К-теория

Раздел математики

В математике K-теория , грубо говоря, является изучением кольца, порожденного векторными расслоениями над топологическим пространством или схемой . В алгебраической топологии это теория когомологий , известная как топологическая K-теория . В алгебре и алгебраической геометрии она называется алгебраической K-теорией . Она также является фундаментальным инструментом в области операторных алгебр . Ее можно рассматривать как изучение определенных видов инвариантов больших матриц . ^[1]

K-теория включает в себя построение семейств K - функторов , которые отображают топологические пространства или схемы, или, если говорить еще более общо: любой объект гомотопической категории в ассоциированные кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и в случае с функторами в группы в алгебраической топологии, причина этого функториального отображения заключается в том, что легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примерами результатов, полученных с помощью подхода K-теории, являются теорема Гротендика–Римана–Роха , периодичность Ботта , теорема Атьи–Зингера об индексе и операции Адамса .

В физике высоких энергий К-теория и, в частности, скрученная К-теория появились в теории струн типа II, где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны , напряженности поля Рамона–Рамонда , а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях . В физике конденсированного состояния К-теория использовалась для классификации топологических изоляторов , сверхпроводников и стабильных поверхностей Ферми . Более подробную информацию см. в разделе К-теория (физика) .

завершение Гротендика

Пополнение Гротендика абелева моноида в абелеву группу является необходимым ингредиентом для определения K-теории, поскольку все определения начинаются с построения абелева моноида из подходящей категории и превращения его в абелеву группу посредством этой универсальной конструкции. Для данного абелева моноида пусть будет отношением на , определяемым формулой ${\displaystyle (A,+')}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle A^{2}=A\times A}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})}$

если существует такое, что Тогда множество имеет структуру группы , где: ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.}$ ${\displaystyle G(A)=A^{2}/\sim }$ ${\displaystyle (G(A),+)}$

${\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].}$

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные разности элементов в абелевом моноиде. Эта группа также связана с гомоморфизмом моноида, заданным с помощью , который обладает некоторым универсальным свойством . ${\displaystyle (G(A),+)}$ ${\displaystyle i:A\to G(A)}$ ${\displaystyle a\mapsto [(a,0)],}$

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелева моноида . Здесь мы обозначим единичный элемент через , так что будет единичным элементом First, для любого , так как мы можем установить и применить уравнение из отношения эквивалентности, чтобы получить Это подразумевает ${\displaystyle (A,+)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [(0,0)]}$ ${\displaystyle (G(A),+).}$ ${\displaystyle (0,0)\sim (n,n)}$ ${\displaystyle n\in A}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle n=n.}$

${\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]}$

следовательно, у нас есть аддитивная инверсия для каждого элемента в . Это должно дать нам намек на то, что мы должны думать о классах эквивалентности как о формальных различиях. Другое полезное наблюдение — инвариантность классов эквивалентности при масштабировании: ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle [(a,b)]}$ ${\displaystyle a-b.}$

${\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)}$для любого ${\displaystyle k\in A.}$

Пополнение Гротендика можно рассматривать как функтор , и оно обладает тем свойством, что оно является левым сопряженным к соответствующему забывающему функтору. Это означает, что для заданного морфизма абелева моноида в базовый абелев моноид абелевой группы существует единственный морфизм абелевой группы. ${\displaystyle G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} ,}$ ${\displaystyle U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .}$ ${\displaystyle \phi :A\to U(B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle G(A)\to B.}$

Пример для натуральных чисел

Наглядным примером для рассмотрения является дополнение Гротендика . Мы можем видеть, что Для любой пары мы можем найти минимального представителя , используя инвариантность относительно масштабирования. Например, мы можем видеть из инвариантности относительно масштабирования, что ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+).}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a',b')}$

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

В общем, если тогда ${\displaystyle k:=\min\{a,b\}}$

${\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}$который имеет форму или ${\displaystyle (c,0)}$ ${\displaystyle (0,d).}$

Это показывает, что мы должны рассматривать как положительные целые числа, а как отрицательные целые числа. ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle (0,b)}$

Определения

Существует ряд основных определений К-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Группа Гротендика для компактных хаусдорфовых пространств

Для компактного хаусдорфова пространства рассмотрим множество классов изоморфизма конечномерных векторных расслоений над , обозначаемое и пусть класс изоморфизма векторного расслоения обозначается . Поскольку классы изоморфизма векторных расслоений хорошо ведут себя относительно прямых сумм , мы можем записать эти операции над классами изоморфизма следующим образом: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle [E]}$

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

Должно быть ясно, что — абелев моноид, где единица задается тривиальным векторным расслоением . Затем мы можем применить пополнение Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелева моноида. Это называется K-теорией и обозначается . ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$

Мы можем использовать теорему Серра–Свана и некоторую алгебру, чтобы получить альтернативное описание векторных расслоений над кольцом непрерывных комплекснозначных функций как проективных модулей . Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц . Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид . Его пополнение Гротендика также называется . Один из основных методов вычисления группы Гротендика для топологических пространств исходит из спектральной последовательности Атьи–Хирцебруха , что делает ее очень доступной. Единственными требуемыми вычислениями для понимания спектральных последовательностей являются вычисления группы для сфер . ^{[2] стр. 51–110} ${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{0}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Группа Гротендика векторных расслоений в алгебраической геометрии

Аналогичная конструкция существует при рассмотрении векторных расслоений в алгебраической геометрии . Для нётеровой схемы существует множество всех классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений на . Тогда, как и прежде, прямая сумма классов изоморфизма векторных расслоений корректно определена, давая абелев моноид . Тогда группа Гротендика определяется применением конструкции Гротендика на этом абелевом моноиде. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$

Группа Гротендика когерентных пучков в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии та же конструкция может быть применена к алгебраическим векторным расслоениям над гладкой схемой. Но есть альтернативная конструкция для любой нётеровой схемы . Если мы посмотрим на классы изоморфизма когерентных пучков, мы можем модифицировать по отношению, если есть короткая точная последовательность ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$ ${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

Это дает группу Гротендика , которая изоморфна , если является гладкой. Группа является специальной, поскольку также имеет кольцевую структуру: мы определяем ее как ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

Используя теорему Гротендика–Римана–Роха , имеем, что

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать для теории пересечений . ^[3] ${\displaystyle K_{0}(X)}$

Ранняя история

Можно сказать, что предмет начался с Александра Гротендика (1957), который использовал его для формулировки своей теоремы Гротендика–Римана–Роха . Свое название он получил от немецкого слова Klasse , что означает «класс». ^[4] Гротендику нужно было работать с когерентными пучками на алгебраическом многообразии X. Вместо того чтобы работать непосредственно с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков в качестве генераторов группы, подчиняющихся отношению, которое отождествляет любое расширение двух пучков с их суммой. Полученная группа называется K ( X ), когда используются только локально свободные пучки , или G ( X ), когда все являются когерентными пучками. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика ; K ( X ) имеет когомологическое поведение, а G ( X ) имеет гомологическое поведение.

Если X — гладкое многообразие , то эти две группы совпадают. Если это гладкое аффинное многообразие , то все расширения локально свободных пучков расщепляются, поэтому группа имеет альтернативное определение.

В топологии , применяя ту же конструкцию к векторным расслоениям , Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили K ( X ) для топологического пространства X в 1959 году и, используя теорему о периодичности Ботта, сделали его основой необычной теории когомологий . Он сыграл важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи–Зингера об индексе (около 1962 года). Кроме того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C*-алгебр .

Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал аналогию векторных расслоений с проективными модулями для формулировки гипотезы Серра , которая утверждает, что каждый конечно порождённый проективный модуль над полиномиальным кольцом свободен ; это утверждение верно, но было доказано лишь 20 лет спустя. ( Теорема Суона является ещё одним аспектом этой аналогии.)

Разработки

Другим историческим источником алгебраической К-теории была работа Дж. Х. К. Уайтхеда и других по тому, что позже стало известно как кручение Уайтхеда .

Затем последовал период, в котором появились различные частичные определения функторов высшей K-теории . Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Дэниелом Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 годах. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения алгебраической K-теории пространств, которая связана с изучением псевдоизотопий. Многие современные исследования высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивных когомологий .

Соответствующие построения с участием вспомогательной квадратичной формы получили общее название L-теории . Она является важнейшим инструментом теории хирургии .

В теории струн классификация напряженностей полей Рамона–Рамонда и зарядов стабильных D-бран по К-теории была впервые предложена в 1997 году. ^[5]

Примеры и свойства

К0поля

Самый простой пример группы Гротендика — это группа Гротендика точки для поля . Поскольку векторное расслоение над этим пространством — это просто конечномерное векторное пространство, которое является свободным объектом в категории когерентных пучков, следовательно, проективным, моноид классов изоморфизма соответствует размерности векторного пространства. Легко показать, что тогда группа Гротендика — это . ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

К0артиновой алгебры над полем

Одним из важных свойств группы Гротендика нётеровой схемы является то, что она инвариантна относительно редукции, следовательно . ^[6] Следовательно, группа Гротендика любой артиновой -алгебры является прямой суммой копий , по одной для каждой связной компоненты её спектра. Например, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$$

К0проективного пространства

Одним из наиболее часто используемых вычислений группы Гротендика является вычисление для проективного пространства над полем. Это связано с тем, что числа пересечений проективного могут быть вычислены путем вложения и использования формулы push pull . Это позволяет выполнять конкретные вычисления с элементами в без необходимости явно знать его структуру, поскольку ^[7] Один из методов определения группы Гротендика исходит из ее стратификации, поскольку поскольку группа Гротендика когерентных пучков на аффинных пространствах изоморфна , а пересечение в общем случае является для . ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$ ${\displaystyle K(X)}$ $${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$ $${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}}$$ ${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$

К0проективного расслоения

Другой важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения: ^[8] если задано векторное расслоение ранга r над нётеровой схемой , группа Гротендика проективного расслоения является свободным -модулем ранга r с базисом . Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика . Это делает возможным вычисление или поверхностей Хирцебруха. Кроме того, это можно использовать для вычисления группы Гротендика, наблюдая, что она является проективным расслоением над полем . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

К0сингулярных пространств и пространств с изолированными факторсингулярностями

Один из последних методов вычисления группы Гротендика пространств с малыми особенностями исходит из оценки разницы между и , что вытекает из того факта, что каждое векторное расслоение может быть эквивалентно описано как когерентный пучок. Это делается с использованием группы Гротендика категории сингулярности ^{[9] [10]} из выведенной некоммутативной алгебраической геометрии . Это дает длинную точную последовательность, начинающуюся с , где высшие члены берутся из высшей K-теории . Обратите внимание, что векторные расслоения на сингулярном задаются векторными расслоениями на гладком локусе . Это позволяет вычислить группу Гротендика на взвешенных проективных пространствах, поскольку они обычно имеют изолированные факторсингулярности. В частности, если эти сингулярности имеют группы изотропии, то отображение инъективно, а коядро аннулируется для . [ ^{10] стр. 3} ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle D_{sg}(X)}$ $${\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E\to X_{sm}}$ ${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle G_{i}}$ $${\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}$$ ${\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$ ${\displaystyle n=\dim X}$

К0гладкой проективной кривой

Для гладкой проективной кривой группа Гротендика является для группы Пикара из . Это следует из спектральной последовательности Брауна-Герстена-Квиллена ^{[11] стр. 72} алгебраической K-теории . Для регулярной схемы конечного типа над полем существует сходящаяся спектральная последовательность для множества точек коразмерности, то есть множества подсхем коразмерности , и алгебраического функционального поля подсхемы. Эта спектральная последовательность обладает свойством ^{[11] стр. 80} для кольца Чжоу из , по сути, давая вычисление . Обратите внимание, что поскольку не имеет точек коразмерности , единственными нетривиальными частями спектральной последовательности являются , следовательно Фильтрация Кониво затем может быть использована для определения как искомой явной прямой суммы, поскольку она дает точную последовательность , где левый член изоморфен , а правый член изоморфен . Так как , у нас есть последовательность абелевых групп над расщеплениями, дающая изоморфизм. Обратите внимание, что если — гладкая проективная кривая рода над , то Более того, описанные выше методы, использующие производную категорию особенностей для изолированных особенностей, можно распространить на изолированные особенности Коэна-Маколея , что дает методы вычисления группы Гротендика любой особой алгебраической кривой. Это происходит потому, что редукция дает гладкую кривую в общем виде, а все особенности являются особенностями Коэна-Маколея. ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}$$ ${\displaystyle X^{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x:Y\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k(x)}$ $${\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle K_{0}(C)}$ $${\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0}$$ ${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$ ${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}$$

Приложения

Виртуальные пакеты

Одним из полезных приложений группы Гротендика является определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств, то существует короткая точная последовательность ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

где — конормальное расслоение в . Если у нас есть сингулярное пространство, вложенное в гладкое пространство, мы определяем виртуальное конормальное расслоение как ${\displaystyle C_{Y/X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

Другое полезное применение виртуальных расслоений связано с определением виртуального касательного расслоения пересечения пространств: Пусть — проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения как ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$ ${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ. ^[12]

Персонажи Черна

Классы Черна могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Черна ch определяется как

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

В более общем случае, если — прямая сумма линейных расслоений с первыми классами Черна, то характер Черна определяется аддитивно. ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

Характер Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. Характер Черна используется в теореме Хирцебруха–Римана–Роха .

Эквивариантная К-теория

Эквивариантная алгебраическая K-теория — это алгебраическая K-теория, связанная с категорией эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме с действием линейной алгебраической группы посредством Q-конструкции Квиллена ; таким образом, по определению, ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

В частности, является группой Гротендика . Теория была разработана Р. В. Томасоном в 1980-х годах. ^[13] В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема о локализации. ${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$

Смотрите также

• Периодичность Ботта
• КК-теория
• KR-теория
• Список теорий когомологий
• Алгебраическая К-теория
• Топологическая К-теория
• Операторная К-теория
• Теорема Гротендика–Римана–Роха

Примечания

1. Атья, Майкл (2000). «Прошлое и настоящее теории К». arXiv : math/0012213 .
2. Парк, Эфтон. (2008). Комплексная топологическая K-теория. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-38869-9. OCLC  227161674.
3. Гротендик. «SGA 6 - Формализм пересечений собственных алгебраических схем».
4. Каруби, 2006
5. Рубен Минасян (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7) и Грегори Мур в K-теории и заряде Рамона–Рамонда.
6. "Группа Гротендика для проективного пространства над дуальными числами". mathoverflow.net . Получено 2017-04-16 .
7. "kt.k теория и гомологии - группа Гротендика для проективного пространства над дуальными числами". MathOverflow . Получено 20.10.2020 .
8. Манин, Юрий I (1 января 1969). «Лекции о К-функторе в алгебраической геометрии». Российские математические обзоры . 24 (5): 1–89. Бибкод :1969РуМаС..24....1М. дои : 10.1070/rm1969v024n05abeh001357. ISSN  0036-0279.
9. "ag.algebraic geometry - Является ли алгебраическая группа Гротендика взвешенного проективного пространства конечно порожденной?". MathOverflow . Получено 20.10.2020 .
10. Павич, Небойша; Шиндер, Евгений (2021). «K-теория и категория сингулярности факторсингулярностей». Annals of K-Theory . 6 (3): 381–424. arXiv : 1809.10919 . doi : 10.2140/akt.2021.6.381. S2CID  85502709.
11. Шринивас, В. (1991). Алгебраическая K-теория. Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-1-4899-6735-0. OCLC  624583210.
12. Концевич, Максим (1995), «Перечисление рациональных кривых с помощью действий тора», The moduli space of curves (Texel Island, 1994) , Progress in Mathematics, т. 129, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 335–368, arXiv : hep-th/9405035 , MR  1363062
13. Чарльз А. Вайбель, Роберт В. Томасон (1952–1995).

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989). K-теория . Advanced Book Classics (2-е изд.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-09394-0. МР  1043170.
• Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по теории К. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. МР  2182598.
• Park, Efton (2008). Комплексная топологическая K-теория . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 111. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85634-8.
• Свон, Р. Г. (1968). Алгебраическая К-теория . Конспект лекций по математике. Том 76. Springer . ISBN 3-540-04245-8.
• Каруби, Макс (1978). K-теория: введение . Классика математики. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2.
• Каруби, Макс (2006). "K-теория. Элементарное введение". arXiv : math/0602082 .
• Хэтчер, Аллен (2003). «Векторные расслоения и К-теория».
• Weibel, Charles (2013). K-book: введение в алгебраическую K-теорию . Grad. Studies in Math. Vol. 145. American Math Society. ISBN 978-0-8218-9132-2.

Внешние ссылки

• Гротендик-Риман-Рох
• Страница Макса Каруби
• Архив препринтов теории К