Топологии на пространствах линейных отображений

В математике , в частности, в функциональном анализе , пространства линейных отображений между двумя векторными пространствами могут быть наделены различными топологиями . Изучение пространства линейных отображений и этих топологий может дать представление о самих пространствах.

В статье «Топологии операторов» обсуждаются топологии на пространствах линейных отображений между нормированными пространствами , тогда как в данной статье обсуждаются топологии на таких пространствах в более общей постановке топологических векторных пространств (TVS).

Топологии равномерной сходимости на произвольных пространствах отображений

Везде предполагается следующее:

1. ${\displaystyle T}$— любое непустое множество и — непустая коллекция подмножеств, направленная включением подмножеств (т.е. для любого существует такое , что ). ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$
2. ${\displaystyle Y}$— топологическое векторное пространство (не обязательно хаусдорфово или локально выпуклое).
3. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$является базисом окрестностей 0 в ${\displaystyle Y.}$
4. ${\displaystyle F}$является векторным подпространством ^{[примечание 1],} которое обозначает множество всех -значных функций с областью определения ${\displaystyle Y^{T}=\prod _{t\in T}Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:T\to Y}$ ${\displaystyle T.}$

𝒢-топология

Следующие множества будут составлять основные открытые подмножества топологий на пространствах линейных отображений. Для любых подмножеств и пусть ${\displaystyle G\subseteq T}$ ${\displaystyle N\subseteq Y,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N):=\{f\in F:f(G)\subseteq N\}.}$$

Семейство образует базис соседства ^[1] в начале координат для уникальной топологии, инвариантной относительно трансляции, на , где эта топология не обязательно является векторной топологией (то есть она может не превращаться в TVS). Эта топология не зависит от выбранного базиса соседства и известна как топология равномерной сходимости на множествах в или как -топология . ^[2] Однако это название часто меняется в зависимости от типов множеств, которые составляют (например, «топология равномерной сходимости на компактных множествах» или «топология компактной сходимости», см. сноску для получения более подробной информации ^[3] ). $${\displaystyle \{{\mathcal {U}}(G,N):G\in {\mathcal {G}},N\in {\mathcal {N}}\}}$$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Подмножество называется фундаментальным относительно , ​​если каждое из них является подмножеством некоторого элемента из В этом случае совокупность можно заменить на , не меняя топологию на [ ^2]. Также можно заменить на совокупность всех подмножеств всех конечных объединений элементов из , не меняя результирующую топологию на ^[4]. ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F.}$

Назовем подмножество -ограниченным , если является ограниченным подмножеством для каждого ^[5] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in F.}$

Теорема ^{[2] [5]}  —  Топология на совместима со структурой векторного пространства тогда и только тогда, когда каждое является -ограниченным ; то есть тогда и только тогда, когда для каждого и каждое ограничено в ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\in F,}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle Y.}$

Характеристики

Теперь будут описаны свойства основных открытых множеств, поэтому предположим, что и Тогда является поглощающим подмножеством тогда и только тогда, когда для всех поглощает . ^[6] Если является сбалансированным ^[6] (соответственно, выпуклым ), то также является ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N).}$

Равенство всегда выполняется. Если — скаляр, то так что, в частности, ^[6] Более того, ^[4] и аналогично ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {U}}(\varnothing ,N)=F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,sN),}$ ${\displaystyle -{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,-N).}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)-{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N-N)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)+{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M+N).}$$

Для любых подмножеств и любых непустых подмножеств ^[5] это подразумевает: ${\displaystyle G,H\subseteq X}$ ${\displaystyle M,N\subseteq Y,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G\cup H,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N)}$$

• если тогда ^[6] ${\displaystyle M\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• если тогда ${\displaystyle G\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(H,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• Для любого и подмножества если то ${\displaystyle M,N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle G,H,K}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(K,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N).}$

Для любого семейства подмножеств и любого семейства окрестностей начала координат в ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Y,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S,N\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}{\mathcal {U}}(S,N)\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {U}}\left(G,\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}M\right)=\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {U}}(G,M).}$$

Равномерная структура

Для любого и любого окружения из (где наделено своей канонической однородностью ), пусть Учитывая семейство всех множеств как диапазоны по любой фундаментальной системе окружений из образует фундаментальную систему окружений для однородной структуры на называемой однородностью однородной сходимости на или просто -сходимостью однородной структуры . ^[7] -сходимость однородной структуры является точной верхней границей всех -сходимостью однородных структур как диапазоны по ^[7] ${\displaystyle G\subseteq T}$ ${\displaystyle U\subseteq Y\times Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)~:=~\left\{(u,v)\in Y^{T}\times Y^{T}~:~(u(g),v(g))\in U\;{\text{ for every }}g\in G\right\}.}$$ ${\displaystyle G\subseteq T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Сети и равномерная сходимость

Пусть и пусть будет сетью в Тогда для любого подмножества скажем , которая равномерно сходится к на , если для каждого существует такое , что для каждого удовлетворяющее (или, что эквивалентно, для каждого ). ^[5] ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle i\geq i_{0},I}$ ${\displaystyle f_{i}-f\in {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle f_{i}(g)-f(g)\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$

Теорема ^[5]  —  Если и если является сетью в то в -топологии на тогда и только тогда, когда для каждого сходится равномерно к на ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle f_{\bullet }\to f}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G.}$

Унаследованные свойства

Местная выпуклость

Если локально выпукло , то также выпукла и -топология на , а если - семейство непрерывных полунорм, порождающее эту топологию на , то -топология индуцируется следующим семейством полунорм: поскольку изменяется по и изменяется по . ^[8] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ $${\displaystyle p_{G,i}(f):=\sup _{x\in G}p_{i}(f(x)),}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

Хаусдорфовость

Если является хаусдорфовым , то -топология на является хаусдорфовой. ^[5] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T=\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$

Предположим, что - топологическое пространство. Если - Хаусдорфово , а - векторное подпространство в , состоящее из всех непрерывных отображений, которые ограничены на каждом, и если - плотно в , то -топология на является Хаусдорфовой. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$

Ограниченность

Подмножество ограничено в -топологии тогда и только тогда, когда для каждого ограничено в ^[8] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H(G)=\bigcup _{h\in H}h(G)}$ ${\displaystyle Y.}$

Примеры 𝒢-топологий

Точечная сходимость

Если мы положим - множество всех конечных подмножеств , то -топология на называется топологией поточечной сходимости . Топология поточечной сходимости на идентична топологии подпространства, которая наследуется от , когда наделена обычной топологией произведения . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle Y^{T}}$

Если — нетривиальное вполне регулярное хаусдорфово топологическое пространство и — пространство всех вещественных (или комплексных) непрерывных функций в топологии поточечной сходимости на , то метризуемо тогда и только тогда, когда счетно. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

𝒢-топологии на пространствах непрерывных линейных отображений

В этом разделе мы будем предполагать, что и являются топологическими векторными пространствами . будет непустым набором подмножеств направленного по включению. будет обозначать векторное пространство всех непрерывных линейных отображений из в Если задана -топология, унаследованная от , то это пространство с этой топологией обозначается как . Непрерывное сопряженное пространство топологического векторного пространства над полем (которое мы будем считать действительным или комплексным числом ) является векторным пространством и обозначается как . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle L(X;\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Топология на совместима со структурой векторного пространства тогда и только тогда, когда для всех и всех множество ограничено, в чем мы будем предполагать, что это имеет место в остальной части статьи. Обратите внимание, в частности, что это так, если состоит из ограниченных подмножеств (фон Неймана) ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\in L(X;Y)}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

Предположения о 𝒢

Предположения, гарантирующие векторную топологию

• ( направлен): будет непустой коллекцией подмножеств направленного по (подмножеству) включения. То есть, для любого существует такое, что . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$

Вышеуказанное предположение гарантирует, что набор наборов образует базу фильтра . Следующее предположение гарантирует, что наборы сбалансированы . Каждый TVS имеет соседний базис в 0, состоящий из сбалансированных наборов, поэтому это предположение не обременительно. ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$

• ( сбалансированы): представляет собой окрестностный базис начала координат, который полностью состоит из сбалансированных множеств. ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle Y}$

Следующее предположение очень распространено, поскольку оно гарантирует, что каждый набор поглощает ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle L(X;Y).}$

• ( ограничены): предполагается, что они полностью состоят из ограниченных подмножеств ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

Следующая теорема дает способы, которыми можно модифицировать, не меняя результирующую -топологию на ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y.}$

Теорема ^[6]  —  Пусть будет непустым набором ограниченных подмножеств Тогда -топология на не изменится, если заменить ее любым из следующих наборов (также ограниченных) подмножеств : ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$

1. все подмножества всех конечных объединений множеств в ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
2. все скалярные кратные всех множеств в ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
3. все конечные суммы Минковского множеств в ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
4. сбалансированный корпус каждого набора ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
5. закрытие каждого набора в ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

а если и локально выпуклы, то мы можем добавить к этому списку: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

6. замкнутая выпуклая сбалансированная оболочка каждого множества в ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Распространенные предположения

Некоторые авторы (например, Наричи) требуют, чтобы выполнялось следующее условие, которое подразумевает, в частности, что направлено включением подмножества: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$предполагается замкнутым относительно образования подмножеств конечных объединений множеств в (т.е. каждое подмножество каждого конечного объединения множеств в принадлежит ). ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Некоторые авторы (например, Трев ^[9] ) требуют, чтобы они были направлены на включение подмножества и чтобы они удовлетворяли следующему условию: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Если и является скаляром, то существует такое, что ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle sG\subseteq H.}$

Если — борнология, на которой часто бывает, то эти аксиомы выполняются. Если — насыщенное семейство ограниченных подмножеств , то эти аксиомы также выполняются. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Хаусдорфовость

Подмножество TVS , линейная оболочка которого является плотным подмножеством , называется полным подмножеством Если — семейство подмножеств TVS, то говорят, что оно является полным в, если линейная оболочка плотна в ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle T.}$

Если - векторное подпространство, состоящее из всех непрерывных линейных отображений, ограниченных на каждом , то -топология на является хаусдорфовой, если является хаусдорфовой и является тотальной в ^[6] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T.}$

Полнота

Для следующих теорем предположим, что является топологическим векторным пространством, является локально выпуклым хаусдорфовым пространством и является совокупностью ограниченных подмножеств , которая покрывается направленным включением подмножеств и удовлетворяет следующему условию: если и является скаляром, то существует такое, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle sG\subseteq H.}$

• ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$завершено , если
  1. ${\displaystyle X}$локально выпуклый и Хаусдорфов,
  2. ${\displaystyle Y}$завершено, и
  3. всякий раз, когда есть линейное отображение, то ограниченное каждым множеством , непрерывно подразумевает, что является непрерывным, ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle u}$
• Если — пространство Макки, то оно полно тогда и только тогда, когда оба пространства и являются полными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle X_{\mathcal {G}}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$
• Если является бочкообразным , то является хаусдорфовым и квазиполным . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
• Пусть и будут TVS с квазиполными и предположим, что (1) является бочкообразным , или же (2) является пространством Бэра и и локально выпуклы. Если покрывает , то каждое замкнутое равностепенно непрерывное подмножество является полным в и является квазиполным. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
• Пусть — борнологическое пространство , локально выпуклое пространство и семейство ограниченных подмножеств , такое, что область значений каждой нулевой последовательности в содержится в некотором Если является квазиполным (соответственно, полным ), то также является . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$

Ограниченность

Пусть и будут топологическими векторными пространствами, а будут подмножеством Тогда следующие условия эквивалентны: ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y).}$

1. ${\displaystyle H}$ограничено в ;​ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
2. Для каждого есть ограничение в ; ^[8] ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H(G):=\bigcup _{h\in H}h(G)}$ ${\displaystyle Y}$
3. Для каждой окрестности начала координат в наборе поглощается каждый ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$

Если — набор ограниченных подмножеств , объединение которых является тотальным в , то каждое равностепенно непрерывное подмножество ограничено в -топологии. ^[11] Кроме того, если и — локально выпуклые хаусдорфовы пространства, то ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• если ограничено в (то есть поточечно ограничено или просто ограничено), то оно ограничено в топологии равномерной сходимости на выпуклых, сбалансированных, ограниченных, полных подмножествах ^[13] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$
• если является квазиполным (что означает, что замкнутые и ограниченные подмножества являются полными), то ограниченные подмножества идентичны для всех -топологий, где - любое семейство ограниченных подмножеств покрытия ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры

Топология поточечной сходимости

Если позволить быть множеству всех конечных подмножеств из будет иметь слабую топологию на или топологию поточечной сходимости или топологию простой сходимости и с этой топологией обозначается как . К сожалению, эта топология также иногда называется сильной операторной топологией , что может привести к неоднозначности; ^[6] по этой причине в этой статье мы избежим упоминания этой топологии под этим именем. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

Подмножество называется просто ограниченным или слабо ограниченным, если оно ограничено в . ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

Слабая топология имеет следующие свойства: ${\displaystyle L(X;Y)}$

• Если является сепарабельным (то есть имеет счетное плотное подмножество) и если является метризуемым топологическим векторным пространством, то каждое равностепенно непрерывное подмножество является метризуемым; если, кроме того, является сепарабельным, то также является ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H.}$
  • Так, в частности, на каждом равностепенно непрерывном подмножестве топологии поточечная сходимость метризуема. ${\displaystyle L(X;Y),}$
• Пусть обозначает пространство всех функций из в Если задана топология поточечной сходимости, то пространство всех линейных отображений (непрерывных или нет) в замкнуто в . ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$
  • Кроме того, плотно в пространстве всех линейных отображений (непрерывных или нет) в ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
• Предположим , что и локально выпуклы. Любое просто ограниченное подмножество ограничено, когда имеет топологию равномерной сходимости на выпуклых, сбалансированных , ограниченных, полных подмножествах Если вдобавок является квазиполным , то семейства ограниченных подмножеств идентичны для всех -топологий на таких, что является семейством ограниченных множеств, покрывающих ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

Равномерно непрерывные подмножества

• Слабое замыкание равностепенно непрерывного подмножества равностепенно непрерывно. ${\displaystyle L(X;Y)}$
• Если локально выпукло, то выпуклая сбалансированная оболочка равностепенно непрерывного подмножества равностепенно непрерывна. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
• Пусть и будут TVS и предположим, что (1) является бочкообразным , или же (2) является пространством Бэра и и локально выпуклы. Тогда каждое просто ограниченное подмножество является равностепенно непрерывным. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
• На равностепенно непрерывном подмножестве следующие топологии идентичны: (1) топология поточечной сходимости на полном подмножестве ; (2) топология поточечной сходимости; (3) топология предкомпактной сходимости. ^[11] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y),}$ ${\displaystyle X}$

Компактная сходимость

Если множество всех компактных подмножеств множества будет иметь топологию компактной сходимости или топологию равномерной сходимости на компактных множествах и с этой топологией обозначается как . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$

Топология компактной сходимости на обладает следующими свойствами: ${\displaystyle L(X;Y)}$

• Если — пространство Фреше или LF-пространство и если — полное локально выпуклое хаусдорфово пространство, то является полным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$
• На равностепенно непрерывных подмножествах следующие топологии совпадают: ${\displaystyle L(X;Y),}$
  • Топология поточечной сходимости на плотном подмножестве ${\displaystyle X,}$
  • Топология поточечной сходимости на ${\displaystyle X,}$
  • Топология компактной сходимости.
  • Топология предкомпактной сходимости.
• Если — пространство Монтеля , а — топологическое векторное пространство, то и имеют одинаковые топологии. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Топология ограниченной сходимости

Если множество всех ограниченных подмножеств будет иметь топологию ограниченной сходимости на или топологию равномерной сходимости на ограниченных множествах и с этой топологией обозначается как . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Топология ограниченной сходимости на обладает следующими свойствами: ${\displaystyle L(X;Y)}$

• Если — борнологическое пространство и если — полное локально выпуклое хаусдорфово пространство, то — полное. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
• Если и являются нормированными пространствами, то топология на , индуцированная обычной операторной нормой, идентична топологии на . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • В частности, если — нормированное пространство, то обычная топология нормы на непрерывном сопряженном пространстве идентична топологии ограниченной сходимости на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Каждое равностепенно непрерывное подмножество ограничено в . ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Полярные топологии

Везде мы предполагаем, что это TVS. ${\displaystyle X}$

𝒢-топологии против полярных топологий

Если — TVS, ограниченные подмножества которого в точности совпадают со слабо ограниченными подмножествами (например, если — локально выпуклое хаусдорфово пространство), то -топология на (как определено в этой статье) является полярной топологией и наоборот, каждая полярная топология, если — -топология . Следовательно, в этом случае результаты, упомянутые в этой статье, могут быть применены к полярным топологиям. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Однако, если — TVS, ограниченные подмножества которого не совпадают с его слабо ограниченными подмножествами, то понятие «ограниченный в » сильнее понятия « -ограниченный в » (т.е. ограниченный в подразумевает -ограниченный в ), так что -топология на (как определено в этой статье) не обязательно является полярной топологией. Одно важное отличие состоит в том, что полярные топологии всегда локально выпуклы, тогда как -топологии не обязательно являются таковыми. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Полярные топологии дают более сильные результаты, чем более общие топологии равномерной сходимости, описанные в этой статье, и мы отсылаем читателей к основной статье: полярная топология . Мы перечислим здесь некоторые из наиболее распространенных полярных топологий.

Список полярных топологий

Предположим, что — TVS, ограниченные подмножества которого совпадают со слабо ограниченными подмножествами. ${\displaystyle X}$

Обозначение : Если обозначает полярную топологию на , то , наделенный этой топологией, будет обозначаться через или просто (например, для мы имели бы так, что и все обозначаются через , наделенные ). ${\displaystyle \Delta (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

𝒢-ℋ топологии на пространствах билинейных отображений

Обозначим пространство раздельно непрерывных билинейных отображений и обозначим пространство непрерывных билинейных отображений, где и являются топологическими векторными пространствами над одним и тем же полем (действительных или комплексных чисел). Аналогично тому, как мы разместили топологию на , мы можем разместить топологию на и . ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$

Пусть (соответственно, ) — семейство подмножеств (соответственно, ), содержащих хотя бы одно непустое множество. Пусть обозначает совокупность всех множеств , где Мы можем разместить на -топологии , а следовательно, и на любом из ее подмножеств, в частности на и на . Эта топология известна как -топология или как топология равномерной сходимости на произведениях . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}.}$ ${\displaystyle Z^{X\times Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$

Однако, как и прежде, эта топология не обязательно совместима со структурой векторного пространства или без дополнительного требования, что для всех билинейных отображений в этом пространстве (то есть в или в ) и для всех и множество ограничено в Если и состоят из ограниченных множеств, то это требование автоматически выполняется, если мы топологизируем , но это может быть не так, если мы пытаемся топологизировать . -Топология на будет совместима со структурой векторного пространства , если и состоят из ограниченных множеств и выполняется любое из следующих условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}},}$ ${\displaystyle b(G,H)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• ${\displaystyle X}$и являются бочкообразными пространствами и локально выпуклы. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$
• ${\displaystyle X}$является F-пространством , метризуемым и хаусдорфовым, в этом случае ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)=B(X,Y;Z).}$
• ${\displaystyle X,Y,}$и являются сильными дуалами рефлексивных пространств Фреше. ${\displaystyle Z}$
• ${\displaystyle X}$нормировано и является сильным дуальным пространством рефлексивных пространств Фреше. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

ε-топология

Предположим, что и являются локально выпуклыми пространствами, и пусть и являются наборами равностепенно непрерывных подмножеств и , соответственно. Тогда -топология на будет топологической топологией векторного пространства. Эта топология называется ε-топологией и с этой топологией обозначается или просто ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }-{\mathcal {H}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)};Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$

Часть важности этого векторного пространства и этой топологии заключается в том, что оно содержит много подпространств, таких как которые мы обозначаем как Когда это подпространство задано, его топология подпространства обозначается как ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$

В случае, когда — поле этих векторных пространств, — тензорное произведение и В самом деле, если и — локально выпуклые хаусдорфовы пространства, то — векторное пространство, изоморфное которому, в свою очередь, равно ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}\right),}$ ${\displaystyle L\left(X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y\right).}$

Эти пространства обладают следующими свойствами:

• Если и — локально выпуклые хаусдорфовы пространства, то является полным тогда и только тогда, когда оба и являются полными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Если и оба нормированы (соответственно, оба банаховы), то так же будет и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

Смотрите также

• Борнологическое пространство  – пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Ограниченный линейный оператор  – Линейное преобразование между топологическими векторными пространствамиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Двойная система
• Двойная топология
• Список топологий  – Список конкретных топологий и топологических пространств
• Режимы сходимости  – Свойство последовательности или ряда
• Норма оператора  – мера «размера» линейных операторов.
• Полярная топология  – двойственная топология пространства равномерной сходимости на некоторой подгруппе ограниченных подмножеств
• Сильное дуальное пространство  – непрерывное дуальное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Равномерная сходимость  – Способ сходимости последовательности функций.
• Равномерное пространство  – топологическое пространство с понятием равномерных свойств.
• Слабая топология  – Математический термин
  • Неопределенная топология

Ссылки

1. Поскольку это всего лишь набор, который пока не предполагается наделенным какой-либо структурой векторного пространства, пока не следует предполагать, что он состоит из линейных отображений, что является обозначением, которое в настоящее время не может быть определено. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F\subseteq Y^{T}}$

1. Обратите внимание, что каждое множество является окрестностью начала координат для этой топологии, но не обязательно является открытой окрестностью начала координат. ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$
2. Шефер и Вольф 1999, стр. 79–88.
3. На практике обычно состоит из набора множеств с определенными свойствами, и это название соответствующим образом изменяется, чтобы отразить этот набор, так что если, например, является набором компактных подмножеств (и является топологическим пространством), то эта топология называется топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T.}$
4. Narici & Beckenstein 2011, стр. 19–45.
5. Jarchow 1981, стр. 43–55.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 371–423.
7. Grothendieck 1973, стр. 1–13.
8. Шефер и Вольф 1999, стр. 81.
9. Трев 2006, Глава 32.
10. Шефер и Вольф 1999, стр. 80.
11. Шефер и Вольф 1999, стр. 83.
12. Шефер и Вольф 1999, стр. 117.
13. Шефер и Вольф 1999, стр. 82.
14. Шефер и Вольф 1999, стр. 87.

Библиография

• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . North-Holland Mathematics Studies. Том 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.