Теорема Пикара – Линделёфа

Существование и единственность решений начальных задач

В математике , особенно при изучении дифференциальных уравнений , теорема Пикара-Линделефа дает набор условий, при которых начальная задача имеет единственное решение. Она также известна как теорема существования Пикара , теорема Коши-Липшица или теорема существования и единственности .

Теорема названа в честь Эмиля Пикара , Эрнста Линделёфа , Рудольфа Липшица и Огюстена-Луи Коши .

Теорема

Позвольте быть замкнутым прямоугольником с внутренней частью . Пусть – функция, непрерывная по и липшицева по . Тогда существует такое ε > 0 , что начальная задача ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \operatorname {int} D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}.}$

имеет единственное решение на отрезке . ^{[1] [2]} ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$

Эскиз доказательства

Доказательство основано на преобразовании дифференциального уравнения и применении банаховой теоремы о неподвижной точке . Интегрируя обе части, любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, должна также удовлетворять интегральному уравнению

${\displaystyle y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds.}$

Простое доказательство существования решения получается путем последовательных приближений. В этом контексте метод известен как итерация Пикара .

Набор

${\displaystyle \varphi _{0}(t)=y_{0}}$

и

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi _{k}(s))\,ds.}$

Затем можно показать, используя теорему Банаха о неподвижной точке , что последовательность «итераций Пикара» φ _k сходится и что предел является решением проблемы. Применение леммы Грёнвалля к | φ ( т ) - ψ ( т )| , где φ и ψ — два решения, показывает, что φ ( t ) = ψ ( t ) , тем самым доказывая глобальную уникальность (локальная уникальность является следствием уникальности банаховой неподвижной точки).

Инструкции см. в методе последовательного приближения Ньютона .

Пример итерации Пикара

Четыре шага итерации Пикара и их предел

Пусть решение уравнения с начальным условием. Начиная с итерации ${\displaystyle y(t)=\tan(t),}$ ${\displaystyle y'(t)=1+y(t)^{2}}$ ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}=0,t_{0}=0.}$ ${\displaystyle \varphi _{0}(t)=0,}$

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=\int _{0}^{t}(1+(\varphi _{k}(s))^{2})\,ds}$

так что : ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to y(t)}$

${\displaystyle \varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(1+0^{2})\,ds=t}$

${\displaystyle \varphi _{2}(t)=\int _{0}^{t}(1+s^{2})\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}}$

${\displaystyle \varphi _{3}(t)=\int _{0}^{t}\left(1+\left(s+{\frac {s^{3}}{3}}\right)^{2}\right)\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {2t^{5}}{15}}+{\frac {t^{7}}{63}}}$

и так далее. Очевидно, функции вычисляют разложение в ряд Тейлора нашего известного решения. Поскольку имеет полюсы, при этом сходится к локальному решению только не на всех . ${\displaystyle y=\tan(t).}$ ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {\pi }{2}},}$ ${\displaystyle |t|<{\tfrac {\pi }{2}},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Пример неединственности

Чтобы понять уникальность решений, рассмотрим следующие примеры. ^[3] Дифференциальное уравнение может иметь точку покоя. Например, для уравненияумри/дт= ay ( ), стационарным решением является y ( t ) = 0 , которое получается для начального условия y (0) = 0 . Начиная с другого начального условия y (0) = y ₀ ≠ 0 , решение y ( t ) стремится к стационарной точке, но достигает ее только на пределе бесконечного времени, поэтому единственность решений (за все конечные времена) равна гарантировано. ${\displaystyle a<0}$

Однако для уравнения, в котором стационарное решение достигается за конечное время, единственность не достигается. Это происходит, например, для уравненияумри/дт= да^2/3, который имеет по крайней мере два решения, соответствующие начальному условию y (0) = 0, такие как: y ( t ) = 0 или

${\displaystyle y(t)={\begin{cases}\left({\tfrac {at}{3}}\right)^{3}&t<0\\\ \ \ \ 0&t\geq 0,\end{cases}}}$

поэтому предыдущее состояние системы не определяется однозначно ее состоянием после t = 0. Теорема единственности не применима, поскольку функция f  ( y ) = y ^2/3имеет бесконечный наклон при y = 0 и, следовательно, не является липшицевым, что нарушает условия теоремы.

Подробное доказательство

Позволять

${\displaystyle C_{a,b}={\overline {I_{a}(t_{0})}}\times {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$

где:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I_{a}(t_{0})}}&=[t_{0}-a,t_{0}+a]\\{\overline {B_{b}(y_{0})}}&=[y_{0}-b,y_{0}+b].\end{aligned}}}$

Это компактный цилиндр, в котором     определено f . Позволять

${\displaystyle M=\sup _{C_{a,b}}\|f\|,}$

это верхняя граница ( абсолютных значений ) наклонов функции. Наконец, пусть L — константа Липшица функции f относительно второй переменной.  

Мы продолжим применять банахову теорему о неподвижной точке, используя метрику на, индуцированную равномерной нормой ${\displaystyle {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

${\displaystyle \|\varphi \|_{\infty }=\sup _{t\in I_{a}}|\varphi (t)|.}$

Мы определяем оператор между двумя функциональными пространствами непрерывных функций, оператор Пикара, следующим образом:

${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))\longrightarrow {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

определяется:

${\displaystyle \Gamma \varphi (t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds.}$

Мы должны показать, что этот оператор отображает полное непустое метрическое пространство X в себя, а также является сжимающим отображением .

Сначала покажем, что при определенных ограничениях на , принимает в себя пространство непрерывных функций с равномерной нормой. Здесь – замкнутый шар в пространстве непрерывных (и ограниченных ) функций, «центрированный» в постоянной функции . Следовательно, нам нужно показать, что ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$ ${\displaystyle {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$ ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle \|\varphi -y_{0}\|_{\infty }\leq b}$

подразумевает

${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi (t)-y_{0}\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t'}\left\|f(s,\varphi (s))\right\|ds\leq \int _{t_{0}}^{t'}M\,ds=M\left|t'-t_{0}\right|\leq Ma\leq b}$

где - некоторое число, при котором достигается максимум. Последнее неравенство в цепочке верно, если мы наложим требование . ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle [t_{0}-a,t_{0}+a]}$ ${\displaystyle a<{\frac {b}{M}}}$

Теперь докажем, что этот оператор является сжимающим отображением.

Учитывая две функции , чтобы применить теорему Банаха о неподвижной точке, нам потребуется ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right\|_{\infty }\leq q\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty },}$

для некоторых . Итак, пусть будет так, что ${\displaystyle 0\leq q<1}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\|_{\infty }=\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|.}$

Тогда, используя определение , ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|&=\left\|\int _{t_{0}}^{t}\left(f(s,\varphi _{1}(s))-f(s,\varphi _{2}(s))\right)ds\right\|\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}(s)-\varphi _{2}(s)\right\|ds&&{\text{since }}f{\text{ is Lipschitz-continuous}}\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\,ds\\&\leq La\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\end{aligned}}}$

Это сокращение, если ${\displaystyle a<{\tfrac {1}{L}}.}$

Мы установили, что оператор Пикара является сжатием банаховых пространств с метрикой, индуцированной равномерной нормой. Это позволяет нам применить теорему Банаха о неподвижной точке и заключить, что оператор имеет единственную неподвижную точку. В частности, существует уникальная функция

${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

такой, что Γ φ = φ . Эта функция является единственным решением задачи начального значения, действительным на интервале I _a , где a удовлетворяет условию

${\displaystyle a<\min \left\{{\tfrac {b}{M}},{\tfrac {1}{L}}\right\}.}$

Оптимизация интервала решения

Мы хотим убрать зависимость интервала Ia от _L. С этой целью существует следствие теоремы Банаха о неподвижной точке: если оператор Tn ^{является} сжатием для некоторого n из N , то T имеет единственную неподвижную точку. Прежде чем применять эту теорему к оператору Пикара, напомним следующее:

Лемма  —  для всех ${\displaystyle \left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}(t)-\Gamma ^{m}\varphi _{2}(t)\right\|\leq {\frac {L^{m}|t-t_{0}|^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|}$ ${\displaystyle t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]}$

Доказательство. Индукция по м . Для базы индукции ( m = 1 ) мы это уже видели, поэтому предположим, что неравенство справедливо для m − 1 , тогда мы имеем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}(t)-\Gamma ^{m}\varphi _{2}(t)\right\|&=\left\|\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(t)-\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(t)\right\|\\&\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)-\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}{\frac {L^{m-1}|s-t_{0}|^{m-1}}{(m-1)!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|ds\right|\\&\leq {\frac {L^{m}|t-t_{0}|^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|.\end{aligned}}}$$

Принимая супремум, мы видим это . ${\displaystyle t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]}$ ${\displaystyle \left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\|\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|}$

Это неравенство гарантирует , что для некоторых больших m

$${\displaystyle {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}<1,}$$

^mα = min{ a ,б/М}

В конечном итоге этот результат показывает, что интервал определения решения не зависит от константы Липшица поля, а только от интервала определения поля и его максимального абсолютного значения.

Другие теоремы существования

Теорема Пикара–Линделёфа показывает, что решение существует и единственно. Теорема существования Пеано показывает только существование, а не единственность, но предполагает только то, что f непрерывна по y , а не липшицева непрерывна . Например, правая часть уравнения  умри/дт= у^1/3с начальным условием y (0) = 0 непрерывна, но не липшицева. Действительно, это уравнение не уникально, а имеет как минимум три решения: ^[4]

${\displaystyle y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}}$.

Еще более общей является теорема существования Каратеодори , которая доказывает существование (в более общем смысле) при более слабых условиях на f . Хотя эти условия являются только достаточными, существуют также необходимые и достаточные условия для единственности решения начальной задачи, такие как теорема Окамуры . ^[5]  

Смотрите также

• Математический портал

• Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)
• Условия интегрируемости дифференциальных систем.
• метод Ньютона
• метод Эйлера
• Правило трапеции

Примечания

1. Коддингтон и Левинсон (1955), Теорема I.3.1
2. Мюррей, Фрэнсис; Миллер, Кеннет. Теоремы существования обыкновенных дифференциальных уравнений . п. 50.
3. Арнольд, VI (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Массачусетский технологический институт Пресс. ISBN 0-262-51018-9.
4. Коддингтон и Левинсон (1955), с. 7
5. Агарвал, Рави П.; Лакшмикантам, В. (1993). Критерии единственности и неединственности обыкновенных дифференциальных уравнений. Всемирная научная. п. 159. ИСБН 981-02-1357-3.

Рекомендации

• Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . МакГроу-Хилл . ISBN 9780070992566.
• Линделеф, Э. (1894). «Применение метода последовательных приближений к différentielles ordinaires du premier ordre». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 118 : 454–7.(В этой статье Линделеф обсуждает обобщение более раннего подхода Пикара.)
• Тешль, Джеральд (2012). «2.2. Основной результат существования и единственности» (PDF) . Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Аспирантура по математике . Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 38. eISSN  2376-9203. ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN  1065-7339. Збл  1263.34002.

Внешние ссылки

• «Теорема Коши-Липшица». Энциклопедия математики .
• Фиксированные точки и алгоритм Пикара, взято с http://www.krellinst.org/UCES/archive/classes/CNA/dir2.6/uces2.6.html.
• Грант, Кристофер (1999). «Лекция 4: Теорема Пикара-Линделёфа» (PDF) . Математика 634: Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Департамент математики Университета Бригама Янга.