Рациональное ценообразование

Рациональное ценообразование — это предположение в финансовой экономике , что цены активов — и, следовательно, модели ценообразования активов — будут отражать безарбитражную цену актива, поскольку любое отклонение от этой цены будет «арбитражировано». Это предположение полезно при ценообразовании ценных бумаг с фиксированным доходом, в частности облигаций, и является основополагающим для ценообразования производных инструментов.

Механика арбитража

Арбитраж — это практика использования в своих интересах состояния дисбаланса между двумя (или, возможно, более) рынками. Там, где это несоответствие может быть использовано (т. е. после вычета транзакционных издержек, расходов на хранение, транспортных расходов, дивидендов и т. д.), арбитражер может «зафиксировать» безрисковую прибыль, покупая и продавая одновременно на обоих рынках.

В целом арбитраж обеспечивает соблюдение « закона единой цены »; арбитраж также выравнивает цены активов с идентичными денежными потоками и устанавливает цену активов с известными будущими денежными потоками.

Закон единой цены

Один и тот же актив должен торговаться по одинаковой цене на всех рынках (« закон единой цены »). Если это не так, арбитражер:

купить актив на рынке, где он имеет более низкую цену, и одновременно продать его ( короткая позиция ) на втором рынке по более высокой цене
доставить актив покупателю и получить более высокую цену
Вырученные средства платите продавцу на более дешевом рынке, а разницу кладите себе в карман.

Активы с идентичными денежными потоками

Два актива с идентичными денежными потоками должны торговаться по одинаковой цене. Если это не так, арбитражер будет:

продать актив с более высокой ценой ( короткая продажа ) и одновременно купить актив с более низкой ценой
финансировать покупку более дешевого актива за счет выручки от продажи дорогого актива и положить разницу себе в карман
выполнить свои обязательства перед покупателем дорогого актива, используя денежные потоки от более дешевого актива.

Актив с известной будущей ценой

Актив с известной ценой в будущем должен сегодня торговаться по этой цене, дисконтированной по безрисковой ставке .

Обратите внимание, что это условие можно рассматривать как применение вышеизложенного, где двумя рассматриваемыми активами являются актив, подлежащий поставке, и безрисковый актив.

(а) если дисконтированная будущая цена выше сегодняшней цены:

Арбитражер соглашается поставить актив в будущем (т.е. продает форвард ) и одновременно покупает его сегодня за заемные деньги.
В день поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную цену.
Затем он возвращает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между согласованной ценой и возвращенной (т.е. причитающейся) суммой составляет арбитражную прибыль.

(б) если дисконтированная будущая цена ниже сегодняшней цены:

Арбитражер соглашается заплатить за актив в будущем (т.е. покупает форвард ) и одновременно продает ( шортит ) базовый актив сегодня; он инвестирует (или кладет в банк) вырученные средства.
В день поставки он обналичивает погашаемую инвестицию, которая выросла по безрисковой ставке.
Затем он принимает поставку базового актива и платит согласованную цену, используя погашенную инвестицию.
Разница между стоимостью погашения и согласованной ценой составляет арбитражную прибыль.

Пункт (b) возможен только для тех, кто держит актив, но не нуждается в нем до будущей даты. Таких сторон может быть немного, если краткосрочный спрос превышает предложение, что приводит к бэквордации .

Ценные бумаги с фиксированным доходом

См. также Арбитраж с фиксированным доходом ; Кредитный рейтинг облигаций .

Рациональное ценообразование — один из подходов, используемых при ценообразовании облигаций с фиксированной ставкой . Здесь каждый денежный поток по облигации может быть сопоставлен путем торговли либо (a) некоторым кратным нулевым купоном , ZCB, соответствующим каждой дате купона и эквивалентной кредитоспособности (если возможно, от того же эмитента, что и оцениваемая облигация) с соответствующим сроком погашения, либо (b) полосой, соответствующей каждому купону, и ZCB для возврата основного долга при погашении. Затем, учитывая, что денежные потоки могут быть воспроизведены, цена облигации сегодня должна равняться сумме каждого из ее денежных потоков, дисконтированных по той же ставке, что и каждый ZCB (по § Активы с идентичными денежными потоками). Если бы это было не так, арбитраж был бы возможен и привел бы цену обратно в соответствие с ценой, основанной на ZCB. Механика такова.

Если цена облигации не соответствует текущей стоимости ZCB, арбитражер может:

профинансировать ее покупку любой облигации или суммы ZCB, которая была дешевле
путем короткой продажи другого
и выполнение своих обязательств по денежному потоку с использованием купонов или погашения нулей по мере необходимости
тогда ее прибыль будет равна разнице между двумя значениями.

Формула ценообразования тогда выглядит так : , где каждый денежный поток дисконтируется по ставке , которая соответствует дате купона. Часто формула выражается как , используя цены вместо ставок, поскольку цены более доступны. $P_{0}=\sum _{t=1}^{T}{\frac {C_{t}}{(1+r_{t})^{t}}}$ $C_{t}\,$ $r_{t}\,$ $P_{0}=\sum _{t=1}^{T}C(t)\times P(t)$

Моделирование кривой доходности

Согласно изложенной логике, рациональное ценообразование применимо также к моделированию процентных ставок в более общем плане. Здесь кривые доходности в целом должны быть безарбитражными по отношению к ценам отдельных инструментов . Если бы это было не так, ZCB, подразумеваемые кривой, привели бы к котировкам цен облигаций, например, отличающимся от тех, которые наблюдаются на рынке, что представляет арбитражную возможность. Инвестиционные банки и другие маркет-мейкеры здесь, таким образом, вкладывают значительные ресурсы в «разборку кривой». См. Bootstrapping (финансы) и Multi-curve framework для используемых методов, и Model risk для дальнейшего обсуждения.

Ценообразование деривативов

Дериватив — это инструмент, позволяющий покупать и продавать один и тот же актив на двух рынках — на спотовом рынке и рынке деривативов . Математические финансы предполагают, что любой дисбаланс между двумя рынками будет устранен арбитражем. Таким образом, в правильно оцененном деривативном контракте цена дериватива, цена исполнения (или базовая ставка ) и спотовая цена будут связаны таким образом, что арбитраж невозможен. См. Фундаментальную теорему о ценообразовании без арбитража .

Фьючерсы

В фьючерсном контракте , чтобы арбитраж был невозможен, цена, уплачиваемая при доставке ( форвардная цена ), должна быть такой же, как стоимость (включая проценты) покупки и хранения актива. Другими словами, рациональная форвардная цена представляет собой ожидаемую будущую стоимость базового актива , дисконтированную по безрисковой ставке («актив с известной будущей ценой», как указано выше); см. Спот-фьючерсный паритет . Таким образом, для простого актива, не выплачивающего дивиденды, стоимость фьючерса/форварда, будет найдена путем накопления текущей стоимости на момент погашения по ставке безрисковой доходности . $F(t)\,$ $S(t)\,$ $т\,$ $Т\,$ $r\,$

F(t)=S(t)\times (1+r)^{(Tt)}\,

Это соотношение может быть изменено для затрат на хранение, дивидендов, дивидендной доходности и доходности по удобству; см. ценообразование фьючерсных контрактов .

Любое отклонение от этого равенства допускает арбитраж следующим образом.

В случае, если форвардная цена выше :

Арбитражер продает фьючерсный контракт и покупает базовый актив сегодня (на спотовом рынке) за счет заемных средств.
В день поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную форвардную цену.
Затем он возвращает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между двумя суммами и есть арбитражная прибыль.

В случае, если форвардная цена ниже :

Арбитражер покупает фьючерсный контракт и продает базовый актив сегодня (на спотовом рынке); вырученные средства он инвестирует.
В день поставки он обналичивает погашаемую инвестицию, которая выросла по безрисковой ставке.
Затем он получает базовый актив и платит согласованную форвардную цену, используя погашаемую инвестицию. [Если у него была короткая позиция по базовому активу, он возвращает ее сейчас.]
Разница между двумя суммами и есть арбитражная прибыль.

Свопы

Рациональное ценообразование лежит в основе логики оценки свопа . Здесь два контрагента «обмениваются» обязательствами, фактически обмениваясь потоками денежных потоков, рассчитанными по условной основной сумме, а стоимость свопа представляет собой текущую стоимость (ТС) обоих наборов будущих денежных потоков, «вычтенных» друг против друга.

Чтобы быть свободным от арбитража, условия свопового контракта таковы, что изначально чистая текущая стоимость этих будущих денежных потоков равна нулю; см. Своп (финансы) § Оценка и ценообразование . После торговли свопы могут (должны) также оцениваться с использованием рационального ценообразования.

Приведенные ниже примеры относятся к процентным свопам и являются примером чистого рационального ценообразования, поскольку они исключают кредитный риск , хотя этот принцип применим к любому типу свопа .

Первоначальная оценка

Рассмотрим своп процентной ставки с фиксированной на плавающую, где Сторона A платит фиксированную ставку (« ставка свопа »), а Сторона B платит плавающую ставку. Здесь фиксированная ставка будет такой, что текущая стоимость будущих платежей по фиксированной ставке Стороной A будет равна текущей стоимости ожидаемых будущих платежей по плавающей ставке (т. е. NPV равна нулю). Если бы это было не так, арбитражер C мог бы:

Предположим, что мы находимся в положении с более низкой приведенной стоимостью платежей и занимаем средства, равные этой приведенной стоимости.
Выполнять обязательства по денежным потокам по позиции, используя заемные средства, и получать соответствующие платежи, имеющие более высокую текущую стоимость
Полученные платежи использовать для погашения задолженности по заемным средствам.
Присвойте разницу – разница между текущей стоимостью кредита и текущей стоимостью притоков является арбитражной прибылью.

Последующая оценка

Плавающая часть процентного свопа может быть «разложена» на ряд соглашений о форвардной ставке . Здесь, поскольку своп имеет идентичные платежи в FRA, должно применяться арбитражное ценообразование, как указано выше, т. е. стоимость этой части равна стоимости соответствующих FRA. Аналогично, «получить-фиксированная» часть свопа может быть оценена путем сравнения с облигацией с тем же графиком платежей. (Соответственно, учитывая, что их базовые активы имеют одинаковые денежные потоки, опционы на облигации и свопционы являются равными.) См. далее в разделе Своп (финансы) § Использование цен облигаций .

Параметры

Как и выше, если стоимость актива в будущем известна (или ожидается), эта стоимость может быть использована для определения рациональной цены актива сегодня. Однако в опционном контракте исполнение зависит от цены базового актива, и, следовательно, платеж неопределен. Поэтому модели ценообразования опционов включают логику, которая либо «фиксирует», либо «выводит» эту будущую стоимость; оба подхода дают идентичные результаты. Методы, которые фиксируют будущие денежные потоки, предполагают безарбитражное ценообразование , а те, которые выводят ожидаемую стоимость, предполагают оценку, нейтральную к риску .

Для этого (в их простейшей, хотя и широко используемой форме) оба подхода предполагают «биномиальную модель» поведения базового инструмента , которая допускает только два состояния — вверх или вниз. Если S — текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо S вверх, либо S вниз . Здесь стоимость акции в состоянии вверх равна S × u, а в состоянии вниз — S × d (где u и d — множители с d < 1 < u и предполагая, что d < 1+r < u; см. модель биномиальных опционов ). Затем, учитывая эти два состояния, «безарбитражный» подход создает позицию, которая имеет одинаковую стоимость в любом состоянии — следовательно, известен денежный поток за один период, и применимо арбитражное ценообразование. Нейтральный по риску подход выводит ожидаемую стоимость опциона из внутренних значений в двух последних узлах.

Хотя эта логика кажется далекой от формулы Блэка-Шоулза и решеточного подхода в модели биномиальных опционов , на самом деле она лежит в основе обеих моделей; см. The Black-Scholes PDE . Предположение о биномиальном поведении в базовой цене оправдано, поскольку количество временных шагов между сегодняшним днем (оценка) и исполнением увеличивается, а период на временной шаг соответственно становится коротким. Модель биномиальных опционов допускает большое количество очень коротких временных шагов (если закодирована правильно), в то время как модель Блэка-Шоулза, по сути, моделирует непрерывный процесс .

В примерах ниже в качестве базового актива используются акции, но их можно обобщить и на другие инструменты. Стоимость опциона пут может быть получена, как указано ниже, или может быть найдена из стоимости колл-опциона с использованием паритета пут-колл .

Арбитражное ценообразование

Здесь будущая выплата "запирается" с помощью "дельта-хеджирования" или подхода " реплицирующего портфеля ". Как и выше, эта выплата затем дисконтируется, и результат используется при оценке опциона сегодня.

Дельта-хеджирование

Можно создать позицию, состоящую из Δ акций и 1 проданного колла , так что стоимость позиции будет одинаковой в состояниях S вверх и S вниз , и, следовательно, будет известна с уверенностью (см. Дельта-хеджирование ). Это определенное значение соответствует форвардной цене выше («Актив с известной будущей ценой»), и, как и выше, для того, чтобы арбитраж был невозможен, текущая стоимость позиции должна быть ее ожидаемой будущей стоимостью, дисконтированной по безрисковой ставке r . Затем стоимость колла находится путем приравнивания двух.

Решите относительно Δ так, чтобы:
стоимость позиции за один период = Δ × S вверх - ( S вверх – цена исполнения, 0) = Δ × S вниз - ( S вниз – цена исполнения, 0) $макс$ $макс$
Определите значение колла, используя Δ, где:
стоимость позиции сегодня = стоимость позиции за один период ÷ (1 + r) = Δ × S текущая – стоимость колла

Реплицирующий портфель

Можно создать позицию, состоящую из Δ акций и $ B, взятых взаймы по безрисковой ставке, что даст идентичные денежные потоки одному опциону на базовую акцию. Созданная позиция известна как «реплицирующий портфель», поскольку ее денежные потоки повторяют денежные потоки опциона. Как показано выше («Активы с идентичными денежными потоками»), при отсутствии арбитражных возможностей, поскольку полученные денежные потоки идентичны, цена опциона сегодня должна быть такой же, как и стоимость позиции сегодня.

Решите одновременно относительно Δ и B так, чтобы:
- Δ × S вверх - B × (1 + r) = (0, S вверх – цена исполнения) $\макс$
- Δ × S вниз - B × (1 + r) = (0, S вниз – цена исполнения) $\макс$
Определите стоимость колла, используя Δ и B, где:
- вызов = Δ × S ток - B

Обратите внимание, что здесь нет дисконтирования — процентная ставка появляется только как часть конструкции. Поэтому этот подход используется вместо других, где неясно, может ли безрисковая ставка применяться как ставка дисконтирования в каждой точке принятия решения, или вместо этого потребуется премия за безрисковую ставку , различающаяся по штатам. Лучшим примером этого будет анализ реальных опционов ^[1] , где действия руководства фактически изменяют характеристики риска рассматриваемого проекта, и, следовательно, требуемая норма доходности может отличаться в состояниях роста и падения. Здесь, в приведенных выше формулах, мы имеем: «Δ × S вверх - B × (1 + r вверх )...» и «Δ × S вниз - B × (1 + r вниз )...». См. Оценка реальных опционов § Технические соображения . (Другим случаем, когда предположения моделирования могут отходить от рационального ценообразования, является оценка опционов на акции сотрудников .)

Оценка риска нейтральная

Здесь стоимость опциона рассчитывается с использованием предположения о нейтральности риска . При этом предположении « ожидаемое значение » (в отличие от «заблокированного» значения) дисконтируется . Ожидаемое значение рассчитывается с использованием внутренних значений из двух последних узлов: «Опцион вверх» и «Опцион вниз», с u и d в качестве множителей цены, как указано выше. Затем они взвешиваются по их соответствующим вероятностям: «вероятность» p движения вверх в базовом активе и «вероятность» (1-p) движения вниз. Затем ожидаемое значение дисконтируется по r , безрисковой ставке .

Решить для p
В условиях нейтральности к риску, для того чтобы арбитраж по акциям был невозможен, сегодняшняя цена должна представлять собой ее ожидаемую стоимость, дисконтированную по безрисковой ставке (т. е. цена акции представляет собой Мартингейл ):
${\begin{align}S&={\frac {p\times S_{u}+(1-p)\times S_{d}}{1+r}}\\&={\frac {p\times u\times S+(1-p)\times d\times S}{1+r}}\\\Стрелка вправо p&={\frac {(1+r)-d}{ud}}\\\end{align}}$
Решить для значения вызова, используя p
Чтобы арбитраж в колл-опционе был невозможен, сегодняшняя цена должна представлять собой его ожидаемую стоимость, дисконтированную по безрисковой ставке:
${\begin{align}C&={\frac {p\times C_{u}+(1-p)\times C_{d}}{1+r}}\\&={\frac {p\times \max(S_{u}-k,0)+(1-p)\times \max(S_{d}-k,0)}{1+r}}\\\end{align}}$

Предположение о нейтральности риска

Обратите внимание, что вышеприведенная формула нейтрального риска не относится к ожидаемой или прогнозируемой доходности базового актива, а его волатильность – p, как решено, относится к мере нейтрального риска в отличие от фактического распределения вероятностей цен. Тем не менее, как арбитражное ценообразование, так и нейтральная к риску оценка дают идентичные результаты. Фактически, можно показать, что «дельта-хеджирование» и «нейтральная к риску оценка» используют идентичные формулы, выраженные по-разному. Учитывая эту эквивалентность, допустимо предполагать «нейтральность риска» при ценообразовании деривативов. Более формальная связь описывается с помощью фундаментальной теоремы о безарбитражном ценообразовании .

Ценообразование акций

Теория арбитражного ценообразования (APT), общая теория ценообразования активов , стала влиятельной в ценообразовании акций . APT утверждает, что ожидаемая доходность финансового актива может быть смоделирована как линейная функция различных макроэкономических факторов, где чувствительность к изменениям каждого фактора представлена коэффициентом бета , специфичным для данного фактора :

E\left(r_{j}\right)=r_{f}+b_{j1}F_{1}+b_{j2}F_{2}+...+b_{jn}F_{n}+\epsilon _{j}

где

$E(r_{j})$ ожидаемая доходность рискованного актива,
$r_{f}$ это безрисковая ставка ,
$F_{k}$ макроэкономический фактор,
$b_{jk}$ чувствительность актива к фактору , $к$
и представляет собой своеобразный случайный шок рискованного актива со средним значением, равным нулю. $\epsilon _{j}$

Полученная на основе модели норма доходности затем будет использоваться для правильной оценки актива — цена актива должна равняться ожидаемой цене на конец периода, дисконтированной по ставке, подразумеваемой моделью. Если цена отклоняется, арбитраж должен привести ее в соответствие. Здесь, чтобы выполнить арбитраж, инвестор «создает» правильно оцененный актив ( синтетический актив), портфель с тем же чистым воздействием на каждый из макроэкономических факторов, что и неправильно оцененный актив, но с другой ожидаемой доходностью. Подробности построения портфеля см. в статье о теории арбитражного ценообразования . Затем арбитражер может получить безрисковую прибыль следующим образом:

Если цена актива слишком низкая, портфель должен был вырасти по ставке, подразумеваемой APT, тогда как неправильно оцененный актив вырос бы по более высокой ставке. Таким образом, арбитражер мог бы:

Сегодня: продайте портфель без покрытия и на вырученные средства купите неправильно оцененный актив.
В конце периода: продать неправильно оцененный актив, использовать вырученные средства для обратного выкупа портфеля и положить разницу себе в карман.

Если цена актива слишком высока, портфель должен был вырасти по ставке, подразумеваемой APT, тогда как неправильно оцененный актив вырос бы по ставке ниже этой. Арбитражер мог бы, таким образом:

Сегодня: продайте по короткой цене неправильно оцененный актив и выкупите портфель на вырученные деньги.
В конце периода: продать портфель , использовать вырученные средства для обратного выкупа неправильно оцененного актива и положить разницу в карман.

Обратите внимание, что при «истинном арбитраже» инвестор фиксирует гарантированную выплату, тогда как при арбитраже APT инвестор фиксирует положительную ожидаемую выплату. Таким образом, APT предполагает «арбитраж в ожиданиях» – т. е. арбитраж инвесторов приведет цены активов в соответствие с доходностью, ожидаемой моделью.

Модель ценообразования капитальных активов (CAPM) — более ранняя, (более) влиятельная теория ценообразования активов. Хотя CAPM и основана на других предположениях, ее можно в некотором смысле считать «особым случаем» APT; в частности, линия рынка ценных бумаг CAPM представляет собой однофакторную модель цены актива, где бета — это подверженность изменениям «стоимости рынка» в целом.

Безарбитражное ценообразование в условиях системного риска

Классические методы оценки, такие как модель Блэка-Шоулза или модель Мертона, не могут учитывать системный риск контрагента, который присутствует в системах с финансовой взаимосвязанностью. ^[2] Более подробную информацию о нейтральной к риску, безарбитражной оценке активов и производных инструментов можно найти в статье о системном риске (см. также оценку в разделе «системный риск »).

Смотрите также

Ссылки

^ См. гл. 23, раздел 5 в: Фрэнк Рейлли, Кит Браун (2011). «Анализ инвестиций и управление портфелем». (10-е издание). South-Western College Pub. ISBN 0538482389
^ Фишер, Том (2014). «Ценообразование без арбитража в условиях системного риска: учет перекрестного владения». Математические финансы . 24 (1): 97–124 (Опубликовано онлайн: 19 июня 2012 г.). arXiv : 1005.0768 . doi : 10.1111/j.1467-9965.2012.00526.x.

Внешние ссылки

Арбитражное ценообразование

Ценообразование по арбитражу, веб-сайт истории экономической мысли
«Фундаментальная теорема» финансов; часть II. Проф. Марк Рубинштейн , Школа бизнеса Хааса
Понятие арбитража и бесплатного обеда в математических финансах, проф. Вальтер Шахермайер

Нейтральность к риску и ценообразование без арбитража

Объяснение нейтральных к риску вероятностей. Николас Гизигер
Оценка риска, нейтральная: мягкое введение, часть II. Университет Джозефа Тама Дьюка

Применение к производным инструментам

Оценка опциона в биномиальной модели ( архив ), проф. Эрнст Мауг, Политехнический институт Ренсселера
Взаимосвязь между фьючерсными и спотовыми ценами, Общество инвестиционных аналитиков Южной Африки
Свопционы и опционы, проф. Дон М. Ченс