Симеон Дени Пуассон

Барон Симеон Дени Пуассон FRS FRSE ( фр.: [si.me.ɔ̃ də.ni pwa.sɔ̃] ; 21 июня 1781 — 25 апреля 1840) — французский математик и физик, работавший в области статистики, комплексного анализа, уравнений в частных производных, вариационного исчисления, аналитической механики, электричества и магнетизма, термодинамики, упругости и механики жидкостей. Более того, он предсказал пятно Араго в своей попытке опровергнуть волновую теорию Огюстена-Жана Френеля .

Биография

Пуассон родился в Питивье , департамент Луаре во Франции, в семье Симеона Пуассона, офицера французской армии.

В 1798 году он поступил в Парижскую политехническую школу первым на своем курсе и сразу же начал привлекать внимание профессоров школы, которые предоставили ему свободу самостоятельно принимать решения относительно того, что он будет изучать. На последнем году обучения, менее чем через два года после поступления, он опубликовал два мемуара: один о методе исключения Этьена Безу , другой о числе интегралов конечно -разностного уравнения, и это было настолько впечатляюще, что ему разрешили окончить учебу в 1800 году без сдачи выпускного экзамена ^[1]^, . ^[2] Последний из мемуаров был рассмотрен Сильвестром-Франсуа Лакруа и Адрианом-Мари Лежандром , которые рекомендовали опубликовать его в Recueil des savants étrangers, беспрецедентная честь для восемнадцатилетнего юноши. Этот успех сразу же обеспечил Пуассону доступ в научные круги. Жозеф Луи Лагранж , лекции которого по теории функций он посещал в Политехнической школе, рано распознал его талант и стал его другом. Между тем, Пьер-Симон Лаплас , по стопам которого пошел Пуассон, считал его почти своим сыном. Остальная часть его карьеры, вплоть до его смерти в Со близ Парижа, была занята составлением и публикацией его многочисленных работ и выполнением обязанностей на многочисленных педагогических должностях, на которые он последовательно назначался. ^[3]

Сразу после окончания учебы в Политехнической школе он был назначен там репетитором ( ассистентом преподавателя ), должность, которую он занимал как любитель, еще будучи учеником школы; его одноклассники имели привычку приходить к нему в комнату после необычно трудной лекции, чтобы послушать, как он ее повторяет и объясняет. В 1802 году он стал заместителем профессора ( professeur suppléant ), а в 1806 году — полным профессором, сменив Жана Батиста Жозефа Фурье , которого Наполеон послал в Гренобль . В 1808 году он стал астрономом Бюро долгот ; а когда в 1809 году был учрежден Парижский факультет наук, он был назначен профессором рациональной механики ( professeur de mécanique rationelle ). В 1812 году он стал членом Института, в 1815 году — экзаменатором в военной школе ( École Militaire ) в Сен-Сире , в 1816 году — выпускным экзаменатором в Политехнической школе, в 1820 году — советником университета и геометром в Бюро долгот, сменив Пьера-Симона Лапласа в 1827 году. ^[3]

В 1817 году он женился на Нэнси де Барди, и у него родилось четверо детей. Его отец, чей ранний опыт заставил его ненавидеть аристократов, воспитал его в суровых убеждениях Первой республики . На протяжении Революции , Империи и последующей Реставрации Пуассон не интересовался политикой, сосредоточившись вместо этого на математике. Он был назначен на звание барона в 1825 году ^[3] , но он не получил диплом и не использовал титул. В марте 1818 года он был избран членом Королевского общества ^[4] , в 1822 году - иностранным почетным членом Американской академии искусств и наук ^[5] , а в 1823 году - иностранным членом Королевской шведской академии наук . Революция июля 1830 года грозила ему потерей всех его почестей; но этот позор правительства Луи-Филиппа был ловко предотвращен Франсуа Жаном Домиником Араго , который, пока его «отмена» замышлялась советом министров, обеспечил ему приглашение на обед в Пале-Рояль , где он был открыто и восторженно принят гражданином королем, который «вспомнил» его. После этого, конечно, его понижение стало невозможным, и семь лет спустя он был сделан пэром Франции , не по политическим причинам, а как представитель французской науки . ^[3]

Говорят, что Пуассон был необычайно успешен как преподаватель математики, как и можно было ожидать от его ранних обещаний в качестве репетитора в Политехнической школе. Несмотря на свои многочисленные официальные обязанности, он нашел время, чтобы опубликовать более трехсот работ, некоторые из которых были обширными трактатами, а многие из них были мемуарами, посвященными самым абстрактным разделам чистой математики, ^[3] прикладной математике , математической физике и рациональной механике. ( Араго приписывал ему цитату: «Жизнь хороша только для двух вещей: заниматься математикой и преподавать ее». ^[6] )

Список работ Пуассона, составленный им самим, приводится в конце биографии Араго. Все, что возможно, это краткое упоминание наиболее важных из них. Именно в применении математики к физике были выполнены его самые большие заслуги перед наукой. Возможно, наиболее оригинальными, и, безусловно, наиболее постоянными по своему влиянию, были его мемуары по теории электричества и магнетизма , которые фактически создали новую ветвь математической физики. ^[3]

Следующими (или, по мнению некоторых, первыми) по значимости стоят мемуары о небесной механике , в которых он показал себя достойным преемником Пьера-Симона Лапласа. Самыми важными из них являются его мемуары « Sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des Planetes» , «Sur lavariation des Constantes Arbitaires dans les questions de Mécanique» , оба опубликованные в « Журнале Политехнической школы» (1809); Sur la libration de la lune , в Connaissance des temps (1821) и т. д.; и «О движении земли под действием центра тяжести» в «Записках Академии» (1827) и т. д. В первом из этих мемуаров Пуассон обсуждает знаменитый вопрос об устойчивости планетарных орбит , который уже был установленный Лагранжем до первой степени приближения для возмущающих сил. Пуассон показал, что результат может быть распространен до второго приближения, и таким образом сделал важный шаг вперед в планетарной теории. Мемуары примечательны тем, что они пробудили Лагранжа, после некоторого перерыва бездеятельности, чтобы в старости написать один из величайших своих мемуаров, озаглавленный « О теории вариаций элементов планет и в частности о вариациях больших осей их орбит» . Он был так высоко оценен мемуарами Пуассона, что сделал с них копию своей собственной рукой, которая была найдена среди его бумаг после его смерти. Пуассон внес важный вклад в теорию притяжения. ^[3]

В знак признания научной деятельности Пуассона, которая насчитывала более 300 публикаций, в 1837 году ему было присвоено звание пэра Франции .

Его имя — одно из 72 имен, высеченных на Эйфелевой башне .

Вклады

Теория потенциала

Уравнение Пуассона

В теории потенциалов уравнение Пуассона ,

\nabla ^{2}\phi =-4\pi \rho ,\;

является известным обобщением уравнения Лапласа уравнения в частных производных второго порядка для потенциала . $\nabla ^{2}\phi =0$ $\phi$

Если — непрерывная функция и если для (или если точка «перемещается» к бесконечности ) функция стремится к 0 достаточно быстро, то решением уравнения Пуассона является ньютоновский потенциал $\rho (x,y,z)$ $r\rightarrow \infty$ $\phi$

\phi =-{1 \over 4\pi }\iiint {\frac {\rho (x,y,z)}{r}}\,dV,\;

где — расстояние между элементом объема и точкой . Интегрирование ведется по всему пространству. $r$ $dV$ $P$

Уравнение Пуассона было впервые опубликовано в « Бюллетене филоматического общества» (1813 г.). ^[3] Двумя наиболее важными мемуарами Пуассона на эту тему являются Sur l'attraction des sphéroides (Connaiss. ft. temps, 1829) и Sur l'attraction d'un ellipsoide homogène (Mim. ft. l'acad., 1835). . ^[3]

Пуассон обнаружил, что уравнение Лапласа справедливо только вне твердого тела. Строгое доказательство для масс с переменной плотностью впервые дал Карл Фридрих Гаусс в 1839 году. Уравнение Пуассона применимо не только к гравитации, но также к электричеству и магнетизму. ^[7]

Электричество и магнетизм

К концу восемнадцатого века человеческое понимание электростатики достигло зрелости. Бенджамин Франклин уже установил понятие электрического заряда и сохранения заряда ; Шарль-Огюстен де Кулон сформулировал свой закон обратных квадратов электростатики . В 1777 году Жозеф-Луи Лагранж ввел понятие потенциальной функции, которая может быть использована для вычисления силы тяготения протяженного тела. В 1812 году Пуассон принял эту идею и получил соответствующее выражение для электричества, которое связывает потенциальную функцию с плотностью электрического заряда . ^[8] Работа Пуассона по теории потенциала вдохновила Джорджа Грина на статью 1828 года « Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» . $V$ $\rho$

В 1820 году Ганс Христиан Эрстед продемонстрировал, что можно отклонить магнитную стрелку, замыкая или размыкая электрическую цепь поблизости, что привело к потоку опубликованных работ, пытающихся объяснить это явление. Закон Ампера и закон Био-Савара были быстро выведены. Так родилась наука электромагнетизма. Пуассон в это время также исследовал явление магнетизма, хотя он настаивал на рассмотрении электричества и магнетизма как отдельных явлений. Он опубликовал два мемуара о магнетизме в 1826 году. ^[9] К 1830-м годам основным исследовательским вопросом в изучении электричества было то, является ли электричество жидкостью или жидкостями, отличными от материи, или чем-то, что просто действует на материю как гравитация. Кулон, Ампер и Пуассон считали, что электричество было жидкостью, отличной от материи. В своих экспериментальных исследованиях, начав с электролиза, Майкл Фарадей стремился показать, что это не так. Электричество, как считал Фарадей, было частью материи. ^[10]

Оптика

Пуассон был членом академической «старой гвардии» в Королевской академии наук Института Франции , которая была убежденной приверженкой корпускулярной теории света и скептически относилась к ее альтернативе — волновой теории. В 1818 году Академия определила тему своей премии как дифракцию . Один из участников, инженер-строитель и оптик Огюстен-Жан Френель, представил диссертацию, объясняющую дифракцию, полученную из анализа как принципа Гюйгенса-Френеля, так и эксперимента Юнга с двойной щелью . ^[11]

Пуассон подробно изучил теорию Френеля и искал способ доказать ее ошибочность. Пуассон считал, что нашел изъян, когда продемонстрировал, что теория Френеля предсказывает осевое яркое пятно в тени круглого препятствия, блокирующего точечный источник света, тогда как корпускулярная теория света предсказывает полную темноту. Пуассон утверждал, что это абсурдно, и модель Френеля неверна. (Такое пятно нелегко наблюдать в повседневных ситуациях, потому что большинство повседневных источников света не являются хорошими точечными источниками.)

Глава комитета Доминик-Франсуа-Жан Араго провел эксперимент. Он отформовал 2-миллиметровый металлический диск на стеклянной пластине с помощью воска. ^[12] К всеобщему удивлению, он наблюдал предсказанное яркое пятно, что подтвердило волновую модель. Френель выиграл соревнование.

После этого корпускулярная теория света умерла, но возродилась в двадцатом веке в другой форме — корпускулярно-волнового дуализма . Позже Араго заметил, что дифракционное яркое пятно (которое впоследствии стало известно как пятно Араго и пятно Пуассона) уже наблюдалось Жозефом-Николя Делилем ^[12] и Джакомо Ф. Маральди ^[13] столетием ранее.

Чистая математика и статистика

В чистой математике наиболее важными работами Пуассона были его серия мемуаров об определенных интегралах и его обсуждение рядов Фурье , последнее из которых проложило путь классическим исследованиям Петера Густава Лежена Дирихле и Бернхарда Римана по той же теме; их можно найти в журнале École Polytechnique с 1813 по 1823 год и в Memoirs de l'Académie за 1823 год. Он также изучал интегралы Фурье . ^[3]

Пуассон написал эссе о вариационном исчислении ( Mem. de l'acad., 1833) и мемуары о вероятности средних результатов наблюдений ( Connaiss. d. temps, 1827, &c). Распределение Пуассона в теории вероятностей названо его именем. ^[3]

В 1820 году Пуассон изучал интегрирование по путям в комплексной плоскости, став первым человеком, сделавшим это. ^[14]

В 1829 году Пуассон опубликовал статью об упругих телах, в которой содержалось утверждение и доказательство частного случая того, что стало известно как теорема о расходимости . ^[15]

Механика

Аналитическая механика и вариационное исчисление

Вариационное исчисление, основанное в основном Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в восемнадцатом веке, получило дальнейшее развитие и применение в девятнадцатом веке. ^[16]

Позволять

$S=\int \limits _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))\,dx,$

где . Тогда является экстремистским, если удовлетворяет уравнениям Эйлера–Лагранжа $y'={\frac {dy}{dx}}$ $S$

${\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)=0.$

Но если зависит от производных более высокого порядка , то есть, если $S$ $y(x)$

$S=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y(x),y'(x),...,y^{(n)}(x)\right)\,dx,$

тогда должно удовлетворять уравнению Эйлера–Пуассона, $y$

${\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+...+(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.$ ^[17]

«Traité de mécanique» Пуассона (2 тома, 8vo, 1811 и 1833) был написан в стиле Лапласа и Лагранжа и долгое время был стандартным трудом. ^[3] Пусть — положение, — кинетическая энергия, — потенциальная энергия, обе не зависят от времени . Уравнение движения Лагранжа выглядит так ^[16] $q$ $T$ $V$ $t$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=0,~~~~i=1,2,...,n.$

Здесь используется точечная запись для производной по времени, . Множество Пуассона . ^[16] Он утверждал, что если не зависит от , он мог бы написать ${\frac {dq}{dt}}={\dot {q}}$ $L=T-V$ $V$ ${\dot {q}}_{i}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}},$

предоставление ^[16]

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0.$

Он ввел явную формулу для импульсов , ^[16]

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

Таким образом, из уравнения движения он получил ^[16]

${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}.$

Текст Пуассона оказал влияние на работу Уильяма Роуэна Гамильтона и Карла Густава Якоба Якоби . Перевод «Трактата по механике» Пуассона был опубликован в Лондоне в 1842 году. Пусть и будут функциями канонических переменных движения и . Тогда их скобка Пуассона задается как $u$ $v$ $q$ $p$

$[u,v]={\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}.$ ^[18]

Очевидно, что операция антикоммутирует. Точнее, . ^[18] Согласно уравнениям движения Гамильтона , полная производная по времени равна $[u,v]=-[v,u]$ $u=u(q,p,t)$

${\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}&={\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\\[6pt]&={\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\\[6pt]&=[u,H]+{\frac {\partial u}{\partial t}},\end{aligned}}$

где — гамильтониан. В терминах скобок Пуассона уравнения Гамильтона можно записать как и . ^[18] Предположим , что — константа движения , тогда она должна удовлетворять $H$ ${\dot {q}}_{i}=[q_{i},H]$ ${\dot {p}}_{i}=[p_{i},H]$ $u$

$[H,u]={\frac {\partial u}{\partial t}}.$

Более того, теорема Пуассона утверждает, что скобка Пуассона любых двух констант движения также является константой движения. ^[18]

В сентябре 1925 года Поль Дирак получил доказательства основополагающей статьи Вернера Гейзенберга о новой ветви физики, известной как квантовая механика . Вскоре он понял, что ключевая идея в статье Гейзенберга — антикоммутативность динамических переменных, и вспомнил, что аналогичной математической конструкцией в классической механике были скобки Пуассона. Он нашел нужную ему трактовку в работе ET Whittaker 's Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies . ^[19]^[20]

Механика сплошной среды и течение жидкости

Нерешенная задача по физике :

При каких условиях решения уравнений Навье–Стокса существуют и являются гладкими ? Это задача премии тысячелетия по математике.

(еще нерешенные проблемы по физике)

В 1821 году, используя аналогию с упругими телами, Клод-Луи Навье пришел к основным уравнениям движения для вязких жидкостей, которые теперь называются уравнениями Навье–Стокса . В 1829 году Пуассон независимо получил тот же результат. Джордж Габриэль Стокс повторно вывел их в 1845 году, используя механику сплошной среды. ^[21] Пуассон, Огюстен-Луи Коши и Софи Жермен внесли основной вклад в теорию упругости в девятнадцатом веке. Вариационное исчисление часто использовалось для решения задач. ^[16]

Распространение волн

Пуассон также опубликовал мемуары по теории волн (Mém. ft. l'acad., 1825). ^[3]

Термодинамика

В своей работе по теплопроводности Жозеф Фурье утверждал, что произвольная функция может быть представлена в виде бесконечного тригонометрического ряда, и явно указал на возможность разложения функций в терминах функций Бесселя и полиномов Лежандра в зависимости от контекста задачи. Потребовалось некоторое время, чтобы его идеи были приняты, поскольку его использование математики было не совсем строгим. Хотя изначально он был настроен скептически, Пуассон принял метод Фурье. Примерно с 1815 года он изучал различные проблемы теплопроводности. Он опубликовал свою Théorie mathématique de la chaleur в 1835 году. ^[22]

В начале 1800-х годов Пьер-Симон де Лаплас разработал сложное, хотя и спекулятивное, описание газов, основанное на старой теории теплорода, к которой молодые ученые, такие как Пуассон, были менее привержены. Успехом Лапласа стало его исправление формулы Ньютона для скорости звука в воздухе, которое дает удовлетворительные ответы по сравнению с экспериментами. Формула Ньютона-Лапласа использует удельные теплоемкости газов при постоянном объеме и постоянном давлении . В 1823 году Пуассон переделал работу своего учителя и достиг тех же результатов, не прибегая к сложным гипотезам, ранее применявшимся Лапласом. Кроме того, используя газовые законы Роберта Бойля и Жозефа Луи Гей-Люссака , Пуассон получил уравнение для газов, претерпевающих адиабатические изменения , а именно , где - давление газа, его объем и . ^[23] $c_{V}$ $c_{P}$ $PV^{\gamma }={\text{constant}}$ $P$ $V$ $\gamma ={\frac {c_{P}}{c_{V}}}$

Другие работы

Помимо своих многочисленных мемуаров, Пуассон опубликовал ряд трактатов, большинство из которых были предназначены для того, чтобы стать частью большого труда по математической физике, который он не дожил до завершения. Среди них можно упомянуть: ^[3]

Новая теория капиллярного действия (4to, 1831 г.);
Recherches sur la probilité des jugements en matières criminelles et matière Civile (4to, 1837 г.), все опубликованы в Париже.
Каталог всех статей и работ Пуассона можно найти в Oeuvres complétes de François Arago, Vol. 2.
Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastique (т. 8 в Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France , 1829), оцифрованная копия из Национальной библиотеки Франции.
Recherches sur le Mouvement des Projectiles dans l'Air, en ayant égard Leur Фигура и вращение Leur, а также влияние на дневное движение Земли (1839)

Титульный лист книги Recherches sur le Mouvement des Projectiles dans l'Air (1839 г.)
Mémoire sur le Calcul numerique des Integres Définies (1826 г.)

Взаимодействие с Эваристом Галуа

После того, как политический активист Эварист Галуа вернулся к математике после исключения из École Normale, Пуассон попросил его представить свою работу по теории уравнений , что он и сделал в январе 1831 года. В начале июля Пуассон объявил работу Галуа «непонятной», но призвал Галуа «опубликовать всю свою работу, чтобы сформировать окончательное мнение». ^[24] Хотя отчет Пуассона был сделан до ареста Галуа 14 июля, Галуа в тюрьме получил его только в октябре. Неудивительно, что в свете его характера и положения в то время Галуа решительно отказался публиковать свои работы через академию и вместо этого опубликовал их в частном порядке через своего друга Огюста Шевалье. Однако Галуа не проигнорировал совет Пуассона. Он начал собирать все свои математические рукописи, еще находясь в тюрьме, и продолжал шлифовать свои идеи до своего освобождения 29 апреля 1832 года, ^[25] после чего его каким-то образом убедили принять участие в том, что оказалось фатальной дуэлью. ^[26]

Смотрите также

Ссылки

^ "Симеон-Дени Пуассон - Биография". История математики . Получено 1 июня 2022 г.
^ Граттан-Гиннесс, Айвор (2005). «The «Ecole Polytechnique», 1794-1850: Различия в образовательных целях и практике преподавания». The American Mathematical Monthly . 112 (3): 233–250. doi :10.2307/30037440. ISSN 0002-9890. JSTOR 30037440.
^ abcdefghijklmn Одно или несколько из предыдущих предложений включают текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии : Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Poisson, Siméon Denis". Encyclopaedia Britannica . Vol. 21 (11th ed.). Cambridge University Press. p. 896.
^ "Пуассон, Симеон Дени: свидетельство об избрании в Королевское общество". Королевское общество . Получено 20 октября 2020 г. .
^ "Book of Members, 1780–2010: Chapter P" (PDF) . Американская академия искусств и наук . Получено 9 сентября 2016 г. .
^ Франсуа Араго (1786–1853) приписал Пуассону цитату: «La vie n'est bonne qu'à deux выбирает: à faire des mathématiques et à les professer». (Жизнь хороша только для двух вещей: заниматься математикой и преподавать ее.) См.: Ж.-А. Барраль, изд., Oeuvres complétes de François Arago ... , vol. II (Париж, Франция: Жид и Ж. Бодри, 1854), стр. 662.
^ Клайн, Моррис (1972). "28.4: Уравнение потенциала и теорема Грина". Математическая мысль от древних времен до наших дней . Соединенные Штаты Америки: Oxford University Press. стр. 682–4. ISBN 0-19-506136-5.
^ Baigrie, Brian (2007). "Глава 5: От испарений к жидкостям". Электричество и магнетизм: историческая перспектива . Соединенные Штаты Америки: Greenwood Press. стр. 47. ISBN 978-0-313-33358-3.
^ Baigrie, Brian (2007). "Глава 7: Ток и игла". Электричество и магнетизм: историческая перспектива . Соединенные Штаты Америки: Greenwood Press. стр. 72. ISBN 978-0-313-33358-3.
^ Baigrie, Brian (2007). "Глава 8: Силы и поля". Электричество и магнетизм: историческая перспектива . Соединенные Штаты Америки: Greenwood Press. стр. 88. ISBN 978-0-313-33358-3.
^ Френель, AJ (1868), OEuvres Completes 1, Париж: Imprimerie impériale
^ аб Френель, AJ (1868), OEuvres Completes 1, Париж: Imprimerie impériale, стр. 369
^ Маральди, Г. Ф. (1723), «Различные оптические впечатления» в Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, Imprimerie impériale, стр. 111
^ Клайн, Моррис (1972). "27.4: Основы теории комплексных функций". Математическая мысль от древних времен до наших дней . Oxford University Press. стр. 633. ISBN 0-19-506136-5.
^ Кац, Виктор (май 1979). «История теоремы Стокса». Mathematics Magazine . 52 (3): 146–156. doi :10.1080/0025570X.1979.11976770. JSTOR 2690275.
^ abcdefg Клайн, Моррис (1972). "Глава 30: Вариационное исчисление в девятнадцатом веке". Математическая мысль от древних времен до наших дней . Oxford University Press. ISBN 0-19-506136-5.
^ Кот, Марк (2014). "Глава 4: Основные обобщения". Первый курс вариационного исчисления . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1495-5.
^ abcd Goldstein, Herbert (1980). "Глава 9: Канонические преобразования". Классическая механика . Addison-Wesley Publishing Company. стр. 397, 399, 406–7. ISBN 0-201-02918-9.
^ Фармелло, Грэм (2009). Самый странный человек: тайная жизнь Поля Дирака, мистика атома . Великобритания: Basic Books. стр. 83–88. ISBN 978-0-465-02210-6.
^ Coutinho, SC (1 мая 2014 г.). «Аналитическая динамика Уиттекера: биография». Архив History of Exact Sciences . 68 (3): 355–407. doi :10.1007/s00407-013-0133-1. ISSN 1432-0657. S2CID 122266762.
^ Клайн, Моррис (1972). "28.7: Системы дифференциальных уравнений с частными производными". Математическая мысль от древних времен до наших дней . Соединенные Штаты Америки: Oxford University Press. стр. 696–7. ISBN 0-19-506136-5.
^ Клайн, Моррис (1972). "28.2: Уравнение теплопроводности и ряд Фурье". Математическая мысль от древних времен до наших дней . Соединенные Штаты Америки: Oxford University Press. стр. 678–9. ISBN 0-19-506136-5.
^ Льюис, Кристофер (2007). "Глава 2: Взлет и падение теории теплорода". Тепло и термодинамика: историческая перспектива . Соединенные Штаты Америки: Greenwood Press. ISBN 978-0-313-33332-3.
^ Татон, Р. (1947). «Отношения Эвариста Галуа с временными математиками». Revue d'Histoire des Sciences et de Leurs Applications . 1 (2): 114–130. дои : 10.3406/rhs.1947.2607.
^ Дюпюи, Поль (1896). «Жизнь Эвариста Галуа». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 13 : 197–266. дои : 10.24033/asens.427 .
^ C., Bruno, Leonard (2003) [1999]. Математика и математики: история математических открытий по всему миру . Бейкер, Лоуренс В. Детройт, Мичиган: UX L. стр. 173. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

Медиа, связанные с Симеоном Дени Пуассоном на Wikimedia Commons
Цитаты, связанные с Симеоном Дени Пуассоном в Wikiquote
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Симеон Дени Пуассон», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
Симеон Дени Пуассон в проекте «Генеалогия математики»