Квадратура круга

Задача построения равновеликих фигур

Квадратура круга: площади этого квадрата и этого круга равны . В 1882 году было доказано, что эту фигуру невозможно построить за конечное число шагов с помощью идеализированного циркуля и линейки . ${\displaystyle \pi }$

Квадратура круга — геометрическая задача, впервые предложенная в греческой математике . Это задача построить квадрат с площадью заданного круга , используя только конечное число шагов с помощью циркуля и линейки . Сложность проблемы поставила вопрос о том, предполагают ли указанные аксиомы евклидовой геометрии , касающиеся существования прямых и кругов , существование такого квадрата.

В 1882 году задача оказалась невыполнимой, как следствие теоремы Линдемана-Вейерштрасса , доказывающей, что pi ( ) — трансцендентное число . То есть не является корнем любого многочлена с рациональными коэффициентами. На протяжении десятилетий было известно, что конструкция была бы невозможна, если бы она была трансцендентной, но этот факт не был доказан до 1882 года. Приближенные конструкции с любой заданной несовершенной точностью существуют, и таких конструкций было найдено много. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Несмотря на доказательство того, что это невозможно, попытки квадратуры круга были обычным явлением в псевдоматематике (т. е. в работе математических чудаков). Выражение «квадратура круга» иногда используется как метафора попытки сделать невозможное. ^[1]

Термин квадратура круга иногда используется как синоним квадратуры круга. Это также может относиться к приближенным или численным методам определения площади круга . В общем, квадратуру или возведение в квадрат можно применять и к другим плоским фигурам.

История

Методы расчета приблизительной площади данного круга, которые можно рассматривать как предысторию задачи квадратуры круга, были известны уже во многих древних культурах. Эти методы можно резюмировать, указав приближение к π , которое они производят. Примерно в 2000 году до нашей эры вавилонские математики использовали приближение , и примерно в то же время древнеегипетские математики использовали это приближение . Более 1000 лет спустя в «Книгах Царств» Ветхого Завета использовалось более простое приближение . ^[2] Древняя индийская математика , как записано в Шатапатха Брахмане и Шулба Сутрах , использовала несколько различных приближений к . ^[3] Архимед доказал формулу площади круга, согласно которой . ^[2] В китайской математике в третьем веке нашей эры Лю Хуэй нашел еще более точные приближения, используя метод, аналогичный методу Архимеда, а в пятом веке Цзу Чунчжи нашел приближение, известное как Милюй . ^[4] ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3.125}$ ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3.16}$ ${\displaystyle \pi \approx 3}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143}$ ${\displaystyle \pi \approx 355/113\approx 3.141593}$

Проблема построения квадрата, площадь которого равна площади круга, а не его приближения, пришла из греческой математики . Греческие математики нашли конструкции циркуля и линейки, позволяющие превратить любой многоугольник в квадрат эквивалентной площади. ^[5] Они использовали эту конструкцию для сравнения площадей многоугольников геометрически, а не путем численного вычисления площади, что было бы более типично в современной математике. Как писал Прокл много столетий спустя, это побудило поиск методов, позволяющих проводить сравнения с неполигональными формами:

Взяв за основу эту проблему, я полагаю, древние также искали квадратуру круга. Ибо если параллелограмм оказывается равным какой-либо прямолинейной фигуре, то стоит исследовать, можно ли доказать, что прямолинейные фигуры равны фигурам, связанным дугами окружностей. ^[6]

Некоторые очевидные частичные решения долгое время давали ложную надежду. На этом рисунке заштрихованная фигура — луна Гиппократа . Его площадь равна площади треугольника ABC (найденного Гиппократом Хиосским ).

Первым известным греком, изучавшим эту проблему, был Анаксагор , который работал над ней, находясь в тюрьме. Гиппократ Хиосский решил эту проблему, найдя форму, ограниченную круговыми дугами, луну Гиппократа , которую можно было возвести в квадрат. Антифон Софист считал, что вписание правильных многоугольников в круг и удвоение числа сторон со временем заполнит площадь круга (это метод исчерпания ). Поскольку любой многоугольник можно возвести в квадрат, утверждал он ^[5] , круг можно возвести в квадрат. Напротив, Евдем утверждал, что величины нельзя делить без ограничений, поэтому площадь круга никогда не будет использована. ^[7] Одновременно с Антифоном Брайсон из Гераклеи утверждал, что, поскольку существуют как большие, так и меньшие круги, должен быть круг равной площади; этот принцип можно рассматривать как форму современной теоремы о промежуточной стоимости . ^[8] Более общая цель выполнения всех геометрических построений с использованием только циркуля и линейки часто приписывалась Энопиду , но доказательства этого косвенные. ^[9]

Проблема нахождения площади под произвольной кривой, ныне известная как интегрирование в исчислении или квадратура в численном анализе , до изобретения исчисления была известна как возведение в квадрат . ^[10] Поскольку методы исчисления были неизвестны, обычно предполагалось, что возведение в квадрат должно производиться с помощью геометрических конструкций, то есть с помощью циркуля и линейки. Например, Ньютон писал Ольденбургу в 1676 году: «Я думаю, что М. Лейбницу не понравится теорема в начале моего письма, стр. 4, о геометрическом возведении кривых в квадрат». ^[11] В современной математике термины разошлись по смыслу: квадратура обычно используется, когда разрешены методы исчисления, тогда как возведение в квадрат кривой сохраняет идею использования только ограниченных геометрических методов.

Джеймс Грегори попытался доказать невозможность квадратуры круга в книге Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Истинное квадратура круга и гиперболы) в 1667 году. Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой была предпринята попытка решить проблему. используя алгебраические свойства . ^{[12] [13]} Иоганн Генрих Ламберт доказал в 1761 году, что это иррациональное число . ^{[14] [15]} Лишь в 1882 году Фердинанду фон Линдеманну удалось более убедительно доказать, что π — трансцендентное число , и тем самым также доказать невозможность квадратуры круга с помощью циркуля и линейки. ^{[16] [17]} ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

После доказательства невозможности Линдеманна проблема считалась решенной профессиональными математиками, и в ее последующей математической истории доминировали псевдоматематические попытки построения квадратур круга, в основном сделанные любителями, и разоблачение этих усилий. ^[18] Кроме того, несколько более поздних математиков, в том числе Шриниваса Рамануджан, разработали конструкции циркуля и линейки, которые точно аппроксимируют задачу за несколько шагов. ^{[19] [20]}

Двумя другими классическими задачами античности, известными своей невозможностью, были удвоение куба и трисекция угла . Подобно квадратуре круга, эти задачи невозможно решить с помощью циркуля и линейки. Однако они имеют иной характер, чем квадратура круга, поскольку их решение включает корень кубического уравнения , а не является трансцендентным. Следовательно, для построения решений этих проблем можно использовать более мощные методы, чем конструкции циркуля и линейки, такие как построение neusis или математическое складывание бумаги . ^{[21] [22]}

невозможность

Решение задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки требует построения числа , длины стороны квадрата, площадь которого равна площади единичного круга. Если бы число было конструируемым , оно следовало бы из стандартных конструкций циркуля и линейки , которые также были бы конструируемыми. В 1837 году Пьер Ванцель показал, что длины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, должны быть решениями некоторых полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. ^{[23] [24]} Таким образом, конструктивные длины должны быть алгебраическими числами . Если бы круг можно было возвести в квадрат, используя только циркуль и линейку, то это было бы алгебраическое число. Лишь в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн доказал трансцендентность и, таким образом, невозможность этой конструкции. Идея Линдеманна заключалась в том, чтобы объединить доказательство трансцендентности числа Эйлера , показанное Чарльзом Эрмитом в 1873 году, с тождеством Эйлера. ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$

$${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$$

иррациональное числотеоремы Линдемана-Вейерштрасса^{[16] [17]} ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi }$

Нарушение правил путем введения дополнительного инструмента, допускающего бесконечное количество операций с циркулем и линейкой или выполнением операций в определенных неевклидовых геометриях, делает в некотором смысле возможным квадратуру круга. Например, теорема Динострата использует квадратрису Гиппия для квадратуры круга, а это означает, что если эта кривая каким-то образом уже задана, то из нее можно построить квадрат и круг равных площадей. Спираль Архимеда можно использовать для другой подобной конструкции. ^[25] Хотя круг не может быть возведен в квадрат в евклидовом пространстве , иногда это возможно в гиперболической геометрии при подходящей интерпретации терминов. Гиперболическая плоскость не содержит квадратов (четырехугольников с четырьмя прямыми углами и четырьмя равными сторонами), но вместо этого содержит правильные четырехугольники , фигуры с четырьмя равными сторонами и четырьмя равными углами, более острыми, чем прямые углы. В гиперболической плоскости существует ( счетное ) бесконечное число пар конструктивных окружностей и конструктивных правильных четырехугольников равной площади, которые, однако, строятся одновременно. Не существует способа начать с произвольного правильного четырехугольника и построить круг равной площади. Симметрично, не существует способа начать с произвольного круга и построить правильный четырехугольник равной площади, а для достаточно больших кругов такого четырехугольника не существует. ^{[26] [27]}

Примерные конструкции

Хотя точное квадратуру круга с помощью циркуля и линейки невозможно, приближения к квадратуре круга можно получить, построив длины, близкие к . Требуется только элементарная геометрия, чтобы преобразовать любое данное рациональное приближение в соответствующую конструкцию циркуля и линейки , но такие конструкции имеют тенденцию быть очень многословными по сравнению с точностью, которую они достигают. После того, как точная проблема оказалась неразрешимой, некоторые математики применили свою изобретательность, чтобы найти приближения к квадратуре круга, которые являются особенно простыми среди других мыслимых конструкций, дающих аналогичную точность. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Строительство Кочанского

Одна из многих ранних исторических приблизительных конструкций циркуля и линейки взята из статьи 1685 года польского иезуита Адама Адаманди Кочанского , в которой получено приближение, отклоняющееся от 5-го десятичного знака. Хотя уже были известны гораздо более точные численные аппроксимации , конструкция Кочанского имеет то преимущество, что она довольно проста. ^[28] На левой диаграмме ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3.141\,5{\color {red}33\,338}\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}$$

для . ^[29] ${\displaystyle \pi }$

Конструкции с использованием 355/113

Якоб де Гельдер опубликовал в 1849 г. конструкцию, основанную на приближении

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }}$$

Милю^[30]

Гелдер не строил сторону квадрата; ему было достаточно найти значение

$${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$$

В 1914 году индийский математик Шриниваса Рамануджан предложил другую геометрическую конструкцию для того же приближения. ^{[19] [20]}

Конструкции с использованием золотого сечения

Приближенная конструкция Э. У. Хобсона в 1913 г. ^[30] имеет точность до трех десятичных знаков. Конструкция Гобсона соответствует приблизительному значению

$${\displaystyle {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)=3.141\;{\color {red}640\;\ldots },}$$

сечение ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

Такая же приблизительная стоимость указана в конструкции Роберта Диксона 1991 года . ^[31] В 2022 году Фредерик Беатрикс представил геометрическую конструкцию, состоящую из 13 шагов. ^[32]

Вторая конструкция Рамануджана

В 1914 году Рамануджан предложил конструкцию, которая была эквивалентна принятию приблизительного значения за ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }}$$

^{[19] [20][19]} ${\displaystyle \pi }$

Пусть AB (рис.2) — диаметр круга с центром О. Разделите дугу ACB пополам в точке C и разделите AO пополам в точке T. Соедините BC и отрежьте от нее CM и MN, равные AT. Соединить АМ и АН и отрезать от последнего АП, равный АМ. Через P нарисуйте PQ параллельно MN и встретите AM в Q. Соедините OQ и через T нарисуйте TR, параллельно OQ и встретившись с AQ в R. Нарисуйте AS, перпендикулярно AO и равный AR, и соедините OS. Тогда среднее пропорциональное между OS и OB будет почти равно одной шестой окружности, а ошибка составит менее двенадцатой дюйма, когда диаметр составляет 8000 миль в длину.

Неправильные конструкции

В старости английский философ Томас Гоббс убедил себя, что ему удалось квадратура круга, утверждение, опровергнутое Джоном Уоллисом в рамках спора Гоббса-Уоллиса . ^[33] В XVIII и XIX веках среди потенциальных квадратурщиков круга стали преобладать ложные представления о том, что проблема квадратуры круга каким-то образом связана с проблемой долготы и что за решение будет дана большая награда. ^{[34] [35]} В 1851 году Джон Паркер опубликовал книгу «Квадратура круга» , в которой утверждал, что возвел круг в квадрат. Его метод фактически давал приближение с точностью до шести цифр. ^{[36] [37] [38]} ${\displaystyle \pi }$

Математик , логик и писатель викторианской эпохи Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный под псевдонимом Льюис Кэрролл , также проявил интерес к разоблачению нелогичных теорий квадратуры круга. В одной из своих дневниковых записей за 1855 год Доджсон перечислил книги, которые он надеялся написать, в том числе книгу под названием «Простые факты для тех, кто квадратирует круг». Во введении к «Новой теории параллелей» Доджсон рассказал о попытке продемонстрировать логические ошибки паре исследователей квадратов круга, заявив: ^[39]

Первый из этих двух заблудших провидцев наполнил меня великим стремлением совершить подвиг, о котором я никогда не слышал, как совершенный человеком, а именно убедить квадратного круга в его ошибке! Значение, которое мой друг выбрал для числа Пи, было 3,2: огромная ошибка соблазнила меня мыслью, что можно легко продемонстрировать, что она БЫЛА ошибкой. Было обменяно более двадцати писем, прежде чем я с грустью убедился, что у меня нет шансов.

Высмеивание квадратуры круга появляется в книге Огастеса Де Моргана «Бюджет парадоксов» , опубликованной посмертно его вдовой в 1872 году. Первоначально опубликовав эту работу в виде серии статей в « Атенеуме» , он редактировал ее для публикации во время его смерть. Популярность квадратуры круга снизилась после девятнадцатого века, и считается, что этому способствовала работа Де Моргана. ^[18]

Книга Хейзеля 1934 года

Даже после того, как это было доказано невозможно, в 1894 году математик-любитель Эдвин Дж. Гудвин заявил, что разработал метод квадратуры круга. Разработанная им техника не позволяла точно квадратировать круг и давала неправильную площадь круга, которая по сути была переопределена как равная 3,2. Затем Гудвин предложил законопроект Индианы Пи в законодательном собрании штата Индиана, позволяющий штату использовать его метод в образовании без выплаты ему гонораров. Законопроект был принят без каких-либо возражений в палате штата, но он был внесен на рассмотрение и так и не проголосован в Сенате на фоне растущих насмешек со стороны прессы. ^[40] ${\displaystyle \pi }$

Математический чудак Карл Теодор Хейзель также утверждал, что квадратировал круг в своей книге 1934 года «Вот!: великая проблема больше не является нерешенной: квадрат круга не подлежит опровержению». ^[41] Пол Халмос назвал эту книгу «классической чудакой». ^[42]

В литературе

Проблема квадратуры круга упоминалась в самых разных литературных эпохах и имела множество метафорических значений. ^[43] Его литературное использование восходит как минимум к 414 году до нашей эры, когда впервые была исполнена пьеса Аристофана «Птицы» . В нем персонаж Метон из Афин упоминает квадратуру круга, возможно, чтобы указать на парадоксальную природу своего утопического города. ^[44]

Витрувианский человек

« Рай Данте» , песнь XXXIII, строки 133–135, содержат стих:

Как геометр, его ум обращается
к квадрату круга, и при всем своем остроумии
он не находит правильную формулу, как бы он ни старался

Qual è 'l geométra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,

Для Данте квадратура круга представляет собой задачу, превосходящую человеческое понимание, которую он сравнивает со своей собственной неспособностью постичь Рай. ^[45] Образ Данте также напоминает отрывок из Витрувия , знаменито проиллюстрированный позже в « Витрувианском человеке » Леонардо да Винчи , о человеке, одновременно вписанном в круг и квадрат. ^[46] Данте использует круг как символ Бога и, возможно, упомянул это сочетание форм в отношении одновременной божественной и человеческой природы Иисуса. ^{[43] [46]} Ранее, в песне XIII, Данте называет греческого квадратурного круга Брайсона как человека, искавшего знания вместо мудрости. ^[43]

В нескольких работах поэтессы 17-го века Маргарет Кавендиш подробно рассматриваются проблема квадратуры круга и ее метафорические значения, включая контраст между единством истины и фракционностью, а также невозможность рационализации «фантазийной и женской природы». ^[43] К 1742 году, когда Александр Поуп опубликовал четвертую книгу своей « Дунсиады» , попытки квадратуры круга стали рассматриваться как «дикие и бесплодные»: ^[37]

Одна Безумная Матезис не была ограничена,
Слишком безумна, чтобы ее можно было связать простыми материальными цепями,
Теперь к чистому пространству поднимается ее восторженный взгляд,
Теперь, бегая по кругу, находит его квадратным.

Точно так же в комической опере Гилберта и Салливана «Принцесса Ида» есть песня, в которой сатирически перечисляются невыполнимые цели женского университета, которым руководит главный герой, такие как поиск вечного двигателя . Одна из таких целей: «И круг – квадратуруют / В какой-нибудь прекрасный день». ^[47]

Говорят, что сестина , поэтическая форма, впервые использованная в XII веке Арнаутом Даниэлем , метафорически квадратизирует круг, используя квадратное количество строк (шесть строф по шесть строк в каждой) с круговой схемой из шести повторяющихся слов. Спанос (1978) пишет, что эта форма имеет символическое значение, в котором круг обозначает небо, а квадрат — землю. ^[48] ​​Похожая метафора была использована в рассказе О. Генри «Квадратура круга» 1908 года о давней семейной вражде. В названии этой истории круг представляет мир природы, а квадрат — город, мир человека. ^[49]

В более поздних работах такие люди, занимающиеся квадратурой круга, как Леопольд Блум в романе Джеймса Джойса «Улисс » и адвокат Паравант в « Волшебной горе » Томаса Манна , рассматриваются как печально заблуждающиеся или потусторонние мечтатели, не осознающие математической невозможности этого круга и строящие грандиозные планы результата они никогда не достигнут. ^{[50] [51]}

Смотрите также

• Задача миссис Минивер  - Задача о площадях пересекающихся кругов.
• Круглая квадратная копула  – Философская трактовка оксюмороновPages displaying short descriptions of redirect targets
• Сквиркл  – форма между квадратом и кругом.
• Задача Тарского о квадратуре круга  - Задача разрезания и сборки диска в квадрат.

Рекомендации

1. Аммер, Кристина. «Квадрат круга. Dictionary.com. Словарь идиом American Heritage®». Компания Хоутон Миффлин . Проверено 16 апреля 2012 г.
2. Бейли, DH ; Борвейн, Дж. М. ; Борвейн, ПБ ; Плуфф, С. (1997). «В поисках Пи». Математический интеллект . 19 (1): 50–57. дои : 10.1007/BF03024340. MR  1439159. S2CID  14318695.
3. Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. п. 27. ISBN 978-0691120676.
4. Лам, Лэй Йонг; Анг, Тянь Се (1986). «Измерения круга в древнем Китае». История Математики . 13 (4): 325–340. дои : 10.1016/0315-0860(86)90055-8 . МР  0875525.Перепечатано в Берггрене, JL; Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер, ред. (2004). Пи: Справочник. Спрингер. стр. 20–35. ISBN 978-0387205717.
5. Построение квадрата, равного по площади данному многоугольнику, - это предложение 14 « Начал» Евклида , книга II.
6. Перевод из Кнорра (1986), с. 25
7. Хит, Томас (1921). История греческой математики. Кларендон Пресс.См., в частности, Анаксагор, стр. 172–174; Луны Гиппократа, стр. 183–200; Более поздние работы, в том числе Антифон, Евдем и Аристофан, стр. 220–235.
8. Бос, Хенк Дж. М. (2001). «Легитимация геометрических процедур до 1590 года». Переосмысление геометрической точности: трансформация Декартом ранней современной концепции строительства . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 23–36. дои : 10.1007/978-1-4613-0087-8_2. МР  1800805.
9. Норр, Уилбур Ричард (1986). Древняя традиция геометрических задач . Бостон: Биркхойзер. стр. 15–16. ISBN 0-8176-3148-8. МР  0884893.
10. Гвиччардини, Никколо (2009). Исаак Ньютон о математической достоверности и методе. Трансформации. Том. 4. МИТ Пресс. п. 10. ISBN 9780262013178.
11. Котес, Роджер (1850). Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса: включая письма других выдающихся людей.
12. Грегори, Джеймс (1667). Vera Circuli et Hyperbolæ Quadratura… [ Истинное квадратура круга и гиперболы… ]. Падуя: Джакомо Кадорино. Доступно в: ETH Bibliothek (Цюрих, Швейцария).
13. Криппа, Давиде (2019). «Джеймс Грегори и невозможность возведения в квадрат центральных конических сечений». Невозможность квадратуры круга в XVII веке . Международное издательство Спрингер. стр. 35–91. дои : 10.1007/978-3-030-01638-8_2. S2CID  132820288.
14. Ламберт, Иоганн Генрих (1761). «Мемуар о некоторых замечательных свойствах круговых трансцендентных и логарифмических величин». Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (на французском языке) (опубликовано в 1768 году). 17 : 265–322.
15. Лашкович, М. (1997). «О доказательстве Ламбертом иррациональности числа π ». Американский математический ежемесячник . 104 (5): 439–443. дои : 10.1080/00029890.1997.11990661. JSTOR  2974737. MR  1447977.
16. Линдеманн, Ф. (1882). «Über die Zahl π» [О числе π]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 20 : 213–225. дои : 10.1007/bf01446522. S2CID  120469397.
17. Фрич, Рудольф (1984). «Трансцендентность числа π известна уже около столетия, но кто был тот человек, который это открыл?». Результаты по математике . 7 (2): 164–183. дои : 10.1007/BF03322501. MR  0774394. S2CID  119986449.
18. Дадли, Андервуд (1987). Бюджет трисекций . Спрингер-Верлаг. стр. xi – xii. ISBN 0-387-96568-8.Перепечатано как «Трисекторы» .
19. Рамануджан, С. (1914). «Модульные уравнения и приближения к π» (PDF) . Ежеквартальный математический журнал . 45 : 350–372.
20. Castellanos, Дарио (апрель 1988 г.). «Вездесущий π ». Журнал «Математика» . 61 (2): 67–98. дои : 10.1080/0025570X.1988.11977350. JSTOR  2690037.
21. Альперин, Роджер К. (2005). «Трисекция и совершенно настоящее оригами». Американский математический ежемесячник . 112 (3): 200–211. arXiv : math/0408159 . дои : 10.2307/30037438. JSTOR  30037438. МР  2125383.
22. Фукс, Клеменс (2011). «Трисекция угла с оригами и смежные темы». Элементы математики . 66 (3): 121–131. дои : 10.4171/EM/179 . МР  2824428.
23. Ванцель, Л. (1837). «Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se resoudre avec la regle et le compas» [Исследования, позволяющие узнать, можно ли решить геометрическую задачу с помощью линейки и циркуля]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке). 2 : 366–372.
24. Каджори, Флориан (1918). «Пьер Лоран Ванцель». Бюллетень Американского математического общества . 24 (7): 339–347. дои : 10.1090/s0002-9904-1918-03088-7 . МР  1560082.
25. Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (11 января 2011 г.). История математики. Джон Уайли и сыновья. стр. 62–63, 113–115. ISBN 978-0-470-52548-7. ОСЛК  839010064.
26. Джаги, Уильям К. (1995). «Квадратура кругов в гиперболической плоскости» (PDF) . Математический интеллект . 17 (2): 31–36. дои : 10.1007/BF03024895. S2CID  120481094.
27. Гринберг, Марвин Джей (2008). Евклидова и неевклидова геометрия (Четвертое изд.). У. Х. Фриман. стр. 520–528. ISBN 978-0-7167-9948-1.
28. Венслав, Витольд (2001). «Квадратура круга в XVI–XVIII веках». В Фуксе, Эдуарде (ред.). Математика во все времена. Включая статьи с 10 и 11 ноября по истории математики, проходивших в Гольбеке 28–31 октября 1999 г. и в Брно 2–5 ноября 2000 г. Dějiny Matematiky/История математики. Том. 17. Прага:Прометей. стр. 7–20. МР  1872936.
29. Фукс, Хенрик (2012). «Приближения π Адама Адаманди Кочански : реконструкция алгоритма». Математический интеллект . 34 (4): 40–45. arXiv : 1111.1739 . дои : 10.1007/s00283-012-9312-1. МР  3029928. S2CID  123623596.
30. Хобсон, Эрнест Уильям (1913). Квадратура круга: история проблемы. Издательство Кембриджского университета. стр. 34–35.
31. Диксон, Роберт А. (1987). «Квадратура круга». Матография . Блэквелл. стр. 44–47.Перепечатано Dover Publications, 1991 г.
32. Беатрикс, Фредерик (2022). «Квадратура круга, как средневековый мастер-каменщик». Парабола . Школа математики и статистики UNSW. 58 (2).
33. Берд, Александр (1996). «Квадратура круга: Гоббс о философии и геометрии». Журнал истории идей . 57 (2): 217–231. дои : 10.1353/jhi.1996.0012. S2CID  171077338.
34. Де Морган, Август (1872). Бюджет парадоксов . п. 96.
35. Совет долготы / Том V / Подтвержденные протоколы. Библиотека Кембриджского университета: Королевская обсерватория. 1737–1779. п. 48 . Проверено 1 августа 2021 г.
36. Бекманн, Петр (2015). История Пи. Пресса Святого Мартина. п. 178. ИСБН 9781466887169.
37. Шеплер, Герман К. (1950). «Хронология числа Пи». Журнал «Математика» . 23 (3): 165–170, 216–228, 279–283. дои : 10.2307/3029284. JSTOR  3029832. MR  0037596.
38. Абелес, Франсин Ф. (1993). «Геометрический подход Чарльза Л. Доджсона к арктангенсным соотношениям для числа пи». История Математики . 20 (2): 151–159. дои : 10.1006/hmat.1993.1013 . МР  1221681.
39. Гарднер, Мартин (1996). Вселенная в носовом платке: математические развлечения, игры, головоломки и игры слов Льюиса Кэрролла . Нью-Йорк: Коперник. стр. 29–31. дои : 10.1007/0-387-28952-6. ISBN 0-387-94673-Х.
40. Сингмастер, Дэвид (1985). «Юридические значения числа Пи». Математический интеллект . 7 (2): 69–72. дои : 10.1007/BF03024180. MR  0784946. S2CID  122137198.Перепечатано в Берггрене, Леннарте; Борвейн, Джонатан; Борвейн, Питер (2004). Пи: справочник (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 236–239. дои : 10.1007/978-1-4757-4217-6_27. ISBN 0-387-20571-3. МР  2065455.
41. Хейзель, Карл Теодор (1934). Вот! : великая проблема «квадрат круга», которую невозможно опровергнуть, больше не является нерешенной.
42. Пол Р. Халмос (1970). «Как писать математику». Математическое познание . 16 (2): 123–152.— PDF
43. Таббс, Роберт (декабрь 2020 г.). «Квадратура круга: История литературы». В Таббсе, Роберт; Дженкинс, Алиса; Энгельхардт, Нина (ред.). Справочник Пэлгрейва по литературе и математике . Международное издательство Спрингер. стр. 169–185. дои : 10.1007/978-3-030-55478-1_10. MR  4272388. S2CID  234128826.
44. Амати, Мэтью (2010). «Звездный город Метона: Геометрия и утопия в « Птицах » Аристофана ». Классический журнал . 105 (3): 213–222. дои : 10.5184/classicalj.105.3.213. JSTOR  10.5184/classicalj.105.3.213.
45. Герцман, Рональд Б.; Таусли, Гэри Б. (1994). «Квадратура круга: Рай 33 и поэтика геометрии». Традицио . 49 : 95–125. дои : 10.1017/S0362152900013015. JSTOR  27831895. S2CID  155844205.
46. Кей, Ричард (июль 2005 г.). « Имаго деи Витрувия и Данте  ». Слово и изображение . 21 (3): 252–260. дои : 10.1080/02666286.2005.10462116. S2CID  194056860.
47. Долид, Уильям А. (1980). «Виви Уоррен и Трипо». Обзор Шоу . 23 (2): 52–56. JSTOR  40682600.Долид противопоставляет Виви Уоррен, вымышленную студентку-математику в « Профессии миссис Уоррен» Джорджа Бернарда Шоу , сатире на студенток колледжа, представленной Гилбертом и Салливаном. Он пишет, что «Виви, естественно, знала, что лучше не пытаться квадратировать круги».
48. Спанос, Маргарет (1978). «Сестина: исследование динамики поэтической структуры». Зеркало . 53 (3): 545–557. дои : 10.2307/2855144. JSTOR  2855144. S2CID  162823092.
49. Блум, Гарольд (1987). Американская литература двадцатого века . Издательство «Челси Хаус». п. 1848. ISBN 9780877548034. Подобным же образом рассказ «Квадратура круга» пронизан интегрирующим образом: природа — круг, город — квадрат.
50. Пендрик, Джерард (1994). «Две заметки об «Улиссе»«. James Joyce Quarterly . 32 (1): 105–107. JSTOR  25473619.
51. Гоггин, Джойс (1997). Большая сделка: карточные игры в художественной литературе 20-го века (доктор философии). Университет Монреаля. п. 196.

Дальнейшее чтение и внешние ссылки

• Богомольный, Александр. «Квадратура круга». разрезать узел .
• Грайм, Джеймс. «Квадратура круга». Числофил . Брэди Харан – через YouTube.
• Харпер, Сюзанна; Дрискелл, Шеннон (август 2010 г.). «Исследование исторических геометрических построений». Конвергенция . Математическая ассоциация Америки.
• О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (апрель 1999 г.). «Квадратура круга». MacTutor Архив истории математики .
• Отеро, Дэниел Э. (июль 2010 г.). «Квадратура круга и луны Гиппократа». Конвергенция . Математическая ассоциация Америки.
• Польстер, Буркард . «2000 лет неразгаданы: почему невозможно удвоение кубов и квадратура круга?». Матолог – через YouTube.