Эллиптические функции Якоби

Математическая функция

В математике эллиптические функции Якоби представляют собой набор основных эллиптических функций . Они встречаются в описании движения маятника , а также в конструкции электронных эллиптических фильтров . В то время как тригонометрические функции определяются относительно окружности, эллиптические функции Якоби являются обобщением, которое относится к другим коническим сечениям , в частности, к эллипсу. Связь с тригонометрическими функциями содержится в обозначениях, например, в соответствующих обозначениях для . Эллиптические функции Якоби используются в практических задачах чаще, чем эллиптические функции Вейерштрасса , поскольку они не требуют для определения и/или понимания понятий комплексного анализа. Они были введены Карлом Густавом Якобом Якоби  (1829). Карл Фридрих Гаусс уже изучал специальные эллиптические функции Якоби в 1797 году, в частности, эллиптические функции лемнискаты ^[1] , но его работа была опубликована гораздо позже. ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \sin }$

Обзор

Основной прямоугольник в комплексной плоскости ${\displaystyle u}$

Существует двенадцать эллиптических функций Якоби, обозначаемых как , где и — любые из букв , , , и . (Функции вида тривиально устанавливаются равными единице для полноты обозначений.) — аргумент, а — параметр, оба из которых могут быть комплексными. Фактически, эллиптические функции Якоби мероморфны как по , так и по . ^[2] Распределение нулей и полюсов в -плоскости хорошо известно. Однако вопросы распределения нулей и полюсов в -плоскости еще предстоит изучить. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

В комплексной плоскости аргумента двенадцать функций образуют повторяющуюся решетку простых полюсов и нулей . ^[3] В зависимости от функции один повторяющийся параллелограмм, или элементарная ячейка, будет иметь стороны длины или на действительной оси, и или на мнимой оси, где и известны как четверти периодов, являющиеся эллиптическим интегралом первого рода. Характер элементарной ячейки можно определить, рассмотрев «вспомогательный прямоугольник» (обычно параллелограмм), который представляет собой прямоугольник, образованный началом координат в одном углу, и как диагонально противоположный угол. Как и на диаграмме, четыре угла вспомогательного прямоугольника называются , , , и , идя против часовой стрелки от начала координат. Функция будет иметь ноль в углу и полюс в углу. Двенадцать функций соответствуют двенадцати способам расположения этих полюсов и нулей в углах прямоугольника. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 2K'}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K=K(m)}$ ${\displaystyle K'=K(1-m)}$ ${\displaystyle K(\cdot )}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (K,K')}$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$

Если аргумент и параметр действительны, то и будут действительными, а вспомогательный параллелограмм фактически будет прямоугольником, а все эллиптические функции Якоби будут иметь действительные значения на действительной прямой. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$

Поскольку эллиптические функции Якоби дважды периодические в , они пропускаются через тор – по сути, их область определения можно считать тором, так же как косинус и синус по сути определены на окружности. Вместо того чтобы иметь только одну окружность, теперь у нас есть произведение двух окружностей, одной действительной и другой мнимой. Комплексную плоскость можно заменить комплексным тором . Окружность первой окружности равна и второй , где и – четверти периодов . Каждая функция имеет два нуля и два полюса в противоположных положениях на торе. Среди точек , , , есть один ноль и один полюс. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K+iK'}$ ${\displaystyle iK'}$

Тогда эллиптические функции Якоби являются двоякопериодическими мероморфными функциями, удовлетворяющими следующим свойствам:

• В углу есть простой ноль и простой полюс в углу  . ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$
• Комплексное число равно половине периода функции ; то есть функция периодична в направлении , с периодом . Функция также периодична в двух других направлениях и , с периодами такими, что и являются четвертями периода. ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} }$ ${\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \mathrm {pp} '}$ ${\displaystyle \mathrm {pq} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}$

Графики четырех эллиптических функций Якоби в комплексной плоскости , иллюстрирующие их двойное периодическое поведение. Изображения получены с использованием версии метода раскраски домена . ^[4] Все имеют значения, равные . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle k={\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 0.8}$

Обозначение

Эллиптические функции могут быть заданы в различных обозначениях, что может сделать предмет излишне запутанным. Эллиптические функции являются функциями двух переменных. Первая переменная может быть задана в терминах амплитуды или , что более распространено, в терминах приведенных ниже. Вторая переменная может быть задана в терминах параметра или как эллиптический модуль , где , или в терминах модульного угла , где . Дополнения к и определяются как и . Эти четыре термина используются ниже без комментариев для упрощения различных выражений. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'=1-m}$ ${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$

Двенадцать эллиптических функций Якоби обычно записываются как , где и являются любыми из букв , , , и . Функции формы тривиально устанавливаются равными единице для полноты обозначений. «Основные» функции обычно принимаются равными , и из которых могут быть получены все остальные функции, и выражения часто записываются исключительно в терминах этих трех функций, однако различные симметрии и обобщения часто наиболее удобно выражать с использованием полного набора. (Эта нотация принадлежит Гудерману и Глейшеру и не является оригинальной нотацией Якоби.) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$

На протяжении всей статьи . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}$

Функции связаны друг с другом с помощью правила умножения: (аргументы опущены)

${\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }$

из которых можно вывести другие часто используемые соотношения:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }$

${\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }$

Правило умножения следует непосредственно из отождествления эллиптических функций с тета-функциями Невилла ^[5]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

Также обратите внимание, что:

${\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$

Определение в терминах обратных эллиптических интегралов

Модель амплитуды Якоби (измеренной вдоль вертикальной оси) как функции независимых переменных u и модуля k

Существует определение, связывающее эллиптические функции с обратной функцией неполного эллиптического интеграла первого рода . Эти функции принимают параметры и в качестве входных данных. Которое удовлетворяет ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=F(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

называется амплитудой Якоби :

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi .}$

В этой структуре эллиптический синус sn  u (лат. sinus amplitudinis ) определяется как

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=\sin \operatorname {am} (u,m)}$

а эллиптический косинус cn  u (лат. cosinus amplitudinis ) определяется как

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\cos \operatorname {am} (u,m)}$

и дельта-амплитуда dn  u (лат. delta amplitudinis ) ^{[примечание 1]}

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u,m).}$

В приведенном выше примере значение является свободным параметром, обычно принимаемым действительным, таким образом, что (но может быть комплексным в общем случае), и поэтому эллиптические функции можно рассматривать как заданные двумя переменными, и параметром  . Остальные девять эллиптических функций легко строятся из трех приведенных выше ( , , ) и приведены в разделе ниже. Обратите внимание, что когда , то это равно четверти периода . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$ ${\displaystyle u}$  ${\displaystyle K}$

В самом общем случае — это многозначная функция (в ) с бесконечным числом логарифмических точек ветвления (ветви отличаются на целое число, кратное ), а именно точек и , где . ^[6] Эту многозначную функцию можно сделать однозначной, разрезав комплексную плоскость вдоль отрезков, соединяющих эти точки ветвления (разрез может быть выполнен неэквивалентными способами, давая неэквивалентные однозначные функции), таким образом делая аналитической всюду, за исключением разрезов ветвей . Напротив, и другие эллиптические функции не имеют точек ветвления, дают согласованные значения для каждой ветви и являются мероморфными во всей комплексной плоскости. Поскольку каждая эллиптическая функция мероморфна во всей комплексной плоскости (по определению), (при рассмотрении как однозначной функции) не является эллиптической функцией. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \sin \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$

Однако частное разрезание для может быть сделано в -плоскости отрезками прямых от до с ; тогда остается только определить на разрезах ветвления непрерывностью с некоторого направления. Тогда становится однозначным и однопериодическим по с минимальным периодом и имеет особенности в логарифмических точках ветвления, упомянутых выше. Если и , непрерывен в на вещественной прямой. Когда , разрезы ветвления в -плоскости пересекают вещественную прямую при для ; поэтому для , не непрерывен в на вещественной прямой и перескакивает на разрывы. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 4iK(1-m)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Однако такое определение приводит к очень сложным разрезам ветвей в -плоскости ( не в -плоскости); они пока еще не полностью описаны. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$

Позволять

${\displaystyle E(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$

— неполный эллиптический интеграл второго рода с параметром . ${\displaystyle m}$

Тогда эпсилон-функцию Якоби можно определить как

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=E(\operatorname {am} (u,m),m)}$

для и и аналитическим продолжением по каждой из переменных в противном случае: функция эпсилон Якоби мероморфна во всей комплексной плоскости (в обоих и ). Альтернативно, во всей как -плоскости, так и -плоскости, ^[7] ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,m)\,\mathrm {d} t;}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$хорошо определено таким образом, потому что все остатки равны нулю, поэтому интеграл не зависит от пути. Таким образом, эпсилон Якоби связывает неполный эллиптический интеграл первого рода с неполным эллиптическим интегралом второго рода: ${\displaystyle t\mapsto \operatorname {dn} (t,m)^{2}}$

${\displaystyle E(\varphi ,m)={\mathcal {E}}(F(\varphi ,m),m).}$

Эпсилон-функция Якоби не является эллиптической функцией, но она появляется при дифференцировании эллиптических функций Якоби по параметру.

Функция Якоби zn определяется как

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\mathcal {E}}(u,m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.}$

Это однократно периодическая функция, которая мероморфна в , но не в (из-за разрезов ветвей и ). Ее минимальный период в равен . Она связана с дзета-функцией Якоби соотношением ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K(m)}$ ${\displaystyle Z(\varphi ,m)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,m),m).}$

Исторически эллиптические функции Якоби были впервые определены с использованием амплитуды. В более современных текстах по эллиптическим функциям эллиптические функции Якоби определяются другими способами, например, с помощью отношений тета-функций (см. ниже), а амплитуда игнорируется.

В современных терминах отношение к эллиптическим интегралам выражалось бы как (или ) вместо . ${\displaystyle \operatorname {sn} (F(\varphi ,m),m)=\sin \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (F(\varphi ,m),m)=\cos \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (F(\varphi ,m),m)=\varphi }$

Определение как тригонометрия: эллипс Якоби

График эллипса Якоби ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b  real) и двенадцати эллиптических функций Якоби pq ( u , m ) для конкретных значений угла φ и параметра  b . Сплошная кривая — эллипс с m  = 1 − 1/ b ² и u  =  F ( φ , m ), где F (⋅,⋅) — эллиптический интеграл первого рода (с параметром ). Пунктирная кривая — единичная окружность. Касательные линии из окружности и эллипса в точке x  = cd, пересекающие ось x в точке dc, показаны светло-серым цветом. ${\displaystyle m=k^{2}}$

${\displaystyle \cos \varphi ,\sin \varphi }$определены на единичной окружности с радиусом r  = 1 и длиной дуги угла единичной окружности, измеренной от положительной оси x . Аналогично, эллиптические функции Якоби определены на единичном эллипсе, ^{[ требуется ссылка ]} с a  = 1. Пусть ${\displaystyle \varphi =}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

затем:

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

Для каждого угла параметр ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$

(неполный эллиптический интеграл первого рода) вычисляется. На единичной окружности ( ), будет длиной дуги. Однако отношение к длине дуги эллипса более сложное. ^[8] ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Пусть будет точкой на эллипсе, и пусть будет точкой, где единичная окружность пересекает линию между и началом координат . Тогда знакомые соотношения из единичной окружности: ${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$

прочитайте для многоточия:

${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$

Итак, проекции точки пересечения прямой с единичной окружностью на оси x и y — это просто и . Эти проекции можно интерпретировать как «определение как тригонометрия». Короче говоря: ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle OP}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}$

Для значения и точки с параметрами и получаем после подстановки соотношения: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$

в: что: ${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )}$

${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$

Последние соотношения для x- и y -координат точек единичного эллипса можно рассматривать как обобщение соотношений для координат точек единичной окружности. ${\displaystyle x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi }$

В следующей таблице приведены выражения для всех эллиптических функций Якоби pq(u,m) в переменных ( x , y , r ) и ( φ ,dn) с ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Определение в терминах тета-функций Якоби

Использование эллиптических интегралов

Эквивалентно, эллиптические функции Якоби могут быть определены в терминах тета-функций . ^[9] При таком, что , пусть ${\displaystyle z,\tau \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle \theta _{1}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{2}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{3}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2niz+\pi i\tau n^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{4}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{2niz+\pi i\tau n^{2}}}$

и , , . Затем с , , и , ${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\theta _{2}(0|\tau )}$ ${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\theta _{3}(0|\tau )}$ ${\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\theta _{4}(0|\tau )}$ ${\displaystyle K=K(m)}$ ${\displaystyle K'=K(1-m)}$ ${\displaystyle \zeta =\pi u/(2K)}$ ${\displaystyle \tau =iK'/K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}.\end{aligned}}}$

Функция Якоби zn может быть также выражена через тета-функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u,m)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{4}'(\zeta |\tau )}{\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{3}'(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\zeta |\tau )}}+m{\frac {\operatorname {sn} (u,m)\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{2}'(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\zeta |\tau )}}+{\frac {\operatorname {dn} (u,m)\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {cn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{1}'(\zeta |\tau )}{\theta _{1}(\zeta |\tau )}}-{\frac {\operatorname {cn} (u,m)\operatorname {dn} (u,m)}{\operatorname {sn} (u,m)}}\end{aligned}}}$

где обозначает частную производную по первой переменной. ${\displaystyle '}$

Использование модульной инверсии

На самом деле, определение эллиптических функций Якоби у Уиттекера и Уотсона сформулировано немного иначе, чем приведенное выше (но оно эквивалентно ему), и основано на модульной инверсии: Функция , определяемая как ${\displaystyle \lambda }$

Область в комплексной плоскости. Она ограничена двумя полуокружностями снизу, лучом слева и лучом справа. ${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}},}$

принимает каждое значение один раз и только один раз ^[10] в ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0,1\}}$

${\displaystyle F_{1}-(\partial F_{1}\cap \{\tau \in \mathbb {H} :\operatorname {Re} \tau <0\})}$

где - верхняя полуплоскость в комплексной плоскости, - граница и ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \partial F_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle F_{1}=\{\tau \in \mathbb {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq 1,\left|\operatorname {Re} (1/\tau )\right|\leq 1\}.}$

Таким образом, каждый может быть связан с одним и только одним . Затем Уиттекер и Уотсон определяют эллиптические функции Якоби следующим образом: ${\displaystyle m\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\lambda (\tau )\in \mathbb {C} -\{0,1\}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\end{aligned}}}$

где . В книге они накладывают дополнительное ограничение на (что ), но на самом деле это не необходимое ограничение (см. ссылку Кокса). Кроме того, если или , эллиптические функции Якоби вырождаются в неэллиптические функции, что описано ниже. ${\displaystyle \zeta =u/\theta _{3}(\tau )^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\notin (-\infty ,0)\cup (1,\infty )}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m=1}$

Определение в терминах тета-функций Невилла

Эллиптические функции Якоби можно определить очень просто с помощью тета-функций Невилла : ^[11]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

Упрощения сложных произведений эллиптических функций Якоби часто облегчаются с помощью этих тождеств.

Преобразования Якоби

Мнимые преобразования Якоби

График вырожденной кривой Якоби ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b  = ∞) и двенадцать эллиптических функций Якоби pq( u ,1) для конкретного значения угла  φ . Сплошная кривая — вырожденный эллипс ( x ²  = 1) с m  = 1 и u  =  F ( φ ,1), где F (⋅,⋅) — эллиптический интеграл первого рода. Пунктирная кривая — единичная окружность. Поскольку это функции Якоби для m  = 0 (круговые тригонометрические функции), но с мнимыми аргументами, они соответствуют шести гиперболическим тригонометрическим функциям.

Мнимые преобразования Якоби связывают различные функции мнимой переменной iu или, что то же самое, отношения между различными значениями параметра m . В терминах основных функций: ^{[12] : 506}

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$

Используя правило умножения, все остальные функции могут быть выражены через три вышеупомянутых. Преобразования могут быть в общем случае записаны как . Следующая таблица дает для указанного pq( u,m ). ^[11] (Аргументы опущены) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$

Поскольку гиперболические тригонометрические функции пропорциональны круговым тригонометрическим функциям с мнимыми аргументами, то функции Якоби дадут гиперболические функции при m=1. ^{[5] : 249} На рисунке кривая Якоби выродилась в две вертикальные линии при x  = 1 и x  = −1.

Реальные преобразования Якоби

Реальные преобразования Якоби ^{[5] : 308} дают выражения для эллиптических функций в терминах с альтернативными значениями m . Преобразования в общем случае можно записать как . Следующая таблица дает для указанного pq( u,m ). ^[11] (Аргументы опущены) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle (k\,u,1/m)}$

Другие преобразования Якоби

Действительные и мнимые преобразования Якоби можно комбинировать различными способами, чтобы получить еще три простых преобразования. ^{[5] : 214} Действительные и мнимые преобразования — это два преобразования в группе ( D 3 или ангармоническая группа ) из шести преобразований. Если

${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$

является преобразованием для параметра m в реальном преобразовании, и

${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$

является преобразованием m в мнимое преобразование, то другие преобразования могут быть построены путем последовательного применения этих двух основных преобразований, что дает только три дополнительные возможности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$

Эти пять преобразований вместе с тождественным преобразованием ( μ _U ( m ) =  m ) дают группу из шести элементов. Что касается эллиптических функций Якоби, общее преобразование может быть выражено с использованием всего трех функций:

${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

где i = U, I, IR, R, RI или RIR, идентифицирующие преобразование, γ _i — коэффициент умножения, общий для этих трех функций, а штрих указывает на преобразованную функцию. Остальные девять преобразованных функций могут быть построены из трех вышеупомянутых. Причина, по которой функции cs, ns, ds были выбраны для представления преобразования, заключается в том, что другие функции будут отношениями этих трех (за исключением их обратных), а коэффициенты умножения будут сокращаться.

В следующей таблице перечислены коэффициенты умножения для трех функций ps, преобразованные m ' и имена преобразованных функций для каждого из шести преобразований. ^{[5] : 214} (Как обычно, k ²  =  m , 1 −  k ²  =  k ₁ ²  =  m ′ и аргументы ( ) опущены) ${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$

Так, например, мы можем построить следующую таблицу для преобразования RIR. ^[11] Преобразование в общем случае записывается (аргументы опускаются) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$ ${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$

Значение преобразований Якоби состоит в том, что любой набор эллиптических функций Якоби с любым действительным параметром m можно преобразовать в другой набор, для которого и для действительных значений u значения функции будут действительными. ^{[5] : стр. 215} ${\displaystyle 0<m\leq 1/2}$

Амплитудные преобразования

В дальнейшем вторая переменная опущена и равна : ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} (u+v)+\operatorname {am} (u-v))={\frac {2\operatorname {sn} u\operatorname {cn} u\operatorname {dn} v}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}},}$

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u+v)-\operatorname {am} (u-v))={\dfrac {\operatorname {cn} ^{2}v-\operatorname {sn} ^{2}v\operatorname {dn} ^{2}u}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}}}$

где обе идентичности действительны для всех, так что обе стороны четко определены. ${\displaystyle u,v,m\in \mathbb {C} }$

С

${\displaystyle m_{1}=\left({\frac {1-{\sqrt {m'}}}{1+{\sqrt {m'}}}}\right)^{2},}$

у нас есть

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u,m)+\operatorname {am} (K-u,m))=-\operatorname {sn} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ({\sqrt {m'}}u,-m/m')+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\operatorname {sn} (u,m),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ((1+{\sqrt {m'}})u,m_{1})+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\sin(2\operatorname {am} (u,m))}$

где все тождества действительны для всех, так что обе стороны четко определены. ${\displaystyle u,m\in \mathbb {C} }$

Гипербола Якоби

График гиперболы Якоби ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b мнимая) и двенадцать эллиптических функций Якоби pq( u , m ) для конкретных значений угла φ и параметра b . Сплошная кривая — гипербола с m  = 1 − 1/ b ² и u  =  F ( φ , m ), где F (⋅,⋅) — эллиптический интеграл первого рода. Пунктирная кривая — единичная окружность. Для треугольника ds-dc σ  = sin( φ )cos( φ ).

Вводя комплексные числа, наш эллипс имеет связанную с ним гиперболу:

${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

путем применения мнимого преобразования Якоби ^[11] к эллиптическим функциям в приведенном выше уравнении для x и  y .

${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$

Отсюда следует, что мы можем положить . Таким образом, наш эллипс имеет двойственный эллипс с заменой m на 1-m. Это приводит к комплексному тору, упомянутому во введении. ^[13] Обычно m может быть комплексным числом, но когда m действительное и m<0, кривая представляет собой эллипс с большой осью в направлении x. При m=0 кривая представляет собой окружность, а при 0<m<1 кривая представляет собой эллипс с большой осью в направлении y. При m  = 1 кривая вырождается в две вертикальные линии при x  = ±1. При m  > 1 кривая представляет собой гиперболу. Когда m комплексное, но не действительное, x или y или оба являются комплексными, и кривую нельзя описать на действительной диаграмме x - y . ${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$

Второстепенные функции

Обратный порядок двух букв в названии функции приводит к получению обратных значений трех функций, приведенных выше:

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}$

Аналогично, отношения трех основных функций соответствуют первой букве числителя, за которой следует первая буква знаменателя:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

Более компактно, мы имеем

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$

где p и q — любые буквы s, c, d.

Периодичность, полюса и остатки

Графики фазы для двенадцати эллиптических функций Якоби pq(u,m) как функции комплексного аргумента u с указанием полюсов и нулей. Графики построены по одному полному циклу в действительном и мнимом направлениях, а цветная часть указывает фазу в соответствии с цветовым кругом в правом нижнем углу (который заменяет тривиальную функцию dd). Области с абсолютным значением ниже 1/3 окрашены в черный цвет, что примерно указывает на положение нуля, а области с абсолютным значением выше 3 окрашены в белый цвет, что примерно указывает на положение полюса. Все графики используют m  = 2/3 с K  =  K ( m ), K ′ =  K (1 −  m ), K (⋅) — полный эллиптический интеграл первого рода. Стрелки на полюсах указывают в направлении нулевой фазы. Стрелки вправо и влево означают положительные и отрицательные действительные остатки соответственно. Стрелки вверх и вниз означают положительные и отрицательные мнимые остатки соответственно.

В комплексной плоскости аргумента u эллиптические функции Якоби образуют повторяющийся узор полюсов (и нулей). Все остатки полюсов имеют одинаковое абсолютное значение, отличаясь только знаком. Каждая функция pq( u , m ) имеет «обратную функцию» (в мультипликативном смысле) qp( u , m ), в которой положения полюсов и нулей меняются местами. Периоды повторения, как правило, различны в действительном и мнимом направлениях, отсюда и использование термина «дважды периодический» для их описания.

Для амплитуды Якоби и эпсилон-функции Якоби:

${\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}}$

где — полный эллиптический интеграл второго рода с параметром . ${\displaystyle E(m)}$ ${\displaystyle m}$

Двойную периодичность эллиптических функций Якоби можно выразить как:

${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$

где α и β — любая пара целых чисел. K (⋅) — полный эллиптический интеграл первого рода, также известный как четверть периода . Степень отрицательной единицы ( γ ) приведена в следующей таблице:

Когда множитель (−1) ^γ равен −1, уравнение выражает квазипериодичность. Когда он равен единице, оно выражает полную периодичность. Например, можно видеть, что для записей, содержащих только α, когда α четное, полная периодичность выражается приведенным выше уравнением, и функция имеет полные периоды 4 K ( m ) и 2 iK (1 −  m ). Аналогично, функции с записями, содержащими только β , имеют полные периоды 2K(m) и 4 iK (1 −  m ), в то время как функции с α + β имеют полные периоды 4 K ( m ) и 4 iK (1 −  m ).

На диаграмме справа, которая отображает одну повторяющуюся единицу для каждой функции, указывающую фазу вместе с расположением полюсов и нулей, можно отметить ряд закономерностей: обратная функция каждой функции находится напротив диагонали и имеет ячейку того же размера, с полюсами и нулями, поменянными местами. Расположение полюсов и нулей во вспомогательном прямоугольнике, образованном (0,0), ( K ,0), (0, K ′) и ( K , K ′), соответствует описанию размещения полюсов и нулей, приведенному во введении выше. Кроме того, размер белых овалов, указывающих полюса, является грубой мерой абсолютного значения остатка для этого полюса. Остатки полюсов, ближайших к началу координат на рисунке (т. е. во вспомогательном прямоугольнике), перечислены в следующей таблице:

Когда это применимо, полюса, смещенные вверх на 2 К или смещенные вправо на 2 К ′, имеют одинаковое значение, но с обратными знаками, в то время как диагонально противоположные имеют одинаковое значение. Обратите внимание, что полюса и нули на левом и нижнем краях считаются частью элементарной ячейки, а на верхнем и правом краях — нет.

Информацию о полюсах можно фактически использовать для характеристики эллиптических функций Якоби: ^[14]

Функция является уникальной эллиптической функцией, имеющей простые полюса при (при ) с вычетами, принимающими значение при . ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {sn} (u,m)}$ ${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1)^{r}/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

Функция является уникальной эллиптической функцией, имеющей простые полюса при (при ) с вычетами, принимающими значение при . ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1)^{r+s-1}i/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

Функция является уникальной эллиптической функцией, имеющей простые полюса при (при ) с вычетами, принимающими значение при . ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {dn} (u,m)}$ ${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1)^{s-1}i}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

Особые ценности

Задание дает лемнискату эллиптические функции и : ${\displaystyle m=-1}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.}$

При или эллиптические функции Якоби сводятся к неэллиптическим функциям: ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m=1}$

Для амплитуды Якоби, где — функция Гудермана . ${\displaystyle \operatorname {am} (u,0)=u}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} }$

В общем случае, если ни один из p,q не является d, то . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)}$

Идентичности

Формула половинного угла

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {m'+\operatorname {dn} (u,m)+m\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$

Формулы К

Формула Half K

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}$$

Третья формула К

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\frac {1}{3}}K\left({\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right);{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right]={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

Чтобы получить x ³ , берем тангенс удвоенного арктангенса модуля.

Также это уравнение приводит к значению sn третьего элемента K :

${\displaystyle k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0}$

${\displaystyle s=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

Эти уравнения приводят к другим значениям функций Якоби:

${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1/\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]-1}$

Пятая формула К

Следующее уравнение имеет следующее решение:

${\displaystyle 4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0}$

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}={\frac {\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}-\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}}{2\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]}}}$

Чтобы получить значения sn, подставим решение x в следующие выражения:

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1-x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1+x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

Соотношения между квадратами функций

Соотношения между квадратами функций можно вывести из двух основных соотношений (аргументы ( u , m ) опущены): где m + m'  = 1. Умножение на любую функцию вида nq дает более общие уравнения: $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}$$

При q  =  d они тригонометрически соответствуют уравнениям для единичной окружности ( ) и единичного эллипса ( ), при x  =  cd , y  =  sd и r  =  nd . Используя правило умножения, можно вывести и другие соотношения. Например: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}{}+m'y^{2}=1}$

$${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m}$$

Теоремы сложения

Функции удовлетворяют двум квадратным соотношениям (зависимость от m подавлена) $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u)+\operatorname {sn} ^{2}(u)=1,\,}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u)+m\operatorname {sn} ^{2}(u)=1.\,}$$

Из этого мы видим, что (cn, sn, dn) параметризует эллиптическую кривую , которая является пересечением двух квадрик, определенных двумя приведенными выше уравнениями. Теперь мы можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью формул сложения для функций Якоби ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-m\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$$

Функции Якоби эпсилон и zn удовлетворяют теореме квазисложения: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y,m)&={\mathcal {E}}(x,m)+{\mathcal {E}}(y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m),\\\operatorname {zn} (x+y,m)&=\operatorname {zn} (x,m)+\operatorname {zn} (y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m).\end{aligned}}}$$

Формулы двойного угла можно легко вывести из приведенных выше уравнений, установив x  =  y . ^[3] Формулы половинного угла ^{[11] [3]} все имеют вид:

$${\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }}$$

где: $${\displaystyle f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))}$$

Эллиптические функции Якоби как решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Производные по первой переменной

Производные трех основных эллиптических функций Якоби (по первой переменной, при фиксированных) равны: ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}$$

Их можно использовать для вывода производных всех других функций, как показано в таблице ниже (аргументы (u,m) опущены):

Также

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\mathcal {E}}(z)=\operatorname {dn} (z)^{2}.}$

С учетом приведенных выше теорем сложения и для заданного m при 0 <  m  < 1 основные функции являются решениями следующих нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений :

• ${\displaystyle \operatorname {am} (x)}$решает дифференциальные уравнения и ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\sin(y)\cos(y)=0}$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=1-m\sin(y)^{2}}$(для не на срезе ветки) ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x)}$решает дифференциальные уравнения и ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x)}$решает дифференциальные уравнения и ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x)}$решает дифференциальные уравнения и ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})}$

Функция, которая точно решает дифференциальное уравнение маятника ,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0,}$

с начальным углом и нулевой начальной угловой скоростью ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,m))\\&=2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t+K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t-K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-\pi \end{aligned}}}$

где , и . ${\displaystyle m=\sin(\theta _{0}/2)^{2}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Производные по второй переменной

При фиксированном первом аргументе производные по второй переменной будут следующими: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {sn} (z)&={\frac {\operatorname {dn} (z)\operatorname {cn} (z)((1-m)z-{\mathcal {E}}(z)+m\operatorname {cd} (z)\operatorname {sn} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {cn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cd} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {dn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-\operatorname {dn} (z)\operatorname {sc} (z))}{2(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}{\mathcal {E}}(z)&={\frac {\operatorname {cn} (z)(\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)-\operatorname {cn} (z){\mathcal {E}}(z))}{2(1-m)}}-{\frac {z}{2}}\operatorname {sn} (z)^{2}.\end{aligned}}}$

Расширение по номе

Пусть ном будет , и пусть . Тогда функции имеют разложения в ряды Ламберта ${\displaystyle q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$ ${\displaystyle v=\pi u/(2K(m))}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)}$

когда ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (u/K)\right|<\operatorname {Im} (iK'/K).}$

Двумерные степенные ряды были опубликованы Шеттом. ^[15]

Быстрые вычисления

Коэффициенты тета-функции обеспечивают эффективный способ вычисления эллиптических функций Якоби. Существует альтернативный метод, основанный на арифметико-геометрическом среднем и преобразованиях Ландена : ^[6]

Инициализировать

${\displaystyle a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}}}$

где . Определим ${\displaystyle 0<m<1}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}}$

где . Тогда определим ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \varphi _{N}=2^{N}a_{N}u}$

для и фиксированного . Если ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)}$

для , тогда ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0},\quad \operatorname {zn} (u,m)=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\sin \varphi _{n}}$

как . Это примечательно своей быстрой сходимостью. Затем вычислить все эллиптические функции Якоби из амплитуды Якоби на действительной прямой становится тривиальным. ^{[примечание 2]} ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$

В сочетании с теоремами сложения для эллиптических функций (которые справедливы для комплексных чисел в целом) и преобразованиями Якоби описанный выше метод вычисления можно использовать для вычисления всех эллиптических функций Якоби во всей комплексной плоскости.

Другой метод быстрого вычисления эллиптических функций Якоби с помощью арифметико-геометрического среднего, избегающий вычисления амплитуды Якоби, принадлежит Герберту Э. Зальцеру: ^[16]

Позволять

${\displaystyle 0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.}$

Набор

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}}$

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}}$

как . ${\displaystyle N\to \infty }$

Однако ниже показан другой метод для быстро сходящегося быстрого вычисления эллиптической синусоидальной функции Якоби, найденный в литературе. ^[17]

Позволять:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}=u&b_{0}={\frac {1-{\sqrt {1-m}}}{1+{\sqrt {1-m}}}}\\&a_{1}={\frac {a_{0}}{1+b_{0}}}&b_{1}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}}\\&\vdots =\vdots &\vdots =\vdots \\&a_{n}={\frac {a_{n-1}}{1+b_{n-1}}}&b_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}}\\\end{aligned}}}$

Затем установите:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=\sin(a_{n})\\y_{n}&={\frac {y_{n+1}(1+b_{n})}{1+y_{n+1}^{2}b_{n}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&={\frac {y_{1}(1+b_{0})}{1+y_{1}^{2}b_{0}}}\\\end{aligned}}}$

Затем:

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=y_{0}{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$.

Аппроксимация в терминах гиперболических функций

Эллиптические функции Якоби можно разложить по гиперболическим функциям. Когда близко к единице, так что и высшими степенями можно пренебречь, имеем: ^{[18] [19]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'^{2}}$ ${\displaystyle m'}$

• сн( у ): $${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}$$
• сп( и ): $${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$
• дн( и ): $${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$

Для амплитуды Якоби, $${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}$$

Непрерывные дроби

Предполагая действительные числа с и номом , с эллиптическим модулем . Если , где — полный эллиптический интеграл первого рода , то имеет место следующее разложение в цепную дробь ^[20] ${\displaystyle a,p}$ ${\displaystyle 0<a<p}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}$ ${\displaystyle K[\tau ]=K(k(\tau ))}$ ${\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\[4pt]={}&-1+{\frac {2}{1-{}}}\,{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{}}}\,{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}}}\,{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}}}\,{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}}\cdots \end{aligned}}}$

Известные непрерывные дроби, содержащие и с эллиптическим модулем : ${\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)}$ ${\displaystyle {\textrm {dn}}(t)}$ ${\displaystyle k}$

Для , : ^[21] стр. 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Для , : ^[21] стр. 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Для , : ^[22] стр. 220 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots }$

Для , : ^[21] стр. 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots }$

Для , : ^[21] стр. 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Обратные функции

Обратные эллиптические функции Якоби можно определить аналогично обратным тригонометрическим функциям ; если , . Их можно представить в виде эллиптических интегралов, ^{[23] [24] [25]} и были найдены представления в виде степенных рядов. ^{[26] [3]} ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,m)}$ ${\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,m)}$

• ${\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}}$

Проекция карты

Квинкунциальная проекция Пирса — это картографическая проекция, основанная на эллиптических функциях Якоби.

Смотрите также

• Эллиптическая кривая
• Отображение Шварца–Кристоффеля
• Симметричная форма Карлсона
• Тета-функция Якоби
• Тета-функция Рамануджана
• Эллиптические функции Диксона
• Эллиптические функции Абеля
• Эллиптическая функция Вейерштрасса
• Лемнискатные эллиптические функции

Примечания

1. Если и ограничено , то можно также записать как ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\operatorname {am} (u,m)}}.}$
2. Для функции можно использовать. ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {sn} (K(m)-u,m)}}}$

Цитаты

1. Армитидж, Дж. В.; Эберлейн, У. Ф. (2006). Эллиптические функции (первое издание). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78078-0.стр. 48
2. Walker, Peter (2003). «Аналитичность функций Якоби относительно параметра k». Труды Королевского общества . 459 (2038): 2569–2574. Bibcode : 2003RSPSA.459.2569W. doi : 10.1098/rspa.2003.1157. JSTOR  3560143. S2CID  121368966.
3. Olver, FWJ; et al., eds. (2017-12-22). "NIST Digital Library of Mathematical Functions (Release 1.0.17)". Национальный институт стандартов и технологий . Получено 2018-02-26 .
4. "cplot, пакет Python для построения графиков комплекснозначных функций". GitHub .
5. Невилл, Эрик Гарольд (1944). Якобианские эллиптические функции. Оксфорд: Oxford University Press.
6. Sala, Kenneth L. (ноябрь 1989 г.). «Преобразования амплитудной функции Якоби и ее вычисление с помощью арифметико-геометрического среднего». Журнал SIAM по математическому анализу . 20 (6): 1514–1528. doi :10.1137/0520100.
7. Рейнхардт, WP; Уокер, PL (2010), «Эллиптические функции Якоби», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
8. Карлсон, BC (2010), «Эллиптические интегралы», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
9. Уиттекер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Cambridge University Press. стр. 492.
10. Кокс, Дэвид Арчибальд (январь 1984 г.). «Среднее арифметико-геометрическое Гаусса». L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 290.
11. "Введение в эллиптические функции Якоби". Сайт функций Вольфрама . Wolfram Research, Inc. 2018. Получено 7 января 2018 г.
12. Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1940). Курс современного анализа. Нью-Йорк, США: The MacMillan Co. ISBN 978-0-521-58807-2.
13. «Эллиптические функции: комплексные переменные».
14. Уиттекер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Cambridge University Press. С. 504–505.
15. Шетт, Алоис (1976). «Свойства коэффициентов разложения в ряд Тейлора эллиптических функций Якоби». Math. Comp . 30 (133): 143–147. doi :10.1090/S0025-5718-1976-0391477-3. MR  0391477. S2CID  120666361.
16. Salzer, Herbert E. (июль 1962 г.). "Быстрый расчет эллиптических функций Якоби". Сообщения ACM . 5 (7): 399. doi : 10.1145/368273.368573 . S2CID  44953400.
17. Смит, Джон И. (5 мая 1971 г.). «Параметры ёмкости чётного и нечётного режимов для связанных линий в подвешенной подложке». Труды IEEE по теории и технике СВЧ . MTT-19 (5): 430. Bibcode : 1971ITMTT..19..424S. doi : 10.1109/TMTT.1971.1127543 – через IEEE Xplore.
18. Рейнхардт, WP; Уокер, PL (2010), «Эллиптические функции Якоби», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
19. Рейнхардт, WP; Уокер, PL (2010), «Эллиптические функции Якоби», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
20. Н.Багис.(2020)."Оценки рядов, связанных с эллиптическими функциями Якоби". препринт https://www.researchgate.net/publication/331370071_Оценки_рядов_связанных_с_эллиптическими_функциями_Якоби
21. HS Wall. (1948). «Аналитическая теория непрерывных дробей», Van Nostrand, Нью-Йорк.
22. Перрон, О. (1957). "Die Lehre von den Kettenbruchen", Группа II, Б. Г. Тойбнер, Штутгарт.
23. Рейнхардт, WP; Уокер, PL (2010), "§22.15 Обратные функции", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
24. Эрхардт, Вольфганг. «Специальные функции AMath и DAMath: справочное руководство и замечания по реализации» (PDF) . стр. 42. Архивировано из оригинала (PDF) 31 июля 2016 г. Получено 17 июля 2013 г.
25. Берд, П. Ф.; Фридман, М. Д. (1971). Справочник по эллиптическим интегралам для инженеров и ученых (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag.
26. Carlson, BC (2008). "Степенные ряды для обратных эллиптических функций Якоби" (PDF) . Mathematics of Computation . 77 (263): 1615–1621. Bibcode :2008MaCom..77.1615C. doi : 10.1090/s0025-5718-07-02049-2 . Получено 17 июля 2013 г. .

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 16". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 569. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Н.И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций (1970) Москва, переведено на английский язык как AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2 
• AC Dixon Элементарные свойства эллиптических функций с примерами (Макмиллан, 1894)
• Альфред Джордж Гринхилл Приложения эллиптических функций (Лондон, Нью-Йорк, Макмиллан, 1892)
• Эдмунд Т. Уиттакер, Джордж Невилл Уотсон: Курс современного анализа . 4-е изд. Кембридж, Англия: Cambridge University Press, 1990. С. 469–470.
• Х. Хэнкок Лекции по теории эллиптических функций (Нью-Йорк, J. Wiley & sons, 1910)
• Якоби, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг, ISBN 978-1-108-05200-9, Перепечатано издательством Кембриджского университета в 2012 г.
• Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010), «Эллиптические функции Якоби», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• (на французском языке) П. Аппель и Э. Лакур Принципы теории эллиптических функций и приложений (Париж, Готье Виллар, 1897)
• (на французском языке) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs application (том 1) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs application (том 2) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs application (том 3) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том I, Введение. Вычислить дифференциал. Ire party (Париж: Готье-Виллар и дети, 1893)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том II, Дифференциальный расчет. IIe party (Париж: Готье-Виллар и дети, 1893)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том III, Исчисление интегралов. Ire party, Théorèmes généraux. Инверсия (Париж: Готье-Виллар и др., 1893 г.)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том IV, Исчисление интегралов. IIe party, Applications (Париж: Готье-Виллар и др., 1893)
• (на французском языке) К. Брио и Ж.К. Буке Теория эллиптических функций (Париж: Готье-Виллар, 1875)
• Тосио Фукусима: быстрое вычисление полных эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби . 2012, Национальная астрономическая обсерватория Японии (国立天文台)
• Лоуэн, Бланч и Хоренштейн: Об обращении q-ряда, связанного с эллиптическими функциями Якоби . Bull. Amer. Math. Soc. 48, 1942
• H. Ferguson, DE Nielsen, G. Cook: Формула разбиения для целых коэффициентов тета-функции nome . Математика вычислений, том 29, номер 131, июль 1975 г.
• JD Fenton и RS Gardiner-Garden: Быстросходящиеся методы вычисления эллиптических интегралов и тета- и эллиптических функций . J. Austral. Math. Soc. (Серия B) 24, 1982, S. 57
• Адольф Кнезер: Neue Untersuruchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen . Дж. Рейн ты. ангью. Математика. 157, 1927. страницы 209–218.

Внешние ссылки

• «Эллиптические функции Якоби», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптические функции Якоби». MathWorld .