Оператор атомной станции

Линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами

В математике ядерные операторы являются важным классом линейных операторов, введенных Александром Гротендиком в его докторской диссертации. Ядерные операторы тесно связаны с проективным тензорным произведением двух топологических векторных пространств (TVS).

Предварительные сведения и обозначения

Пусть X , Y и Z — топологические векторные пространства (TVS), а L  : X → Y — линейный оператор (предположение о непрерывности не делается, если не указано иное).

• Проективное тензорное произведение двух локально выпуклых ТВС X и Y обозначается через , а пополнение этого пространства будет обозначаться через . ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$
• L  : X → Y является топологическим гомоморфизмом или гомоморфизмом , если он линейный, непрерывный и является открытым отображением , где , образ L , имеет топологию подпространства, индуцированную Y . ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} L}$
  • Если S — подпространство X , то и фактор-отображение X → X / S , и каноническая инъекция S → X являются гомоморфизмами.
• Множество непрерывных линейных отображений X → Z (соответственно непрерывных билинейных отображений ) будет обозначаться как L( X , Z ) (соответственно B( X , Y ; Z )), где если Z является базовым скалярным полем, то мы можем вместо этого записать L( X ) (соответственно B( X , Y )). ${\displaystyle X\times Y\to Z}$
• Любое линейное отображение можно канонически разложить следующим образом: где определяет биекцию, называемую канонической биекцией, связанной с L. ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X/\ker L\;\xrightarrow {L_{0}} \;\operatorname {Im} L\to Y}$ ${\displaystyle L_{0}\left(x+\ker L\right):=L(x)}$
• X * или будет обозначать непрерывное сопряженное пространство X. ${\displaystyle X'}$
  • Для большей ясности изложения мы используем общепринятое соглашение о записи элементов со штрихом после символа (например, обозначает элемент , а не, скажем, производную, а переменные x и не обязательно должны быть каким-либо образом связаны). ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle x'}$
• ${\displaystyle X^{\#}}$будет обозначать алгебраическое сопряженное пространство X (которое является векторным пространством всех линейных функционалов на X , непрерывных или нет) .
• Линейное отображение L  : H → H из гильбертова пространства в себя называется положительным, если для каждого . В этом случае существует единственное положительное отображение r  : H → H , называемое квадратным корнем L , такое , что . ^[1] ${\displaystyle \langle L(x),x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle L=r\circ r}$
  • Если — любое непрерывное линейное отображение между гильбертовыми пространствами, то всегда положительно. Теперь пусть R  : H → H обозначает его положительный квадратный корень, который называется абсолютным значением L . Сначала определим на , установив для и продолжив непрерывно до , а затем определим U на , установив для и продолжим это отображение линейно на все из . Отображение является сюръективной изометрией и . ${\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle L^{*}\circ L}$ ${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} R}$ ${\displaystyle U(x)=L(x)}$ ${\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}}}$ ${\displaystyle \ker R}$ ${\displaystyle U(x)=0}$ ${\displaystyle x\in \ker R}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}$ ${\displaystyle L=U\circ R}$
• Линейное отображение называется компактным или вполне непрерывным, если существует окрестность U начала координат в X такая, что является предкомпактной в Y . ^[2] ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle \Lambda (U)}$

В гильбертовом пространстве положительные компактные линейные операторы, скажем, L  : H → H, имеют простое спектральное разложение, открытое в начале 20-го века Фредгольмом и Ф. Риссом: ^[3]

Существует последовательность положительных чисел, убывающая и либо конечная, либо сходящаяся к 0, и последовательность ненулевых конечномерных подпространств H (i = 1, 2, ) со следующими свойствами: (1) подпространства попарно ортогональны; (2) для каждого i и каждого , ; и (3) ортогональность подпространства, натянутого на , равна ядру L . ^[3] ${\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle x\in V_{i}}$ ${\displaystyle L(x)=r_{i}x}$ ${\textstyle \bigcup _{i}V_{i}}$

Обозначения топологий

• σ ( X , X ′) обозначает грубейшую топологию на X , делающую каждое отображение в X ′ непрерывным, иили обозначает X , наделенное этой топологией . ${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X'\right)}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
• σ ( X ′, X ) обозначает слабую* топологию на X* иили обозначает X ′, наделенное этой топологией . ${\displaystyle X_{\sigma \left(X',X\right)}}$ ${\displaystyle X'_{\sigma }}$
  • Обратите внимание, что каждое индуцирует отображение, определяемое соотношением . σ (X′, X) — это грубейшая топология на X′, делающая все такие отображения непрерывными. ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle X'\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda (x_{0})}$
• b(X, X′) обозначает топологию ограниченной сходимости на X и или обозначает X, наделенное этой топологией . ${\displaystyle X_{b\left(X,X'\right)}}$ ${\displaystyle X_{b}}$
• b(X′, X) обозначает топологию ограниченной сходимости на X′ или сильную двойственную топологию на X′ и или обозначает X ′, наделенное этой топологией . ${\displaystyle X_{b\left(X',X\right)}}$ ${\displaystyle X'_{b}}$
  • Как обычно, если X * рассматривается как топологическое векторное пространство, но не ясно, какой топологией оно наделено, то топология будет предполагаться равной b( X ′, X ).

Каноническое тензорное произведение как подпространство двойственного к Bi(Х,И)

Пусть X и Y — векторные пространства (топология пока не нужна), а Bi( X , Y ) — пространство всех билинейных отображений , определенных на базовом скалярном поле и входящих в него. ${\displaystyle X\times Y}$

Для каждого пусть будет канонической линейной формой на Bi( X , Y ), определенной как для каждого u ∈ Bi( X , Y ). Это индуцирует каноническое отображение , определенное как , где обозначает алгебраическое сопряженное Bi( X , Y ) . Если мы обозначим диапазон значений 𝜒 через X ⊗ Y , то можно показать, что X ⊗ Y вместе с 𝜒 образует тензорное произведение X и Y (где x ⊗ y  := 𝜒 ( x , y )). Это дает нам каноническое тензорное произведение X и Y . ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ${\displaystyle \chi _{(x,y)}}$ ${\displaystyle \chi _{(x,y)}(u):=u(x,y)}$ ${\displaystyle \chi :X\times Y\to \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$ ${\displaystyle \chi (x,y):=\chi _{(x,y)}}$ ${\displaystyle \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$

Если Z — любое другое векторное пространство, то отображение Li( X ⊗ Y ; Z ) → Bi( X , Y ; Z ), заданное формулой u ↦ u ∘ 𝜒 , является изоморфизмом векторных пространств. В частности, это позволяет нам отождествить алгебраическое сопряженное пространство X ⊗ Y с пространством билинейных форм на X × Y . ^[4] Более того, если X и Y — локально выпуклые топологические векторные пространства (TVS) и если X ⊗ Y задано π -топологией, то для любого локально выпуклого TVS Z это отображение ограничивается изоморфизмом векторного пространства из пространства непрерывных линейных отображений на пространство непрерывных билинейных отображений. ^[5] В частности, непрерывное сопряженное пространство X ⊗ Y может быть канонически отождествлено с пространством B( X , Y ) непрерывных билинейных форм на X × Y ; Более того, при этой идентификации равностепенно непрерывные подмножества B( X , Y ) совпадают с равностепенно непрерывными подмножествами . ^[5] ${\displaystyle L(X\otimes _{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle (X\otimes _{\pi }Y)'}$

Ядерные операторы между банаховыми пространствами

Существует каноническое вложение векторного пространства, определяемое путем отправки на карту ${\displaystyle I:X'\otimes Y\to L(X;Y)}$ ${\textstyle z:=\sum _{i}^{n}x_{i}'\otimes y_{i}}$

${\displaystyle x\mapsto \sum _{i}^{n}x_{i}'(x)y_{i}.}$

Предполагая, что X и Y являются банаховыми пространствами, тогда отображение имеет норму (чтобы увидеть, что норма равна , отметим, что так что ). Таким образом, оно имеет непрерывное расширение до отображения , где известно, что это отображение не обязательно инъективно. ^[6] Диапазон этого отображения обозначается как , а его элементы называются ядерными операторами . ^[7] является TVS-изоморфным и норма на этом факторпространстве, когда переносится на элементы через индуцированное отображение , называется следовой нормой и обозначается как . Явно, ^{[ разъяснение требуется явно или специально? ]} если является ядерным оператором, то . ${\displaystyle I:X'_{b}\otimes _{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \leq 1}$ ${\textstyle \|I(z)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|I(z)(x)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}'(x)y_{i}\right\|\leq \sup _{\|x\|\leq 1}\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\|x\|\left\|y_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\left\|y_{i}\right\|}$ ${\displaystyle \left\|I(z)\right\|\leq \left\|z\right\|_{\pi }}$ ${\displaystyle {\hat {I}}:X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$ ${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$ ${\displaystyle \left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}}$ ${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$ ${\displaystyle {\hat {I}}:\left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}\to L^{1}(X;Y)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\operatorname {Tr} }}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {Tr} }:=\inf _{z\in {\hat {I}}^{-1}\left(T\right)}\left\|z\right\|_{\pi }}$

Характеристика

Предположим, что X и Y — банаховы пространства и что — непрерывный линейный оператор. ${\displaystyle N:X\to Y}$

• Следующие значения эквивалентны:
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$является ядерным.
  2. Существует последовательность в замкнутом единичном шаре , последовательность в замкнутом единичном шаре и комплексная последовательность такие, что и равно отображению: ^[8] для всех . Более того, следовая норма равна инфимуму чисел по множеству всех представлений как таковой серии. ^[8] ${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|N\|_{\operatorname {Tr} }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|}$ ${\displaystyle N}$
• Если Y рефлексивен , то является ядерным тогда и только тогда, когда является ядерным, и в этом случае . ^[9] ${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$ ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }=\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$

Характеристики

Пусть X и Y — банаховы пространства и пусть — непрерывный линейный оператор. ${\displaystyle N:X\to Y}$

• Если — ядерное отображение, то его транспонирование — непрерывное ядерное отображение (когда двойственные пространства несут свои сильные двойственные топологии) и . ^[10] ${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$ ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$

Ядерные операторы между гильбертовыми пространствами

Ядерные автоморфизмы гильбертова пространства называются операторами следового класса .

Пусть X и Y — гильбертовы пространства, а N  : X → Y — непрерывное линейное отображение. Предположим, что где R  : X → X — квадратный корень из , а U  : X → Y — такое, что — сюръективная изометрия. Тогда N является ядерным отображением тогда и только тогда, когда R является ядерным отображением; следовательно, для изучения ядерных отображений между гильбертовыми пространствами достаточно ограничиться положительными самосопряженными операторами R . ^[11] ${\displaystyle N=UR}$ ${\displaystyle N^{*}N}$ ${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} N}$

Характеристика

Пусть X и Y — гильбертовы пространства, а N  : X → Y — непрерывное линейное отображение, абсолютное значение которого равно R  : X → X. Следующие условия эквивалентны:

1. N  : X → Y является ядерным.
2. R  : X → X является ядерным. ^[12]
3. R  : X → X компактно и конечно, в этом случае . ^[12] ${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} R=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$
   • Здесь — след оператора R , и он определяется следующим образом: поскольку R — непрерывный компактный положительный оператор, то существует (возможно, конечная) последовательность положительных чисел с соответствующими нетривиальными конечномерными и взаимно ортогональными векторными пространствами, такая, что ортогональность (в H ) равна (и, следовательно, также ) и для всех k , для всех ; след определяется как . ${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$ ${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\cdots }$ ${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \operatorname {span} \left(V_{1}\cup V_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle \ker R}$ ${\displaystyle \ker N}$ ${\displaystyle R(x)=\lambda _{k}x}$ ${\displaystyle x\in V_{k}}$ ${\textstyle \operatorname {Tr} R:=\sum _{k}\lambda _{k}\dim V_{k}}$
4. ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$является ядерным, в этом случае . ^[9] ${\displaystyle \|{}^{t}N\|_{\operatorname {Tr} }=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$
5. Существуют две ортогональные последовательности в X и в Y , а также последовательность в , такая что для всех , . ^[12] ${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle N(x)=\sum _{i}\lambda _{i}\langle x,x_{i}\rangle y_{i}}$
6. N  : X → Y — интегральное отображение . ^[13]

Ядерные операторы между локально выпуклыми пространствами

Предположим, что U — выпуклая сбалансированная замкнутая окрестность начала координат в X , а B — выпуклый сбалансированный ограниченный банахов диск в Y, причем X и Y — локально выпуклые пространства. Пусть и пусть — каноническая проекция. Можно определить вспомогательное банахово пространство с каноническим отображением , образ которого, , плотен в , а также вспомогательное пространство, нормированное по и с каноническим отображением, являющимся (непрерывной) канонической инъекцией. Для любого непрерывного линейного отображения можно получить посредством композиции непрерывное линейное отображение ; таким образом, у нас есть инъекция , и в дальнейшем мы используем это отображение для идентификации как подпространства . ^[7] ${\textstyle p_{U}(x)=\inf _{r>0,x\in rU}r}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}_{U}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}:X\to {\hat {X}}_{U}}$ ${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}_{U}}$ ${\displaystyle F_{B}=\operatorname {span} B}$ ${\textstyle p_{B}(y)=\inf _{r>0,y\in rB}r}$ ${\displaystyle \iota :F_{B}\to F}$ ${\displaystyle T:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}\circ T\circ \iota :X\to Y}$ ${\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)\to L(X;Y)}$ ${\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$

Определение : Пусть X и Y — локально выпуклые пространства Хаусдорфа. Объединение всех , когда U пробегает все замкнутые выпуклые сбалансированные окрестности начала координат в X, а B пробегает все ограниченные банаховы диски в Y , обозначается , а его элементы называются ядерными отображениями X в Y . ^[7] ${\textstyle L^{1}\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}$ ${\displaystyle L^{1}(X;Y)}$

Когда X и Y являются банаховыми пространствами, то это новое определение ядерного отображения согласуется с исходным определением, данным для особого случая, когда X и Y являются банаховыми пространствами.

Достаточные условия для ядерности

• Пусть W , X , Y , и Z — локально выпуклые пространства Хаусдорфа, ядерное отображение, и — непрерывные линейные отображения. Тогда , , и являются ядерными, и если вдобавок W , X , Y , и Z — все банаховы пространства, то . ^{[14] [15]} ${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle M:W\to X}$ ${\displaystyle P:Y\to Z}$ ${\displaystyle N\circ M:W\to Y}$ ${\displaystyle P\circ N:X\to Z}$ ${\displaystyle P\circ N\circ M:W\to Z}$ ${\textstyle \left\|P\circ N\circ M\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|P\right\|\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }\|\left\|M\right\|}$
• Если — ядерное отображение между двумя хаусдорфовыми локально выпуклыми пространствами, то его транспонирование — непрерывное ядерное отображение (когда двойственные пространства несут свои сильные двойственные топологии). ^[2] ${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$
  • Если к тому же X и Y — банаховы пространства, то . ^[9] ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$
• Если — ядерное отображение между двумя хаусдорфовыми локально выпуклыми пространствами и если — пополнение X , то единственное непрерывное расширение N является ядерным. ^[15] ${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {N}}:{\hat {X}}\to Y}$

Характеристика

Пусть X и Y — хаусдорфовы локально выпуклые пространства и пусть — непрерывный линейный оператор. ${\displaystyle N:X\to Y}$

• Следующие значения эквивалентны:
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$является ядерным.
  2. (Определение) Существует выпуклая сбалансированная окрестность U начала координат в X и ограниченный банахов диск B в Y такие, что и индуцированное отображение является ядерным, где — единственное непрерывное расширение , которое является единственным отображением, удовлетворяющим , где — естественное включение, а — каноническая проекция. ^[6] ${\displaystyle N(U)\subseteq B}$ ${\displaystyle {\overline {N}}_{0}:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}$ ${\displaystyle {\overline {N}}_{0}}$ ${\displaystyle N_{0}:X_{U}\to Y_{B}}$ ${\displaystyle N=\operatorname {In} _{B}\circ N_{0}\circ \pi _{U}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:Y_{B}\to Y}$ ${\displaystyle \pi _{U}:X\to X/p_{U}^{-1}(0)}$
  3. Существуют банаховы пространства и и непрерывные линейные отображения , и такие, что является ядерным и . ^[8] ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle f:X\to B_{1}}$ ${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$ ${\displaystyle g:B_{2}\to Y}$ ${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$ ${\displaystyle N=g\circ n\circ f}$
  4. Существует равностепенно непрерывная последовательность в , ограниченный банахов диск , последовательность в B и комплексная последовательность такие, что и равно отображению: ^[8] для всех . ${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ ${\displaystyle x\in X}$
• Если X является бочкообразным, а Y является квазиполным , то N является ядерным тогда и только тогда, когда N имеет представление вида с ограниченным в , ограниченным в Y и . ^[8] ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ ${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$

Характеристики

Ниже приведен тип теоремы Хана-Банаха для расширения ядерных отображений:

• Если — TVS-вложение и — ядерное отображение, то существует ядерное отображение, такое что . Более того, когда X и Y — банаховы пространства, а E — изометрия, то для любого можно выбрать так, что . ^[16] ${\displaystyle E:X\to Z}$ ${\displaystyle N:X\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}:Z\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}\circ E=N}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ ${\displaystyle \|{\tilde {N}}\|_{\operatorname {Tr} }\leq \|N\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$
• Предположим, что есть TVS-вложение , образ которого замкнут в Z , и пусть будет канонической проекцией. Предположим, что каждый компактный диск в является образом ограниченного банахова диска в Z (это верно, например, если X и Z являются пространствами Фреше или если Z является сильно сопряженным к пространству Фреше и слабо замкнуто в Z ). Тогда для каждого ядерного отображения существует ядерное отображение такое, что . ${\displaystyle E:X\to Z}$ ${\displaystyle \pi :Z\to Z/\operatorname {Im} E}$ ${\displaystyle Z/\operatorname {Im} E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} E}$ ${\displaystyle N:Y\to Z/\operatorname {Im} E}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}:Y\to Z}$ ${\displaystyle \pi \circ {\tilde {N}}=N}$
  • Более того, когда X и Z являются банаховыми пространствами, а E является изометрией, то для любого можно выбрать так, что . ^[16] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ ${\textstyle \left\|{\tilde {N}}\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$

Пусть X и Y — хаусдорфовы локально выпуклые пространства и пусть — непрерывный линейный оператор. ${\displaystyle N:X\to Y}$

• Любая ядерная карта компактна. ^[2]
• Для каждой топологии равномерной сходимости на ядерные отображения содержатся в замыкании (когда рассматривается как подпространство ). ^[6] ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X'\otimes Y}$ ${\displaystyle X'\otimes Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$

Смотрите также

• Вспомогательные нормированные пространства
• Ковариационный оператор  – Оператор в теории вероятностей
• Начальная топология  – грубейшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
• Индуктивное тензорное произведение  – бинарная операция на топологических векторных пространствахPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Ядерные операторы между банаховыми пространствами  – операторы в банаховых пространствах со свойствами, аналогичными конечномерным операторамPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ядерное пространство  – обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
• Проективное тензорное произведение  – тензорное произведение, определенное на двух топологических векторных пространствахPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Тензорное произведение гильбертовых пространств  – Пространство тензорного произведения, наделенное специальным внутренним произведением
• Топологическое тензорное произведение  – Конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств
• Класс трассировки  – Компактный оператор, для которого можно определить конечную трассировку.
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

Ссылки

1. Трев 2006, стр. 488.
2. Trèves 2006, стр. 483.
3. Trèves 2006, стр. 490.
4. Шефер и Вольф 1999, стр. 92.
5. Schaefer & Wolff 1999, стр. 93.
6. Шефер и Вольф 1999, стр. 98.
7. Treves 2006, стр. 478–479.
8. Treves 2006, стр. 481–483.
9. Trèves 2006, стр. 484.
10. Тревес 2006, стр. 483–484.
11. Тревес 2006, стр. 488–492.
12. Treves 2006, стр. 492–494.
13. Тревес 2006, стр. 502–508.
14. Тревес 2006, стр. 479–481.
15. Schaefer & Wolff 1999, стр. 100.
16. Trèves 2006, стр. 485.

Библиография

• Diestel, Joe (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773.
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC  5126156.
• Гротендик, Александр (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC  1315788.
• Хусейн, Такдир (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Нленд, Х. (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: North-Holland Pub. Co. Эксклюзивные дистрибьюторы в США и Канаде, Elsevier-Norland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC  2798822.
• Нленд, Х (1981). Ядерные и конядерные пространства: вводные курсы по ядерным и конядерным пространствам в свете дуальности . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк, Нью-Йорк: North-Holland Pub. Co. Эксклюзивный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC  7553061.
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства . Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.

Внешние ссылки

• Ядерное пространство в ncatlab