Метрика Кэлера – Эйнштейна

Тип метрики в римановой геометрии

В дифференциальной геометрии метрика Кэлера –Эйнштейна на комплексном многообразии — это риманова метрика , которая является одновременно метрикой Кэлера и метрикой Эйнштейна . Многообразие называется Кэлером–Эйнштейном, если оно допускает метрику Кэлера–Эйнштейна. Наиболее важным частным случаем из них являются многообразия Калаби–Яу , которые являются кэлеровыми и риччи-плоскими .

Важнейшей проблемой в этой области является существование метрик Кэлера–Эйнштейна для компактных кэлерово многообразий. Эту проблему можно разбить на три случая в зависимости от знака первого класса Черна кэлерова многообразия:

• Когда первый класс Черна отрицательен, всегда существует метрика Кэлера-Эйнштейна, как независимо доказали Тьерри Обен и Шинг-Тунг Яу .
• Когда первый класс Черна равен нулю, всегда существует метрика Кэлера–Эйнштейна, как доказал Яу в гипотезе Калаби . Это приводит к названию многообразий Калаби–Яу. Частично за эту работу он был награжден медалью Филдса .
• Третий случай, положительный случай или случай Фано, в течение многих лет оставался хорошо известной открытой проблемой. В данном случае возникает нетривиальное препятствие существованию. В 2012 году Сюсюн Чен , Саймон Дональдсон и Сун Сун доказали, что в этом случае существование эквивалентно алгебро-геометрическому критерию, называемому K-стабильностью . Их доказательство появилось в серии статей в Журнале Американского математического общества. ^{[1] [2] [3]} В то же время независимое доказательство было представлено Ган Тяном . ^[4]

Когда первый класс Черна не определен или имеется промежуточная размерность Кодаиры, то нахождение канонической метрики остается открытой проблемой, которая называется гипотезой алгебризации с помощью программы аналитической минимальной модели.

Определение

Многообразия Эйнштейна

Пусть – риманово многообразие . В физике уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор дифференциальных уравнений в частных производных для метрического тензора , которые описывают, как многообразие должно изгибаться из-за существования массы или энергии, величины, инкапсулированной тензором энергии-импульса . В вакууме, где нет ни массы, ни энергии, то есть уравнения поля Эйнштейна упрощаются. А именно, кривизна Риччи является симметричным -тензором, как и сама метрика , и уравнения сводятся к ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}={\frac {1}{2}}R_{g}g}$

где скалярная кривизна . ​То есть кривизна Риччи становится пропорциональной метрике. Риманово многообразие, удовлетворяющее приведенному выше уравнению, называется многообразием Эйнштейна . ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (X,g)}$

Каждое двумерное риманово многообразие является эйнштейновым. С помощью тождеств Бьянки можно доказать , что в любом большем измерении скалярная кривизна любого связного многообразия Эйнштейна должна быть постоянной. По этой причине условие Эйнштейна часто задается как

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}=\lambda g}$

за действительное число ${\displaystyle \lambda .}$

Кэлеровые многообразия

Когда риманово многообразие также является комплексным многообразием , то есть имеет интегрируемую почти комплексную структуру , можно потребовать совместимости между метрической структурой и комплексной структурой . Существует множество эквивалентных способов формулировки этого условия совместимости, и одна из кратких интерпретаций состоит в том, чтобы спросить, что ортогонально относительно , ​​так что для всех векторных полей и что сохраняется параллельным переносом связи Леви-Чивита , захватываемой состояние . Такая тройка называется кэлеровым многообразием . ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle J:TX\to TX}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(Ju,Jv)=g(u,v)}$ ${\displaystyle u,v\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla J=0}$ ${\displaystyle (X,g,J)}$

Метрики Кэлера – Эйнштейна

Многообразие Кэлера–Эйнштейна — это многообразие, которое сочетает в себе вышеуказанные свойства кэлеровости и допускает метрику Эйнштейна. Сочетание этих свойств подразумевает упрощение уравнения Эйнштейна с точки зрения сложной структуры. А именно, на кэлеровом многообразии можно определить форму Риччи , действительную -форму , выражением ${\displaystyle (1,1)}$

${\displaystyle \rho (u,v)=\operatorname {Ric} _{g}(Ju,v),}$

где – любые касательные векторные поля к . ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle X}$

Почти комплексная структура вынуждает быть антисимметричной, а условие совместимости в сочетании с тождеством Бьянки подразумевает, что это замкнутая дифференциальная форма . С римановой метрикой связана форма Кэлера, определяемая аналогичным выражением . Поэтому уравнения Эйнштейна для можно переписать в виде ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nabla J=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega (u,v)=g(Ju,v)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \rho =\lambda \omega ,}$

уравнение Кэлера–Эйнштейна.

Поскольку это равенство замкнутых дифференциальных форм, из него следует равенство ассоциированных классов когомологий де Рама и . Первый класс является первым классом Черна , . Поэтому необходимым условием существования решения уравнения Кэлера–Эйнштейна является то , что для некоторого . Это топологическое необходимое условие на кэлеровом многообразии . ${\displaystyle [\rho ]}$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,g,J)}$

Обратите внимание, что, поскольку кривизна Риччи инвариантна относительно масштабирования , если существует метрика такая , что всегда можно нормализовать к новой метрике с , то есть . Таким образом, уравнение Кэлера – Эйнштейна часто записывают ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}}$ ${\displaystyle g\mapsto \lambda ^{-1}g}$ ${\displaystyle \lambda \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda =-1,0,1}$

${\displaystyle \rho =-\omega ,\quad \rho =0,\quad \rho =\omega }$

в зависимости от знака топологической константы . ${\displaystyle \lambda }$

Преобразование к сложному уравнению Монжа – Ампера.

Ситуация с компактными кэлеровыми многообразиями особенная, поскольку уравнение Кэлера–Эйнштейна можно переформулировать как комплексное уравнение Монжа–Ампера для гладкого кэлерова потенциала на . ^[5] В силу топологического предположения о кэлеровом многообразии мы всегда можем предположить, что существует некоторая кэлерова метрика . Форма Риччи задается в локальных координатах формулой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega _{0}\in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log \omega _{0}^{n}.}$

По предположению и принадлежат к одному и тому же классу когомологий , поэтому из -леммы теории Ходжа следует, что существует гладкая функция такая, что . ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle F\in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}F=\rho _{0}}$

Любая другая метрика связана с потенциалом Кэлера таким, что . Отсюда следует, что если – форма Риччи относительно , ​​то ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.}$

Таким образом, чтобы сделать, нам нужно найти такое, что ${\displaystyle \rho =\lambda \omega }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lambda i\partial {\bar {\partial }}\varphi =i\partial {\bar {\partial }}F-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.}$

Это, безусловно, будет верно, если то же уравнение будет доказано после удаления производных , и фактически это эквивалентное уравнение по -лемме с точностью до изменения добавлением постоянной функции. В частности, после удаления и возведения в степень уравнение преобразуется в вид ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

${\displaystyle (\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi )^{n}=e^{F-\lambda \varphi }\omega _{0}^{n}.}$

Это уравнение в частных производных похоже на действительное уравнение Монжа-Ампера и известно как комплексное уравнение Монжа-Ампера, и впоследствии его можно изучать с помощью инструментов выпуклого анализа . Его поведение очень чувствительно к знаку топологической константы . Решения этого уравнения появляются как критические точки функционала K-энергии , введенного Тошики Мабучи в пространстве кэлеровых потенциалов в классе . ${\displaystyle \lambda =-1,0,1}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$

Существование

Проблему существования метрик Кэлера – Эйнштейна можно разделить на три отдельных случая, в зависимости от знака топологической константы . Поскольку форма Кэлера всегда является положительной дифференциальной формой , знак зависит от того, является ли класс когомологий положительным, отрицательным или нулевым. В алгебраической геометрии это понимается в терминах канонического расслоения : тогда и только тогда, когда каноническое расслоение является обильным линейным расслоением , и тогда и только тогда, когда оно обильно. Если – тривиальное линейное расслоение, то . Когда кэлерово многообразие компактно , проблема существования полностью решена. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$

Случай c 1 (X)

Когда кэлерово многообразие удовлетворяет топологическому предположению , каноническое расслоение обильно и поэтому должно быть отрицательным. Если необходимое топологическое предположение выполнено, то есть существует метрика Кэлера такая , что Обин и Яу доказали, что метрика Кэлера-Эйнштейна всегда существует. ^{[6] [7]} Существование кэлеровой метрики, удовлетворяющей топологическому предположению, является следствием доказательства Яу гипотезы Калаби . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle c_{1}(X)=\lambda [\omega ]}$

Теорема (Обин, Яу): Компактное кэлерово многообразие всегда допускает метрику Кэлера–Эйнштейна. ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$

Случай c 1 (X)=0

Когда каноническое расслоение тривиально, так что многообразие называется Калаби–Яу . Эти многообразия имеют особое значение в физике, где они должны стать основой струнной теории суперструн в 10 измерениях. Математически это соответствует случаю , когда , то есть когда риманово многообразие является плоским по Риччи . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle (X,g)}$

Существование метрики Кэлера–Эйнштейна было доказано в этом случае Яу, используя метод непрерывности, аналогичный случаю, когда . ^[8] Предположение о топологическом предположении вносит новые трудности в метод непрерывности. Частично благодаря доказательству существования и связанному с ним доказательству гипотезы Калаби Яу был награжден медалью Филдса . ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$

Теорема (Яу): компактное кэлерово многообразие с тривиальным каноническим расслоением, многообразие Калаби–Яу, всегда допускает метрику Кэлера–Эйнштейна и, в частности, допускает плоскую метрику Риччи.

Случай c 1 (X)>0

Когда антиканоническое расслоение обильно или, что то же самое , многообразие называется Фано. В отличие от случая метрика Кэлера–Эйнштейна в этом случае не всегда существует. Акито Футаки заметил, что существуют возможные препятствия существованию решения, заданного голоморфными векторными полями , и необходимым условием является неотрицательность инварианта Футаки этих векторных полей. ^[9] Действительно, гораздо раньше Мацусима и Лихнерович заметили, что еще одним необходимым условием является то, что алгебра Ли голоморфных векторных полей должна быть редуктивной . ^{[10] [11]} ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$

В 1993 году Яу выдвинул гипотезу, по аналогии с аналогичной проблемой существования метрик Эрмита–Эйнштейна на голоморфных векторных расслоениях , что препятствие к существованию метрики Кэлера–Эйнштейна должно быть эквивалентно определенному алгебро-геометрическому условию устойчивости, подобному наклонная устойчивость векторных расслоений. ^[12] В 1997 году Тянь Ган предложил возможное условие устойчивости, которое стало известно как K-стабильность . ^[13]

Гипотеза Яу была решена в 2012 году Ченом - Дональдсоном - Суном с использованием методов, сильно отличающихся от классического метода непрерывности этого случая , ^{[1] [2] [3]} и в то же время Тианом. ^{[4] [14]} Чен-Дональдсон-Сун оспорили доказательство Тиана, заявив, что оно содержит математические неточности и материал, который следует отнести к ним. ^[a] Тиан оспорил эти утверждения. ^[b] Премия Веблена 2019 года была присуждена Чену-Дональдсону-Суну за доказательство. ^[15] Дональдсон был награжден премией за прорыв в математике 2015 года частично за его вклад в доказательство, ^[16] а премия New Horizons Breakthrough Prize 2021 года была присуждена компании Sun частично за его вклад. ^[17] ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

Теорема: Компактное многообразие Фано допускает метрику Кэлера–Эйнштейна тогда и только тогда, когда пара K-полистабильна. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,K_{X}^{-1})}$

Доказательство, основанное на методе непрерывности, которое разрешило этот случай, было позже предоставлено Датаром-Секелихиди, и теперь известны несколько других доказательств. ^{[18] [19]} Более подробную информацию см . в гипотезе Яу–Тиана–Дональдсона . ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

Поток Кэлера–Риччи и минимальная модельная программа

Центральной программой в бирациональной геометрии является программа минимальной модели , которая стремится генерировать модели алгебраических многообразий внутри каждого класса бирациональности, которые в некотором смысле минимальны , обычно в том, что они минимизируют определенные меры сложности (например, арифметический род в случае кривых). В более высоких измерениях ищут минимальную модель, имеющую эффективное каноническое расслоение . Один из способов построения минимальных моделей — сжать внутри алгебраического многообразия определенные кривые , имеющие отрицательное самопересечение. Эти кривые следует рассматривать геометрически как подразнообразия, на которых имеется концентрация отрицательной кривизны. ${\displaystyle C\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В этом смысле минимальную модельную программу можно рассматривать как аналог потока Риччи в дифференциальной геометрии, где области концентрации кривизны расширяются или сжимаются с целью сведения исходного риманова многообразия к многообразию с равномерной кривизной (точнее, к новому Риманово многообразие, имеющее равномерную кривизну Риччи, то есть многообразие Эйнштейна). В случае трехмерных многообразий это известно использовал Григорий Перельман для доказательства гипотезы Пуанкаре .

В контексте кэлеровых многообразий поток Кэлера – Риччи был впервые записан Цао. ^[20] Здесь фиксируется кэлерова метрика с формой Риччи и изучается геометрический поток для семейства кэлеровых метрик, параметризованных : ${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle \rho _{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{ij}(t)}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}}{\partial t}}=-{\tilde {\rho }}_{i{\bar {j}}}+\rho _{i{\bar {j}}},\quad {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}(0)=g_{i{\bar {j}}}.}$

Когда проективное многообразие имеет общий тип , минимальная модель допускает дальнейшее упрощение до канонической модели с обильным каноническим расслоением. В условиях, когда в этой канонической модели имеются только мягкие ( орбифолдные ) особенности, можно задаться вопросом, сходится ли поток Кэлера-Риччи к (возможно, слегка сингулярной) метрике Кэлера-Эйнштейна на , которая должна существовать в силу существования Яу и Обина результат для . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle c_{1}(X'')<0}$

Точный результат в этом направлении был доказан Кашини и Ла Навом ^[21] и примерно в то же время Тянь-Чжанем. ^[22]

Теорема: поток Кэлера–Риччи на проективном многообразии общего типа существует всегда, и после не более чем конечного числа образований особенностей, если каноническая модель имеет в худшем случае орбифолдные особенности, то поток Кэлера–Риччи на сходится к метрика Кэлера–Эйнштейна на , с точностью до ограниченной функции, гладкой вне аналитического подмногообразия . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$

В случае, когда многообразие имеет размерность два, как и поверхность общего типа, достигается сходимость к метрике Кэлера–Эйнштейна на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

Позже Цзянь Сун и Тиан изучили случай, когда проективное многообразие имеет логтерминальные особенности. ^[23] ${\displaystyle X}$

Поток Кэлера–Риччи и существование метрик Кэлера–Эйнштейна

Альтернативное доказательство теоремы Чена–Дональдсона–Суна о существовании метрик Кэлера–Эйнштейна на гладком многообразии Фано можно дать с использованием потока Кэлера–Риччи, и это было выполнено в 2018 году Ченом–Суном–Вангом. ^[24] А именно, если многообразие Фано K-полистабильно, то поток Кэлера–Риччи существует всегда и сходится к метрике Кэлера–Эйнштейна на многообразии Фано.

Обобщения и альтернативные понятия

Метрика Кэлера постоянной скалярной кривизны

Когда каноническое расслоение не является тривиальным, обильным или антиобильным, невозможно запросить метрику Кэлера – Эйнштейна, поскольку класс не может содержать метрику Кэлера, и поэтому необходимое топологическое условие никогда не может быть удовлетворено. Это следует из теоремы вложения Кодаиры . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$

Естественным обобщением уравнения Кэлера-Эйнштейна на более общий случай произвольного компактного кэлерова многообразия является утверждение, что метрика Кэлера имеет постоянную скалярную кривизну (говорят, что метрика равна cscK ). Скалярная кривизна представляет собой полный след тензора римановой кривизны , гладкой функции на многообразии , а в случае Кэлера условие постоянства скалярной кривизны допускает преобразование в уравнение, аналогичное комплексному уравнению Монжа – Ампера кэлера. – установка Эйнштейна. Многие методы из случая Кэлера-Эйнштейна переходят к настройке cscK, хотя и с дополнительными трудностями, и предполагается, что подобное алгебро-геометрическое условие устойчивости должно предполагать существование решений уравнения в этой более общей ситуации. ${\displaystyle (X,g)}$

Когда компактное кэлерово многообразие удовлетворяет топологическим предположениям, необходимым для того, чтобы условие Кэлера-Эйнштейна имело смысл, уравнение Кэлера постоянной скалярной кривизны сводится к уравнению Кэлера-Эйнштейна.

Метрики Эрмита – Эйнштейна

Вместо того, чтобы задавать вопрос о том, что кривизна Риччи связности Леви-Чивита на касательном расслоении кэлерова многообразия пропорциональна самой метрике, можно вместо этого задать этот вопрос для кривизны связности Черна, связанной с эрмитовой метрикой на любом голоморфном векторном расслоении. над (заметим, что связность Леви-Чивита на голоморфном касательном расслоении является в точности связностью Чженя эрмитовой метрики, вытекающей из структуры Кэлера). Полученное уравнение называется уравнением Эрмита-Эйнштейна и имеет особое значение в калибровочной теории , где оно появляется как частный случай уравнений Янга-Миллса , пришедших из квантовой теории поля , в отличие от регулярных уравнений Эйнштейна, которые приходят из общей теории относительности . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В случае, когда голоморфное векторное расслоение снова является голоморфным касательным расслоением , а эрмитова метрика является метрикой Кэлера, уравнение Эрмита-Эйнштейна сводится к уравнению Кэлера-Эйнштейна. Однако в целом геометрия многообразия Кэлера часто фиксирована, и разрешается изменять только метрику расслоения, и это приводит к тому, что уравнение Эрмита-Эйнштейна легче изучать, чем уравнение Кэлера-Эйнштейна в целом. В частности, полную алгебро-геометрическую характеристику существования решений даёт соответствие Кобаяши–Хитчина .

Рекомендации

1. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Солнце, Песня (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. I: Приближение метрик с особенностями конуса». Журнал Американского математического общества . 28 : 183–197. arXiv : 1211.4566 . дои : 10.1090/S0894-0347-2014-00799-2. S2CID  119641827.
2. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Солнце, Песня (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. II: Пределы с углом конуса меньше 2π». Журнал Американского математического общества . 28 : 199–234. arXiv : 1212.4714 . дои : 10.1090/S0894-0347-2014-00800-6. S2CID  119140033.
3. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Солнце, Песня (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. III: Пределы при приближении угла конуса к 2π и завершение основного доказательства». Журнал Американского математического общества . 28 : 235–278. arXiv : 1302.0282 . дои : 10.1090/S0894-0347-2014-00801-8. S2CID  119575364.
4. Тиан, Г. (2015). «K-стабильность и метрики Кэлера – Эйнштейна». Сообщения по чистой и прикладной математике . 68 (7): 1085–1156. arXiv : 1211.4669 . дои : 10.1002/cpa.21578. S2CID  119303358.
5. Секелихиди, Габор (2014). Введение в экстремальные метрики Кэлера . Аспирантура по математике. Том. 152. Американская математическая соц. ISBN 978-1-470-41047-6.
6. Обен, Т. (1976). «Уравнения типа Монжа-Ампера для разнообразных компактных элементов». ЧР акад. наук. Париж . Сер. АБ. 283 (3): Аiii, А119–А121.
7. Яу, Шинг-Тунг (1977). «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 74 (5): 1798–1799. Бибкод : 1977PNAS...74.1798Y. дои : 10.1073/pnas.74.5.1798 . ПМК 431004 . ПМИД  16592394. 
8. Шинг-Тунг Яу . О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I. Сообщения по чистой и прикладной математике , 31(3):339–411, 1978.
9. Футаки, А. (1983). «Препятствие существованию метрик Эйнштейна Кэлера». Изобретать. Математика . 73 (3): 437–443. Бибкод : 1983InMat..73..437F. дои : 10.1007/BF01388438. S2CID  121382431.
10. Мацусима, Ёзо (1957). «Сур ла структура аналитических групп гомеоморфизмов определенного разнообразия». Нагойская математика. Дж . 11 : 145–150. дои : 10.1017/S0027763000002026 .
11. Лихнерович, Андре (1958). Геометрия групп преобразований . Travaux et Recherches Mathématiques. Том. III. Париж: Дюнод.
12. Яу, С.-Т. (1993). «Открытые задачи по геометрии». Дифференциальная геометрия: уравнения в частных производных на многообразиях (Лос-Анджелес, Калифорния, 1990) . Учеб. Симпозиумы. Чистая математика. Том. 54. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. стр. 1–28. ISBN 0-8218-1494-Х.
13. Тиан, Банда (1997). «Метрики Кэлера-Эйнштейна с положительной скалярной кривизной». Математические изобретения . 130 (1): 1–37. Бибкод : 1997InMat.130....1T. дои : 10.1007/s002220050176. MR  1471884. S2CID  122529381.
14. Тиан, Г. (2015). «Исправление: K-стабильность и метрики Кэлера – Эйнштейна». Сообщения по чистой и прикладной математике . 68 (11): 2082–2083. дои : 10.1002/cpa.21612 .
15. "Премия Освальда Веблена 2019 года в области геометрии вручена Сюсюну Чену, Саймону Дональдсону и Сун Суну" . Американское математическое общество . 19 ноября 2018 г. Проверено 9 апреля 2019 г.
16. Саймон Дональдсон «За новые революционные инварианты четырехмерных многообразий и за исследование связи между устойчивостью в алгебраической геометрии и глобальной дифференциальной геометрии, как для расслоений, так и для многообразий Фано».
17. Премия за прорыв в математике 2021 г.
18. Секелихиди, Г. (2016). «Частичная оценка по методу непрерывности». Дж. Амер. Математика. Соц . 29 : 537–560. arXiv : 1310.8471 . дои : 10.1090/джем/833. ${\displaystyle C^{0}}$
19. Датар, В.; Секелихиди, Г. (2016). «Метрики Кэлера – Эйнштейна по методу гладкой непрерывности». Геом. Функц. Анал . 26 (4): 975–1010. arXiv : 1506.07495 . дои : 10.1007/s00039-016-0377-4. S2CID  118246980.
20. Цао, Хуай-Донг (1985). «Деформация кэлеровых матриц в метрики Кэлера-Эйнштейна на компактных кэлеровых многообразиях». Математические изобретения . 81 (2): 359–372. Бибкод : 1985InMat..81..359C. дои : 10.1007/BF01389058. S2CID  124733796.
21. Касчини, П.; Ла Нав, Г. (2006). «Поток Кэлера-Риччи и минимальная модельная программа для проективных многообразий». arXiv : математика/0603064 .
22. Тиан, Г.; Чжан, З. (2006). «О потоке Кэлера – Риччи на проективных многообразиях общего типа». Китайские анналы математики, серия B. 27 (2): 179–192. doi : 10.1007/s11401-005-0533-x. S2CID  16476473.
23. Сун, Цзянь; Тиан, Банда (2009). «Поток Калера-Риччи через особенности». arXiv : 0909.4898 [math.DG].
24. Чен, Сюсюн; Солнце, Песня; Ван, Бинг (2018). «Поток Кэлера – Риччи, метрика Кэлера – Эйнштейна и K – устойчивость». Геом. Тополь . 2 (6): 3145–3173. arXiv : 1508.04397 . дои : 10.2140/gt.2018.22.3145. S2CID  5667938.

• Морояну, Андрей (2007). Лекции по кэлеровой геометрии . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 69. Кембридж. ISBN 978-0-521-68897-0.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Примечания

1. Сюсюн Чен, Саймон Дональдсон, Сун Сунь. «О некоторых последних достижениях в кэлеровой геометрии».
2. Банда Тянь. «Ответ на CDS» и «Дополнительные комментарии по CDS», Исправление: K-стабильность и метрики Кэлера-Эйнштейна.