) или A (ν, μ) равным 1. По этой причине алгоритм принятия следующий: ^[11]

$${\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0,\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Основная форма алгоритма выглядит следующим образом:

1. Выберите спиновое положение, используя вероятность выбора g (μ, ν), и вычислите вклад в энергию, связанный с этим спином.
2. Переверните значение спина и вычислите новый вклад.
3. Если новая энергия меньше, сохраните перевернутое значение.
4. Если новая энергия больше, придерживайтесь только вероятности ${\displaystyle e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$
5. Повторить.

Изменение энергии H _ν  −  H _μ зависит только от значения спина и его ближайших соседей по графу. Поэтому, если граф не слишком связан, алгоритм работает быстро. Этот процесс в конечном итоге даст выборку из распределения.

Рассмотрение модели Изинга как цепи Маркова

Можно рассматривать модель Изинга как цепь Маркова , поскольку непосредственная вероятность P _β (ν) перехода в будущее состояние ν зависит только от текущего состояния μ. Алгоритм Метрополиса на самом деле является версией моделирования Монте-Карло цепи Маркова , и поскольку мы используем динамику одиночного переворота спина в алгоритме Метрополиса, каждое состояние можно рассматривать как имеющее связи ровно с L другими состояниями, где каждый переход соответствует перевороту одного спинового участка в противоположное значение. ^[14] Кроме того, поскольку изменение уравнения энергии H _σ зависит только от силы взаимодействия ближайших соседей J , модель Изинга и ее варианты, такие как модель Шнайда, можно рассматривать как форму модели избирателей для динамики мнений.

Одно измерение

Термодинамический предел существует до тех пор, пока затухание взаимодействия происходит при α > 1. ^[15] ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$

• В случае ферромагнитного взаимодействия с 1 < α < 2 Дайсон доказал, сравнивая с иерархическим случаем, что при достаточно малой температуре происходит фазовый переход. ^[16] ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$
• В случае ферромагнитного взаимодействия Фрелих и Спенсер доказали, что фазовый переход происходит при достаточно малой температуре (в отличие от иерархического случая). ^[17] ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-2}}$
• В случае взаимодействия с α > 2 (что включает случай взаимодействия с конечным радиусом действия) фазовый переход не происходит ни при какой положительной температуре (т.е. при конечном β), поскольку свободная энергия аналитична в термодинамических параметрах. ^[15] ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$
• В случае взаимодействия ближайших соседей Э. Изинг дал точное решение модели. При любой положительной температуре (т.е. конечном β) свободная энергия аналитична в параметрах термодинамики, а усеченная двухточечная спиновая корреляция экспоненциально быстро затухает. При нулевой температуре (т.е. бесконечном β) происходит фазовый переход второго рода: свободная энергия бесконечна, а усеченная двухточечная спиновая корреляция не затухает (остается постоянной). Следовательно, T = 0 является критической температурой этого случая. Масштабные формулы выполняются. ^[18]

Точное решение Изинга

В случае ближайшего соседа (с периодическими или свободными граничными условиями) точное решение доступно. Гамильтониан одномерной модели Изинга на решетке из L узлов со свободными граничными условиями равен где J и h могут быть любыми числами, поскольку в этом упрощенном случае J является константой, представляющей силу взаимодействия между ближайшими соседями, а h является постоянным внешним магнитным полем, приложенным к узлам решетки. Тогда свободная энергия равна и спин-спиновая корреляция (т. е. ковариация) равна где C (β) и c (β) являются положительными функциями при T > 0. Однако при T → 0 обратная длина корреляции c (β) исчезает. $${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L-1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i},}$$ $${\displaystyle f(\beta ,h)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z(\beta )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right),}$$ $${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|},}$$

Доказательство

Доказательство этого результата — простое вычисление.

Если h = 0, то очень легко получить свободную энергию в случае свободного граничного условия, т.е. когда Тогда модель факторизуется относительно замены переменных $${\displaystyle H(\sigma )=-J\left(\sigma _{1}\sigma _{2}+\cdots +\sigma _{L-1}\sigma _{L}\right).}$$ $${\displaystyle \sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1},\quad j\geq 2.}$$

Это дает $${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta J\sigma _{L-1}\sigma _{L}}=2\prod _{j=2}^{L}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{L-1}.}$$

Следовательно, свободная энергия равна

$${\displaystyle f(\beta ,0)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right].}$$

С той же заменой переменных

$${\displaystyle \langle \sigma _{j}\sigma _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\beta J}-e^{-\beta J}}{e^{\beta J}+e^{-\beta J}}}\right]^{N},}$$

следовательно, он экспоненциально затухает, как только T ≠ 0; но при T = 0, т.е. в пределе β → ∞, затухания не происходит.

Если h ≠ 0, нам нужен метод матрицы переноса. Для периодических граничных условий случай следующий. Функция распределения равна Коэффициенты можно рассматривать как элементы матрицы. Существуют различные возможные варианты: удобный (поскольку матрица симметрична) равен или В матричном формализме, где λ ₁ — наибольшее собственное значение V , а λ ₂ — другое собственное значение: и |λ ₂ | < λ ₁ . Это дает формулу свободной энергии. $${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta h\sigma _{1}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta h\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta h\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{L}\sigma _{1}}=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}V_{\sigma _{1},\sigma _{2}}V_{\sigma _{2},\sigma _{3}}\cdots V_{\sigma _{L},\sigma _{1}}.}$$ ${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}}$ $${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}}$$ $${\displaystyle V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {Tr} \left(V^{L}\right)=\lambda _{1}^{L}+\lambda _{2}^{L}=\lambda _{1}^{L}\left[1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{L}\right],}$$ $${\displaystyle \lambda _{1}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}},}$$

Комментарии

Энергия самого низкого состояния равна − JL , когда все спины одинаковы. Для любой другой конфигурации дополнительная энергия равна 2 J , умноженному на число изменений знака, которые встречаются при сканировании конфигурации слева направо.

Если мы обозначим число изменений знака в конфигурации как k , то разница в энергии от состояния с самой низкой энергией составит 2 k . Поскольку энергия аддитивна к числу переворотов, вероятность p наличия переворота спина в каждой позиции независима. Отношение вероятности обнаружения переворота к вероятности его отсутствия — это фактор Больцмана:

$${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}=e^{-2\beta J}.}$$

Задача сводится к независимым необъективным подбрасываниям монеты . Это по сути завершает математическое описание.

Из описания в терминах независимых бросков можно понять статистику модели для длинных линий. Линия разбивается на домены. Каждый домен имеет среднюю длину exp(2β). Длина домена распределена экспоненциально, поскольку на любом шаге существует постоянная вероятность столкнуться с переворотом. Домены никогда не становятся бесконечными, поэтому длинная система никогда не намагничивается. Каждый шаг уменьшает корреляцию между спином и его соседом на величину, пропорциональную p , поэтому корреляции падают экспоненциально.

$${\displaystyle \langle S_{i}S_{j}\rangle \propto e^{-p|i-j|}.}$$

Функция распределения — это объем конфигураций, каждая конфигурация взвешена своим весом Больцмана. Поскольку каждая конфигурация описывается сменой знаков, функция распределения факторизуется:

$${\displaystyle Z=\sum _{\text{configs}}e^{\sum _{k}S_{k}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}.}$$

Логарифм, деленный на L, представляет собой плотность свободной энергии:

$${\displaystyle \beta f=\log(1+p)=\log \left(1+{\frac {e^{-2\beta J}}{1+e^{-2\beta J}}}\right),}$$

что является аналитическим вдали от β = ∞. Признаком фазового перехода является неаналитическая свободная энергия, поэтому одномерная модель не имеет фазового перехода.

Одномерное решение с поперечным полем

Чтобы выразить гамильтониан Изинга с помощью квантово-механического описания спинов, мы заменяем спиновые переменные соответствующими им матрицами Паули . Однако, в зависимости от направления магнитного поля, мы можем создать гамильтониан поперечного или продольного поля. Гамильтониан поперечного поля задается как

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}-h\sum _{i}\sigma _{i}^{x}.}$$

Модель поперечного поля испытывает фазовый переход между упорядоченным и неупорядоченным режимом при J  ~  h . Это можно показать с помощью отображения матриц Паули

$${\displaystyle \sigma _{n}^{z}=\prod _{i=1}^{n}T_{i}^{x},}$$

$${\displaystyle \sigma _{n}^{x}=T_{n}^{z}T_{n+1}^{z}.}$$

Переписав гамильтониан в терминах этой замены базисных матриц, получаем

$${\displaystyle H(\sigma )=-h\sum _{i=1,\ldots ,L}T_{i}^{z}T_{i+1}^{z}-J\sum _{i}T_{i}^{x}.}$$

Поскольку роли h и J меняются местами, гамильтониан претерпевает переход при J = h . ^[19]

Перенормировка

Когда нет внешнего поля, мы можем вывести функциональное уравнение, которое удовлетворяет с помощью перенормировки. ^[20] В частности, пусть будет функцией статистической суммы с узлами. Теперь у нас есть: где . Суммируем по каждому из , чтобы получить Теперь, поскольку функция cosh четная, мы можем решить как . Теперь у нас есть соотношение самоподобия: Взяв предел, мы получаем где . ${\displaystyle f(\beta ,0)=f(\beta )}$ ${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }e^{K\sigma _{2}(\sigma _{1}+\sigma _{3})}e^{K\sigma _{4}(\sigma _{3}+\sigma _{5})}\cdots }$$ ${\displaystyle K:=\beta J}$ ${\displaystyle \sigma _{2},\sigma _{4},\cdots }$ $${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }(2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3})))\cdot (2\cosh(K(\sigma _{3}+\sigma _{5})))\cdots }$$ ${\displaystyle Ae^{K'\sigma _{1}\sigma _{3}}=2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3}))}$ ${\textstyle A=2{\sqrt {\cosh(2K)}},K'={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2K)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{N}}\ln Z_{N}(K)={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{N/2}}\ln Z_{N/2}(K')}$$ $${\displaystyle f(\beta )={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}f(\beta ')}$$ ${\displaystyle \beta 'J={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2\beta J)}$

Когда мало, мы имеем , поэтому мы можем выполнить численную оценку , повторяя функциональное уравнение до тех пор, пока не станет малым. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f(\beta )\approx \ln 2}$ ${\displaystyle f(\beta )}$ ${\displaystyle K}$

Два измерения

• В ферромагнитном случае происходит фазовый переход. При низкой температуре аргумент Пайерлса доказывает положительную намагниченность для случая ближайшего соседа, а затем, по неравенству Гриффитса , также при добавлении более дальнодействующих взаимодействий. Между тем, при высокой температуре кластерное разложение дает аналитичность термодинамических функций.
• В случае ближайших соседей свободная энергия была точно вычислена Онзагером через эквивалентность модели со свободными фермионами на решетке. Функции спин-спиновой корреляции были вычислены Маккоем и Ву.

Точное решение Онзагера

Онзагер (1944) получил следующее аналитическое выражение для свободной энергии модели Изинга на анизотропной квадратной решетке, когда магнитное поле в термодинамическом пределе как функция температуры и горизонтальной и вертикальной энергий взаимодействия и , соответственно ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{1}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{2}\ln[\cosh(2\beta J_{1})\cosh(2\beta J_{2})-\sinh(2\beta J_{1})\cos(\theta _{1})-\sinh(2\beta J_{2})\cos(\theta _{2})].}$$

Из этого выражения для свободной энергии все термодинамические функции модели могут быть рассчитаны с использованием соответствующей производной. Двумерная модель Изинга была первой моделью, демонстрирующей непрерывный фазовый переход при положительной температуре. Он происходит при температуре, которая решает уравнение ${\displaystyle T_{c}}$

$${\displaystyle \sinh \left({\frac {2J_{1}}{kT_{c}}}\right)\sinh \left({\frac {2J_{2}}{kT_{c}}}\right)=1.}$$

В изотропном случае, когда горизонтальная и вертикальная энергии взаимодействия равны , критическая температура достигается в следующей точке ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J}$ ${\displaystyle T_{c}}$

$${\displaystyle T_{c}={\frac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}})}}=(2.269185\cdots ){\frac {J}{k}}}$$

Когда энергии взаимодействия , обе отрицательны, модель Изинга становится антиферромагнетиком. Поскольку квадратная решетка является двудольной, она инвариантна относительно этого изменения, когда магнитное поле , поэтому свободная энергия и критическая температура одинаковы для антиферромагнитного случая. Для треугольной решетки, которая не является двудольной, ферромагнитная и антиферромагнитная модели Изинга ведут себя заметно по-разному. В частности, вокруг треугольника невозможно сделать все 3 пары спинов антипараллельными, поэтому антиферромагнитная модель Изинга не может достичь состояния минимальной энергии. Это пример геометрической фрустрации . ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle h=0}$

Матрица переноса

Начнем с аналогии с квантовой механикой. Модель Изинга на длинной периодической решетке имеет функцию распределения

$${\displaystyle \sum _{\{S\}}\exp {\biggl (}\sum _{ij}S_{i,j}\left(S_{i,j+1}+S_{i+1,j}\right){\biggr )}.}$$

Думайте о направлении i как о пространстве , а о направлении j как о времени . Это независимая сумма по всем значениям, которые спины могут принимать в каждом временном срезе. Это тип интеграла по траектории , это сумма по всем историям спинов.

Интеграл по траектории можно переписать как эволюцию Гамильтона. Гамильтониан шагает по времени, выполняя унитарное вращение между временем t и временем t + Δ t : $${\displaystyle U=e^{iH\Delta t}}$$

Произведение матриц U, одна за другой, представляет собой оператор полной временной эволюции, который является интегралом по траектории, с которого мы начали.

$${\displaystyle U^{N}=(e^{iH\Delta t})^{N}=\int DXe^{iL}}$$

где N — количество временных срезов. Сумма по всем путям задается произведением матриц, каждый элемент матрицы — это вероятность перехода от одного среза к другому.

Аналогично можно разделить сумму по всем конфигурациям функции распределения на срезы, где каждый срез представляет собой одномерную конфигурацию в момент времени 1. Это определяет матрицу переноса : $${\displaystyle T_{C_{1}C_{2}}.}$$

Конфигурация в каждом срезе представляет собой одномерный набор спинов. В каждом временном срезе T имеет матричные элементы между двумя конфигурациями спинов, одна в ближайшем будущем и одна в ближайшем прошлом. Эти две конфигурации — C ₁ и C ₂ , и все они являются одномерными конфигурациями спинов. Мы можем думать о векторном пространстве, на которое действует T , как о всех комплексных линейных комбинациях этих. Используя квантово-механические обозначения: $${\displaystyle |A\rangle =\sum _{S}A(S)|S\rangle }$$

где каждый базисный вектор представляет собой спиновую конфигурацию одномерной модели Изинга. ${\displaystyle |S\rangle }$

Подобно гамильтониану, матрица переноса действует на все линейные комбинации состояний. Функция распределения — это матричная функция T, которая определяется суммой по всем историям, которые возвращаются к исходной конфигурации после N шагов: $${\displaystyle Z=\mathrm {tr} (T^{N}).}$$

Поскольку это матричное уравнение, его можно оценить в любом базисе. Так что если мы можем диагонализировать матрицу T , мы можем найти Z.

Тв терминах матриц Паули

Вклад в функцию распределения для каждой пары конфигураций прошлое/будущее на срезе является суммой двух членов. Есть число переворотов спина в прошлом срезе и есть число переворотов спина между прошлым и будущим срезом. Определим оператор на конфигурациях, который переворачивает спин на сайте i:

$${\displaystyle \sigma _{i}^{x}.}$$

В обычном базисе Изинга, действуя на любую линейную комбинацию прошлых конфигураций, он создает ту же самую линейную комбинацию, но со спином в позиции i каждого базисного вектора, перевернутым.

Определим второй оператор, который умножает базисный вектор на +1 и −1 в соответствии со спином в позиции i :

$${\displaystyle \sigma _{i}^{z}.}$$

T можно записать в следующих терминах:

$${\displaystyle \sum _{i}A\sigma _{i}^{x}+B\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}}$$

где A и B — константы, которые должны быть определены для воспроизведения функции распределения. Интерпретация заключается в том, что статистическая конфигурация в этом срезе вносит вклад в соответствии как с числом переворотов спина в срезе, так и с тем, перевернулся ли спин в позиции i .

Операторы создания и уничтожения спин-флипа

Как и в одномерном случае, мы переключим внимание со спинов на спин-флипы. Член σ ^z в T подсчитывает количество спин-флипов, что мы можем записать в терминах операторов создания и уничтожения спин-флипа:

$${\displaystyle \sum C\psi _{i}^{\dagger }\psi _{i}.\,}$$

Первый член переворачивает спин, поэтому в зависимости от базиса он может быть:

1. перемещает спин-флип на одну единицу вправо
2. перемещает спин-флип на одну единицу влево
3. производит два спин-флипа на соседних участках
4. уничтожает два спин-флипа на соседних участках.

Записывая это в терминах операторов создания и уничтожения: $${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=D{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i+1}+D^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i-1}+C\psi _{i}\psi _{i+1}+C^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}{\psi ^{\dagger }}_{i+1}.}$$

Игнорируйте постоянные коэффициенты и сосредоточьте внимание на форме. Они все квадратичные. Поскольку коэффициенты постоянны, это означает, что матрицу T можно диагонализировать с помощью преобразований Фурье.

Проведение диагонализации дает свободную энергию Онзагера.

Формула Онзагера для спонтанного намагничивания

Известно, что Онзагер на двух разных конференциях в 1948 году, хотя и без доказательства, представил следующее выражение для спонтанной намагниченности M двумерного изинговского ферромагнетика на квадратной решетке ^[7] , где и — горизонтальная и вертикальная энергии взаимодействия. $${\displaystyle M=\left(1-\left[\sinh 2\beta J_{1}\sinh 2\beta J_{2}\right]^{-2}\right)^{\frac {1}{8}}}$$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$

Полный вывод был дан только в 1951 году Янгом (1952) с использованием предельного процесса собственных значений матрицы переноса. Доказательство было впоследствии значительно упрощено в 1963 году Монтроллом, Поттсом и Уордом ^[7] с использованием предельной формулы Сегё для определителей Теплица , рассматривая намагниченность как предел корреляционных функций.

Минимальная модель

В критической точке двумерная модель Изинга представляет собой двумерную конформную теорию поля . Корреляционные функции спина и энергии описываются минимальной моделью , которая была точно решена.

Три измерения

В трех, как и в двух измерениях, наиболее изученным случаем модели Изинга является трансляционно-инвариантная модель на кубической решетке с ближайшими соседними связями в нулевом магнитном поле. Многие теоретики в течение многих десятилетий искали аналитическое трехмерное решение, которое было бы аналогично решению Онзагера в двумерном случае. ^{[21] [22]} Такое решение не было найдено до сих пор, хотя нет никаких доказательств того, что оно может не существовать.

В трех измерениях модель Изинга была представлена ​​в терминах невзаимодействующих фермионных струн Александром Поляковым и Владимиром Доценко. Эта конструкция была перенесена на решетку, а предел континуума , предположительно описывающий критическую точку, неизвестен.

Фазовый переход

В трех, как и в двух измерениях, аргумент Пайерлса показывает, что существует фазовый переход. Этот фазовый переход, как строго известно, непрерывен (в том смысле, что длина корреляции расходится, а намагниченность стремится к нулю), и называется критической точкой . Считается, что критическая точка может быть описана фиксированной точкой ренормгруппы преобразования ренормгруппы Вильсона-Каданова. Также считается, что фазовый переход может быть описан трехмерной унитарной конформной теорией поля, о чем свидетельствуют моделирования Монте-Карло ^{[23] [24]} точные результаты диагонализации в квантовых моделях ^[25] и аргументы квантовой теории поля. ^[26] Хотя строго установить картину ренормгруппы или картину конформной теории поля является открытой проблемой, физики-теоретики использовали эти два метода для вычисления критических показателей фазового перехода, которые согласуются с экспериментами и симуляциями Монте-Карло.

Эта конформная теория поля, описывающая трехмерную критическую точку Изинга, активно исследуется с использованием метода конформного бутстрапа . ^{[27] [28] [29] [30]} Этот метод в настоящее время дает наиболее точную информацию о структуре критической теории (см. Критические показатели Изинга ).

Результат Истраила о NP-полноте для общей модели спинового стекла

В 2000 году Сорин Истраил из Sandia National Laboratories доказал, что модель Изинга спинового стекла на неплоской решетке является NP-полной . То есть, предполагая, что P ≠ NP, общая модель Изинга спинового стекла точно решаема только в плоских случаях, поэтому решения для размерностей выше двух также неразрешимы. ^[31] Результат Истраила касается только модели спинового стекла с пространственно изменяющимися связями и ничего не говорит об исходной ферромагнитной модели Изинга с равными связями.

Четыре измерения и выше

В любом измерении модель Изинга может быть продуктивно описана локально изменяющимся средним полем. Поле определяется как среднее значение спина по большой области, но не настолько большой, чтобы охватить всю систему. Поле все еще имеет медленные изменения от точки к точке, поскольку усредняющий объем движется. Эти флуктуации в поле описываются теорией континуума поля в пределе бесконечной системы.

Местное поле

Поле H определяется как длинноволновые компоненты Фурье спиновой переменной в пределе, когда длины волн велики. Существует много способов взять длинноволновое среднее значение, в зависимости от деталей того, как отсекаются высокие длины волн. Детали не слишком важны, поскольку цель состоит в том, чтобы найти статистику H , а не спинов. Как только корреляции в H известны, дальние корреляции между спинами будут пропорциональны дальним корреляциям в H.

Для любого значения медленно меняющегося поля H свободная энергия (логарифмическая вероятность) является локальной аналитической функцией H и ее градиентов. Свободная энергия F ( H ) определяется как сумма по всем конфигурациям Изинга, которые согласуются с длинноволновым полем. Поскольку H является грубым описанием, существует много конфигураций Изинга, согласующихся с каждым значением H , пока для соответствия не требуется слишком большая точность.

Поскольку допустимый диапазон значений спина в любой области зависит только от значений H в пределах одного усредняющего объема из этой области, вклад свободной энергии из каждой области зависит только от значения H там и в соседних областях. Таким образом, F представляет собой сумму по всем областям локального вклада, который зависит только от H и его производных.

По симметрии в H только четные степени дают вклад. По симметрии отражения на квадратной решетке только четные степени градиентов дают вклад. Записываем первые несколько членов в свободной энергии:

$${\displaystyle \beta F=\int d^{d}x\left[AH^{2}+\sum _{i=1}^{d}Z_{i}(\partial _{i}H)^{2}+\lambda H^{4}+\cdots \right].}$$

На квадратной решетке симметрии гарантируют, что коэффициенты Z _i производных членов все равны. Но даже для анизотропной модели Изинга, где Z i _в разных направлениях различны, флуктуации в H изотропны в системе координат, где разные направления пространства перемасштабированы.

На любой решетке производный член является положительно определенной квадратичной формой и может быть использован для определения метрики пространства. Таким образом, любая трансляционно-инвариантная модель Изинга является вращательно-инвариантной на больших расстояниях в координатах, которые делают Z _ij = δ _ij . Вращательная симметрия возникает спонтанно на больших расстояниях просто потому, что членов низкого порядка не так уж много. В мультикритических точках более высокого порядка эта случайная симметрия теряется. $${\displaystyle Z_{ij}\,\partial _{i}H\,\partial _{j}H}$$

Поскольку β F является функцией медленно меняющегося в пространстве поля, вероятность любой конфигурации поля равна (опуская члены более высокого порядка):

$${\displaystyle P(H)\propto e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}=e^{-\beta F[H]}.}$$

Статистическое среднее любого произведения членов H равно:

$${\displaystyle \langle H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n})\rangle ={\int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n}) \over \int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}}.}$$

Знаменатель в этом выражении называется статистической суммой : а интеграл по всем возможным значениям H является статистическим интегралом по траектории. Он интегрирует exp(β F ) по всем значениям H , по всем длинноволновым компонентам Фурье спинов. F является «евклидовым» лагранжианом для поля H . Он похож на лагранжиан в скалярного поля в квантовой теории поля , разница в том, что все производные члены входят с положительным знаком, и нет общего множителя i (отсюда «евклидовость»). $${\displaystyle Z=\int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}}$$

Анализ размеров

Форму F можно использовать для прогнозирования наиболее важных терминов с помощью размерного анализа. Размерный анализ не совсем прост, поскольку необходимо определить масштабирование H.

В общем случае выбор закона масштабирования для H прост, поскольку единственный член, который вносит вклад, — это первый член,

$${\displaystyle F=\int d^{d}x\,AH^{2}.}$$

Этот член наиболее значим, но он дает тривиальное поведение. Эта форма свободной энергии является ультралокальной, что означает, что она является суммой независимого вклада от каждой точки. Это похоже на перевороты спина в одномерной модели Изинга. Каждое значение H в любой точке флуктуирует совершенно независимо от значения в любой другой точке.

Масштаб поля можно переопределить, чтобы поглотить коэффициент A , и тогда станет ясно, что A определяет только общий масштаб флуктуаций. Ультралокальная модель описывает длинноволновое высокотемпературное поведение модели Изинга, поскольку в этом пределе средние значения флуктуаций независимы от точки к точке.

Чтобы найти критическую точку, понизьте температуру. По мере понижения температуры флуктуации H растут, поскольку флуктуации более коррелированы. Это означает, что среднее значение большого числа спинов не становится малым так быстро, как если бы они были некоррелированными, поскольку они, как правило, одинаковы. Это соответствует уменьшению A в системе единиц, где H не поглощает A. Фазовый переход может произойти только тогда, когда сублидирующие члены в F могут вносить вклад, но поскольку первый член доминирует на больших расстояниях, коэффициент A должен быть настроен на ноль. Это местоположение критической точки:

$${\displaystyle F=\int d^{d}x\left[tH^{2}+\lambda H^{4}+Z(\nabla H)^{2}\right],}$$

где t — параметр, который при переходе проходит через ноль.

Поскольку t стремится к нулю, фиксация масштаба поля с помощью этого члена приводит к тому, что другие члены взрываются. Как только t становится малым, масштаб поля может быть установлен либо для фиксации коэффициента члена H ⁴ , либо члена (∇ H ) ² на 1.

Намагничивание

Чтобы найти намагниченность, зафиксируем масштабирование H так, чтобы λ было равно единице. Теперь поле H имеет размерность − d /4, так что H ⁴ d ^d x безразмерно, а Z имеет размерность 2 −  d /2. В этом масштабировании градиентный член важен только на больших расстояниях для d ≤ 4. Выше четырех измерений, на больших длинах волн, общая намагниченность зависит только от ультралокальных членов.

Есть один тонкий момент. Поле H флуктуирует статистически, и флуктуации могут смещать нулевую точку t . Чтобы увидеть, как это происходит, рассмотрим H ^{4 ,} разделенный следующим образом:

$${\displaystyle H(x)^{4}=-\langle H(x)^{2}\rangle ^{2}+2\langle H(x)^{2}\rangle H(x)^{2}+\left(H(x)^{2}-\langle H(x)^{2}\rangle \right)^{2}}$$

Первый член — это постоянный вклад в свободную энергию, и его можно игнорировать. Второй член — это конечный сдвиг в t . Третий член — это величина, которая стремится к нулю на больших расстояниях. Это означает, что при анализе масштабирования t с помощью размерного анализа важен именно смещенный t . Это исторически было очень запутанным, потому что сдвиг в t при любом конечном λ конечен, но вблизи перехода t очень мал. Дробное изменение в t очень велико, и в единицах, где t фиксировано, сдвиг выглядит бесконечным.

Намагниченность находится в минимуме свободной энергии, и это аналитическое уравнение. В терминах смещенного t ,

$${\displaystyle {\partial \over \partial H}\left(tH^{2}+\lambda H^{4}\right)=2tH+4\lambda H^{3}=0}$$

При t < 0 минимумы находятся при H, пропорциональном квадратному корню из t . Таким образом, аргумент Ландау о катастрофе верен в размерностях больше 5. Показатель намагниченности в размерностях больше 5 равен значению среднего поля.

При отрицательном t флуктуации вокруг нового минимума описываются новым положительным квадратичным коэффициентом. Поскольку этот член всегда доминирует, при температурах ниже перехода флуктуации снова становятся ультралокальными на больших расстояниях.

Колебания

Чтобы найти поведение флуктуаций, перемасштабируйте поле, чтобы зафиксировать градиентный член. Тогда масштабная размерность длины поля равна 1 −  d /2. Теперь поле имеет постоянные квадратичные пространственные флуктуации при всех температурах. Масштабная размерность члена H ² равна 2, в то время как масштабная размерность члена H ⁴ равна 4 −  d . При d < 4 член H ⁴ имеет положительную масштабную размерность. В размерностях выше 4 он имеет отрицательную масштабную размерность.

Это существенное различие. В размерностях выше 4 фиксация масштаба градиентного члена означает, что коэффициент члена H ⁴ становится все менее и менее важным при все более длинных волнах. Размерность, при которой неквадратичные вклады начинают вносить вклад, известна как критическая размерность. В модели Изинга критическая размерность равна 4.

В размерностях выше 4 критические флуктуации описываются чисто квадратичной свободной энергией на больших длинах волн. Это означает, что все корреляционные функции вычисляются из гауссовых средних:

$${\displaystyle \langle S(x)S(y)\rangle \propto \langle H(x)H(y)\rangle =G(x-y)=\int {dk \over (2\pi )^{d}}{e^{ik(x-y)} \over k^{2}+t}}$$

справедливо, когда x  −  y велико. Функция G ( x  −  y ) является аналитическим продолжением в мнимое время пропагатора Фейнмана , поскольку свободная энергия является аналитическим продолжением действия квантового поля для свободного скалярного поля. Для размерностей 5 и выше все остальные корреляционные функции на больших расстояниях определяются теоремой Вика . Все нечетные моменты равны нулю, по ± симметрии. Четные моменты являются суммой по всем разбиениям на пары произведения G ( x  −  y ) для каждой пары.

$${\displaystyle \langle S(x_{1})S(x_{2})\cdots S(x_{2n})\rangle =C^{n}\sum G(x_{i1},x_{j1})G(x_{i2},x_{j2})\ldots G(x_{in},x_{jn})}$$

где C — константа пропорциональности. Поэтому достаточно знать G. Он определяет все многоточечные корреляции поля.

Критическая двухточечная функция

Чтобы определить форму G , учтите, что поля в интеграле по траектории подчиняются классическим уравнениям движения, полученным путем изменения свободной энергии:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-\nabla _{x}^{2}+t\right)\langle H(x)H(y)\rangle &=0\\\rightarrow {}&&\nabla ^{2}G(x)+tG(x)&=0\end{aligned}}}$$

Это справедливо только в несовпадающих точках, поскольку корреляции H сингулярны, когда точки сталкиваются. H подчиняется классическим уравнениям движения по той же причине, по которой им подчиняются квантово-механические операторы — его флуктуации определяются интегралом по траектории.

В критической точке t = 0 это уравнение Лапласа , которое можно решить методом Гаусса из электростатики. Определим аналог электрического поля как

$${\displaystyle E=\nabla G}$$

Вдали от источника:

$${\displaystyle \nabla \cdot E=0}$$

поскольку G сферически симметричен в d измерениях, а E — радиальный градиент G. Интегрируя по большой d  − 1 мерной сфере,

$${\displaystyle \int d^{d-1}SE_{r}=\mathrm {constant} }$$

Это дает:

$${\displaystyle E={C \over r^{d-1}}}$$

и G можно найти путем интегрирования по r .

$${\displaystyle G(r)={C \over r^{d-2}}}$$

Константа C фиксирует общую нормировку поля.

Г(г) от критической точки

Когда t не равно нулю, так что H колеблется при температуре, слегка отличающейся от критической, двухточечная функция затухает на больших расстояниях. Уравнение, которому она подчиняется, изменяется:

$${\displaystyle \nabla ^{2}G+tG=0\to {1 \over r^{d-1}}{d \over dr}\left(r^{d-1}{dG \over dr}\right)+tG(r)=0}$$

При r, малых по сравнению с , решение расходится точно так же, как и в критическом случае, но поведение на больших расстояниях изменяется. ${\displaystyle {\sqrt {t}}}$

Чтобы увидеть это, удобно представить двухточечную функцию в виде интеграла, введенного Швингером в контексте квантовой теории поля:

$${\displaystyle G(x)=\int d\tau {1 \over \left({\sqrt {2\pi \tau }}\right)^{d}}e^{-{x^{2} \over 4\tau }-t\tau }}$$

Это G , поскольку преобразование Фурье этого интеграла просто. Каждый фиксированный вклад τ является гауссовым по x , преобразование Фурье которого является другим гауссовым с обратной шириной по k .

$${\displaystyle G(k)=\int d\tau e^{-(k^{2}-t)\tau }={1 \over k^{2}-t}}$$

Это обратный оператор ∇ ²  −  t в k -пространстве, действующий на единичную функцию в k -пространстве, которая является преобразованием Фурье источника дельта-функции, локализованного в начале координат. Таким образом, он удовлетворяет тому же уравнению, что и G, с теми же граничными условиями, которые определяют силу расхождения в 0.

Интерпретация интегрального представления по собственному времени τ заключается в том, что двухточечная функция является суммой по всем траекториям случайного блуждания, которые связывают позицию 0 с позицией x за время τ. Плотность этих траекторий в момент времени τ в позиции x является гауссовой, но случайные блуждающие исчезают с постоянной скоростью, пропорциональной t , так что гауссова функция в момент времени τ уменьшается по высоте на фактор, который неуклонно убывает экспоненциально. В контексте квантовой теории поля это траектории релятивистски локализованных квантов в формализме, который следует траекториям отдельных частиц. В чисто статистическом контексте эти траектории по-прежнему появляются посредством математического соответствия с квантовыми полями, но их интерпретация менее непосредственно физическая.

Интегральное представление немедленно показывает, что G ( r ) положительно, поскольку оно представлено как взвешенная сумма положительных гауссианов. Оно также дает скорость распада при больших r, поскольку собственное время для случайного блуждания, чтобы достичь позиции τ, равно r ² , и за это время высота гауссианы уменьшилась на . Фактор распада, соответствующий позиции r, поэтому равен . ${\displaystyle e^{-t\tau }=e^{-tr^{2}}}$ ${\displaystyle e^{-{\sqrt {t}}r}}$

Эвристическое приближение для G ( r ) имеет вид:

$${\displaystyle G(r)\approx {e^{-{\sqrt {t}}r} \over r^{d-2}}}$$

Это не точная форма, за исключением трех измерений, где взаимодействие между путями становится важным. Точные формы в больших измерениях являются вариантами функций Бесселя .

Интерпретация полимера Symanzik

Интерпретация корреляций как квантов фиксированного размера, путешествующих по случайным блужданиям, дает способ понять, почему критическая размерность взаимодействия H ⁴ равна 4. Член H ⁴ можно рассматривать как квадрат плотности случайных блужданий в любой точке. Для того чтобы такой член изменил функции корреляции конечного порядка, которые вводят лишь несколько новых случайных блужданий в флуктуирующую среду, новые пути должны пересекаться. В противном случае квадрат плотности просто пропорционален плотности и сдвигает только коэффициент H ² на константу. Но вероятность пересечения случайных блужданий зависит от размерности, а случайные блуждания в размерности выше 4 не пересекаются.

Фрактальная размерность обычного случайного блуждания равна 2. Количество шаров размера ε, необходимых для покрытия пути, увеличивается как ε ⁻² . Два объекта фрактальной размерности 2 будут пересекаться с разумной вероятностью только в пространстве размерности 4 или меньше, то же самое условие, что и для общей пары плоскостей. Курт Симанзик утверждал, что это означает, что критические флуктуации Изинга в размерностях выше 4 должны описываться свободным полем. Этот аргумент в конечном итоге стал математическим доказательством.

4 − εразмеры – ренормгруппа

Модель Изинга в четырех измерениях описывается флуктуирующим полем, но теперь флуктуации взаимодействуют. В полимерном представлении пересечения случайных блужданий минимально возможны. В квантовом продолжении поля кванты взаимодействуют.

Отрицательный логарифм вероятности любой конфигурации поля H является функцией свободной энергии

$${\displaystyle F=\int d^{4}x\left[{Z \over 2}|\nabla H|^{2}+{t \over 2}H^{2}+{\lambda \over 4!}H^{4}\right]\,}$$

Числовые коэффициенты нужны для упрощения уравнений движения. Цель состоит в том, чтобы понять статистические флуктуации. Как и любой другой неквадратичный интеграл по траектории, корреляционные функции имеют расширение Фейнмана , поскольку частицы движутся по случайным блужданиям, разделяясь и воссоединяясь в вершинах. Сила взаимодействия параметризуется классически безразмерной величиной λ.

Хотя размерный анализ показывает, что и λ, и Z безразмерны, это заблуждение. Длинноволновые статистические флуктуации не являются точно масштабно-инвариантными и становятся масштабно-инвариантными только тогда, когда сила взаимодействия исчезает.

Причина в том, что для определения H используется отсечка , а отсечка определяет самую короткую длину волны. Флуктуации H на длинах волн вблизи отсечки могут влиять на флуктуации с большей длиной волны. Если система масштабируется вместе с отсечкой, параметры будут масштабироваться с помощью размерного анализа, но затем сравнение параметров не сравнивает поведение, поскольку у перемасштабированной системы больше мод. Если система перемасштабируется таким образом, что отсечка с меньшей длиной волны остается фиксированной, длинноволновые флуктуации изменяются.

Перенормировка Вильсона

Быстрый эвристический способ изучения масштабирования — обрезать волновые числа H в точке λ. Фурье-моды H с волновыми числами, большими λ, не могут колебаться. Изменение масштаба длины, делающее всю систему меньше, увеличивает все волновые числа и перемещает некоторые колебания выше точки обрезания.

Чтобы восстановить старое обрезание, выполните частичное интегрирование по всем волновым числам, которые раньше были запрещены, но теперь флуктуируют. В диаграммах Фейнмана интегрирование по флуктуирующей моде с волновым числом k связывает линии, несущие импульс k в корреляционной функции, попарно с множителем обратного пропагатора.

При масштабировании, когда система уменьшается в (1+ b ) раз, коэффициент t увеличивается в (1+ b ) ^{2 раз} по размерному анализу. Изменение t для бесконечно малого b составляет 2 bt . Два других коэффициента безразмерны и не изменяются вообще.

Эффект интегрирования низшего порядка можно рассчитать из уравнений движения:

$${\displaystyle \nabla ^{2}H+tH=-{\lambda \over 6}H^{3}.}$$

Это уравнение является тождеством внутри любой корреляционной функции вдали от других вставок. После интегрирования мод с Λ < k < (1+ b )Λ это будет немного другое тождество.

Поскольку форма уравнения сохранится, для нахождения изменения коэффициентов достаточно проанализировать изменение члена H ^3. В разложении диаграммы Фейнмана член H ³ в корреляционной функции внутри корреляции имеет три оборванные линии. Соединение двух из них при большом волновом числе k дает изменение H ³ с одной оборванной линией, поэтому пропорциональное H :

$${\displaystyle \delta H^{3}=3H\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over (k^{2}+t)}}$$

Множитель 3 появляется из-за того, что замкнуть петлю можно тремя различными способами.

Интеграл следует разбить на две части:

$${\displaystyle \int dk{1 \over k^{2}}-t\int dk{1 \over k^{2}(k^{2}+t)}=A\Lambda ^{2}b+Bbt}$$

Первая часть не пропорциональна t , и в уравнении движения она может быть поглощена постоянным сдвигом по t . Это вызвано тем, что член H ³ имеет линейную часть. Только второй член, который изменяется от t до t , вносит вклад в критическое масштабирование.

Этот новый линейный член добавляется к первому члену в левой части, изменяя t на величину, пропорциональную t . Общее изменение t является суммой члена из размерного анализа и этого второго члена из операторных произведений :

$${\displaystyle \delta t=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)bt}$$

Итак, t масштабируется, но его размерность аномальна , она изменяется на величину, пропорциональную значению λ.

Но λ также изменяется. Изменение λ требует рассмотрения расщепления линий и их быстрого воссоединения. Процесс самого низкого порядка — это процесс, в котором одна из трех линий из H ³ расщепляется на три, которые быстро соединяются с одной из других линий из той же вершины. Поправка к вершине равна

$${\displaystyle \delta \lambda =-{3\lambda ^{2} \over 2}\int _{k}dk{1 \over (k^{2}+t)^{2}}=-{3\lambda ^{2} \over 2}b}$$

Числовой фактор в три раза больше, потому что есть дополнительный фактор три при выборе, какую из трех новых линий сокращать. Так что

$${\displaystyle \delta \lambda =-3B\lambda ^{2}b}$$

Эти два уравнения вместе определяют уравнения ренормгруппы в четырех измерениях:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{dt \over t}&=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)b\\{d\lambda \over \lambda }&={-3B\lambda \over 2}b\end{aligned}}}$$

Коэффициент В определяется по формуле $${\displaystyle Bb=\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over k^{4}}}$$

и пропорциональна площади трехмерной сферы радиусом λ, умноженной на ширину области интегрирования b Λ, деленную на Λ ⁴ : $${\displaystyle B=(2\pi ^{2}\Lambda ^{3}){1 \over (2\pi )^{4}}{b\Lambda }{1 \over b\Lambda ^{4}}={1 \over 8\pi ^{2}}}$$

В других измерениях константа B изменяется, но та же константа появляется как в потоке t , так и в потоке сцепления. Причина в том, что производная по t замкнутого контура с одной вершиной является замкнутым контуром с двумя вершинами. Это означает, что единственное различие между масштабированием сцепления и t заключается в комбинаторных факторах от присоединения и разделения.

Фиксированная точка Уилсона–Фишера

Исследовать три измерения, начиная с четырехмерной теории, должно быть возможно, поскольку вероятности пересечения случайных блужданий непрерывно зависят от размерности пространства. На языке графиков Фейнмана связь не сильно меняется при изменении размерности.

Процесс продолжения от размерности 4 не полностью хорошо определен без рецепта того, как это сделать. Рецепт хорошо определен только на диаграммах. Он заменяет представление Швингера в размерности 4 на представление Швингера в размерности 4 − ε, определяемое как: $${\displaystyle G(x-y)=\int d\tau {1 \over t^{d \over 2}}e^{{x^{2} \over 2\tau }+t\tau }}$$

В размерности 4 − ε связь λ имеет положительную масштабную размерность ε, и ее необходимо добавить к потоку.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{d\lambda \over \lambda }&=\varepsilon -3B\lambda \\{dt \over t}&=2-\lambda B\end{aligned}}}$$

Коэффициент B зависит от размерности, но он будет сокращаться. Фиксированная точка для λ больше не равна нулю, а равна: где размерность шкалы t изменяется на величину λ B = ε/3. $${\displaystyle \lambda ={\varepsilon \over 3B}}$$

Показатель намагниченности изменяется пропорционально: $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1-{\varepsilon \over 3}\right)}$$

что составляет .333 в 3 измерениях (ε = 1) и .166 в 2 измерениях (ε = 2). Это не так уж далеко от измеренного показателя .308 и двумерного показателя Онзагера .125.

Бесконечные измерения – среднее поле

Поведение модели Изинга на полностью связном графе может быть полностью понято с помощью теории среднего поля . Этот тип описания подходит для квадратных решеток очень высокой размерности, поскольку тогда каждый узел имеет очень большое количество соседей.

Идея заключается в том, что если каждый спин связан с большим количеством спинов, то важно только среднее отношение спинов + к спинам −, поскольку флуктуации относительно этого среднего значения будут небольшими. Среднее поле H — это средняя доля спинов, которые являются +, минус средняя доля спинов, которые являются −. Энергетическая стоимость переворота одного спина в среднем поле H составляет ±2 JNH . Удобно переопределить J , чтобы поглотить фактор N , так что предел N → ∞ будет плавным. В терминах нового J энергетическая стоимость переворота спина составляет ±2 JH .

Эта стоимость энергии дает отношение вероятности p того, что спин равен +, к вероятности 1− p того, что спин равен −. Это отношение является фактором Больцмана: $${\displaystyle {p \over 1-p}=e^{2\beta JH}}$$

так что $${\displaystyle p={1 \over 1+e^{-2\beta JH}}}$$

Среднее значение спина определяется путем усреднения 1 и −1 с весами p и 1 −  p , поэтому среднее значение равно 2 p  − 1. Но это среднее значение одинаково для всех спинов и, следовательно, равно H . $${\displaystyle H=2p-1={1-e^{-2\beta JH} \over 1+e^{-2\beta JH}}=\tanh(\beta JH)}$$

Решения этого уравнения — возможные согласованные средние поля. Для β J < 1 существует только одно решение при H = 0. Для больших значений β существует три решения, а решение при H = 0 нестабильно.

Нестабильность означает, что небольшое увеличение среднего поля выше нуля приводит к статистической доле спинов, которые являются +, что больше, чем значение среднего поля. Таким образом, среднее поле, которое флуктуирует выше нуля, будет производить еще большее среднее поле и в конечном итоге установится в устойчивом решении. Это означает, что для температур ниже критического значения β J = 1 модель Изинга со средним полем претерпевает фазовый переход в пределе большого N .

Выше критической температуры колебания H затухают, поскольку среднее поле восстанавливает флуктуацию до нулевого поля. Ниже критической температуры среднее поле приводится к новому равновесному значению, которое является либо положительным H, либо отрицательным H решением уравнения.

При β J = 1 + ε, чуть ниже критической температуры, значение H можно рассчитать из разложения Тейлора гиперболического тангенса: $${\displaystyle H=\tanh(\beta JH)\approx (1+\varepsilon )H-{(1+\varepsilon )^{3}H^{3} \over 3}}$$

Разделив на H, чтобы отбросить нестабильное решение при H = 0, получим стабильные решения: $${\displaystyle H={\sqrt {3\varepsilon }}}$$

Спонтанная намагниченность H растет вблизи критической точки как квадратный корень из изменения температуры. Это справедливо всякий раз, когда H можно вычислить из решения аналитического уравнения, симметричного между положительными и отрицательными значениями, что привело Ландау к подозрению, что все фазовые переходы типа Изинга во всех измерениях должны следовать этому закону.

Экспонента среднего поля универсальна , поскольку изменения характера решений аналитических уравнений всегда описываются катастрофами в ряду Тейлора , который является полиномиальным уравнением. По симметрии уравнение для H должно иметь только нечетные степени H в правой части. Изменение β должно только плавно изменять коэффициенты. Переход происходит, когда коэффициент H в правой части равен 1. Вблизи перехода: $${\displaystyle H={\partial (\beta F) \over \partial h}=(1+A\varepsilon )H+BH^{3}+\cdots }$$

Каковы бы ни были A и B , пока ни один из них не настроен на ноль, спонтанная намагниченность будет расти как квадратный корень из ε. Этот аргумент может быть ошибочным только в том случае, если свободная энергия β F либо неаналитична, либо не является общей при точном значении β, где происходит переход.

Но спонтанная намагниченность в магнитных системах и плотность в газах вблизи критической точки измеряются очень точно. Плотность и намагниченность в трех измерениях имеют одинаковую степенную зависимость от температуры вблизи критической точки, но поведение из экспериментов следующее: $${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.308}}$$

Показатель степени также универсален, поскольку он одинаков в модели Изинга, как и в экспериментальном магните и газе, но он не равен значению среднего поля. Это было большим сюрпризом.

Это также верно в двух измерениях, где $${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.125}}$$

Но это не было неожиданностью, потому что это было предсказано Онзагером .

Низкие размеры – блок спинов

В трех измерениях ряд возмущений из теории поля представляет собой разложение по константе связи λ, которая не особенно мала. Эффективный размер связи в фиксированной точке равен единице по коэффициенту ветвления траекторий частиц, поэтому параметр разложения составляет около 1/3. В двух измерениях параметр возмущений разложения составляет 2/3.

Но перенормировку можно продуктивно применять и к спинам напрямую, не переходя к среднему полю. Исторически этот подход принадлежит Лео Каданову и предшествовал пертурбативному ε-расширению.

Идея состоит в том, чтобы итеративно интегрировать спины решетки, генерируя поток в связях. Но теперь связи являются коэффициентами энергии решетки. Тот факт, что существует описание континуума, гарантирует, что эта итерация будет сходиться к фиксированной точке, когда температура будет настроена на критичность.

Перенормировка Мигдала–Каданова

Запишите двумерную модель Изинга с бесконечным числом возможных взаимодействий более высокого порядка. Для сохранения симметрии спинового отражения только четные степени вносят вклад: $${\displaystyle E=\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}+\sum J_{ijkl}S_{i}S_{j}S_{k}S_{l}\ldots .}$$

В силу трансляционной инвариантности J _ij является функцией только ij. В силу случайной вращательной симметрии при больших i и j его размер зависит только от величины двумерного вектора i  −  j . Коэффициенты более высокого порядка также ограничены аналогичным образом.

Итерация перенормировки делит решетку на две части – четные спины и нечетные спины. Нечетные спины находятся на нечетных шахматных позициях решетки, а четные – на четных шахматных позициях. Когда спины индексируются позицией ( i , j ), нечетными узлами являются те, у которых i  +  j нечетные, а четными – те, у которых i  +  j четные, а четные узлы связаны только с нечетными узлами.

Два возможных значения нечетных спинов будут интегрированы путем суммирования по обоим возможным значениям. Это даст новую функцию свободной энергии для оставшихся четных спинов с новыми скорректированными связями. Четные спины снова находятся в решетке с осями, наклоненными на 45 градусов к старым. Отказ от вращения системы восстанавливает старую конфигурацию, но с новыми параметрами. Эти параметры описывают взаимодействие между спинами на больших расстояниях. ${\textstyle {\sqrt {2}}}$

Начиная с модели Изинга и повторяя эту итерацию, в конечном итоге изменяются все связи. Когда температура выше критической, связи будут сходиться к нулю, поскольку спины на больших расстояниях некоррелированы. Но когда температура критическая, будут ненулевые коэффициенты, связывающие спины во всех порядках. Поток можно аппроксимировать, рассматривая только первые несколько членов. Этот усеченный поток будет давать все лучшие и лучшие приближения к критическим показателям, когда будет включено больше членов.

Простейшее приближение — сохранить только обычный член J и отбросить все остальное. Это создаст поток в J , аналогичный потоку в t в фиксированной точке λ в ε-расширении.

Чтобы найти изменение J , рассмотрим четырех соседей нечетного узла. Это единственные спины, которые взаимодействуют с ним. Мультипликативный вклад в функцию распределения от суммы по двум значениям спина на нечетном узле равен: $${\displaystyle e^{J(N_{+}-N_{-})}+e^{J(N_{-}-N_{+})}=2\cosh(J[N_{+}-N_{-}])}$$

где N _± — число соседей, которые являются ±. Игнорируя фактор 2, вклад свободной энергии от этого нечетного сайта равен: $${\displaystyle F=\log(\cosh[J(N_{+}-N_{-})]).}$$

Это включает в себя взаимодействия ближайшего соседа и следующего ближайшего соседа, как и ожидалось, но также и четырехспиновое взаимодействие, которое должно быть отброшено. Чтобы сократить до взаимодействий ближайшего соседа, учтите, что разница в энергии между всеми спинами с одинаковыми и равными числами + и – составляет: $${\displaystyle \Delta F=\ln(\cosh[4J]).}$$

Из связей ближайших соседей разница в энергии между всеми спинами, равными и смещенными спинами, составляет 8 Дж . Разница в энергии между всеми спинами, равными и не смещенными, но с чистым нулевым спином, составляет 4 Дж . Игнорируя четырехспиновые взаимодействия, разумным усечением является среднее значение этих двух энергий или 6 Дж . Поскольку каждая связь будет способствовать двум нечетным спинам, правильное значение для сравнения с предыдущим составляет половину этого: $${\displaystyle 3J'=\ln(\cosh[4J]).}$$

Для малых J это быстро переходит в нулевую связь. Большие J' перетекают в большие связи. Показатель намагниченности определяется из наклона уравнения в фиксированной точке.

Варианты этого метода дают хорошие численные приближения для критических показателей, когда включено много членов, как в двух, так и в трех измерениях.

Приложения

Магнетизм

Первоначальной мотивацией для модели было явление ферромагнетизма . Железо магнитно; будучи намагниченным, оно остается намагниченным в течение длительного времени по сравнению с любым атомным временем.

В 19 веке считалось, что магнитные поля возникают из-за токов в материи, и Ампер постулировал, что постоянные магниты возникают из-за постоянных атомных токов. Однако движение классических заряженных частиц не может объяснить постоянные токи, как показал Лармор . Для того чтобы иметь ферромагнетизм, атомы должны иметь постоянные магнитные моменты , которые не возникают из-за движения классических зарядов.

После того, как был открыт спин электрона, стало ясно, что магнетизм должен быть обусловлен большим количеством электронных спинов, ориентированных в одном направлении. Естественно было спросить, как все спины электронов знают, в каком направлении указывать, поскольку электроны на одной стороне магнита не взаимодействуют напрямую с электронами на другой стороне. Они могут влиять только на своих соседей. Модель Изинга была разработана для исследования того, может ли большая часть электронных спинов быть ориентирована в одном направлении, используя только локальные силы.

Решетчатый газ

Модель Изинга можно переосмыслить как статистическую модель движения атомов. Поскольку кинетическая энергия зависит только от импульса, а не от положения, в то время как статистика положений зависит только от потенциальной энергии, термодинамика газа зависит только от потенциальной энергии для каждой конфигурации атомов.

Грубая модель заключается в том, чтобы сделать пространство-время решеткой и представить, что каждая позиция либо содержит атом, либо нет. Пространство конфигурации — это пространство независимых битов B _i , где каждый бит равен 0 или 1 в зависимости от того, занята позиция или нет. Притягивающее взаимодействие уменьшает энергию двух соседних атомов. Если притяжение происходит только между ближайшими соседями, энергия уменьшается на −4 JB _i B _j для каждой занятой соседней пары.

Плотность атомов можно контролировать, добавляя химический потенциал , который является мультипликативной вероятностной стоимостью для добавления еще одного атома. Мультипликативный фактор в вероятности можно переосмыслить как аддитивный член в логарифме – энергии. Дополнительная энергия конфигурации с N атомами изменяется на μN . Вероятностная стоимость еще одного атома является множителем exp(− βμ ).

Итак, энергия решеточного газа равна: $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}}$$

Переписывая биты в терминах спинов, ${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2.}$ $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}}$$

Для решеток, где каждый узел имеет одинаковое число соседей, это модель Изинга с магнитным полем h = ( zJ  −  μ )/2, где z — число соседей.

В биологических системах модифицированные версии модели решеточного газа использовались для понимания ряда поведений связывания. Они включают связывание лигандов с рецепторами на поверхности клетки, ^[32] связывание белков хемотаксиса с жгутиковым мотором, ^[33] и конденсацию ДНК. ^[34]

Нейробиология

Активность нейронов в мозге можно смоделировать статистически. Каждый нейрон в любой момент времени либо активен +, либо неактивен −. Активные нейроны — это те, которые посылают потенциал действия по аксону в любой заданный временной интервал, а неактивные — те, которые этого не делают.

Следуя общему подходу Джейнса ^{[35] [36],} более поздняя интерпретация Шнейдмана, Берри, Сегева и Биалека ^[37] заключается в том, что модель Изинга полезна для любой модели нейронной функции, поскольку статистическая модель для нейронной активности должна выбираться с использованием принципа максимальной энтропии . При наличии набора нейронов статистическая модель, которая может воспроизводить среднюю частоту срабатывания для каждого нейрона, вводит множитель Лагранжа для каждого нейрона: Но активность каждого нейрона в этой модели статистически независима. Чтобы учесть парные корреляции, когда один нейрон имеет тенденцию срабатывать (или не срабатывать) вместе с другим, вводят парные множители Лагранжа: где не ограничиваются соседями. Обратите внимание, что это обобщение модели Изинга иногда называют квадратичным экспоненциальным бинарным распределением в статистике. Эта энергетическая функция вводит только смещения вероятности для спина, имеющего значение, и для пары спинов, имеющих то же значение. Корреляции более высокого порядка не ограничены множителями. Паттерн активности, выбранный из этого распределения, требует наибольшего количества бит для хранения в компьютере, в наиболее эффективной схеме кодирования, которую можно себе представить, по сравнению с любым другим распределением с той же средней активностью и парными корреляциями. Это означает, что модели Изинга релевантны любой системе, которая описывается битами, которые являются настолько случайными, насколько это возможно, с ограничениями на парные корреляции и среднее количество единиц, что часто встречается как в физических, так и в социальных науках. $${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$ $${\displaystyle E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$ ${\displaystyle J_{ij}}$

Спиновые очки

С помощью модели Изинга так называемые спиновые стекла также могут быть описаны обычным гамильтонианом , где S -переменные описывают спины Изинга, в то время как J _i,k берутся из случайного распределения. Для спиновых стекол типичное распределение выбирает антиферромагнитные связи с вероятностью p и ферромагнитные связи с вероятностью 1 −  p (также известное как модель Изинга со случайными связями). Эти связи остаются фиксированными или «погашенными» даже при наличии тепловых флуктуаций. Когда p  = 0, мы имеем исходную модель Изинга. Эта система заслуживает интереса сама по себе; в частности, одна из них имеет «неэргодические» свойства, приводящие к странному релаксационному поведению. Большое внимание также привлекла связанная с ней модель Изинга с разбавлением связей и сайтов, особенно в двух измерениях, что приводит к интригующему критическому поведению. ^[38] ${\textstyle H=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$

Искусственная нейронная сеть

Модель Изинга сыграла важную роль в развитии сети Хопфилда . Первоначальная модель Изинга является моделью равновесия. Рой Дж. Глаубер в 1963 году изучал модель Изинга, развивающуюся во времени, как процесс к тепловому равновесию ( динамика Глаубера ), добавляя компонент времени. ^[39] (Каору Накано, 1971) ^{[40] [41]} и ( Шуничи Амари , 1972), ^[42] предложили модифицировать веса модели Изинга с помощью правила обучения Хебба как модели ассоциативной памяти. Та же идея была опубликована (Уильямом А. Литтлом  [de] , 1974), ^[43], которого Хопфилд цитировал в своей статье 1982 года.

Модель спинового стекла Шеррингтона–Киркпатрика, опубликованная в 1975 году, [ 44 ^] представляет собой сеть Хопфилда со случайной инициализацией. Шеррингтон и Киркпатрик обнаружили, что весьма вероятно, что энергетическая функция модели SK будет иметь много локальных минимумов. В статье 1982 года Хопфилд применил эту недавно разработанную теорию для изучения сети Хопфилда с бинарными функциями активации. ^[45] В статье 1984 года он распространил ее на непрерывные функции активации. ^[46] Она стала стандартной моделью для изучения нейронных сетей посредством статистической механики. ^{[47] [48]}

Морской лед

Талый пруд можно смоделировать с помощью модели Изинга; данные о топографии морского льда довольно сильно влияют на результаты. Переменная состояния является бинарной для простого 2D-приближения, будучи либо водой, либо льдом. ^[49]

Топологии дерева Кейли и большие нейронные сети

Открытое дерево Кэли или ветвь с коэффициентом ветвления = 2 и k поколениями

Для того чтобы исследовать модель Изинга, потенциально применимую для больших (например, с или взаимодействиями на узел) нейронных сетей, по предложению Кризана в 1979 году Барт (1981) получил точное аналитическое выражение для свободной энергии модели Изинга на замкнутом дереве Кэли (с произвольно большим отношением ветвлений) для нулевого внешнего магнитного поля (в термодинамическом пределе), применив методологии Глассера (1970) и Джеллито (1979). ${\displaystyle 10^{4}}$ ${\displaystyle 10^{5}}$

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {2\gamma }{(\gamma +1)}}\ln(\cosh J)+{\frac {\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)}}\sum _{i=2}^{z}{\frac {1}{\gamma ^{i}}}\ln J_{i}(\tau )}$$

Закрытое дерево Кэли с коэффициентом ветвления = 4. (Для объединенных деревьев показаны только сайты для поколений k, k-1 и k=1 (перекрывающиеся в одну строку))

где - произвольное отношение ветвления (больше или равное 2), , , (с представлением энергии взаимодействия ближайших соседей) и в каждой из ветвей дерева имеется k (→ ∞ в термодинамическом пределе) поколений (образующих замкнутую архитектуру дерева, как показано на данной замкнутой диаграмме дерева Кэли). Можно показать, что сумма в последнем члене сходится равномерно и быстро (т. е. при z → ∞ она остается конечной), давая непрерывную и монотонную функцию, устанавливая, что при большем или равном 2 свободная энергия является непрерывной функцией температуры T. Дальнейший анализ свободной энергии показывает, что она демонстрирует необычную разрывную первую производную при критической температуре (Krizan, Barth & Glasser (1983), Glasser & Goldberg (1983).) ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\equiv \tanh J}$ ${\displaystyle \tau \equiv t^{2}}$ ${\displaystyle J\equiv \beta \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \gamma }$

Было обнаружено, что спин-спиновая корреляция между сайтами (в общем случае m и n) на дереве имеет точку перехода при рассмотрении в вершинах (например, A и Ā, его отражение), их соответствующих соседних сайтах (например, B и его отражение) и между сайтами, смежными с верхней и нижней крайними вершинами двух деревьев (например, A и B), как можно определить из где равно числу связей, является числом графов, подсчитанных для нечетных вершин с четными промежуточными сайтами (см. цитируемые методологии и ссылки для подробных расчетов), является множественностью, полученной из двузначных возможностей спина, а функция распределения выводится из . (Примечание: согласуется с указанной литературой в этом разделе и эквивалентна или использовалась выше и в предыдущих разделах; она имеет значение .) Критическая температура определяется как $${\displaystyle \langle s_{m}s_{n}\rangle ={Z_{N}}^{-1}(0,T)[\cosh J]^{N_{b}}2^{N}\sum _{l=1}^{z}g_{mn}(l)t^{l}}$$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle g_{mn}(l)t^{l}}$ ${\displaystyle 2^{N}}$ ${\displaystyle {Z_{N}}}$ ${\displaystyle \sum _{\{s\}}e^{-\beta H}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle T_{C}}$ $${\displaystyle T_{C}={\frac {2\epsilon }{k_{\text{B}}[\ln({\sqrt {\gamma }}+1)-\ln({\sqrt {\gamma }}-1)]}}.}$$

Критическая температура для этой модели определяется только отношением ветвления и энергией взаимодействия между сайтами , факт, который может иметь прямые последствия, связанные со структурой нейронов в сравнении с ее функцией (в том смысле, что он связывает энергии взаимодействия и отношение ветвления с ее переходным поведением.) Например, связь между переходным поведением активности нейронных сетей между состояниями сна и бодрствования (которая может коррелировать с фазовым переходом типа спин-спин) с точки зрения изменений в нейронной взаимосвязанности ( ) и/или взаимодействиях соседей ( ), с течением времени, является лишь одним из возможных путей, предложенных для дальнейшего экспериментального исследования такого явления. В любом случае, для этой модели Изинга было установлено, что «устойчивость корреляции на больших расстояниях увеличивается с увеличением или увеличением ». ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Для этой топологии спин-спиновая корреляция оказалась равной нулю между крайними вершинами и центральными узлами, в которых соединены два дерева (или ветви) (т. е. между A и по отдельности C, D или E). Такое поведение объясняется тем, что с увеличением k число связей увеличивается экспоненциально (между крайними вершинами), и поэтому, хотя вклад в спиновые корреляции уменьшается экспоненциально, корреляция между узлами, такими как крайняя вершина (A) в одном дереве и крайняя вершина в соединенном дереве (Ā), остается конечной (выше критической температуры). Кроме того, A и B также демонстрируют неисчезающую корреляцию (как и их отражения), что позволяет рассматривать узлы уровня B (с уровнем A) как «кластеры», которые, как правило, демонстрируют синхронизацию активации.

На основе обзора других классических сетевых моделей в качестве сравнения было определено, что модель Изинга на закрытом дереве Кэли является первой классической статистико-механической моделью, демонстрирующей как локальные, так и дальние сайты с неисчезающими спин-спиновыми корреляциями, в то же время демонстрируя промежуточные сайты с нулевой корреляцией, что действительно было актуальным вопросом для больших нейронных сетей на момент ее рассмотрения. Поведение модели также актуально для любой другой физической (или биологической) системы дивергентно-конвергентного дерева, демонстрирующей топологию закрытого дерева Кэли с взаимодействием типа Изинга. Эту топологию не следует игнорировать, поскольку ее поведение для моделей Изинга было решено точно, и, предположительно, природа найдет способ воспользоваться такими простыми симметриями на многих уровнях своих конструкций.

Барт (1981) рано отметил возможность взаимосвязей между (1) классической моделью большой нейронной сети (с аналогичными связанными расходящимся-сходящимся топологиями) и (2) базовой статистической квантово-механической моделью (независимой от топологии и с сохранением фундаментальных квантовых состояний):

Самый значительный результат, полученный с помощью закрытой модели дерева Кэли, включает возникновение корреляции на больших расстояниях при отсутствии корреляции на средних расстояниях. Этот результат не был продемонстрирован другими классическими моделями. Неспособность классического взгляда на передачу импульса объяснить это явление была отмечена многочисленными исследователями (Ricciiardi и Umezawa, 1967, Hokkyo 1972, Stuart, Takahashi и Umezawa 1978, 1979) как достаточно значительная, чтобы оправдать радикально новые предположения на самом фундаментальном уровне и предположить существование квантовых кооперативных режимов в мозге... Кроме того, интересно отметить, что (моделирование)... частиц Голдстоуна или бозонов (согласно Umezawa и др.)... в мозге демонстрирует корреляцию на больших расстояниях квантовых чисел, сохраняющихся в основном состоянии... В закрытой модели дерева Кэли основные состояния пар сайтов, а также переменная состояния отдельных сайтов (могут) демонстрировать корреляцию на больших расстояниях.

Среди ранних нейрофизиков (например, Умедзавы, Кризана, Барта и т. д.) было естественным и общепринятым убеждением, что классические нейронные модели (включая модели со статистическими механическими аспектами) однажды придется интегрировать с квантовой физикой (с квантово-статистическими аспектами), возможно, подобно тому, как область химии исторически интегрировалась в квантовую физику через квантовую химию.

Для замкнутого дерева Кэли еще предстоит решить несколько дополнительных статистических механических задач, представляющих интерес, включая случай, зависящий от времени, и ситуацию внешнего поля, а также теоретические усилия, направленные на понимание взаимосвязей с лежащими в основе квантовыми составляющими и их физикой.

Смотрите также

• Модель ANNNI
• Параметр связующего вещества
• машина Больцмана
• Конформный бутстрап
• Построение неприводимой цепи Маркова в модели Изинга
• Геометрически фрустрированный магнит
• Классическая модель Гейзенберга
• Квантовая модель Гейзенберга
• сеть Хопфилда
• Критические показатели Изинга
• Дж. К. Уорд
• Модель Курамото
• Максимальная равномерность
• Оператор заказа
• Модель Поттса (общая с моделью Эшкина–Теллера )
• Модели спина
• Модель Изинга с квадратной решеткой
• Алгоритм Свендсена–Ванга
• модель тДж
• Двумерная критическая модель Изинга
• Алгоритм Вольфа
• XY-модель
• модель ЗН

Сноски

1. См. Галлавотти (1999), главы VI–VII.
2. Эрнст Изинг, Вклад в теорию ферромагнетизма
3. См. Байерлейн (1999), Глава 16.
4. Барахона, Франциско; Грётшель, Мартин; Юнгер, Михаэль; Райнелт, Герхард (1988). «Применение комбинаторной оптимизации в статистической физике и проектировании схем». Operations Research . 36 (3): 493–513. doi :10.1287/opre.36.3.493. ISSN  0030-364X. JSTOR  170992.
5. El-Showk, Sheer; Paulos, Miguel F.; Poland, David; Rychkov, Slava; Simmons-Duffin, David; Vichi, Alessandro (2014). "Solving the 3d Ising Model with the Conformal Bootstrap II. C-Minimization and Precise Critical Exponents" (PDF) . Journal of Statistical Physics . 157 (4–5): 869–914. arXiv : 1403.4545 . Bibcode :2014JSP...157..869E. doi :10.1007/s10955-014-1042-7. S2CID  119627708. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-04-07 . Получено 21.04.2013 .
6. Пайерлс, Р.; Борн, М. (1936). «О модели ферромагнетизма Изинга». Математические труды Кембриджского философского общества . 32 (3): 477. Bibcode :1936PCPS...32..477P. doi :10.1017/S0305004100019174. S2CID  122630492.
7. Монтролл, Поттс и Уорд 1963, стр. 308–309
8. Саймон, Барри (1980-10-01). "Корреляционные неравенства и распад корреляций в ферромагнетиках". Сообщения по математической физике . 77 (2): 111–126. Bibcode :1980CMaPh..77..111S. doi :10.1007/BF01982711. ISSN  1432-0916. S2CID  17543488.
9. Duminil-Copin, Hugo; Tassion, Vincent (2016-04-01). "Новое доказательство резкости фазового перехода для перколяции Бернулли и модели Изинга". Communications in Mathematical Physics . 343 (2): 725–745. arXiv : 1502.03050 . Bibcode :2016CMaPh.343..725D. doi :10.1007/s00220-015-2480-z. ISSN  1432-0916. S2CID  119330137.
10. Беффара, Винсент; Дюминиль-Копен, Хьюго (2012-08-01). «Самодвойственная точка двумерной модели случайного кластера имеет решающее значение для q ≥ 1». Теория вероятностей и смежные области . 153 (3): 511–542. doi : 10.1007/s00440-011-0353-8 . ISSN  1432-2064. S2CID  55391558.
11. Ньюман, MEJ; Баркема, GT (1999). Методы Монте-Карло в статистической физике . Кларендон Пресс. ISBN 9780198517979.
12. Süzen, Mehmet (29 сентября 2014 г.). "M. Suzen "Эффективная эргодичность в динамике одиночного переворота спина"". Physical Review E . 90 (3): 032141. arXiv : 1405.4497 . doi :10.1103/PhysRevE.90.032141. PMID  25314429. S2CID  118355454 . Получено 09.08.2022 .
13. "Например, SquareIsingModel.jl (в Julia)". GitHub . 28 июня 2022 г.
14. Тейф, Владимир Б. (2007). "Общий формализм матрицы переноса для расчета связывания ДНК-белок-лекарство в регуляции генов". Nucleic Acids Res . 35 (11): e80. doi :10.1093/nar/gkm268. PMC 1920246. PMID  17526526 . 
15. Ruelle, David (1999) [1969]. Статистическая механика: строгие результаты. World Scientific. ISBN 978-981-4495-00-4.
16. Дайсон, Ф. Дж. (1969). «Существование фазового перехода в одномерном изинговском ферромагнетике». Comm. Math. Phys . 12 (2): 91–107. Bibcode :1969CMaPh..12...91D. doi :10.1007/BF01645907. S2CID  122117175.
17. Fröhlich, J.; Spencer, T. (1982). «Фазовый переход в одномерной модели Изинга с энергией взаимодействия 1/r2». Comm. Math. Phys . 84 (1): 87–101. Bibcode :1982CMaPh..84...87F. doi :10.1007/BF01208373. S2CID  122722140.
18. Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решенные модели в статистической механике, Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR  0690578, архивировано из оригинала 2012-03-20 , извлечено 2009-10-25
19. Suzuki, Sei; Inoue, Jun-ichi; Chakrabarti, Bikas K. (2012). Квантовые фазы Изинга и переходы в поперечных моделях Изинга. Springer. doi :10.1007/978-3-642-33039-1. ISBN 978-3-642-33038-4.
20. Марис, Хамфри Дж.; Каданофф, Лео П. (июнь 1978 г.). «Обучение ренормгруппе». American Journal of Physics . 46 (6): 652–657. doi :10.1119/1.11224. ISSN  0002-9505.
21. Вуд, Чарли (24 июня 2020 г.). «Мультяшная картинка магнитов, которая изменила науку». Журнал Quanta . Получено 26.06.2020 .
22. «Кен Уилсон вспоминает, как Мюррей Гелл-Манн предложил ему решить трехмерную модель Изинга».
23. Билло, М.; Казелле, М.; Гайотто, Д.; Глиоцци, Ф.; Мейнери, М.; другие (2013). «Линейные дефекты в 3D-модели Изинга». JHEP . 1307 (7): 055. arXiv : 1304.4110 . Бибкод : 2013JHEP...07..055B. doi : 10.1007/JHEP07(2013)055. S2CID  119226610.
24. Косме, Катарина; Лопес, Дж. М. Виана Паренте; Пенедонес, Жоао (2015). «Конформная симметрия критической трехмерной модели Изинга внутри сферы». Журнал физики высоких энергий . 2015 (8): 22. arXiv : 1503.02011 . Bibcode : 2015JHEP...08..022C. doi : 10.1007/JHEP08(2015)022. S2CID  53710971.
25. Чжу, Вэй; Хань, Чао; Хаффман, Эмили; Хофманн, Йоханнес С.; Хэ, Инь-Чен (2023). «Раскрытие конформной симметрии в трехмерном переходе Изинга: соответствие оператора состояния из квантовой нечеткой сферической регуляризации». Physical Review X. 13 ( 2): 021009. arXiv : 2210.13482 . doi : 10.1103/PhysRevX.13.021009. S2CID  253107625.
26. Деламотт, Бертран; Тиссье, Матье; Вшебор, Николас (2016). «Масштабная инвариантность подразумевает конформную инвариантность для трехмерной модели Изинга». Physical Review E. 93 ( 12144): 012144. arXiv : 1501.01776 . Bibcode : 2016PhRvE..93a2144D. doi : 10.1103/PhysRevE.93.012144. PMID  26871060. S2CID  14538564.
27. El-Showk, Sheer; Paulos, Miguel F.; Poland, David; Rychkov, Slava; Simmons-Duffin, David; Vichi, Alessandro (2012). "Решение 3D-модели Изинга с помощью конформного бутстрапа". Phys. Rev. D86 ( 2): 025022. arXiv : 1203.6064 . Bibcode : 2012PhRvD..86b5022E. doi : 10.1103/PhysRevD.86.025022. S2CID  39692193.
28. El-Showk, Sheer; Paulos, Miguel F.; Poland, David; Rychkov, Slava; Simmons-Duffin, David; Vichi, Alessandro (2014). «Решение 3d модели Изинга с помощью конформного бутстрапа II. c-минимизация и точные критические показатели». Журнал статистической физики . 157 (4–5): 869–914. arXiv : 1403.4545 . Bibcode : 2014JSP...157..869E. doi : 10.1007/s10955-014-1042-7. S2CID  119627708.
29. Симмонс-Даффин, Дэвид (2015). "Полуопределенный программный решатель для конформного бутстрапа". Журнал физики высоких энергий . 2015 (6): 174. arXiv : 1502.02033 . Bibcode : 2015JHEP...06..174S. doi : 10.1007/JHEP06(2015)174. ISSN  1029-8479. S2CID  35625559.
30. Каданофф, Лео П. (30 апреля 2014 г.). «Глубокое понимание трехмерной модели Изинга». Журнал Club for Condensed Matter Physics . Архивировано из оригинала 22 июля 2015 г. Получено 19 июля 2015 г.
31. Cipra, Barry A. (2000). «Модель Изинга NP-полна» (PDF) . SIAM News . 33 (6).
32. Ши, Y.; Дьюк, T. (1998-11-01). «Кооперативная модель восприятия бактерий». Physical Review E. 58 ( 5): 6399–6406. arXiv : physics/9901052 . Bibcode : 1998PhRvE..58.6399S. doi : 10.1103/PhysRevE.58.6399. S2CID  18854281.
33. Бай, Фань; Бранч, Ричард В.; Николау, Дэн В.; Пилизота, Теута; Стил, Брэдли К.; Майни, Филип К.; Берри, Ричард М. (2010-02-05). «Конформационное распространение как механизм кооперативности в бактериальном жгутиковом переключателе». Science . 327 (5966): 685–689. Bibcode :2010Sci...327..685B. doi :10.1126/science.1182105. ISSN  0036-8075. PMID  20133571. S2CID  206523521.
34. Vtyurina, Natalia N.; Dulin, David; Docter, Margreet W.; Meyer, Anne S.; Dekker, Nynke H.; Abbondanzieri, Elio A. (2016-04-18). "Гистерезис уплотнения ДНК Dps описывается моделью Изинга". Труды Национальной академии наук . 113 (18): 4982–7. Bibcode : 2016PNAS..113.4982V. doi : 10.1073/pnas.1521241113 . ISSN  0027-8424. PMC 4983820. PMID 27091987  . 
35. Джейнс, ET (1957), «Теория информации и статистическая механика», Physical Review , 106 (4): 620–630, Bibcode : 1957PhRv..106..620J, doi : 10.1103/PhysRev.106.620, S2CID  17870175.
36. Джейнс, Эдвин Т. (1957), «Теория информации и статистическая механика II», Physical Review , 108 (2): 171–190, Bibcode : 1957PhRv..108..171J, doi : 10.1103/PhysRev.108.171.
37. Элад Шнайдман; Майкл Дж. Берри; Ронен Сегев; Уильям Биалек (2006), «Слабые попарные корреляции подразумевают сильно коррелированные состояния сети в нейронной популяции» , Nature , 440 (7087): 1007–1012, arXiv : q-bio/0512013 , Bibcode : 2006Natur.440.1007S, doi : 10.1038/nature04701, PMC 1785327 , PMID  16625187. 
38. JS Wang, W Selke , VB Andreichenko и VS Dotsenko (1990), "Критическое поведение двумерной разбавленной модели", Physica A , 164 (2): 221–239, Bibcode : 1990PhyA..164..221W, doi : 10.1016/0378-4371(90)90196-Y{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
39. Глаубер, Рой Дж. (февраль 1963 г.). "Рой Дж. Глаубер "Зависящая от времени статистика модели Изинга"". Журнал математической физики . 4 (2): 294–307. doi :10.1063/1.1703954 . Получено 21.03.2021 .
40. Накано, Каору (1971). «Процесс обучения в модели ассоциативной памяти». Распознавание образов и машинное обучение . стр. 172–186. doi :10.1007/978-1-4615-7566-5_15. ISBN 978-1-4615-7568-9.
41. Накано, Каору (1972). «Ассоциатрон — модель ассоциативной памяти». Труды IEEE по системам, человеку и кибернетике . SMC-2 (3): 380–388. doi :10.1109/TSMC.1972.4309133.
42. Амари, Шун-Ичи (1972). «Изучение шаблонов и последовательностей шаблонов с помощью самоорганизующихся сетей пороговых элементов». Труды IEEE . C (21): 1197–1206.
43. Little, WA (1974). «Существование устойчивых состояний в мозге». Mathematical Biosciences . 19 (1–2): 101–120. doi :10.1016/0025-5564(74)90031-5.
44. Шеррингтон, Дэвид; Киркпатрик, Скотт (1975-12-29). «Решаемая модель спинового стекла». Physical Review Letters . 35 (26): 1792–1796. Bibcode : 1975PhRvL..35.1792S. doi : 10.1103/PhysRevLett.35.1792. ISSN  0031-9007.
45. Хопфилд, Дж. Дж. (1982). «Нейронные сети и физические системы с возникающими коллективными вычислительными способностями». Труды Национальной академии наук . 79 (8): 2554–2558. Bibcode : 1982PNAS...79.2554H. doi : 10.1073/pnas.79.8.2554 . PMC 346238. PMID  6953413 . 
46. Хопфилд, Дж. Дж. (1984). «Нейроны с градуированным ответом имеют коллективные вычислительные свойства, подобные свойствам двухуровневых нейронов». Труды Национальной академии наук . 81 (10): 3088–3092. Bibcode : 1984PNAS...81.3088H. doi : 10.1073/pnas.81.10.3088 . PMC 345226. PMID  6587342 . 
47. Энгель, А.; Брок, К. ван ден (2001). Статистическая механика обучения . Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77307-2.
48. Seung, HS; Sompolinsky, H.; Tishby, N. (1992-04-01). «Статистическая механика обучения на примерах». Physical Review A. 45 ( 8): 6056–6091. Bibcode : 1992PhRvA..45.6056S. doi : 10.1103/PhysRevA.45.6056. PMID  9907706.
49. Йи-Пин Ма; Иван Судаков; Кортни Стронг; Кеннет Голден (2017). «Модель Изинга для талых прудов на арктическом морском льду». arXiv : 1408.2487v3 [physics.ao-ph].

Ссылки

• Барт, П.Ф. (1981), «Кооперативность и переходное поведение больших нейронных сетей», магистерская диссертация , Берлингтон: Университет Вермонта: 1–118, OCLC  8231704
• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решенные модели в статистической механике, Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, МР  0690578
• К. Биндер (2001) [1994], "Модель Изинга", Энциклопедия математики , EMS Press
• Браш, Стивен Г. (1967). «История модели Ленца-Изинга». Reviews of Modern Physics . 39 (4): 883–893. Bibcode : 1967RvMP...39..883B. doi : 10.1103/RevModPhys.39.883.
• Байерлейн, Р. (1999), Тепловая физика , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-59082-2
• Галлавотти, Г. (1999), Статистическая механика , Тексты и монографии по физике, Берлин: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-03952-6, ISBN 978-3-540-64883-3, МР  1707309
• Хуан, Керсон (1987), Статистическая механика (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-81518-1
• Изинг, Э. (1925), "Beitrag zur Theorie des Ferromanetismus", Z. Phys. , 31 (1): 253–258, Бибкод : 1925ZPhy...31..253I, doi : 10.1007/BF02980577, S2CID  122157319
• Ицыксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистика полей, Том 1 , Savoirs actuels ( CNRS ), EDP Sciences Editions, ISBN 978-2-86883-360-0
• Ицыксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля, Том 1: От броуновского движения к перенормировке и решеточной калибровочной теории , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-40805-9
• Фридли, С.; Веленик, Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
• Росс Киндерманн и Дж. Лори Снелл (1980), Марковские случайные поля и их приложения . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3381-2 . 
• Kleinert, H (1989), Gauge Fields in Condensed Matter , т. I, «Superflow and Vortex Lines», стр. 1–742, т. II, «Stresses and Defects», стр. 743–1456, World Scientific (Сингапур); Мягкая обложка ISBN 9971-5-0210-0 (также доступно онлайн: т. I и т. II) 
• Kleinert, H и Schulte-Frohlinde, V (2001), Критические свойства φ ⁴ -теорий , World Scientific (Сингапур); Мягкая обложка ISBN 981-02-4658-7 (также доступно онлайн) 
• Ленц, В. (1920), «Beiträge zum Verständnis der Magneticischen Eigenschaften in festen Körpern», Physikalische Zeitschrift , 21 : 613–615.
• Барри М. Маккой и Тай Цун Ву (1973), Двумерная модель Изинга . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-91440-6 
• Монтролл, Эллиотт В.; Поттс, Ренфри Б.; Уорд, Джон К. (1963), «Корреляции и спонтанная намагниченность двумерной модели Изинга», Журнал математической физики , 4 (2): 308–322, Bibcode : 1963JMP.....4..308M, doi : 10.1063/1.1703955, ISSN  0022-2488, MR  0148406, архивировано из оригинала 2013-01-12 , извлечено 2009-10-25
• Онсагер, Ларс (1944), «Статистика кристаллов. I. Двумерная модель с переходом порядок-беспорядок», Physical Review , Series II, 65 (3–4): 117–149, Bibcode : 1944PhRv...65..117O, doi : 10.1103/PhysRev.65.117, MR  0010315
• Онсагер, Ларс (1949), «Дискуссия», Supplemento al Nuovo Cimento , 6 : 261
• Джон Палмер (2007), Плоские корреляции Изинга . Биркхойзер, Бостон, ISBN 978-0-8176-4248-8 . 
• Istrail, Sorin (2000), "Статистическая механика, трехмерность и NP-полнота. I. Универсальность неразрешимости для функции распределения модели Изинга по неплоским поверхностям (расширенный реферат)" (PDF) , Труды тридцать второго ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений , ACM, стр. 87–96, doi :10.1145/335305.335316, ISBN 978-1581131840, MR  2114521, S2CID  7944336
• Янг, CN (1952), «Спонтанное намагничивание двумерной модели Изинга», Physical Review , Series II, 85 (5): 808–816, Bibcode : 1952PhRv...85..808Y, doi : 10.1103/PhysRev.85.808, MR  0051740
• Glasser, ML (1970), «Точная функция распределения для двумерной модели Изинга», American Journal of Physics , 38 (8): 1033–1036, Bibcode : 1970AmJPh..38.1033G, doi : 10.1119/1.1976530
• Джеллито, Р. Дж. (1979), «Модель Изинга на закрытом дереве Кэли», Physica , 99A (1): 268–280, Bibcode : 1979PhyA...99..268J, doi : 10.1016/0378-4371(79)90134-1
• Кризан, Дж. Э.; Барт, П. Ф .; Глассер, М. Л. (1983), «Точные фазовые переходы для модели Изинга на закрытом дереве Кэли», Physica , 119A , North-Holland Publishing Co.: 230–242, doi :10.1016/0378-4371(83)90157-7
• Глассер, М. Л.; Голдберг, М. (1983), «Модель Изинга на закрытом дереве Кэли», Physica , 117A (2): 670–672, Bibcode : 1983PhyA..117..670G, doi : 10.1016/0378-4371(83)90138-3
• Süzen, Mehmet (2014), "Эффективная эргодичность в динамике одиночного переворота спина", Physical Review E , 90 (3): 032141, arXiv : 1405.4497 , doi : 10.1103/PhysRevE.90.032141

Внешние ссылки

• Модель Изинга в The Net Advance of Physics
• Барри Артур Сипра , «Модель Изинга NP-полна », SIAM News , том 33, № 6; онлайн-издание (.pdf)
• Статья в Science World о модели Изинга
• Динамический 2D-апплет Изинга на Java от UCSC
• Динамический 2D-апплет Изинга на Java
• Более крупный/более сложный 2D-апплет Изинга Java. Архивировано 25.11.2020 на Wayback Machine.
• «Я пою хорошо темперировано» Модель Изинга: простая модель критического поведения в системе спинов Дирка Брокмана, представляет собой интерактивную симуляцию, которая позволяет пользователям экспортировать рабочий код в слайд презентации
• Моделирование модели Изинга Энрике Зелени, проект Wolfram Demonstrations
• Фазовые переходы на решетках
• Исследователь из Сандиа утверждает, что трехмерное доказательство модели Изинга невозможно
• Интерактивное моделирование Монте-Карло моделей Изинга, XY и Гейзенберга с 3D-графикой (требуется браузер, совместимый с WebGL)
• Код модели Изинга, пример шумоподавления изображения с помощью модели Изинга
• Конспекты лекций Дэвида Тонга являются хорошим введением
• Карикатура на магниты, которая изменила науку - статья в журнале Quanta Magazine о модели Изинга
• Моделирование 2-мерной модели Изинга в Julia: https://github.com/cossio/SquareIsingModel.jl