Сублинейная функция

Тип функции в линейной алгебре

В линейной алгебре сублинейная функция (или функционал , как чаще используется в функциональном анализе ), также называемая квазиполунормой или банаховым функционалом , на векторном пространстве является действительной -значной функцией, обладающей лишь некоторыми свойствами полунормы . В отличие от полунорм, сублинейная функция не обязательно должна быть неотрицательной -значной и также не обязательно быть абсолютно однородной . Полунормы сами по себе являются абстракциями более известного понятия норм , где полунорма обладает всеми определяющими свойствами нормы, за исключением того, что она не обязана отображать ненулевые векторы в ненулевые значения. ${\displaystyle X}$

В функциональном анализе иногда используется название функционал Банаха , отражающее то, что они чаще всего используются при применении общей формулировки теоремы Хана-Банаха . Понятие сублинейной функции было введено Стефаном Банахом, когда он доказал свою версию теоремы Хана-Банаха . ^[1]

В информатике существует также другое понятие , описанное ниже, которое также называется «сублинейная функция».

Определения

Пусть — векторное пространство над полем, где — либо действительные числа , либо комплексные числа. Действительная функция над называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$сублинейная функция (илисублинейный функционал , если), а также иногда называемый ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$квази-полунорма илиБанахов функционал , если он обладает следующими двумя свойствами:^[1]

1. Положительная однородность / Неотрицательная однородность : ^[2] для всех действительныхи всех ${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
   • Это условие выполняется тогда и только тогда, когда для всех положительных действительных чисел и всех ${\displaystyle p(rx)\leq rp(x)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. Субаддитивность / Неравенство треугольника : ^[2] для всех ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
   • Это условие субаддитивности должно быть действительным. ${\displaystyle p}$

Функция называется ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$положительный ^[3]илинеотрицательно, еслидля всех, хотя некоторые авторы^[4]определяют ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X,}$позитивный , чтобы вместо этого означать, чтовсякий раз, когдаэти определения не эквивалентны. Это ${\displaystyle p(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x\neq 0;}$симметричная функция , еслидля всех Каждая субаддитивная симметричная функция обязательно неотрицательна.^{[доказательство 1]} Сублинейная функция на действительном векторном пространстве симметрична тогда и только тогда, когда она является полунормой.Сублинейная функция на действительном или комплексном векторном пространстве является полунормой тогда и только тогда, когда она являетсясбалансированной функциейили, что эквивалентно, тогда и только тогда, когдадля каждогоскаляраединичной длины(удовлетворяющего) и каждого ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Множество всех сублинейных функций на обозначено как можно частично упорядочить , объявив, что если и только если для всех Сублинейная функция называется минимальной , если она является минимальным элементом в этом порядке. Сублинейная функция минимальна тогда и только тогда, когда она является действительным линейным функционалом . ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\#},}$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Примеры и достаточные условия

Каждая норма , полунорма и вещественный линейный функционал являются сублинейной функцией. Тождественная функция на является примером сублинейной функции (на самом деле, это даже линейный функционал), которая не является ни положительной, ни полунормой; то же самое верно для отрицания этого отображения ^[5] В более общем смысле, для любого вещественного отображения является сублинейной функцией на и, более того, каждая сублинейная функция имеет этот вид; в частности, если и то и ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto -x.}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S_{a,b}:\;&&\mathbb {R} &&\;\to \;&\mathbb {R} \\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&{\begin{cases}ax&{\text{ if }}x\leq 0\\bx&{\text{ if }}x\geq 0\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a:=-p(-1)}$ ${\displaystyle b:=p(1)}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle p=S_{a,b}.}$

Если и являются сублинейными функциями на действительном векторном пространстве, то также является отображением. В более общем случае, если является любым непустым набором сублинейных функционалов на действительном векторном пространстве и если для всех , то является сублинейным функционалом на ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle q(x):=\sup\{p(x):p\in {\mathcal {P}}\},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$

Функция , которая является субаддитивной , выпуклой и удовлетворяет , также является положительно однородной (последнее условие необходимо, как показывает пример на ). Если является положительно однородной, она является выпуклой тогда и только тогда, когда она субаддитивна. Поэтому, предполагая , любые два свойства среди субаддитивности, выпуклости и положительной однородности влекут третье. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(x):={\sqrt {x^{2}+1}}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$

Характеристики

Каждая сублинейная функция является выпуклой функцией : Для ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}}$$

Если — сублинейная функция на векторном пространстве , то ^{[доказательство 2] [3]} для каждого , что подразумевает, что по крайней мере одно из и должно быть неотрицательным; то есть, для каждого ^[3] Более того, когда — сублинейная функция на действительном векторном пространстве, то отображение, определяемое с помощью, является полунормой. ^[3] ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}$$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(-x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}$$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

Субаддитивность гарантирует, что для всех векторов ^{[1] [доказательство 3],} поэтому если также симметрично, то обратное неравенство треугольника будет выполняться для всех векторов ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),}$$ $${\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).}$$

Определение тогда субаддитивности также гарантирует, что для всех значение на множестве постоянно и равно ^{[доказательство 4]} В частности, если — векторное подпространство тогда и присваивание , которое будет обозначаться как — это хорошо определенная вещественнозначная сублинейная функция на факторпространстве , которая удовлетворяет Если — полунорма, то — это просто обычная каноническая норма на факторпространстве ${\displaystyle \ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}$ ${\displaystyle p(x).}$ ${\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -\ker p=\ker p}$ ${\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}$ ${\displaystyle {\hat {p}},}$ ${\displaystyle X\,/\,\ker p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle X\,/\,\ker p.}$

Лемма Прайса о сублинейности ^[2]  — Предположим, что — сублинейный функционал на векторном пространстве, а это— непустое выпуклое подмножество. Если— вектор и— положительные действительные числа, такие, что тогда для каждого положительного действительного числасуществует некотороетакое, что ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a,c>0}$ $${\displaystyle p(x)+ac~<~\inf _{k\in K}p(x+ak)}$$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} \in K}$ $${\displaystyle p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{k\in K}p(x+a\mathbf {z} +bk).}$$

Добавление к обеим частям гипотезы (где ) и объединение этого с заключением дает что приводит к еще большему количеству неравенств, включая, например, такое, в котором выражение на одной стороне строгого неравенства можно получить из другой, заменив символ на (или наоборот) и переместив закрывающую скобку вправо (или влево) от соседнего слагаемого (все остальные символы остаются фиксированными и неизменными). ${\displaystyle bc}$ ${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$ ${\displaystyle p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}}$ $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)}$$ $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )}$$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$

Ассоциированная полунорма

Если — вещественная сублинейная функция на вещественном векторном пространстве (или если — комплексная, то когда она рассматривается как вещественное векторное пространство), то отображение определяет полунорму на вещественном векторном пространстве, называемую полунормой, связанной с ^[3] Сублинейная функция на вещественном или комплексном векторном пространстве является симметричной функцией тогда и только тогда, когда , как и прежде. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

В более общем случае, если — вещественная сублинейная функция на (вещественном или комплексном) векторном пространстве , то будет определять полунорму на , если этот супремум всегда является вещественным числом (то есть никогда не равен ). ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{|u|=1}p(ux)~=~\sup\{p(ux):u{\text{ is a unit scalar }}\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$

Отношение к линейным функционалам

Если — сублинейная функция на действительном векторном пространстве , то следующие условия эквивалентны: ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$является линейным функционалом .
2. для каждого ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0.}$
3. для каждого ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0.}$
4. ${\displaystyle p}$является минимальной сублинейной функцией.

Если — сублинейная функция на действительном векторном пространстве , то существует линейный функционал на такой, что ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p.}$

Если — действительное векторное пространство, — линейный функционал на и — положительная сублинейная функция на , то тогда и только тогда, когда ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Доминирование линейного функционала

Действительная функция , определенная на подмножестве действительного или комплексного векторного пространства, называется доминируемой сублинейной функцией , если для каждого , принадлежащего области определения Если — действительный линейный функционал на , то ^{[6] [1]} доминируется (то есть ), если и только если Более того, если — полунорма или некоторое другое симметричное отображение (что по определению означает, что справедливо для всех ), то тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\leq p}$ $${\displaystyle -p(-x)\leq f(x)\leq p(x)\quad {\text{ for every }}x\in X.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Теорема ^[1]  —  Если — сублинейная функция на действительном векторном пространстве и если , то существует линейный функционал на , который доминируется (то есть ) и удовлетворяет условию Более того, если — топологическое векторное пространство и является непрерывным в начале координат, то является непрерывным. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle f(z)=p(z).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

Непрерывность

Теорема ^[7]  —  Предположим, что является субаддитивной функцией (то есть для всех ). Тогда непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда равномерно непрерывна на Если удовлетворяет , то непрерывна тогда и только тогда, когда ее абсолютное значение непрерывно. Если неотрицательно, то непрерывна тогда и только тогда, когда открыта в ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle X.}$

Предположим, что — топологическое векторное пространство (TVS) над действительными или комплексными числами и — сублинейная функция на Тогда следующие условия эквивалентны: ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle p}$является непрерывным;
2. ${\displaystyle p}$непрерывен в точке 0;
3. ${\displaystyle p}$равномерно непрерывна на ; ${\displaystyle X}$

и если ответ положительный, то этот список может быть расширен за счет включения: ${\displaystyle p}$

4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$открыт в ${\displaystyle X.}$

Если — действительный TVS, — линейный функционал на и — непрерывная сублинейная функция на , то из того , что — непрерывный. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Связь с функциями Минковского и открытыми выпуклыми множествами

Теорема ^[7]  —  Если — выпуклая открытая окрестность начала координат в топологическом векторном пространстве , то функционал Минковского от является непрерывной неотрицательной сублинейной функцией на такой, что если, кроме того, — сбалансированное множество , то — полунорма на ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle p_{U}:X\to [0,\infty ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\left\{x\in X:p_{U}(x)<1\right\};}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle X.}$

Отношение к открытым выпуклым множествам

Теорема ^[7]  —  Предположим, что — топологическое векторное пространство (не обязательно локально выпуклое или хаусдорфово ) над действительными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества — это в точности те, которые имеют вид для некоторой и некоторой положительной непрерывной сублинейной функции на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Доказательство

Пусть будет открытым выпуклым подмножеством Если то пусть и в противном случае пусть будет произвольным. Пусть будет функционалом Минковского , который является непрерывной сублинейной функцией на , так как является выпуклым, поглощающим и открытым ( однако не обязательно является полунормой, так как не предполагалось, что он сбалансирован ). Из этого следует, что Будет показано, что что завершит доказательство. Одно из известных свойств функционалов Минковского гарантирует , где , так как является выпуклым и содержит начало координат. Таким образом, как и требовалось. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle 0\in V}$ ${\displaystyle z:=0}$ ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle V-z,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V-z}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X=X-z,}$ $${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}.}$$ ${\displaystyle V=z+\{x\in X:p(x)<1\},}$ ${\textstyle \{x\in X:p(x)<1\}=(0,1)(V-z),}$ ${\displaystyle (0,1)(V-z)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{tx:0<t<1,x\in V-z\}=V-z}$ ${\displaystyle V-z}$ ${\displaystyle V-z=\{x\in X:p(x)<1\},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Операторы

Эту концепцию можно распространить на операторы, которые являются однородными и субаддитивными. Для этого требуется только, чтобы область значений была, скажем, упорядоченным векторным пространством, чтобы условия имели смысл.

Определение информатики

В информатике функция называется сублинейной, если или в асимптотической нотации (обратите внимание на маленькую ). Формально, тогда и только тогда, когда для любого заданного существует такое , что для ^[8] То есть растет медленнее, чем любая линейная функция. Не следует путать эти два значения: в то время как банахов функционал является выпуклым , для функций сублинейного роста верно почти противоположное: каждая функция может быть ограничена сверху вогнутой функцией сублинейного роста. ^[9] ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ ${\displaystyle c>0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(n)<cn}$ ${\displaystyle n\geq N.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$

Смотрите также

• Асимметричная норма  – Обобщение понятия нормы
• Вспомогательное нормированное пространство
• Теорема Хана-Банаха  – Теорема о расширении ограниченных линейных функционаловPages displaying short descriptions of redirect targets
• Линейный функционал  – линейное отображение векторного пространства в его скалярное поле.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Функционал Минковского  – Функция, созданная из множества
• Норма (математика)  – Длина в векторном пространстве
• Полунорма  – неотрицательно-действительная функция на действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Супераддитивность  – свойство функции

Примечания

Доказательства

1. Пусть Неравенство треугольника и симметрия подразумевают Подстановка и последующее вычитание из обеих сторон доказывает, что Таким образом, что подразумевает ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)=p(x)+p(x)=2p(x).}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 0\leq p(0).}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)\leq 2p(x)}$ ${\displaystyle 0\leq p(x).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Если и тогда неотрицательная однородность подразумевает, что Следовательно, что возможно только если ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r:=0}$ ${\displaystyle p(0)=p(rx)=rp(x)=0p(x)=0.}$ ${\displaystyle 0=p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x),}$ ${\displaystyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. что происходит тогда и только тогда, когда Подстановка и дает что подразумевает (положительная однородность не нужна; достаточно неравенства треугольника). ${\displaystyle p(x)=p(y+(x-y))\leq p(y)+p(x-y),}$ ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle y:=-x}$ ${\displaystyle p(x)-p(-x)\leq p(x-(-x))=p(x+x)\leq p(x)+p(x),}$ ${\displaystyle -p(-x)\leq p(x)}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
4. Пусть и Осталось показать, что Из неравенства треугольника следует, что так как и требовалось. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k\in p^{-1}(0)\cap (-p^{-1}(0)).}$ ${\displaystyle p(x+k)=p(x).}$ ${\displaystyle p(x+k)\leq p(x)+p(k)=p(x)+0=p(x).}$ ${\displaystyle p(-k)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(x)-p(-k)\leq p(x-(-k))=p(x+k),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Ссылки

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 177–220.
2. Шехтер 1996, стр. 313–315.
3. Narici & Beckenstein 2011, стр. 120–121.
4. Кубруслы 2011, стр. 200.
5. Narici & Beckenstein 2011, стр. 177–221.
6. Рудин 1991, стр. 56–62.
7. Narici & Beckenstein 2011, стр. 192–193.
8. Томас Х. Кормен , Чарльз Э. Лейзерсон , Рональд Л. Ривест и Клиффорд Стайн (2001) [1990]. "3.1". Введение в алгоритмы (2-е изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр. 47–48. ISBN 0-262-03293-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Чеккерини-Зильберштейн, Туллио; Сальватори, Маура; Сава-Гусс, Екатерина (29 июня 2017 г.). Группы, графы и случайные блуждания . Кембридж. Лемма 5.17. ISBN 9781316604403. OCLC  948670194.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Библиография

• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (Второе изд.). Бостон: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.