пространство ЛП

Функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства p-нормы

В математике пространства Lp — это функциональные пространства , определенные с использованием естественного обобщения p ^- нормы для конечномерных векторных пространств . Их иногда называют пространствами Лебега , по имени Анри Лебега (Dunford & Schwartz 1958, III.3), хотя, согласно группе Бурбаки (Bourbaki 1987), они были впервые представлены Фриджесом Риссом (Riesz 1910).

Пространства Lp образуют важный класс банаховых пространств ^в функциональном анализе и топологических векторных пространств . Из-за своей ключевой роли в математическом анализе пространств меры и вероятности пространства Лебега используются также при теоретическом обсуждении проблем физики, статистики, экономики, финансов, техники и других дисциплин.

Приложения

Статистика

В статистике меры центральной тенденции и статистической дисперсии , такие как среднее значение , медиана и стандартное отклонение , могут быть определены в терминах показателей, а меры центральной тенденции могут быть охарактеризованы как решения вариационных задач . ${\displaystyle L^{p}}$

В штрафной регрессии «штраф L1» и «штраф L2» относятся к наказанию либо нормы вектора значений параметров решения (т. е. суммы его абсолютных значений), либо его нормы (его евклидовой длины ). Методы, использующие штраф L1, такие как LASSO , поощряют разреженные решения (где многие параметры равны нулю). ^[1] В эластичной сетевой регуляризации используется штрафной член, который представляет собой комбинацию нормы и нормы вектора параметров. ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Неравенство Хаусдорфа – Янга

Преобразование Фурье для действительной прямой (или, для периодических функций , см. ряд Фурье ), отображается в (или в ) соответственно, где и Это является следствием интерполяционной теоремы Рисса-Торина и уточняется с помощью преобразования Хаусдорфа-Янга. неравенство . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

Напротив, если преобразование Фурье не отображается в ${\displaystyle p>2,}$ ${\displaystyle L^{q}.}$

гильбертовы пространства

Гильбертовые пространства играют центральную роль во многих приложениях, от квантовой механики до стохастического исчисления . Пространства и оба являются гильбертовыми пространствами. Фактически, выбрав гильбертовский базис , т. е. максимальное ортонормированное подмножество любого гильбертова пространства, можно увидеть, что каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно (тому же , что и выше), т. е. гильбертовому пространству типа ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

p -норма в конечных размерностях

Иллюстрации единичных кругов (см. также суперэллипс ) основаны на различных -нормах (каждый вектор от начала координат до единичного круга имеет длину, равную единице, длина вычисляется по формуле длины соответствующего ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Евклидова длина вектора в -мерном вещественном векторном пространстве определяется евклидовой нормой : ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}$$

Евклидово расстояние между двумя точками — это длина прямой между двумя точками. Во многих ситуациях евклидово расстояние подходит для определения фактических расстояний в данном пространстве. Напротив, рассмотрим водителей такси на сеточном плане улиц, которым следует измерять расстояние не с точки зрения длины прямой линии до пункта назначения, а с точки зрения прямолинейного расстояния , которое учитывает, что улицы либо ортогональны, либо параллельны друг другу. другой. Класс -норм обобщает эти два примера и имеет множество приложений во многих областях математики , физики и информатики . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \|x-y\|_{2}}$ ${\displaystyle p}$

Определение

Для действительного числа -норма или -норма определяется формулой ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

Евклидова норма сверху попадает в этот класс и является -нормой, а -нормой является норма, соответствующая прямолинейному расстоянию . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$

-норма или максимальная норма (или единая норма) является пределом -норм для . Оказывается, этот предел эквивалентен следующему определению : ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\to \infty .}$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}$$

См. L- бесконечность .

Поскольку все -нормы и максимальная норма, определенные выше, действительно удовлетворяют свойствам «функции длины» (или нормы ), а именно: ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$

• только нулевой вектор имеет нулевую длину,
• длина вектора положительно однородна относительно умножения на скаляр ( положительная однородность ), и
• длина суммы двух векторов не больше суммы длин векторов ( неравенство треугольника ).

Абстрактно говоря, это означает, что вместе с -нормой есть нормированное векторное пространство . Более того, оказывается, что это пространство полно, что делает его банаховым . Это банахово пространство есть -пространство над ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

Отношения между p -нормами

Расстояние по сетке или прямолинейное расстояние (иногда называемое « манхэттенским расстоянием ») между двумя точками никогда не бывает короче длины отрезка линии между ними (евклидово расстояние или расстояние «по прямой линии»). Формально это означает, что евклидова норма любого вектора ограничена его 1-нормой:

$${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}$$

Этот факт обобщается на -нормы в том смысле, что -норма любого заданного вектора не растет с : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}$для любого вектора и действительных чисел и (Фактически это остается верным для и .) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

Для противоположного направления известно следующее соотношение между -нормой и -нормой: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$

$${\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}$$

Это неравенство зависит от размерности основного векторного пространства и следует непосредственно из неравенства Коши – Шварца . ${\displaystyle n}$

В общем случае для векторов, где ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle 0<r<p:}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}$$

Это следствие неравенства Гёльдера .

Когда 0 < р < 1

Астроид , единичный круг в метрике ${\displaystyle p={\tfrac {2}{3}}}$

За формулу _ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>1,}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$$

однородную функциюсубаддитивной ${\displaystyle 0<p<1;}$

$${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$$

F-норму ${\displaystyle p.}$

Следовательно, функция

$${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$$

метрикупространство ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}.}$

Хотя -единичный шар вокруг начала координат в этой метрике «вогнутый», топология, определяемая метрикой , представляет собой обычную топологию векторного пространства и, следовательно , является локально выпуклым топологическим векторным пространством. Помимо этого качественного утверждения, количественный способ измерения отсутствия выпуклости состоит в том, чтобы обозначить наименьшую константу такую, что скалярное кратное -единичного шара содержит выпуклую оболочку, равную Тот факт, что при фиксированном мы имеем ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle C_{p}(n)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\,B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p},}$ ${\displaystyle B_{n}^{1}.}$ ${\displaystyle p<1}$

$${\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }$$

^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Когда р = 0

Есть одна норма и другая функция, называемая «нормой» (в кавычках). ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle \ell _{0}}$

Математическое определение нормы было установлено Теорией линейных операций Банаха . Пространство последовательностей имеет полную метрическую топологию, обеспечиваемую F-нормой. ${\displaystyle \ell _{0}}$

$${\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}$$

« Метрических линейных пространствах»^[2] ${\displaystyle \ell _{0}}$

Другая функция была названа Дэвидом Донохо «нормой» ^— чьи кавычки предупреждают, что эта функция не является надлежащей нормой — это количество ненулевых элементов вектора. ^Многие авторы злоупотребляют терминологией ^, опуская кавычки. Определяющая нулевая «норма» равна ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle 0^{0}=0,}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$$

Анимированная гифка p-норм от 0,1 до 2 с шагом 0,05.

Это не норма , поскольку оно неоднородно . Например, масштабирование вектора на положительную константу не меняет «норму». Несмотря на эти дефекты в качестве математической нормы, ненулевая «норма» счета находит применение в научных вычислениях , теории информации и статистике , особенно в сжатом измерении при обработке сигналов и вычислительном гармоническом анализе . Несмотря на то, что соответствующая метрика, известная как расстояние Хэмминга , не является нормой , она является допустимым расстоянием, поскольку для расстояний не требуется однородность. ${\displaystyle x}$

p -норма в бесконечных измерениях и ℓ p пространствах

Пространство последовательностей ℓ p

-норма может быть расширена до векторов, которые имеют бесконечное число компонентов ( последовательностей ), что дает пространство. В качестве особых случаев оно содержит: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

• ${\displaystyle \ell ^{1},}$пространство последовательностей, ряды которых абсолютно сходятся ,
• ${\displaystyle \ell ^{2},}$пространство суммируемых с квадратом последовательностей, которое является гильбертовым пространством , и
• ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$пространство ограниченных последовательностей .

Пространство последовательностей имеет естественную структуру векторного пространства за счет применения сложения и скалярного умножения координаты на координату. Явно векторная сумма и скалярное действие для бесконечных последовательностей действительных (или комплексных ) чисел задаются формулой:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$$

Определите -норму: ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$$

Здесь возникает сложность, а именно то, что ряд справа не всегда сходится, так, например, последовательность, состоящая только из единиц, будет иметь бесконечную -норму для . Пространство тогда определяется как множество всех бесконечных последовательностей действительные (или комплексные) числа такие, что -норма конечна. ${\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Можно проверить, что с ростом множество увеличивается. Например, последовательность ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

$${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$$

${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p>1,}$

$${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$$

гармонический ряд ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle p>1.}$

Также можно определить -норму с помощью супремума : ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$$

^[3] ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}$$

${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

Определенная таким образом -норма на действительно является нормой и вместе с этой нормой является банаховым пространством . Полностью общее пространство получается, как показано ниже, путем рассмотрения векторов не только с конечным или счетно-бесконечным числом компонентов, но и с « произвольным числом компонентов »; другими словами, функции . Для определения -нормы используется интеграл вместо суммы . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Общее ℓ p -пространство

По полной аналогии с предыдущим определением можно определить пространство над общим набором индексов (и ) как ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$

$${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}$$

«Безусловная сходимость»

$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$$

банаховолокально выпуклый прямой предел^[4] ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Ибо -норма даже индуцируется каноническим скалярным произведением , называемым ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$Евклидово внутреннее произведение , что означает, что оносправедливо для всех векторов.Это внутреннее произведение можно выразить через норму, используятождество поляризации. Понему можно определить ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$

$${\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}$$

пространством мерыинтегрируемых с квадратом функций ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}$$

Теперь рассмотрим случай Определить ^{[примечание 1]} ${\displaystyle p=\infty .}$

$${\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}$$

^{[5] [примечание 2]} ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}$$

Набор индексов можно превратить в пространство с мерой , придав ему дискретную σ-алгебру и считающую меру . Тогда пространство является лишь частным случаем более общего -пространства (определенного ниже). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

L p пространства и интегралы Лебега

Пространство можно определить как пространство измеримых функций, для которых -я степень абсолютного значения интегрируема по Лебегу , где идентифицируются функции, которые согласуются почти всюду. В более общем смысле, пусть это пространство с мерой и ^{[примечание 3]} Когда действительно (т. е. ), рассмотрим набор всех измеримых функций от до или чье абсолютное значение , возведенное в --ю степень, имеет конечный интеграл или в символах: ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\neq \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}$$

Чтобы определить набор, напомним, что две функции и, определенные на, называются равными почти всюду , записанные почти всюду , если набор измерим и имеет нулевую меру. Точно так же измеримая функция (и ее абсолютное значение ) почти всюду ограничена (или доминируется ) действительным числом, записанным ae , если (обязательно) измеримое множество имеет нулевую меру. Пространство — это совокупность всех измеримых функций , ограниченных почти всюду (некоторым действительным ), и определяется как нижняя грань этих границ: ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle |f|\leq C}$ ${\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$

$${\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}$$

существенная верхняя граница^{[примечание 4]} ${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}$$

Например, если — измеримая функция, равная почти всюду ^{[примечание 5]} , то для каждого и, следовательно, для всех ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p.}$

Для каждого положительного значения значение измеримой функции и ее абсолютное значение всегда одинаковы (то есть для всех ), и поэтому измеримая функция принадлежит тогда и только тогда, когда ее абсолютное значение принадлежит. По этой причине многие формулы, включающие -нормы, приводятся только для неотрицательных вещественных функций. Рассмотрим, например, тождество , которое справедливо всякий раз, когда оно измеримо, действительно и (здесь, когда ). Требование неотрицательности можно удалить, заменив на , что дает Обратите внимание, в частности, что когда конечен, то формула связывает -норму с -нормой. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$

Полунормированное пространство интегрируемых функций -й степени ${\displaystyle p}$

Каждый набор функций образует векторное пространство , когда сложение и скалярное умножение определяются поточечно. ^{[примечание 6]} То, что сумма функций, интегрируемых в второй степени , и снова интегрируемая в -й степени, следует из ^{[доказательства 1]} , хотя это также является следствием неравенства Минковского. ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$

$${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$

неравенству треугольникаабсолютно однородно ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f.}$

Абсолютная однородность , неравенство треугольника и неотрицательность являются определяющими свойствами полунормы . Таким образом , является полунормой, а набор интегрируемых в -й степени функций вместе с функцией определяет полунормированное векторное пространство . В общем, полунорма не является нормой , поскольку могут существовать измеримые функции , которые удовлетворяют , но не тождественно равны ^{[примечанию 5]} ( является нормой тогда и только тогда, когда таковая не существует). ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$

Нулевые наборы -полунорм ${\displaystyle p}$

Если измеримо и равно п.в. , то для всех положительных. С другой стороны, если — измеримая функция, для которой существует такая , что то почти всюду. Если конечно, то это следует из случая и формулы, упомянутых выше. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$

Таким образом, если положительна и является какой-либо измеримой функцией, то тогда и только тогда, когда почти всюду . Поскольку в правой части ( а.е.) не упоминается, отсюда следует, что все они имеют одинаковый набор нулей (он не зависит от ). Итак, обозначим это общее множество через ${\displaystyle p\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}$$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$

Факторно-векторное пространство

Как и любая полунорма , полунорма индуцирует норму (определенную ниже) в каноническом фактор-векторном пространстве по своему векторному подпространству. Это нормированное фактор-пространство называется пространством Лебега и является предметом данной статьи. Начнем с определения фактор-векторного пространства. ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$

При любом смежном классе состоят все измеримые функции , равные почти всюду . Набор всех смежных классов, обычно обозначаемый ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},}$$

${\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}$

Два смежных класса равны тогда и только тогда (или, что то же самое, ), что происходит тогда и только тогда, когда почти всюду; если это так, то и идентифицируются в факторпространстве. ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

-норма в фактор-векторном пространстве ${\displaystyle p}$

Учитывая любое значение полунормы смежного класса , оно постоянно и равно, чтобы обозначить это уникальное значение так, чтобы: ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle \|f\|_{p};}$ ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}$

$${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}$$

фактор-векторном пространстве ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$

$${\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}$$

нормой ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$-норма ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$

Пространство Лебега ${\displaystyle L^{p}}$

Нормированное векторное пространство называется пространством или пространством Лебега интегрируемых функций -й степени, и оно является банаховым пространством для каждого (это означает, что это полное метрическое пространство , результат, который иногда называют теоремой Рисса-Фишера ). Когда понимается лежащее в основе пространство меры, его часто сокращают или даже просто . В зависимости от автора, индексная запись может обозначать либо ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}$

Если полунорма на оказывается нормой (что происходит тогда и только тогда, когда ), то нормированное пространство будет линейно изометрически изоморфно нормированному фактор-пространству через каноническое отображение (поскольку ); другими словами, они будут с точностью до линейной изометрии одним и тем же нормированным пространством, и поэтому их обоих можно назвать « пространством». ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}$ ${\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Приведенные выше определения обобщаются на пространства Бохнера .

В общем, этот процесс невозможно повернуть вспять: не существует последовательного способа определить «канонического» представителя каждого смежного класса по For , однако существует теория лифтов , позволяющая такое восстановление. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L^{\infty },}$

Особые случаи

Подобно пространствам , это единственное гильбертово пространство среди пространств. В сложном случае внутренний продукт определяется выражением ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$

Дополнительная структура внутреннего продукта позволяет создать более богатую теорию с приложениями, например, к рядам Фурье и квантовой механике . Функции в иногда называют функциями, интегрируемыми с квадратом , функциями, суммируемыми с квадратом или функциями, суммируемыми с квадратом , но иногда эти термины зарезервированы для функций, интегрируемых с квадратом в каком-то другом смысле, например, в смысле интеграла Римана (Титчмарш, 1976). . ${\displaystyle L^{2}}$

Если мы используем комплексные функции, пространство представляет собой коммутативную C*-алгебру с поточечным умножением и сопряжением. Для многих пространств с мерой, включая все сигма-конечные, это фактически коммутативная алгебра фон Неймана . Элемент определяет ограниченный оператор в любом пространстве путем умножения . ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Ибо пространства являются частным случаем пространств, когда они состоят из натуральных чисел и являются считающей мерой. В более общем смысле, если рассматривать какое-либо множество с считающей мерой, результирующее пространство обозначается. Например, пространство - это пространство всех последовательности, индексированные целыми числами, и при определении -нормы в таком пространстве суммируют по всем целым числам. Пространство , в котором находится множество элементов, имеет свою -норму, определенную выше. Как любое гильбертово пространство, каждое пространство линейно изометрично подходящему, где мощность множества равна мощности произвольного гильбертова базиса для этого конкретного ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(S).}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(n),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(I),}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L^{2}.}$

Свойства пространств Lp _

Как и в дискретном случае, если существует такое, что то ${\displaystyle q<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{\infty }(S,\mu )\cap L^{q}(S,\mu ),}$

$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.}$$

Неравенство Гёльдера

Предположим, удовлетворяется (где ). Если и то и ^[6] ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~0}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}$

$${\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}$$

Это неравенство, называемое неравенством Гёльдера , является в некотором смысле оптимальным ^[6] , поскольку if (so ) и является измеримой функцией такой, что ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty }$$

верхняя грань ${\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}$$

Неравенство Минковского

Неравенство Минковского , которое утверждает, что удовлетворяет неравенству треугольника , можно обобщить: если измеримая функция неотрицательна, то для всех ^[7] ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$

$${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .}$$

Атомный разложение

Если тогда каждое неотрицательное число имеет атомное разложение , ^[8] означает, что существуют последовательность неотрицательных действительных чисел и последовательность неотрицательных функций, называемых атомами , носители которых представляют собой попарно непересекающиеся множества меры такие, что ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}$

$${\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,}$$

${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

$${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,}$$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,}$$

^[8][8] ${\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}$$

Атомное разложение может быть задано явно, сначала определив для каждого целого числа ^[8] ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

$${\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}}$$

нижняя грань ${\displaystyle t_{n};}$ ${\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}$

$${\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$$

индикаторную функцию^[8] ${\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}$ ${\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle t_{n}=0}$ ${\displaystyle t_{n+1}=0}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n})=\varnothing }$ ${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}$ ${\displaystyle r_{n}=0}$

Дополнительная кумулятивная функция распределения , которая использовалась для определения, также появляется в определении слабой -нормы (приведенном ниже) и может использоваться для выражения -нормы ( для ) в виде интеграла ^[8] ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)}$ ${\displaystyle |f|=f}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,}$$

${\displaystyle (0,\infty ).}$

Двойные пространства

Двойственное пространство (банахово пространство всех непрерывных линейных функционалов) для for имеет естественный изоморфизм с где такое, что (т.е. ). Этому изоморфизму соответствует функционал , определяемый формулой ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{q}(\mu ),}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}}$

$${\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu }$$

${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$

Тот факт, что оно корректно определено и непрерывно, следует из неравенства Гёльдера . — линейное отображение, являющееся изометрией в силу экстремального случая неравенства Гёльдера. Также можно показать (например, с помощью теоремы Радона–Никодима , см. [ ^9] ), что любое можно выразить таким образом: т. е. на . Поскольку онон и изометричен, это изоморфизм банаховых пространств . Имея в виду этот (изометрический) изоморфизм, обычно говорят просто, что это непрерывное двойственное пространство ${\displaystyle \kappa _{p}(g)}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle G\in L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$

Ибо пространство рефлексивно . _ Пусть как указано выше, и пусть – соответствующая линейная изометрия. Рассмотрим отображение от до , полученное композицией с транспонированием (или сопряжением) обратного ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )^{**},}$ ${\displaystyle \kappa _{q}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:}$

$${\displaystyle j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}}$$

Это отображение совпадает с каноническим вложением в его бидуал. Более того, отображение представляет собой композицию двух онто-изометрий, и это доказывает рефлексивность. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle j_{p}}$

Если мера на сигма -конечна , то двойственное изометрически изоморфно (точнее, отображение, соответствующее является изометрией из на ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )^{*}.}$

Двойник тоньше. Элементы можно отождествить с ограниченными знаковыми конечно- аддитивными мерами , которые абсолютно непрерывны относительно пространства. См . подробнее. Если принять аксиому выбора, это пространство будет намного больше, за исключением некоторых тривиальных случаев. Однако Сахарон Шелах доказал, что существуют относительно непротиворечивые расширения теории множеств Цермело – Френкеля (ZF + DC + «Каждое подмножество действительных чисел обладает свойством Бэра »), в которых двойственным является ^[10] ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Вложения

В разговорной речи, if then содержит функции, которые более локально сингулярны, тогда как элементы могут быть более разбросаны. Рассмотрим меру Лебега на полупрямой. Непрерывная функция в может взорваться вблизи , но должна достаточно быстро затухать к бесконечности. С другой стороны, непрерывные функции вообще не обязательно затухают, но и разрушения не допускаются. Точный технический результат заключается в следующем. ^[11] Предположим, что Тогда: ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle 0<p<q\leq \infty .}$

1. ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )}$тогда и только тогда, когда не содержит множеств конечной, но сколь угодно большой меры ( например, любой конечной меры ). ${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )}$тогда и только тогда, когда не содержит наборов ненулевой, но сколь угодно малой меры ( например, считающей меры ). ${\displaystyle S}$

Ни одно из условий не выполняется для вещественной прямой с мерой Лебега, тогда как оба условия выполняются для считающей меры на любом конечном множестве. В обоих случаях вложение является непрерывным, поскольку тождественный оператор представляет собой ограниченное линейное отображение от до в первом случае и до во втором. (Это следствие теоремы о замкнутом графике и свойств пространств.) Действительно, если область имеет конечную меру, можно сделать следующее явное вычисление, используя неравенство Гёльдера ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}}$$

$${\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.}$$

Константа, фигурирующая в приведенном выше неравенстве, оптимальна в том смысле, что операторная норма тождества в точности равна ${\displaystyle I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )}$

$${\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}$$

${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle \mu }$

Плотные подпространства

На протяжении всего этого раздела мы предполагаем, что ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$

Пусть – пространство с мерой. Интегрируемая простая функция на имеет один из видов ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$$

индикаторной функциейвекторное ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle A_{j}\in \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}$ ${\displaystyle A_{j},}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$

Больше можно сказать, когда — нормальное топологическое пространство и его борелевская 𝜎–алгебра , т. е. наименьшая 𝜎–алгебра подмножеств, содержащих открытые множества . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$

Предположим , что это открытое множество. Можно доказать, что для каждого борелевского множества, содержащегося в и для каждого, существуют замкнутое множество и открытое множество такие, что ${\displaystyle V\subseteq S}$ ${\displaystyle \mu (V)<\infty .}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon }$$

Отсюда следует , что существует непрерывная функция Урысона , которая все время продолжается с ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S\setminus U,}$

$${\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.}$$

Если можно накрыть возрастающей последовательностью открытых множеств, имеющих конечную меру, то пространство -интегрируемых непрерывных функций плотно в . Точнее, можно использовать ограниченные непрерывные функции, обращающиеся в нуль вне одного из открытых множеств. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (V_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle V_{n}.}$

Это справедливо, в частности, тогда и когда является мерой Лебега. Пространство непрерывных и финитных функций плотно в Аналогично, пространство интегрируемых ступенчатых функций плотно в этом пространстве является линейной оболочкой индикаторных функций ограниченных интервалов, когда ограниченных прямоугольников, когда и, в более общем смысле, произведений ограниченных интервалов. ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}).}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d});}$ ${\displaystyle d=1,}$ ${\displaystyle d=2}$

Некоторые свойства общих функций в сначала доказываются для непрерывных и финитных функций (иногда для ступенчатых функций), а затем распространяются по плотности на все функции. Например, так доказывается, что переводы непрерывны в следующем смысле: ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),}$

$${\displaystyle \forall f\in L^{p}\left(\mathbb {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbb {R} ^{d}\ni t\to 0,}$$

$${\displaystyle (\tau _{t}f)(x)=f(x-t).}$$

Закрытые подпространства

Если - любое положительное действительное число, является вероятностной мерой на измеримом пространстве (так что ) и является векторным подпространством, то является замкнутым подпространством тогда и только тогда, когда конечномерно ^[12] ( выбиралось независимо от ). В этой теореме, принадлежащей Александру Гротендику ^[12] , крайне важно, чтобы векторное пространство было подмножеством, поскольку можно построить бесконечномерное замкнутое векторное подпространство (то есть даже подмножество ), где Мера Лебега на единичной окружности и является вероятностной мерой, полученной в результате деления ее на ее массу ^[12] ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V\subseteq L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)}$ ${\displaystyle L^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda (S^{1})=2\pi .}$

Л п (0 < р < 1)

Пусть – пространство с мерой. If then можно определить, как указано выше: это фактор-векторное пространство тех измеримых функций, что ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}$$

Как и раньше, мы можем ввести -норму , но в этом случае она не удовлетворяет неравенству треугольника и определяет только квазинорму . Из неравенства, справедливого для, следует, что (Рудин 1991, §1.47) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p},}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle (a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},}$ ${\displaystyle a,b\geq 0,}$

$${\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}$$

$${\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}}$$

полным^[13] ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$ ${\displaystyle p\geq 1.}$

$${\displaystyle B_{r}=\{f\in L^{p}:N_{p}(f)<r\}}$$

^[13]ограниченная^[13]нормированное пространство ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}=r^{1/p}B_{1}}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

В этом случае удовлетворяется обратное неравенство Минковского , то есть для ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle u,v\in L^{p}}$

$${\displaystyle {\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}$$

Этот результат может быть использован для доказательства неравенств Кларксона , которые, в свою очередь, используются для установления равномерной выпуклости пространств для (Адамс и Фурнье, 2003). ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

Пространство for является F-пространством : оно допускает полную трансляционно-инвариантную метрику, относительно которой операции векторного пространства непрерывны. Это прототипный пример F-пространства , которое для большинства разумных пространств с мерой не является локально выпуклым : в каждом открытом выпуклом множестве, содержащем функцию, неограничено для -квазинормы; следовательно, вектор не обладает фундаментальной системой выпуклых окрестностей. В частности, это верно, если пространство с мерой содержит бесконечное семейство непересекающихся измеримых множеств конечной положительной меры. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$

Единственное непустое выпуклое открытое множество в — это все пространство (Рудин 1991, §1.47). Как частное следствие, не существует ненулевых непрерывных линейных функционалов в непрерывном двойственном пространстве, являющемся нулевым пространством. В случае считающей меры натуральных чисел (образующей пространство последовательностей ) ограниченные линейные функционалы на - это в точности те, которые ограничены, а именно те, которые заданы последовательностями в . Хотя он содержит нетривиальные выпуклые открытые множества, он не может иметь их достаточно, чтобы дать основу для топологии. ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]);}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Ситуация отсутствия линейных функционалов крайне нежелательна для целей анализа. В случае меры Лебега on, а не for , принято работать с пространством Харди H ^p , когда это возможно, поскольку оно имеет довольно много линейных функционалов: достаточно, чтобы отличать точки друг от друга. Однако теорема Хана–Банаха по-прежнему неверна в H ^p для (Duren 1970, §7.5). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle p<1}$

L 0 , пространство измеримых функций

Обозначается векторное пространство (классов эквивалентности) измеримых функций на (Калтон, Пек и Робертс, 1984). По определению оно содержит все и наделено топологией сходимости по мере . Когда является вероятностной мерой (т. е. ), этот режим сходимости называется сходимостью по вероятности . Пространство всегда является топологической абелевой группой, но является топологическим векторным пространством только в том случае, если . Это происходит потому, что скалярное умножение непрерывно тогда и только тогда, когда . Если -конечно , то более слабая топология локальной сходимости по мере является F-пространством, т. е. полностью метризуемым топологическим векторным пространством. Более того, эта топология изометрична глобальной сходимости по мере при подходящем выборе вероятностной меры . ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{0}(S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=1}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

Описание проще, когда конечно. Если – конечная мера на функции , то допускает сходимость по мере следующая фундаментальная система окрестностей ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ),}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.}$$

Топологию можно определить любой метрикой вида ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$

Леви ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ ${\displaystyle \varphi (t)>0}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \varphi (t)=\min(t,1).}$ ${\displaystyle L^{0}.}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty }$ ${\displaystyle L^{0}}$

Для бесконечной меры Лебега определение фундаментальной системы окрестностей можно изменить следующим образом ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

$${\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}$$

Полученное пространство с топологией локальной сходимости по мере изоморфно пространству для любой положительно интегрируемой плотности ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )}$ ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g(x)\,\mathrm {d} \lambda (x)),}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g.}$

Обобщения и расширения

Слабый Л п

Пусть - пространство меры и измеримая функция с действительными или комплексными значениями . Функция распределения определяется формулой ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

$${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.}$$

Если при некоторых с то по неравенству Маркова , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$

$${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}$$

Говорят, что функция находится в пространстве слабым или существует такая константа, что для всех ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p,w}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle t>0,}$

$${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$$

Наилучшей константой для этого неравенства является -норма и обозначается ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f,}$

$${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}$$

Слабые совпадают с пространствами Лоренца , поэтому для их обозначения также используется это обозначение. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p,\infty },}$

-норма не является истинной нормой, поскольку неравенство треугольника не выполняется. Тем не менее, для в ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu ),}$

$${\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}$$

${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).}$

Фактически, у человека есть

$${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),}$$

${\displaystyle 1/p}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}$$

Согласно соглашению, что две функции равны, если они равны почти всюду, тогда пространства полны (Grafakos 2004). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$

Для любого выражения ${\displaystyle 0<r<p}$

$${\displaystyle \||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}$$

банаховыми пространствами ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle p>1,}$ ${\displaystyle r=1.}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Основным результатом, использующим -пространства , является интерполяционная теорема Марцинкевича , которая имеет широкие приложения к гармоническому анализу и изучению сингулярных интегралов . ${\displaystyle L^{p,w}}$

Взвешенные пространства L p

Как и раньше, рассмотрим пространство с мерой. Пусть – измеримая функция. - Взвешенное пространство определяется как где означает меру , определяемую ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle w:S\to [a,\infty ),a>0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),}$ ${\displaystyle w\,\mathrm {d} \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}$$

или, в терминах производной Радона–Никодима , норма для явно выражена ${\displaystyle w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$

$${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}$$

Как -пространства, весовые пространства не имеют ничего особенного, поскольку равны Но они являются естественной основой для некоторых результатов гармонического анализа (Grafakos 2004); они появляются, например, в теореме Макенхаупта : для классического преобразования Гильберта определено, где обозначает единичный круг и меру Лебега; (нелинейный) максимальный оператор Харди – Литтлвуда ограничен по теореме Макенхаупта, описывает веса такие, что преобразование Гильберта остается ограниченным, а максимальный оператор на ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).}$

L p пространства на многообразиях

Можно также определить пространства на многообразии, называемые внутренними пространствами многообразия, используя плотности . ${\displaystyle L^{p}(M)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Векторнозначные пространства L p

Учитывая пространство с мерой и локально выпуклое пространство (здесь предполагается, что оно полное ), можно определить пространства -интегрируемых -значных функций несколькими способами. Один из способов — определить пространства интегрируемых по Бохнеру и интегрируемых по Петтису функций, а затем снабдить их локально выпуклыми TVS-топологиями , которые являются (каждая по-своему) естественным обобщением обычной топологии. Другой способ включает в себя топологические тензорные произведения с Элементом векторного пространства являются конечные суммы простых тензоров , где каждый простой тензор может быть отождествлен с отправляющей функцией. Это тензорное произведение затем наделяется локально выпуклой топологией, которая превращает его в топологическое тензорное произведение . В общем, ни одно из этих пространств не является полным, поэтому строятся их пополнения , которые соответственно обозначаются и ( это аналогично тому , как Пространство скалярнозначных простых функций, полунормированных любым, не является полным, поэтому строится пополнение, которое после факторизации по изометрически изоморфно банаховому пространству ). Александр Гротендик показал, что когда - ядерное пространство (введенное им понятие), то эти две конструкции соответственно канонически TVS-изоморфны упомянутым ранее пространствам интегральных функций Бохнера и Петтиса; короче говоря, они неотличимы. ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},}$ ${\displaystyle f\times e}$ ${\displaystyle \Omega \to E}$ ${\displaystyle x\mapsto ef(x).}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle \ker \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$

Смотрите также

• Пространство Бохнера  - Тип топологического пространства.
• Пространство Орлича  - топологическое пространствоPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Пространство Харди  – концепция комплексного анализа
• Теорема Рисса – Торина  - Теорема об операторной интерполяции
• Среднее по Гельдеру  – корень N-й степени из среднего арифметического заданных чисел, возведенный в степень n.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Пространство Гёльдера  - тип непрерывности комплекснозначной функции.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Среднеквадратичное значение  – квадратный корень из среднего квадратического.
• Наименьшие абсолютные отклонения  – Статистический критерий оптимальности
• Локально интегрируемая функция ${\displaystyle \left(L_{\text{loc}}^{1}\right)}$
• ${\displaystyle L^{p}(G)}$пространства над локально компактной группой ${\displaystyle G}$  - Двойственность для локально компактных абелевых групп
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов  – метод расчета периодичности
• Список банаховых пространств
• Расстояние Минковского  - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• L-бесконечность  - Пространство ограниченных последовательностей
• L ^п сумма

Примечания

1. Хасти, Т.Дж., Тибширани, Р., и Уэйнрайт, М.Дж. (2015). Статистическое обучение с разреженностью: лассо и обобщения.
2. Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: Линейные системы , Математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), том. 29 (Перевод с польского под ред. Евы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: Издательство Д. Рейделя; PWN — Польское научное издательство, стр. xvi+524, номер номера : 10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN. 90-277-2186-6, МР  0920371, OCLC  13064804^{[ нужна страница ]}
3. Мэддокс, IJ (1988), Элементы функционального анализа (2-е изд.), Кембридж: CUP, стр. 16
4. Рафаэль Дамен, Габор Лукач: Длинные копределы топологических групп I: Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. в: Топология и ее приложения Nr. 270, 2020. Пример 2.14.
5. Гарлинг, DJH (2007). Неравенства: путешествие в линейный анализ . Издательство Кембриджского университета. п. 54. ИСБН 978-0-521-87624-7.
6. Бахури, Чемин и Данчин, 2011, стр. 1–4.
7. Бахури, Чемин и Данчин 2011, стр. 4.
8. Bahouri, Chemin & Danchin 2011, стр. 7–8.
9. Рудин, Уолтер (1980), Реальный и комплексный анализ (2-е изд.), Нью-Дели: Тата МакГроу-Хилл, ISBN 9780070542341, Теорема 6.16
10. Шехтер, Эрик (1997), Справочник по анализу и его основам , Лондон: Academic Press Inc.См. разделы 14.77 и 27.44–47.
11. Виллани, Альфонсо (1985), «Еще одно замечание о включении L ^p ( µ ) ⊂ L ^q ( µ ) », Amer. Математика. Ежемесячно , 92 (7): 485–487, номер номера : 10.2307/2322503, JSTOR  2322503, MR  0801221.
12. Рудин 1991, стр. 117–119.
13. Рудин 1991, с. 37.

1. Условие не эквивалентно конечному, если только ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|<+\infty .}$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing .}$
2. Если тогда ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|=-\infty .}$
3. Определения и могут быть распространены на всех (а не только на ), но только тогда, когда это гарантированно является нормой (хотя это квазиполунорма для всех ). ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,}$
4. Если тогда ${\displaystyle \mu (S)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {esssup} |f|=-\infty .}$
5. Например, если существует непустое измеримое множество меры, то его индикаторная функция удовлетворяет , хотя ${\displaystyle N\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {1} _{N}\|_{p}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}\neq 0.}$
6. Явно операции с векторным пространством определяются следующим образом:
   $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(sf)(x)&=sf(x)\end{aligned}}}$$
   для всех и всех скаляров. Эти операции превращаются в векторное пространство, потому что если есть любой скаляр, то оба они также принадлежат ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle sf}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ).}$

1. Когда неравенство можно вывести из того факта, что функция, определенная как, является выпуклой , что по определению означает, что для всех и всех в области подстановки и в for и дает , что доказывает, что из неравенства треугольника теперь следует , что желаемое неравенство следует из интегрируя обе стороны. ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)}$ ${\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(t)=t^{p}}$ ${\displaystyle F(tx+(1-t)y)\leq tF(x)+(1-t)F(y)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle |f|,|g|,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right)^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p},}$ ${\displaystyle (|f|+|g|)^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle |f+g|\leq |f|+|g|}$ ${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Рекомендации

• Адамс, Роберт А.; Фурнье, Джон Ф. (2003), Пространства Соболева (второе изд.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
• Бахури, Хаджер ; Шемен, Жан-Ив ; Данчин, Рафаэль (2011). Анализ Фурье и нелинейные уравнения в частных производных. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 343. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. ISBN 978-3-642-16830-7. ОСЛК  704397128.
• Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Биркхойзер, ISBN 3-7643-4231-5.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1958), Линейные операторы, том I , Wiley-Interscience.
• Дюрен, П. (1970), Теория H ^p -пространств , Нью-Йорк: Academic Press.
• Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN 0-13-035399-Х.
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag.
• Калтон, Найджел Дж .; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс В. (1984), Сэмплер F-пространства , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 89, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, номер документа : 10.1017/CBO9780511662447, ISBN. 0-521-27585-7, МР  0808777
• Рис, Фридьес (1910), «Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen», Mathematische Annalen , 69 (4): 449–497, doi : 10.1007/BF01457637, S2CID  120242933
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157
• Титчмарш, ЕС (1976), Теория функций , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

Внешние ссылки

• «Пространство Лебега», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство полноты пространств Lp