S-матрица

Амплитуда рассеяния

В физике S - матрица или матрица рассеяния связывает начальное и конечное состояние физической системы, подвергающейся процессу рассеяния . Он используется в квантовой механике , теории рассеяния и квантовой теории поля (КТП).

Более формально, в контексте КТП, S -матрица определяется как унитарная матрица, соединяющая множества асимптотически свободных состояний частиц (входящие и выходные состояния ) в гильбертовом пространстве физических состояний. Многочастичное состояние называется свободным ( или невзаимодействующим), если оно преобразуется в результате преобразований Лоренца как тензорное произведение или, на языке физики, прямое произведение одночастичных состояний , как предписано уравнением (1) ниже. Асимптотически свободное означает, что государство имеет такой вид либо в далеком прошлом, либо в далеком будущем.

Хотя S -матрица может быть определена для любого фона ( пространства-времени ), который асимптотически разрешим и не имеет горизонтов событий , в случае пространства Минковского она имеет простую форму . В этом частном случае гильбертово пространство является пространством неприводимых унитарных представлений неоднородной группы Лоренца ( группы Пуанкаре ); S - матрица — это оператор эволюции между (далеким прошлым) и (далеким будущим). Он определяется только в пределе нулевой плотности энергии (или бесконечного расстояния между частицами). ${\displaystyle t=-\infty }$ ${\displaystyle t=+\infty }$

Можно показать, что если квантовая теория поля в пространстве Минковского имеет массовую щель , то состояние как в асимптотическом прошлом, так и в асимптотическом будущем описывается пространствами Фока .

История

Начальные элементы теории S -матрицы можно найти в статье Поля Дирака 1927 года «Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge». ^{[1] [2]} S - матрица была впервые правильно введена Джоном Арчибальдом Уилером в статье 1937 года «О математическом описании легких ядер методом резонирующей групповой структуры». ^[3] В этой статье Уилер ввел матрицу рассеяния – унитарную матрицу коэффициентов, связывающих «асимптотическое поведение произвольного частного решения [интегральных уравнений] с поведением решений стандартной формы», ^[4] , но не разработал это полностью.

В 1940-х годах Вернер Гейзенберг самостоятельно разработал и обосновал идею S -матрицы. Из-за проблемных расхождений, существовавших в то время в квантовой теории поля , Гейзенберг был заинтересован изолировать существенные особенности теории , на которые не повлияют будущие изменения по мере развития теории. При этом ему пришлось ввести унитарную «характеристическую» S -матрицу. ^[4]

Сегодня, однако, точные результаты S -матрицы важны для конформной теории поля , интегрируемых систем и некоторых других областей квантовой теории поля и теории струн . S -матрицы не заменяют теоретико-полевой подход, а, скорее, дополняют его конечные результаты.

Мотивация

В физике частиц высоких энергий интересуют вычисления вероятности различных результатов в экспериментах по рассеянию . Эти эксперименты можно разбить на три этапа:

1. Столкновение группы входящих частиц (обычно это два типа частиц с высокими энергиями).
2. Разрешение входящим частицам взаимодействовать. Эти взаимодействия могут изменить типы присутствующих частиц (например, если электрон и позитрон аннигилируют, они могут произвести два фотона ).
3. Измерение образующихся вылетающих частиц.

Процесс, посредством которого входящие частицы преобразуются (путем их взаимодействия ) в вылетающие частицы, называется рассеянием . Для физики элементарных частиц физическая теория этих процессов должна быть в состоянии вычислить вероятность для разных исходящих частиц, когда разные входящие частицы сталкиваются с разными энергиями.

S - матрица в квантовой теории поля обеспечивает именно это. Предполагается, что в этих случаях справедливо приближение малой плотности энергии.

Использовать

S -матрица тесно связана с амплитудой вероятности перехода в квантовой механике и сечениями различных взаимодействий; элементы ( отдельные числовые записи) в S -матрице известны как амплитуды рассеяния . Полюсы S- матрицы в плоскости комплексной энергии отождествляются со связанными состояниями , виртуальными состояниями или резонансами . Разрезы ветвей S- матрицы в плоскости комплексной энергии связаны с открытием канала рассеяния .

В гамильтоновом подходе к квантовой теории поля S- матрица может быть рассчитана как упорядоченная по времени экспонента интегрированного гамильтониана в картине взаимодействия ; это также может быть выражено с использованием интегралов по путям Фейнмана . В обоих случаях пертурбативное вычисление S- матрицы приводит к диаграммам Фейнмана .

В теории рассеяния S - матрица представляет собой оператор , отображающий входные состояния свободных частиц в выходные состояния свободных частиц ( каналы рассеяния ) в картине Гейзенберга . Это очень полезно, поскольку зачастую мы не можем точно описать взаимодействия (по крайней мере, не самые интересные).

В одномерной квантовой механике

В целях иллюстрации сначала рассматривается простой прототип, в котором S -матрица является двумерной. В нем частицы с резкой энергией E разлетаются от локализованного потенциала V по правилам одномерной квантовой механики. Эта простая модель уже отображает некоторые особенности более общих случаев, но с ней легче обращаться.

Каждая энергия E дает матрицу S = S ( E ) , которая зависит от V. Таким образом, полную S -матрицу можно было бы, образно говоря, визуализировать в подходящем базисе как «непрерывную матрицу» с каждым нулевым элементом, за исключением 2 ×2 -блоков по диагонали для данного V.

Определение

Рассмотрим локализованный одномерный потенциальный барьер V ( x ) , на который воздействует пучок квантовых частиц с энергией E. Эти частицы падают на потенциальный барьер слева направо.

Решениями уравнения Шрёдингера вне потенциального барьера являются плоские волны , определяемые формулой

$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$$

$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}}$$

$${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$$

векторACBD

«Амплитуда рассеяния», т. е. переходное перекрытие уходящих волн с приходящими волнами, представляет собой линейное соотношение, определяющее S -матрицу ,

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.}$$

Вышеупомянутое соотношение можно записать как

$${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$$

$${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}={\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{\rm {in}}={\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}$$

SV ( x )

Единая собственность

Унитарность S -матрицы напрямую связана с сохранением тока вероятности в квантовой механике .

Плотность тока вероятности J волновой функции ψ ( x ) определяется как

$${\displaystyle J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right).}$$

${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)}$

$${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right),}$$

${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)}$

$${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right).}$$

Для сохранения тока вероятности J _L = J _R . Это означает, что S -матрица является унитарной матрицей .

Доказательство

$${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\rm {L}}=J_{\rm {R}}\\&|A|^{2}-|B|^{2}=|C|^{2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _{\text{out}}^{\dagger }\Psi _{\text{out}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&\Psi _{\text{in}}^{\dagger }S^{\dagger }S\Psi _{\text{in}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&S^{\dagger }S=I\\\end{aligned}}}$$

Симметрия обращения времени

Если потенциал V ( x ) веществен, то система обладает симметрией обращения времени . При этом условии, если ψ ( x ) является решением уравнения Шрёдингера, то ψ *( x ) также является решением.

Обращенное во времени решение имеет вид

$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}$$

$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}$$

B *C *A *D *

Они снова связаны S -матрицей,

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$$

$${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*}.}$$

$${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*},\quad \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$$

$${\displaystyle S^{*}S=I}$$

S

$${\displaystyle S^{T}=S.}$$

Объединив симметрию и унитарность, S-матрицу можно выразить в виде:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{i\varphi }e^{i\delta }\cdot r&e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}\\e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{i\varphi }e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}=e^{i\varphi }{\begin{pmatrix}e^{i\delta }\cdot r&{\sqrt {1-r^{2}}}\\{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$ ${\displaystyle r\in [0;1]}$

Матрица переноса

Матрица переноса связывает плоские волны и в правой части потенциала рассеяния с плоскими волнами и в левой части: ^[5] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Ce^{ikx}}$ ${\displaystyle De^{-ikx}}$ ${\displaystyle Ae^{ikx}}$ ${\displaystyle Be^{-ikx}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}}$$

^[6] ${\displaystyle M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}}$ ${\displaystyle M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}}$

В случае симметрии обращения времени передаточная матрица может быть выражена тремя действительными параметрами: ${\displaystyle \mathbf {M} }$

$${\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}}$$

r = 1 ${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$ ${\displaystyle r\in [0;1]}$

Конечный квадратный колодец

Одномерная нерелятивистская задача с симметрией относительно обращения времени частицы с массой m, приближающейся к (статической) конечной квадратной яме , имеет потенциальную функцию V с

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{for}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{and}}\\[1ex]0&{\text{for}}~~|x|>a\end{cases}}}$$

волновой пакет ${\displaystyle A_{k}\exp(ikx)}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle D_{k}\exp(-ikx)}$

S-матрица для плоской волны с волновым числом k имеет решение: ^[6]

$${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}}$$

${\displaystyle S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}}$ ${\displaystyle e^{i\delta }=\pm i}$ ${\displaystyle -e^{-i\delta }=e^{i\delta }}$ ${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

При этом (увеличенное) волновое число плоской волны внутри квадратной ямы, поскольку собственное значение энергии , связанное с плоской волной, должно оставаться постоянным: ${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}}$

Передача ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$

В случае then и следовательно и т.е. плоская волна с волновым числом k проходит яму без отражения, если для a ${\displaystyle \sin(2la)=0}$ ${\displaystyle \cos(2la)=\pm 1}$ ${\displaystyle S_{11}=S_{22}=0}$ ${\displaystyle |S_{21}|=|S_{12}|=1}$ ${\displaystyle k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Конечный квадратный барьер

Квадратный барьер аналогичен квадратному колодцу с той разницей, что для . ${\displaystyle V(x)=+V_{0}>0}$ ${\displaystyle |x|\leq a}$

Существуют три различных случая, зависящие от собственного значения энергии плоских волн (с волновыми числами k соответственно − k ) вдали от барьера: ${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

• ${\displaystyle E_{k}>V_{0}}$: В этом случае формулы для имеют тот же вид, что и в случае с квадратной ямой, а передача ${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$
• ${\displaystyle E_{k}=V_{0}}$: В этом случае волновая функция обладает свойством внутри барьера и ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}=0}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi ''(x)=0}$

  ${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{1-ika}}}$ и ${\displaystyle S_{11}=S_{22}={\frac {-ika\cdot \exp(-2ika)}{1-ika}}}$

  Передача такая: . Этот промежуточный случай не является единственным, он является пределом ( соответственно ) с обеих сторон. ${\displaystyle T_{k}={\frac {1}{1+k^{2}a^{2}}}}$ ${\displaystyle l\to 0}$ ${\displaystyle \kappa \to 0}$
• ${\displaystyle E_{k}<V_{0}}$:В данном случае это мнимое число. Итак, волновая функция внутри барьера имеет компоненты и с . ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle e^{\kappa x}}$ ${\displaystyle e^{-\kappa x}}$ ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}}}}$

  Решение для S-матрицы: ^[7] ${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cosh(2\kappa a)-i\sinh(2\kappa a){\frac {k^{2}-{\kappa }^{2}}{2k\kappa }}}}}$

  и аналогично: и в этом случае тоже . ${\displaystyle S_{11}=-i{\frac {k^{2}+\kappa ^{2}}{2k\kappa }}\sinh(2\kappa a)\cdot S_{12}}$ ${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

  Трансмиссия есть . ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sinh(2\kappa a))^{2}{\frac {(k^{2}+\kappa ^{2})^{2}}{4k^{2}\kappa ^{2}}}}}}$

Коэффициент передачи и коэффициент отражения

Коэффициент прохождения слева от потенциального барьера равен, когда D = 0 ,

$${\displaystyle T_{\rm {L}}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}$$

Коэффициент отражения слева от потенциального барьера равен, когда D = 0 ,

$${\displaystyle R_{\rm {L}}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}$$

Аналогично, коэффициент прохождения справа от потенциального барьера равен, когда A = 0 ,

$${\displaystyle T_{\rm {R}}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}$$

Коэффициент отражения справа от потенциального барьера равен, когда A = 0 ,

$${\displaystyle R_{\rm {R}}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}$$

Соотношения между коэффициентами прохождения и отражения таковы:

$${\displaystyle T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1}$$

$${\displaystyle T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.}$$

-матрицы

Благодаря симметрии обращения времени S-матрица симметрична и, следовательно, и . ${\displaystyle T_{\rm {L}}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}=T_{\rm {R}}}$ ${\displaystyle R_{\rm {L}}=R_{\rm {R}}}$

Оптическая теорема в одном измерении

В случае свободных частиц V ( x )=0 S - матрица имеет вид ^[8]

$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

V ( x ) отличается от нуля, S

$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.}$$

сложными функциямиrt

$${\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).}$$

Аналог этого тождества в трех измерениях известен как оптическая теорема .

Определение в квантовой теории поля

Картинка взаимодействия

Простой способ определения S -матрицы начинается с рассмотрения картины взаимодействия . ^[9] Пусть гамильтониан H разбит на свободную часть H ₀ и взаимодействие V , H = H ₀ + V . В этой картине операторы ведут себя как операторы свободного поля, а векторы состояния имеют динамику в соответствии с взаимодействием V . Позволять

$${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$$

$${\displaystyle \left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$

S

$${\displaystyle \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|.}$$

$${\displaystyle S_{\rm {fi}}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|S\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$

где S — S-оператор . Большим преимуществом этого определения является то, что оператор временной эволюции U, развивающий состояние в картине взаимодействия, формально известен ^[10]

$${\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},}$$

Tупорядоченный по времени продукт

$${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle S=U(\infty ,-\infty ).}$$

РасширениеUсерию Дайсона

$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}$$

V

$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right].}$$

Будучи особым типом оператора эволюции во времени, S унитарен. Для любого начального состояния и любого конечного состояния находится

$${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$

Этот подход несколько наивен, поскольку потенциальные проблемы замалчиваются. ^[11] Это сделано намеренно. Этот подход работает на практике, а некоторые технические вопросы рассматриваются в других разделах.

Входящие и исходящие штаты

Здесь используется немного более строгий подход для решения потенциальных проблем, которые не учитывались в описанном выше подходе к картине взаимодействия. Конечный результат, конечно, тот же, что и при выборе более быстрого маршрута. Для этого необходимы понятия входного и выходного состояний. Они будут развиваться двумя способами: из вакуума и из состояний свободных частиц. Излишне говорить, что эти два подхода эквивалентны, но они освещают вопросы с разных сторон.

Из вакуума

Если a ^† ( k ) является оператором создания , его эрмитово сопряженное является оператором уничтожения и разрушает вакуум,

$${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$$

В обозначениях Дирака определим

$${\displaystyle |*,0\rangle }$$

вакуумное квантовое состояние0инвариантными Пуанкаре^[11]

$${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0}$$

P ^µгенератор трансляцииM ^µνпреобразований Лоренцаоператоры поляполяΦ _iΦ _oтеории

$${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,}$$

уравнение Клейна–Гордона

$${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}}$$

π _{i , j}канонически сопряженноеΦ _{i , j}a ^† _i ( k )a ^† _f ( k )одном и том же гильбертовом пространстве^[12]различныхпространства Фокаif

$${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$$

Действие операторов рождения на соответствующие вакуумы и состояния с конечным числом частиц во входном и внешнем состояниях определяется выражением

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$$

n -частиц

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},}$$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}$$

Предполагается, что асимптотические состояния обладают четко определенными свойствами преобразования Пуанкаре, т.е. предполагается, что они преобразуются как прямой продукт одночастичных состояний. ^[13] Это характеристика невзаимодействующего поля. Отсюда следует, что все асимптотические состояния являются собственными состояниями оператора импульса P ^µ , ^[11]

$${\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$$

$${\displaystyle H=P^{0}.}$$

Обычно постулируется, что вакуум стабилен и уникален, ^{[11] [nb 1]}

$${\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$$

Взаимодействие предполагается адиабатически включенным и выключенным.

картина Гейзенберга

В дальнейшем используется картина Гейзенберга . В этой картине состояния не зависят от времени. Таким образом, вектор состояния Гейзенберга представляет полную пространственно-временную историю системы частиц. ^[13] Обозначение состояний входа и выхода относится к асимптотическому виду. Состояние Ψ _{α , in} характеризуется тем, что при t → −∞ содержание частиц представляет собой то, что в совокупности представлено α . Аналогично, состояние Ψ _{β , out} будет иметь содержание частиц, представленное β , для t → +∞ . Используя предположение, что входящее и выходное состояния, а также взаимодействующие состояния обитают в одном и том же гильбертовом пространстве, и предполагая полноту нормализованных входных и выходных состояний (постулат асимптотической полноты ^[11] ), начальные состояния можно разложить в основе конечных состояний (или наоборот). Явное выражение будет дано позже, после введения дополнительных обозначений и терминологии. Коэффициенты разложения представляют собой в точности элементы S -матрицы, которые будут определены ниже.

Хотя векторы состояния в картине Гейзенберга постоянны во времени, физические состояния, которые они представляют, не являются постоянными во времени . Если обнаружено, что система находится в состоянии Ψ в момент времени t = 0 , то она будет находиться в состоянии U ( τ )Ψ = e ^{− iHτ} Ψ в момент t = τ . Это не (обязательно) тот же вектор состояния Гейзенберга, но это эквивалентный вектор состояния, а это означает, что при измерении он окажется одним из конечных состояний разложения с ненулевым коэффициентом. Позволяя τ изменяться, можно увидеть, что наблюдаемое Ψ (не измеренное) действительно является вектором состояния картины Шредингера . Повторяя измерение достаточно много раз и усредняя, ​​можно сказать, что в момент времени t = τ действительно находится тот же вектор состояния , что и в момент времени t = 0 . Это отражает описанное выше расширение входного состояния на выходные состояния.

Из состояний свободных частиц

С этой точки зрения следует рассмотреть, как проводится архетипический эксперимент по рассеянию. Исходные частицы готовятся в четко определенных состояниях, когда они настолько далеки друг от друга, что не взаимодействуют. Их каким-то образом заставляют взаимодействовать, и конечные частицы регистрируются, когда они находятся настолько далеко друг от друга, что перестают взаимодействовать. Идея состоит в том, чтобы искать в картине Гейзенберга состояния, которые в далеком прошлом имели вид состояний свободных частиц. Это будет в штатах. Аналогично, выходным состоянием будет состояние, которое в отдаленном будущем будет иметь вид состояния свободной частицы. ^[13]

Будут использоваться обозначения из общей ссылки к этому разделу Weinberg (2002). Общее невзаимодействующее многочастичное состояние определяется выражением

$${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$$

• р – импульс,
• σ — z-компонента спина или, в безмассовом случае, спиральность ,
• n — вид частиц.

Эти состояния нормализуются как

$${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$$

s ∈ Sk _—kk -состояния частицы

$${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$$

s

$${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$

$${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$$

полными

$${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$$

$${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$$

αα(Λ, a )

где W (Λ, p ) — вращение Вигнера , а D ^{( j )} — (2 j + 1) -мерное представление SO(3) . Полагая Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0) , для которых U есть exp( iHτ ) , в (1) немедленно следует, что

$${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$$

Ψ ⁺Ψ ⁻

$${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha \ e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$$

τg , причем gгамильтониан HH ₀VH = H ₀ + VΦ _γ0_и

$${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$$

$${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$

Состояния входа и выхода определяются как собственные состояния полного гамильтониана:

$${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$

$${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$$

τ → −∞τ → +∞

$${\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$$

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$$

$${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$$

$${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$

± iεV → 0

$${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$$

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.}$$

$${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$$

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$$

H ₀уравнение Липпмана–Швингера

В штатах, выраженных как вне штатов

Начальные состояния могут быть расширены в основу конечных состояний (или наоборот). Используя соотношение полноты,

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$$

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$$

| см |_​ ²

$${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$$

$${\displaystyle \left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}.}$$

$${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$$

$${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}$$

S

S - матрица

S -матрица теперь определяется формулой ^[13]

$${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle \mathrm {f} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle ,\qquad |\mathrm {f} ,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {f}},\quad |\mathrm {i} ,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {i}}.}$$

Здесь α и β — сокращения, которые представляют содержание частиц, но не включают отдельные метки. С S- матрицей связан S -оператор S, определенный в ^[13]

$${\displaystyle \langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },}$$

где Φ _γ — состояния свободных частиц. ^{[13] [nb 2]} Это определение соответствует прямому подходу, используемому в картине взаимодействия. Кроме того, в силу унитарной эквивалентности

$${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}$$

По физическому требованию S должен быть унитарным оператором . Это утверждение о сохранении вероятности в квантовой теории поля. Но

$${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .}$$

$${\displaystyle S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,}$$

SS^{[13] [nb 3]}квантовое каноническое преобразование«вход»выходSввне^{[nb 4]}

$${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$$

$${\displaystyle \phi _{\mathrm {f} }=S\phi _{\mathrm {i} }S^{-1}~.}$$

С точки зрения операторов создания и уничтожения это становится

$${\displaystyle a_{\rm {f}}(p)=Sa_{\rm {i}}(p)S^{-1},a_{\rm {f}}^{\dagger }(p)=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(p)S^{-1},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S|\mathrm {i} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]&=a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}}$$

SS

$${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \mathrm {o} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {i} ,\beta |S|\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {o} ,\beta |S|\mathrm {o} ,\alpha \rangle .}$$

Если S правильно описывает взаимодействие, эти свойства также должны быть истинными:

• Если система состоит из одной частицы с собственным импульсом | k ⟩ , то S | к ⟩ = | к ⟩ . Это следует из приведенного выше расчета как частный случай.
• Элемент S -матрицы может быть ненулевым только в том случае, если выходное состояние имеет тот же общий импульс , что и входное состояние. Это следует из требуемой лоренц-инвариантности S -матрицы .

Оператор эволюции U

Определите зависящий от времени оператор создания и уничтожения следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}^{\dagger }{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\\[1ex]a{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\,,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \phi _{\rm {f}}=U^{-1}(\infty )\phi _{\rm {i}}U(\infty )=S^{-1}\phi _{\rm {i}}S~,}$$

$${\displaystyle S=e^{i\alpha }\,U(\infty ).}$$

Мы учитываем разность фаз, определяемую выражением

$${\displaystyle e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,}$$

С

$${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\left\langle 0|0\right\rangle =1~.}$$

Подставив явное выражение вместо U , получим

$${\displaystyle S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,}$$

${\displaystyle H_{\rm {int}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

При внимательном рассмотрении можно увидеть, что эта формула не является явно ковариантной.

серия Дайсон

Наиболее широко используемое выражение для S -матрицы — ряд Дайсона. Это выражает S -матричный оператор в виде ряда :

$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}$$

где:

• ${\displaystyle T[\cdots ]}$обозначает упорядочение по времени ,
• ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)}$обозначает плотность гамильтониана взаимодействия , описывающую взаимодействия в теории.

Не- S -матрица

Поскольку превращение частиц из черной дыры в излучение Хокинга не могло быть описано с помощью S -матрицы, Стивен Хокинг предложил «не- S- матрицу», для которой он использовал знак доллара ($), и которую поэтому также называли «долларовая матрица». ^[14]

Смотрите также

• Математический портал

• Диаграмма Фейнмана
• Формула сокращения LSZ
• Теорема Вика
• Теорема Хаага
• Картинка взаимодействия

Примечания

1. Это неверно, если изучается открытая система. Под влиянием внешнего поля входной и внешний вакуум могут различаться, поскольку внешнее поле может создавать частицы.
2. Здесь предполагается, что полный _{гамильтониан} H можно разделить на два члена: гамильтониан свободных частиц H ₀ и взаимодействие V , H = H ₀ + V такое, что собственные состояния Φ _γ H 0 имеют тот же вид, что и входные и выходные состояния относительно свойств нормализации и преобразования Лоренца. См. Вайнберг (2002), стр. 110.
3. Если Λ — (неоднородное) собственное ортохронное преобразование Лоренца, то теорема Вигнера гарантирует существование унитарного оператора U (Λ), действующего либо на H _i , либо на H _f . Теория называется лоренц-инвариантной, если одна и та же U (Λ) действует на H _i и H _f . Используя унитарность U (Λ) , S _βα знак равно ⟨ я , β | ж , α ⟩ знак равно ⟨ я , β | U (Λ) ^† U (Λ)| ж , α ⟩ . Правую часть можно расширить, используя знания о том, как преобразуются невзаимодействующие состояния для получения выражения, и это выражение следует рассматривать как определение того, что означает лоренц-инвариантность S -матрицы. См. Weinberg (2002), уравнение 3.3.1 имеет явный вид.
4. Здесь используется постулат асимптотической полноты . Состояния входа и выхода охватывают одно и то же гильбертово пространство, которое, как предполагается, согласуется с гильбертовым пространством взаимодействующей теории. Это не тривиальный постулат. Если частицы могут быть навсегда объединены в связанные состояния, структура гильбертова пространства изменится. См. Greiner & Reinhardt 1996, раздел 9.2.

Примечания

1. Дирак, Поль (1 августа 1927). «Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 44 (8): 585–595. дои : 10.1007/BF01451660. ISSN  0044-3328.
2. Санюк, Валерий И.; Суханов, Александр Д. (1 сентября 2003 г.). «Дирак в физике ХХ века: оценка столетия». Успехи физики . 46 (9): 937–956. ISSN  1063-7869.
3. Джон Арчибальд Уиллер, «О математическом описании легких ядер методом резонирующей групповой структуры», Phys. Откровение 52, 1107–1122 (1937).
4. Джагдиш Мехра , Хельмут Рехенберг , Историческое развитие квантовой теории (страницы 990 и 1031) Springer, 2001 ISBN 0-387-95086-9 , ISBN 978-0-387-95086-0  
5. «Формулировка матрицы переноса теории рассеяния в произвольных размерах» (PDF) . gemma.ujf.cas.cz . Проверено 29 октября 2022 г.
6. «EE201/MSE207 Лекция 6» (PDF) . intra.ece.ucr.edu . Проверено 29 октября 2022 г.
7. «Потенциальный барьер». квантовая механика.ucsd.edu . Проверено 1 ноября 2022 г.
8. Мерцбахер, 1961, глава 6. Более распространенное соглашение, используемое ниже, состоит в том, чтобы S -матрица обращалась к единице в случае свободных частиц.
9. Грейнер и Рейнхардт, 1996, раздел 8.2.
10. Грейнер и Рейнхардт, 1996 г., уравнение 8.44.
11. Greiner & Reinhardt, 1996, глава 9.
12. Weinberg 2002 Глава 3. См. особенно примечание в начале раздела 3.2.
13. Вайнберг 2002 Глава 3.
14. Леонард Сасскинд , Война черных дыр , глава 11.

Рекомендации

• Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Том. 3 (3-е изд.). Пергамон Пресс . ISBN 978-0-08-020940-1.§125
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, том I , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
• Мерцбахер, Ойген (1961), Квантовая механика , Wiley & Sons, глава 13, §3; Глава 19, §6, ISBN 0-471-59670-1
• Сакураи, Джей Джей ; Наполитано, Дж (2011) [1964]. Современная квантовая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли . Глава 6. ISBN 978-0-8053-8291-4.
• Барут, Асим Орхан (1967). Теория матрицы рассеяния для взаимодействий фундаментальных частиц . Макмиллан.
• Альберт Мессия (1999). Квантовая механика. Дуврские публикации. ISBN 0-486-40924-4.
• Тони Филипс (ноябрь 2001 г.). «Конечномерные диаграммы Фейнмана». Что нового в математике . Американское математическое общество . Проверено 23 октября 2007 г.
• Стивен Гасиорович (1974). Квантовая физика. Уайли и сыновья. ISBN 0-471-29281-8.
• Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer Publishing , ISBN 3-540-59179-6
• Муссардо, Г. (1992). «Некритические статистические модели: факторизованные теории рассеяния и программа начальной загрузки». Отчеты по физике . 218 (5–6): 215–379. Бибкод : 1992PhR...218..215M. дои : 10.1016/0370-1573(92)90047-4.
• Замолодчиков, А.Б. (1979). «Факторизованные S-матрицы в двух измерениях как точные решения некоторых моделей релятивистской квантовой теории поля». Анналы физики . 120 (2): 253–291. Бибкод : 1979AnPhy.120..253Z. дои : 10.1016/0003-4916(79)90391-9.