Спектральная теория

Сборник математических теорий

В математике спектральная теория — всеобъемлющий термин для теорий, расширяющих теорию собственных векторов и собственных значений одиночной квадратной матрицы до гораздо более широкой теории структуры операторов в различных математических пространствах . ^[1] Это результат исследований линейной алгебры и решений систем линейных уравнений и их обобщений. ^[2] Эта теория связана с теорией аналитических функций, поскольку спектральные свойства оператора связаны с аналитическими функциями спектрального параметра. ^[3]

Математическая основа

Название «спектральная теория» было введено Дэвидом Гильбертом в его первоначальной формулировке теории гильбертового пространства , которая выражалась в терминах квадратичных форм от бесконечного числа переменных. Таким образом , первоначальная спектральная теорема была задумана как версия теоремы о главных осях эллипсоида в бесконечномерной ситуации. Поэтому более позднее открытие в квантовой механике того, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров, было поэтому случайным. Сам Гильберт был удивлен неожиданным применением этой теории, отмечая, что «я разработал свою теорию бесконечного числа переменных из чисто математических интересов и даже назвал ее «спектральным анализом», не предчувствуя, что она позже найдет применение к реальному спектру физика». ^[4]

Было три основных способа формулировки спектральной теории, каждый из которых находит применение в разных областях. После первоначальной формулировки Гильберта позднее развитие абстрактных гильбертовых пространств и спектральной теории одиночных нормальных операторов на них хорошо соответствовало требованиям физики , примером чему служат работы фон Неймана . ^[5] Дальнейшая теория, построенная на этом, касается банаховых алгебр в целом. Это развитие приводит к представлению Гельфанда , охватывающему коммутативный случай , и далее к некоммутативному гармоническому анализу .

Разницу можно увидеть при установлении связи с анализом Фурье . Преобразование Фурье на действительной прямой представляет собой в каком-то смысле спектральную теорию дифференцирования как дифференциального оператора . Но для того, чтобы охватить явления, уже приходится иметь дело с обобщенными собственными функциями (например, с помощью оснащенного гильбертова пространства ). С другой стороны, построить групповую алгебру , спектр которой улавливает основные свойства преобразования Фурье, просто , и это осуществляется с помощью двойственности Понтрягина .

Можно также изучать спектральные свойства операторов в банаховых пространствах . Например, компактные операторы в банаховых пространствах обладают многими спектральными свойствами, аналогичными свойствам матриц .

Физический фон

Основы физики вибраций объясняются следующим образом: ^[6]

Спектральная теория связана с исследованием локализованных колебаний множества различных объектов — от атомов и молекул в химии до препятствий в акустических волноводах . Эти вибрации имеют частоты , и проблема состоит в том, чтобы решить, когда возникают такие локализованные вибрации и как вычислять частоты. Это очень сложная проблема, поскольку каждый предмет имеет не только основной тон , но и сложную серию обертонов , которые радикально различаются от одного тела к другому.

Такие физические идеи не имеют ничего общего с математической теорией на техническом уровне, но есть примеры косвенного участия (см., например, вопрос Марка Каца «Слышите ли вы форму барабана? »). Принятие Гильбертом термина «спектр» было приписано статье Вильгельма Виртингера о дифференциальном уравнении Хилла в 1897 году ( Жан Дьедонне ), и оно было подхвачено его учениками в течение первого десятилетия двадцатого века, среди них Эрхард Шмидт и Герман Вейль . Концептуальная основа гильбертова пространства была разработана на основе идей Гильберта Эрхардом Шмидтом и Фриджесом Риссом . ^{[7] [8]} Почти двадцать лет спустя, когда квантовая механика была сформулирована в терминах уравнения Шрёдингера , была установлена ​​связь с атомными спектрами ; связь с математической физикой вибрации подозревалась и раньше, как заметил Анри Пуанкаре , но отвергалась по простым количественным причинам, из-за отсутствия объяснения ряда Бальмера . ^[9] Более позднее открытие в квантовой механике того, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров, было поэтому случайным, а не объектом спектральной теории Гильберта.

Определение спектра

Рассмотрим ограниченное линейное преобразование T, определенное всюду над общим банаховым пространством . Формируем трансформацию:

$${\displaystyle R_{\zeta }=\left(\zeta I-T\right)^{-1}.}$$

Здесь I — тождественный оператор , а ζ — комплексное число . Обратный оператор T , то есть T ⁻¹ , определяется следующим образом :

$${\displaystyle TT^{-1}=T^{-1}T=I.}$$

Если обратное существует, T называется регулярным . Если он не существует, T называется сингулярным .

Согласно этим определениям, резольвентное множество T — это множество всех комплексных чисел ζ таких, что R _ζ существует и ограничено . Этот набор часто обозначается как ρ ( T ). Спектр T — это набор всех комплексных чисел ζ таких, что R ζ _не существует или не ограничен. Часто спектр T обозначается σ ( T ). Функция R _ζ для всех ζ из ρ ( T ) (т. е. везде, где R ζ _{существует} как ограниченный оператор) называется резольвентой T . Таким образом , спектр T является дополнением резольвентного множества T в комплексной плоскости. ^[10] Каждое собственное значение T принадлежит σ ( T ) , но σ ( T ) может содержать несобственные значения. ^[11]

Это определение применимо к банаховому пространству, но, конечно, существуют и другие типы пространств; например, топологические векторные пространства включают банаховы пространства, но могут быть более общими. ^{[12] [13]} С другой стороны, банаховые пространства включают в себя гильбертовы пространства , и именно эти пространства находят наибольшее применение и богатейшие теоретические результаты. ^[14] При соответствующих ограничениях можно многое сказать о структуре спектров преобразований в гильбертовом пространстве. В частности, для самосопряженных операторов спектр лежит на вещественной прямой и (вообще) представляет собой спектральную комбинацию точечного спектра дискретных собственных значений и непрерывного спектра . ^[15]

Спектральная теория кратко

В функциональном анализе и линейной алгебре спектральная теорема устанавливает условия, при которых оператор может быть выражен в простой форме как сумма более простых операторов. Поскольку полное строгое изложение не подходит для этой статьи, мы используем подход, который избегает большей части строгости и удовлетворения формального подхода с целью сделать его более понятным для неспециалиста.

Эту тему проще всего описать, введя обозначение Дирака для операторов . ^{[16] [17]} Например, очень конкретный линейный оператор L может быть записан как двоичное произведение : ^{[18] [19]}

${\displaystyle L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|,}$

в плане «бюстгальтера» ⟨ б ₁ | и «кет» | к ₁ ⟩. Функция f описывается кетом как | е ⟩. Функция f ( x ) , определенная в координатах, обозначается как ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}$

${\displaystyle f(x)=\langle x,f\rangle }$

и величина f на

${\displaystyle \|f\|^{2}=\langle f,f\rangle =\int \langle f,x\rangle \langle x,f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx}$

где обозначение (*) обозначает комплексно-сопряженное . Этот выбор внутреннего продукта определяет очень специфическое пространство внутреннего продукта , ограничивая общность последующих аргументов. ^[14]

Влияние L на функцию f тогда описывается как:

${\displaystyle L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle }$

выражая результат, что эффект L на f заключается в создании новой функции, умноженной на внутренний продукт, представленный . ${\displaystyle |k_{1}\rangle }$ ${\displaystyle \langle b_{1}|f\rangle }$

Более общий линейный оператор L может быть выражен как:

${\displaystyle L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots ,}$

где - скаляры, а - базис и обратный базис пространства. Связь между базисом и реципрокным базисом частично описывается следующим образом: ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$ ${\displaystyle \{\,\langle f_{i}|\,\}}$

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

Если такой формализм применим, то они являются собственными значениями L , а функции являются собственными функциями L. Собственные значения находятся в спектре L . ^[20] ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$

Некоторые естественные вопросы заключаются в следующем: при каких обстоятельствах этот формализм работает и для каких операторов L возможно разложение в ряд других подобных операторов? Может ли любая функция f быть выражена через собственные функции (являются ли они базисом Шаудера ) и при каких обстоятельствах возникает точечный или непрерывный спектр? Чем отличаются или различаются формализмы для бесконечномерных и конечномерных пространств? Могут ли эти идеи быть распространены на более широкий класс пространств? Ответы на такие вопросы являются областью спектральной теории и требуют значительного опыта в функциональном анализе и матричной алгебре .

Разрешение личности

Этот раздел продолжает в грубой форме предыдущий раздел, используя обозначения скобок и замалчивая многие важные детали строгого рассмотрения. ^[21] Строгое математическое описание можно найти в различных источниках. ^[22] В частности, размерность n пространства будет конечной.

Используя обозначение Брекета из приведенного выше раздела, тождественный оператор можно записать как:

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|}$

где предполагается, как указано выше, что являются базисом и обратным базисом пространства, удовлетворяющего соотношению: ${\displaystyle \{|e_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{\langle f_{i}|\}}$

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Это выражение операции идентичности называется представлением или разрешением идентичности. ^{[21] [22]} Это формальное представление удовлетворяет основному свойству идентичности:

${\displaystyle I^{k}=I}$

действительно для любого положительного целого числа k .

Применяя разрешение тождества к любой функции в пространстве , получаем: ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|e_{i}\rangle }$

что является обобщенным разложением Фурье ψ в терминах базисных функций { e _i  }. ^[23] Вот . ${\displaystyle c_{i}=\langle f_{i}|\psi \rangle }$

Учитывая некоторое операторное уравнение вида:

${\displaystyle O|\psi \rangle =|h\rangle }$

с h в пространстве это уравнение можно решить в приведенном выше базисе с помощью формальных манипуляций:

${\displaystyle O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle ,}$

${\displaystyle \langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle ,\quad \forall j}$

которое преобразует операторное уравнение в матричное уравнение , определяющее неизвестные коэффициенты c _j через обобщенные коэффициенты Фурье h и матричные элементы оператора O . ${\displaystyle \langle f_{j}|h\rangle }$ ${\displaystyle O_{ji}=\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle }$

Роль спектральной теории возникает в установлении природы и существования базиса и обратного базиса. В частности, базис может состоять из собственных функций некоторого линейного оператора L :

${\displaystyle L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle \,;}$

с {  λ _i  } собственными значениями L из спектра L . Тогда разрешение приведенного выше тождества обеспечивает расширение L в диаду :

${\displaystyle LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|.}$

Резольвентный оператор

Используя спектральную теорию, резольвентный оператор R :

${\displaystyle R=(\lambda I-L)^{-1},\,}$

может быть оценено через собственные функции и собственные значения L и может быть найдена функция Грина, соответствующая L.

Применяя R к некоторой произвольной функции в пространстве, скажем , ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle R|\varphi \rangle =(\lambda I-L)^{-1}|\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle .}$

Эта функция имеет полюсы в комплексной λ -плоскости в каждом собственном значении L . Таким образом, используя исчисление остатков :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}R|\varphi \rangle d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle =-|\varphi \rangle ,}$

где линейный интеграл проводится по контуру C , который включает в себя все собственные значения L .

Предположим, наши функции определены по некоторым координатам { x _j }, то есть:

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\varphi (x_{1},x_{2},...).}$

Знакомство с обозначениями

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\delta (x-y),}$

где δ(x - y) = δ(x ₁ - y ₁ , x ₂ - y ₂ , x ₃ - y ₃ , ...) - дельта-функция Дирака , ^[24] мы можем написать

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\rangle \langle y,\varphi \rangle dy.}$

Затем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x,{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}d\lambda \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \left\langle x,{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\right\rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \int dy\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle y,\varphi \rangle \end{aligned}}}$

Функция G(x, y; λ), определяемая формулой:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y;\lambda )&=\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \left\langle f_{i},{\frac {e_{j}}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle f_{j},y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}},\end{aligned}}}$

называется функцией Грина для оператора L и удовлетворяет следующим условиям: ^[25]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}G(x,y;\lambda )\,d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y).}$

Операторные уравнения

Рассмотрим операторное уравнение:

${\displaystyle (O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle ;}$

по координатам:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle \,dy=h(x).}$

Частный случай — λ = 0.

Функция Грина из предыдущего раздела:

${\displaystyle \langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda ),}$

и удовлетворяет:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle \,dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle \,dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z).}$

Используя это свойство функции Грина:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )\,dy=\delta (x-z).}$

Затем, умножив обе части этого уравнения на h ( z ) и интегрируя:

${\displaystyle \int dz\,h(z)\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dz\,h(z)G(y,z;\lambda )=h(x),}$

что предполагает решение:

${\displaystyle \psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )\,dz.}$

То есть функция ψ ( x ), удовлетворяющая операторному уравнению, находится, если мы можем найти спектр O и построить G , например, используя:

${\displaystyle G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}.}$

Конечно, есть много других способов найти G. ^[26] См. статьи о функциях Грина и об интегральных уравнениях Фредгольма . Следует иметь в виду, что приведенная выше математика является чисто формальной, и ее строгая трактовка предполагает довольно сложную математику, включая хорошие базовые знания функционального анализа , гильбертовых пространств , распределений и так далее. Более подробную информацию можно найти в этих статьях и ссылках.

Спектральная теорема и фактор Рэлея

Задачи оптимизации могут быть наиболее полезными примерами комбинаторной значимости собственных значений и собственных векторов в симметричных матрицах, особенно для фактора Рэлея по матрице M .

Теорема. Пусть M — симметричная матрица, а x — ненулевой вектор, который максимизирует фактор Рэлея по M. Тогда x — собственный вектор M с собственным значением, равным коэффициенту Рэлея . Более того, это собственное значение является наибольшим собственным значением  M .

Доказательство. Предположим спектральную теорему. Пусть собственные значения M равны . Поскольку форма является ортонормированным базисом , любой вектор x может быть выражен в этом базисе как ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}}$

${\displaystyle x=\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}}$

Доказать эту формулу довольно просто. А именно,

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{j}^{T}\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}={}&\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{j}^{T}v_{i}\\[4pt]={}&(v_{j}^{T}x)v_{j}^{T}v_{j}\\[4pt]={}&v_{j}^{T}x\end{aligned}}}$

оцените коэффициент Рэлея по x :

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{T}Mx={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}\right)^{T}M\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\right)\\[4pt]={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}\right)\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\right)\\[4pt]={}&\sum _{i,j}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)(v_{j}^{T}x)\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\lambda _{j}\leq \lambda _{n}\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\\[4pt]={}&\lambda _{n}x^{T}x,\end{aligned}}}$

где в последней строке мы использовали личность Парсеваля . Наконец мы получаем, что

${\displaystyle {\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\leq \lambda _{n}}$

поэтому коэффициент Рэлея всегда меньше . ^[27] ${\displaystyle \lambda _{n}}$

Смотрите также

• Математический портал

• Функции операторов , Теория операторов
• Слабые пары
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Рисс-проектор
• Самосопряженный оператор
• Спектр (функциональный анализ) , Резольвентный формализм , Разложение спектра (функциональный анализ)
• Спектральный радиус , Спектр оператора , Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C*-алгебр
• Теория Штурма–Лиувилля , Интегральные уравнения , Теория Фредгольма
• Компактные операторы , Изоспектральные операторы, Полнота
• Спектральная геометрия
• Спектральная теория графов
• Список тем функционального анализа

Примечания

1. Жан Александр Дьедонне (1981). История функционального анализа. Эльзевир. ISBN 0-444-86148-3.
2. Уильям Арвесон (2002). «Глава 1: спектральная теория и банаховые алгебры». Краткий курс спектральной теории. Спрингер. ISBN 0-387-95300-0.
3. Виктор Антонович Садовничий (1991). «Глава 4: Геометрия гильбертова пространства: спектральная теория операторов». Теория операторов . Спрингер. п. 181 и далее . ISBN 0-306-11028-8.
4. Стин, Линн Артур. «Основные события в истории спектральной теории» (PDF) . Колледж Святого Олафа . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 14 декабря 2015 г.
5. Джон фон Нейман (1996). Математические основы квантовой механики; Том 2 из серии Princeton Landmarks in Mathematics (перепечатка перевода оригинального издания 1932 года). Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02893-1.
6. Э. Брайан Дэвис , цитата на веб-сайте аналитической группы Королевского колледжа Лондона «Исследования в аналитической группе».
7. Николас Янг (1988). Введение в гильбертово пространство. Издательство Кембриджского университета. п. 3. ISBN 0-521-33717-8.
8. Жан-Люк Дорье (2000). О преподавании линейной алгебры; Том. 23 Библиотеки математического образования. Спрингер. ISBN 0-7923-6539-9.
9. См. Спектры в математике и физике. Архивировано 27 июля 2011 г. в Wayback Machine Джин Мавин , стр. 4 и стр. 10-11.
10. Эдгар Раймонд Лорх (2003). Спектральная теория (переиздание Оксфорда, 1962 г.). Издательство учебников. п. 89. ИСБН 0-7581-7156-0.
11. Николас Янг (21 июля 1988). оп. цит. Издательство Кембриджского университета. п. 81. ИСБН 0-521-33717-8.
12. Хельмут Х. Шефер; Манфред П. Х. Вольф (1999). Топологические векторные пространства (2-е изд.). Спрингер. п. 36. ISBN 0-387-98726-6.
13. Дмитрий Петрович Желобенко (2006). Основные структуры и методы теории представлений. Американское математическое общество. ISBN 0821837311.
14. Эдгар Раймонд Лорх (2003). «Глава III: Гильбертово пространство». Спектральная теория. п. 57. ИСБН 0-7581-7156-0.
15. Эдгар Раймонд Лорх (2003). «Глава V: Структура самосопряженных преобразований». Спектральная теория. п. 106 и далее . ISBN 0-7581-7156-0.
16. Бернард Фридман (1990). Принципы и методы прикладной математики (переиздание 1956 г., изд. Wiley). Дуврские публикации. п. 26. ISBN 0-486-66444-9.
17. ПАМ Дирак (1981). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 29 и далее . ISBN 0-19-852011-5.
18. Юрген Аудретч (2007). «Глава 1.1.2: Линейные операторы в гильбертовом пространстве». Запутанные системы: новые направления квантовой физики . Вайли-ВЧ. п. 5. ISBN 978-3-527-40684-5.
19. Р. А. Хоуленд (2006). Промежуточная динамика: линейно-алгебраический подход (2-е изд.). Биркхойзер. п. 69 и далее . ISBN 0-387-28059-6.
20. Бернард Фридман (1990). «Глава 2: Спектральная теория операторов». оп. цит. п. 57. ИСБН 0-486-66444-9.
21. См. обсуждение в книге Дирака, упомянутой выше, и Милана Вуйчича (2008). Подробное объяснение линейной алгебры. Спрингер. п. 274. ИСБН 978-3-540-74637-9.
22. См., например, фундаментальный текст Джона фон Неймана (1955). оп. цит. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02893-1.и Арч В. Нейлор, Джордж Р. Селл (2000). Теория линейных операторов в технике и науке; Том. 40 Прикладной математической науки. Спрингер. п. 401. ИСБН 0-387-95001-Х., Стивен Роман (2008). Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-72828-5., Юрий Макарович Березанский (1968). Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов; Том. 17 в Переводах математических монографий. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1567-9.
23. См., например, Джеральда Б. Фолланда (2009). «Сходимость и полнота». Анализ Фурье и его приложения (переиздание Wadsworth & Brooks/Cole, 1992 г.). Американское математическое общество. стр. 77 и далее . ISBN 978-0-8218-4790-9.
24. ПАМ Дирак (1981). оп. цит. Кларендон Пресс. п. 60 и далее . ISBN 0-19-852011-5.
25. Бернард Фридман (1956). оп. цит. Дуврские публикации. п. 214, уравнение. 2.14. ISBN 0-486-66444-9.
26. Например, см. Садри Хассани (1999). «Глава 20: Функции Грина в одном измерении». Математическая физика: современное введение в ее основы . Спрингер. п. 553 и последующие . ISBN 0-387-98579-4.и Цин-Хуа Цинь (2007). Функция Грина и граничные элементы многополевых материалов. Эльзевир. ISBN 978-0-08-045134-3.
27. Спилман, Дэниел А. «Конспекты лекций по теории спектральных графов», Йельский университет (2012) http://cs.yale.edu/homes/spielman/561/.

Рекомендации

• Эдвард Брайан Дэвис (1996). Спектральная теория и дифференциальные операторы; Том 42 Кембриджских исследований по высшей математике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58710-7.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы, спектральная теория, самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве (Часть 2) (переиздание в мягкой обложке, изд. 1967 г.). Уайли. ISBN 0-471-60847-5.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы, Спектральные операторы (Часть 3) (переиздание в мягкой обложке, изд. 1971 г.). Уайли. ISBN 0-471-60846-7.
• Садри Хассани (1999). «Глава 4: Спектральное разложение». Математическая физика: современное введение в ее основы . Спрингер. ISBN 0-387-98579-4.
• «Спектральная теория линейных операторов», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Шмуэль Канторовиц (1983). Спектральная теория операторов банахового пространства; . Спрингер.
• Арч В. Нейлор, Джордж Р. Селл (2000). «Глава 5, Часть B: Спектр». Теория линейных операторов в технике и науке; Том 40 Прикладных математических наук. Спрингер. п. 411. ИСБН 0-387-95001-Х.
• Джеральд Тешл (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Вальтер Моретти (2017). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраические формулировки, 2-е издание. Спрингер. ISBN 978-3-319-70705-1.

Внешние ссылки

• Эванс М. Харрелл II: Краткая история теории операторов
• Грегори Х. Мур (1995). «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875–1940». История математики . 22 (3): 262–303. дои : 10.1006/hmat.1995.1025 .
• Стин, Луизиана (апрель 1973 г.). «Основные события в истории спектральной теории». Американский математический ежемесячник . 80 (4): 359–381. дои : 10.2307/2319079. JSTOR  2319079.