В математике мошенничество Эйленберга –Мазура , названное в честь Сэмюэля Эйленберга и Барри Мазура , является методом доказательства, который использует парадоксальные свойства бесконечных сумм. В геометрической топологии оно было введено Мазуром (1959, 1961) и часто называется мошенничеством Мазура . В алгебре оно было введено Сэмюэлем Эйленбергом и известно как мошенничество Эйленберга или телескоп Эйленберга (см. телескопическая сумма ).
Афера Эйленберга–Мазура похожа на следующее известное шутливое «доказательство» того, что 1 = 0:
Это «доказательство» недействительно как утверждение о действительных числах, поскольку ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + ... не сходится , но аналогичный аргумент можно использовать в некоторых контекстах, где есть некое «сложение», определенное для некоторых объектов, для которых бесконечные суммы имеют смысл, чтобы показать, что если A + B = 0, то A = B = 0.
В геометрической топологии сложение, используемое в мошенничестве, обычно представляет собой связанную сумму узлов или многообразий .
Пример (Рольфсен 1990, глава 4B): Типичное применение мошенничества Мазура в геометрической топологии — доказательство того, что сумма двух нетривиальных узлов A и B нетривиальна. Для узлов можно брать бесконечные суммы, делая узлы все меньше и меньше, так что если A + B тривиально, то
поэтому A тривиален (и B по аналогичному аргументу). Бесконечная сумма узлов обычно является диким узлом , а не ручным узлом . См. (Poénaru 2007) для получения дополнительных геометрических примеров.
Пример : Ориентированные n -многообразия имеют операцию сложения, заданную связной суммой, где 0 - n -сфера. Если A + B - это n -сфера, то A + B + A + B + ... - это евклидово пространство, поэтому мошенничество Мазура показывает, что связная сумма A и евклидова пространства - это евклидово пространство, что показывает, что A - это 1-точечная компактификация евклидова пространства, и, следовательно, A гомеоморфно n -сфере. (Это не показывает в случае гладких многообразий, что A диффеоморфно n -сфере , и в некоторых измерениях, таких как 7, есть примеры экзотических сфер A с обратными, которые не диффеоморфны стандартной n -сфере.)
В алгебре сложение, используемое в мошенничестве, обычно представляет собой прямую сумму модулей по кольцу .
Пример: Типичным применением мошенничества Эйленберга в алгебре является доказательство того, что если A — проективный модуль над кольцом R , то существует свободный модуль F с A ⊕ F ≅ F. [1] Чтобы увидеть это, выберем модуль B такой, что A ⊕ B является свободным , что можно сделать, поскольку A — проективный модуль, и положим
так что
Пример : (Эйзенбуд 1995, стр. 121) Конечно-порожденные свободные модули над коммутативными кольцами R имеют в качестве размерности вполне определенное натуральное число, которое аддитивно относительно прямых сумм, и являются изоморфными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.
Это неверно для некоторых некоммутативных колец, и контрпример можно построить с помощью мошенничества Эйленберга следующим образом. Пусть X — абелева группа, такая что X ≅ X ⊕ X (например, прямая сумма бесконечного числа копий любой ненулевой абелевой группы), и пусть R — кольцо эндоморфизмов X. Тогда левый R -модуль R изоморфен левому R -модулю R ⊕ R .
Пример : (Lam 2003, Exercise 8.16) Если A и B — любые группы, то мошенничество Эйленберга можно использовать для построения кольца R, такого что групповые кольца R [ A ] и R [ B ] будут изоморфными кольцами: возьмем R в качестве группового кольца ограниченного прямого произведения бесконечного числа копий A ⨯ B .
Доказательство теоремы Кантора–Бернштейна–Шредера можно рассматривать как предшественника мошенничества Эйленберга–Мазура. На самом деле, идеи довольно похожи. Если есть инъекции множеств из X в Y и из Y в X , это означает, что формально мы имеем X = Y + A и Y = X + B для некоторых множеств A и B , где + означает непересекающееся объединение, а = означает, что между двумя множествами существует биекция. Расширяя первое вторым,
В этой биекции пусть Z состоит из тех элементов левой части, которые соответствуют элементу X в правой части. Затем эта биекция расширяется до биекции
Подстановка правой части вместо X в Y = B + X дает биекцию
Перестановка каждой соседней пары B + A дает
Составляя биекцию для X с инверсией биекции для Y, получаем
Этот аргумент основывался на биекциях A + B = B + A и A + ( B + C ) = ( A + B ) + C , а также на корректности определения бесконечного дизъюнктного объединения.
