Массовый поток

Векторная величина, описывающая массовый расход через заданную площадь

В физике и технике поток массы — это скорость потока массы на единицу площади. Его единицами СИ являются кг ⋅ с ⁻¹  ⋅ м ⁻² . Распространенными символами являются j , J , q , Q , φ или Φ ( греческая строчная или заглавная Фи ), иногда с нижним индексом m для указания на то, что масса является текущим количеством.

Эта величина потока также известна просто как «массовый поток». ^[1] «Массовый поток» может также относиться к альтернативной форме потока в законе Фика , которая включает молекулярную массу , или в законе Дарси , который включает плотность массы . ^[2] Реже определяющее уравнение для массового потока в этой статье используется взаимозаменяемо с определяющим уравнением для скорости массового потока . ^[a]

Определение

Математически поток массы определяется как предел , где — массовый ток (поток массы m за единицу времени t ), а A — площадь, через которую протекает масса. $${\displaystyle j_{m}=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{m}}{A}},}$$ $${\displaystyle I_{m}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}}$$

Для потока массы как вектора j _m его поверхностный интеграл по поверхности S , за которым следует интеграл по промежутку времени от t ₁ до t ₂ , дает общее количество массы, протекающей через поверхность за это время ( t ₂ − t ₁ ): $${\displaystyle \Delta m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}$$

Площадь , необходимая для расчета потока, может быть реальной или мнимой, плоской или изогнутой, иметь форму поперечного сечения или поверхности.

Например, для веществ, проходящих через фильтр или мембрану , реальной поверхностью является (обычно изогнутая) площадь поверхности фильтра, макроскопически - игнорируя площадь, охватываемую отверстиями в фильтре/мембране. Пространства будут площадями поперечного сечения. Для жидкостей, проходящих через трубу, площадью является поперечное сечение трубы в рассматриваемом сечении.

Векторная площадь представляет собой комбинацию величины площади, через которую проходит масса, A , и единичного вектора, нормального к площади, . Соотношение имеет вид . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

Если поток массы j _m проходит через область под углом θ к нормали области , то где · — скалярное произведение единичных векторов. То есть, компонент потока массы, проходящий через поверхность (т.е. нормальный к ней), равен j _m cos θ . В то время как компонент потока массы, проходящий по касательной к области, равен j _m sin θ , фактически поток массы, проходящий через область в тангенциальном направлении, отсутствует . Единственным компонентом потока массы, проходящим по нормали к области, является косинусный компонент. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta }$$

Пример

Рассмотрим трубу с текущей водой . Предположим, что труба имеет постоянное поперечное сечение, и мы рассматриваем ее прямой участок (без каких-либо изгибов/соединений), и вода течет постоянно с постоянной скоростью при стандартных условиях . Площадь A является площадью поперечного сечения трубы. Предположим, что труба имеет радиус r = 2 см = 2 × 10−2 ^м . Тогда площадь равна Чтобы вычислить поток массы j _m (величину), нам также нужно количество массы воды, переданной через площадь, и затраченное время. Предположим, что объем V = 1,5 л = 1,5 × 10−3 ^м 3 ^{проходит} за время t = 2 с. Предполагая, что плотность воды равна ρ = 1000 кг м ⁻³ , мы имеем: (так как начальный объем, проходящий через площадь, был равен нулю, конечный равен V , поэтому соответствующая масса равна m ), поэтому поток массы равен $${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta m&=\rho \Delta V\\m_{2}-m_{1}&=\rho (V_{2}-V_{1})\\m&=\rho V\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle j_{m}={\frac {\Delta m}{A\Delta t}}={\frac {\rho V}{\pi r^{2}t}}.}$$

Подставляя числа, получаем: что приблизительно равно 596,8 кг с ⁻¹ м ⁻² . $${\displaystyle j_{m}={\frac {1000\times \left(1.5\times 10^{-3}\right)}{\pi \times \left(2\times 10^{-2}\right)^{2}\times 2}}={\frac {3}{16\pi }}\times 10^{4},}$$

Уравнения для жидкостей

Альтернативное уравнение

Используя векторное определение, поток массы также равен: ^[4] $${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u} }$$

где:

• ρ = плотность массы,
• u = поле скоростей движения массовых элементов (т.е. в каждой точке пространства скорость элемента материи равна некоторому вектору скорости u ).

Иногда это уравнение можно использовать для определения j _m как вектора.

Массовые и молярные потоки для композитных жидкостей

Массовые потоки

В случае, если жидкость не является чистой, т.е. представляет собой смесь веществ (технически содержит ряд компонентных веществ), потоки массы необходимо учитывать отдельно для каждого компонента смеси.

При описании течения жидкости (т.е. течения вещества) поток массы уместен. При описании переноса частиц (перемещения большого количества частиц) полезно использовать аналогичную величину, называемую молярным потоком .

Используя массу, поток массы компонента i равен $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}.}$$

Барицентрический поток массы компонента i равен , где — средняя массовая скорость всех компонентов в смеси, определяемая выражением , где $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),}$$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$ $${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}$$

• ρ = массовая плотность всей смеси,
• ρ _i = плотность массы компонента i ,
• u _i = скорость компонента i .

Среднее значение берется по скоростям компонентов.

Молярные потоки

Если заменить плотность ρ на «молярную плотность», концентрацию c , то получим аналоги молярного потока .

Молярный поток — это число молей в единицу времени на единицу площади, обычно: $${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {n}}=c\mathbf {u} .}$$

Таким образом, молярный поток компонента i равен (число молей в единицу времени на единицу площади): а барицентрический молярный поток компонента i равен , где это время представляет собой среднюю молярную скорость всех компонентов в смеси, определяемую по формуле: $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c_{i}\mathbf {u} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),}$$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$ $${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}c_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{c}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}.}$$

Использование

Поток массы появляется в некоторых уравнениях гидродинамики , в частности в уравнении непрерывности : которое является утверждением сохранения массы жидкости. В гидродинамике масса может перетекать только из одного места в другое. $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,}$$

Молярный поток возникает в первом законе диффузии Фика : где D — коэффициент диффузии . $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla n}$$

Смотрите также

• Массовая доля потока
• Поток
• Закон Фика
• Закон Дарси
• Поток массы волны и импульс волны
• Определение уравнения (физическая химия)
• Плотность импульса

Примечания

1. Например, в Fluid Mechanics, Schaum's et al ^[3] определение потока массы используется в виде уравнения в статье о расходе массы.

Ссылки

1. "ISO 80000-4:2019 Величины и единицы. Часть 4: Механика". ISO . Получено 2024-10-02 .
2. "Тезаурус: Массовый поток" . Получено 24.12.2008 .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
3. Механика жидкости, М. Поттер, Д. К. Виггарт, Очерки Шуама, McGraw Hill (США), 2008, ISBN 978-0-07-148781-8 
4. Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости, Р. Арис, Dover Publications, 1989, ISBN 0-486-66110-5