Перекрестное умножение

Математическая техника

В математике , в частности в элементарной арифметике и элементарной алгебре , если задано уравнение между двумя дробями или рациональными выражениями , можно выполнить перекрестное умножение , чтобы упростить уравнение или определить значение переменной.

Этот метод также иногда называют методом «перекрести свое сердце», поскольку линии, напоминающие контур сердца, можно рисовать, чтобы запомнить, какие числа следует умножать.

Дано уравнение типа

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

где b и d не равны нулю, можно перемножить их крест-накрест и получить

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{or}}\quad a={\frac {bc}{d}}.}$

В евклидовой геометрии тот же расчет можно выполнить, рассматривая соотношения как отношения подобных треугольников .

Процедура

На практике метод перекрестного умножения означает, что мы умножаем числитель каждой (или одной) стороны на знаменатель другой стороны, фактически перечеркивая члены:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

Математическое обоснование метода основано на следующей более длинной математической процедуре. Если мы начнем с основного уравнения

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

мы можем умножить члены в каждой стороне на одно и то же число, и члены останутся равными. Поэтому, если мы умножим дробь в каждой стороне на произведение знаменателей обеих сторон — bd — мы получим

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$

Мы можем сократить дроби до наименьших членов, заметив, что два вхождения b в левой части сокращаются, как и два вхождения d в правой части, в результате чего получается

${\displaystyle ad=bc,}$

и мы можем разделить обе части уравнения на любой из элементов — в этом случае мы будем использовать d — получая

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}$

Другое обоснование перекрестного умножения следующее. Исходя из данного уравнения

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

умножить на ⁠г/г⁠ = 1 слева и ⁠б/б⁠ = 1 справа, получаем

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},}$

и так

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

Сократим общий знаменатель bd = db , оставив

${\displaystyle ad=cb.}$

Каждый шаг в этих процедурах основан на одном фундаментальном свойстве уравнений . Перекрестное умножение — это сокращенная, легко понимаемая процедура, которой можно научить студентов.

Использовать

Это обычная процедура в математике, используемая для сокращения дробей или вычисления значения заданной переменной в дроби. Если у нас есть уравнение

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},}$

где x — это переменная, которую мы хотим найти, мы можем использовать перекрестное умножение, чтобы определить, что

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

Например, предположим, что мы хотим узнать, какое расстояние проедет автомобиль за 7 часов, если мы знаем, что его скорость постоянна и что он уже проехал 90 миль за последние 3 часа. Преобразовав текстовую задачу в соотношения, мы получаем

${\displaystyle {\frac {x}{7\ {\text{hours}}}}={\frac {90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}}.}$

Перекрестное умножение урожайности

${\displaystyle x={\frac {7\ {\text{hours}}\times 90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}},}$

и так

${\displaystyle x=210\ {\text{miles}}.}$

Альтернативное решение

⁠90миль/3часа⁠ =30 миль в час

Итак, 30 миль в час × 7 часов = 210 миль.

Обратите внимание, что даже простые уравнения, такие как

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

решаются с помощью перекрестного умножения, поскольку отсутствующий член b неявно равен 1:

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

Любое уравнение, содержащее дроби или рациональные выражения, можно упростить, умножив обе стороны на наименьший общий знаменатель . Этот шаг называется очисткой дробей .

Правило трех

Правило трех ^[1] было исторической стенографической версией для определенной формы перекрестного умножения, которую можно было преподавать студентам наизусть. Оно считалось вершиной колониального математического образования ^[2] и до сих пор фигурирует во французской национальной программе среднего образования ^[3] и в программе начального образования Испании. ^[4]

Для уравнения вида

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},}$

где переменная, которую необходимо оценить, находится в правом знаменателе, правило трех гласит, что

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}$

В этом контексте a называется крайним значением пропорции , а b и c называются средними значениями .

Это правило было известно китайским математикам еще до II века н. э. ^[5], хотя в Европе оно стало использоваться гораздо позже.

«Арифметика Кокера» , главный учебник XVII века, начинает обсуждение правила трех ^[6] с задачи «Если 4 ярда ткани стоят 12 шиллингов, сколько будут стоить 6 ярдов по этой цене?» Правило трех дает ответ на эту задачу напрямую; тогда как в современной арифметике мы бы решили ее, введя переменную x для обозначения стоимости 6 ярдов ткани, записав уравнение

${\displaystyle {\frac {4\ {\text{yards}}}{12\ {\text{shillings}}}}={\frac {6\ {\text{yards}}}{x}}}$

а затем с помощью перекрестного умножения вычисляем x :

${\displaystyle x={\frac {12\ {\text{shillings}}\times 6\ {\text{yards}}}{4\ {\text{yards}}}}=18\ {\text{shillings}}.}$

В анонимной рукописи, датированной 1570 годом ^[7], говорилось: «Умножение — досада, / Деление — столь же скверное занятие; / Правило трех озадачивает меня, / А практика сводит меня с ума».

Чарльз Дарвин ссылается на использование им правила трех при оценке числа видов в недавно открытом роде. ^[8] В письме Уильяму Дарвину Фоксу в 1855 году Чарльз Дарвин заявил: «Я не верю ни во что, кроме фактических измерений и правила трех». ^[9] Карл Пирсон принял это заявление в качестве девиза своего недавно основанного журнала Biometrika . ^[10]

Двойное правило трех

Расширением правила трех стало двойное правило трех , которое подразумевало нахождение неизвестного значения там, где известны пять, а не три других значения.

Примером такой задачи может быть: Если 6 строителей могут построить 8 домов за 100 дней, сколько дней потребуется 10 строителям, чтобы построить 20 домов с той же скоростью? , и это можно записать как

${\displaystyle {\frac {\frac {8\ {\text{houses}}}{100\ {\text{days}}}}{6\ {\text{builders}}}}={\frac {\frac {20\ {\text{houses}}}{x}}{10\ {\text{builders}}}},}$

что при перекрестном умножении дважды дает

${\displaystyle x={\frac {20\ {\text{houses}}\times 100\ {\text{days}}\times 6\ {\text{builders}}}{8\ {\text{houses}}\times 10\ {\text{builders}}}}=150\ {\text{days}}.}$

В « Песне безумного садовника » Льюиса Кэрролла есть строки: «Он подумал, что увидел садовую дверь, / Что открывается ключом: / Он посмотрел снова и обнаружил, что это было / Двойное правило трех». ^[11]

Смотрите также

• Кросс-соотношение
• Отношение шансов
• Трайрасика
• Поворот (угол)
• Унитарный метод

Ссылки

1. Иногда это также называют золотым правилом , хотя такое использование встречается редко по сравнению с другими применениями золотого правила . См. E. Cobham Brewer (1898). "Золотое правило". Словарь фраз и басен Брюэра . Филадельфия: Генри Альтемус.
2. Ubiratan D'Ambrósio; Joseph W. Dauben; Karen Hunger Parshall (2014). «Математическое образование в Америке в досовременный период». В Alexander Karp; Gert Schubring (ред.). Справочник по истории математического образования . Springer Science. стр. 177. ISBN 978-1-4614-9155-2.
3. "Socle de connaissances, pilier 3". Министерство образования Франции. 30 декабря 2012 г. Получено 24 сентября 2015 г.
4. «Настоящий декрет 126/2014 от 28 февраля о том, что установлена ​​базовая учебная программа начального образования» . Министерство образования, культуры и депортации. 28 февраля 2014 г. стр. 19349–19420 . Проверено 10 мая 2022 г.
5. Шен Каншен; Джон Н. Кроссли; Энтони В.-К. Лун (1999). Девять глав о математическом искусстве: Компаньон и комментарий . Оксфорд: Oxford University Press.
6. Эдвард Кокер (1702). Арифметика Кокера. Лондон: Джон Хокинс. С. 103.
7. Краткий Оксфордский словарь цитат, 1964.
8. Ариу, Андре (2022). «Чарльз Дарвин как статистический мыслитель». Исследования по истории и философии науки . 95 : 215–223. doi :10.1016/j.shpsa.2022.08.005. PMID  36113233. S2CID  252246047.
9. Стиглер, Стивен М. (7 марта 2016 г.). Семь столпов статистической мудрости (иллюстрированное издание). Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674088917.
10. Стиглер, Стивен М. (7 марта 2016 г.). Семь столпов статистической мудрости (иллюстрированное издание). Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674088917.
11. Сильвия и Бруно , Глава 12.

Дальнейшее чтение

• Брайан Бурелл: Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: Справочник для дома и бизнеса . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , стр. 85-101 
• «Доктор Математика», Правило трех
• «Доктор Математика», Авраам Линкольн и правило трех
• Система арифметики Пайка, сокращенная: предназначенная для облегчения изучения науки чисел, содержащая наиболее ясные и точные правила, проиллюстрированные полезными примерами: к которым добавлены соответствующие вопросы для проверки знаний ученых и краткая система бухгалтерского учета., 1827 г. - факсимиле соответствующего раздела
• Правило трех, примененное Михаилом Родосским в пятнадцатом веке
• Правило трех в Матушке Гусыне
• Редьярд Киплинг: Вы можете решить это с помощью дробей или простого правила трех, Но путь Твидлдума — это не путь Твидлди.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Cross-multiplication на Wikimedia Commons