Функция sinc

Специальная математическая функция, определяемая как sin(x)/x

В математике , физике и технике функция sinc , обозначаемая sinc( x ) , имеет две формы: нормализованную и ненормализованную. ^[1]

Функция sinc как аудио, на частоте 2000 Гц (±1,5 секунды вокруг нуля)

В математике историческая ненормализованная функция sinc определяется для x ≠ 0 как $${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.}$$

В качестве альтернативы ненормализованную функцию sinc часто называют функцией выборки , обозначаемой как Sa( x ). ^[2]

В цифровой обработке сигналов и теории информации нормализованная функция sinc обычно определяется для x ≠ 0 следующим образом: $${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}$$

В любом случае значение при x = 0 определяется как предельное значение для всех действительных a ≠ 0 (предел можно доказать с помощью теоремы о сжатии ). $${\displaystyle \operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$$

Нормализация приводит к тому, что определенный интеграл функции по действительным числам становится равным 1 (тогда как тот же интеграл ненормализованной функции sinc имеет значение π ). Еще одним полезным свойством является то, что нули нормализованной функции sinc являются ненулевыми целыми значениями x .

Нормализованная функция sinc — это преобразование Фурье прямоугольной функции без масштабирования. Она используется в концепции реконструкции непрерывного сигнала с ограниченной полосой пропускания из равномерно распределенных выборок этого сигнала.

Единственное различие между двумя определениями заключается в масштабировании независимой переменной ( ось x ) на коэффициент π . В обоих случаях значение функции в устранимой сингулярности в нуле понимается как предельное значение 1. Тогда функция sinc является аналитической всюду и, следовательно, целой функцией .

Функцию также называли кардинальным синусом или кардинальной функцией синуса . ^{[3] [4]} Термин sinc / ˈ s ɪ ŋ k / был введен Филиппом М. Вудвордом в его статье 1952 года «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях», в которой он сказал, что функция «встречается так часто в анализе Фурье и его приложениях, что, кажется, заслуживает собственного обозначения» ^[5] и в его книге 1953 года «Теория вероятности и информации с приложениями к радарам » . ^{[6] [7]} Сама функция была впервые математически выведена в этой форме лордом Рэлеем в его выражении ( формуле Рэлея ) для сферической функции Бесселя нулевого порядка первого рода.

Характеристики

Локальные максимумы и минимумы (маленькие белые точки) ненормализованной красной функции синуса соответствуют ее пересечениям с синей функцией косинуса .

Нулевые пересечения ненормализованного sinc происходят при ненулевых целых кратных π , в то время как нулевые пересечения нормализованного sinc происходят при ненулевых целых числах.

Локальные максимумы и минимумы ненормализованного sinc соответствуют его пересечениям с функцией косинуса . То есть, ⁠sin( ξ )/ξ⁠ = cos( ξ ) для всех точек ξ , где производная ⁠sin( х )/х⁠ равен нулю и, таким образом, достигается локальный экстремум. Это следует из производной функции sinc: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.}$$

Первые несколько членов бесконечного ряда для координаты x n -го экстремума с положительной координатой x равны , где и , где нечетные n приводят к локальному минимуму, а четные n к локальному максимуму. Из-за симметрии относительно оси y существуют экстремумы с координатами x − x _n . Кроме того, существует абсолютный максимум при ξ ₀ = (0, 1) . $${\displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}$$ $${\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}$$

Нормализованная функция sinc имеет простое представление в виде бесконечного произведения : $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$$

Функция кардинального синуса sinc(z), построенная на комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i

и связана с гамма-функцией Γ( x ) через формулу отражения Эйлера : $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}$$

Эйлер открыл ^[8] , что и из-за тождества произведения к сумме ^[9] $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}$$

Диаграмма окраски домена sinc z = ⁠грех z/з⁠

$${\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}$$Произведение Эйлера можно переформулировать как сумму $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}$$

Непрерывное преобразование Фурье нормализованного sinc (к обычной частоте) равно rect ( f ) : где прямоугольная функция равна 1 для аргумента между − ⁠ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}$$1/2⁠ и ⁠1/2⁠ , и ноль в противном случае. Это соответствует тому факту, что sinc-фильтр является идеальным ( кирпичная стена , т.е. прямоугольная частотная характеристика) фильтром нижних частот .

Этот интеграл Фурье, включая частный случай, является несобственным интегралом (см. интеграл Дирихле ), а не сходящимся интегралом Лебега , поскольку $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$$

Нормализованная функция sinc обладает свойствами, которые делают ее идеальной для интерполяции выборочных функций с ограниченной полосой пропускания :

• Это интерполирующая функция, т. е. sinc(0) = 1 и sinc( k ) = 0 для ненулевого целого числа k .
• Функции x _k ( t ) = sinc( t − k ) ( k целое число) образуют ортонормированный базис для функций с ограниченной полосой пропускания в функциональном пространстве L ² ( R ) с наивысшей угловой частотой ω _H = π (то есть наивысшей частотой цикла f _H = ⁠1/2⁠ ).

Другие свойства двух функций sinc включают в себя:

• Ненормализованный sinc — это сферическая функция Бесселя первого рода нулевого порядка , j ₀ ( x ) . Нормализованный sinc — это j ₀ (π x ) .
• где Si( x ) — интегральный синус , $${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}$$
• λ sinc( λx ) (не нормализовано) является одним из двух линейно независимых решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения. Другое — ⁠ $${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}$$cos( λx )/х⁠ , которая не ограничена при x = 0 , в отличие от ее аналога функции sinc.
• Используя нормализованный sinc, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}$$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}$
• Следующий несобственный интеграл содержит (ненормированную) функцию sinc: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}$$

Связь с дельта-распределением Дирака

Нормализованную функцию sinc можно использовать как зарождающуюся дельта-функцию , что означает, что выполняется следующий слабый предел :

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}$$

Это не обычный предел, так как левая часть не сходится. Скорее, это означает, что

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}$$

для каждой функции Шварца , как видно из теоремы обращения Фурье . В приведенном выше выражении, когда a → 0 , число колебаний на единицу длины функции sinc стремится к бесконечности. Тем не менее, выражение всегда колеблется внутри огибающей ± ⁠1/π х⁠ , независимо от значения a .

Это усложняет неформальную картину δ ( x ) как равной нулю для всех x, за исключением точки x = 0 , и иллюстрирует проблему мышления о дельта-функции как о функции, а не как о распределении. Похожая ситуация наблюдается в явлении Гиббса .

Суммирование

Все суммы в этом разделе относятся к ненормализованной функции sinc.

Сумма sinc( n ) по целому числу n от 1 до ∞ равна ⁠π − 1/2⁠ :

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

Сумма квадратов также равна ⁠π − 1/2⁠ : ^{[10] [11]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

Когда знаки слагаемых чередуются и начинаются с +, сумма равна ⁠1/2⁠ : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

Чередующиеся суммы квадратов и кубов также равны ⁠1/2⁠ : ^[12] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

Расширение серии

Ряд Тейлора ненормализованной функции sinc можно получить из ряда синуса (который также дает значение 1 при x = 0 ): $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

Ряд сходится для всех x . Нормализованная версия легко следует: $${\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

Эйлер сравнил этот ряд с расширением бесконечной формы произведения для решения Базельской проблемы .

Более высокие измерения

Произведение 1-мерных функций sinc легко дает многомерную функцию sinc для квадратной декартовой сетки ( решетки ): sinc _C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) , преобразование Фурье которой является индикаторной функцией квадрата в частотном пространстве (т. е. кирпичной стены, определенной в 2-мерном пространстве). Функция sinc для недекартовой решетки ( например, гексагональной решетки ) является функцией, преобразование Фурье которой является индикаторной функцией зоны Бриллюэна этой решетки. Например, функция sinc для гексагональной решетки является функцией, преобразование Фурье которой является индикаторной функцией единичного шестиугольника в частотном пространстве. Для недекартовой решетки эта функция не может быть получена простым тензорным произведением. Однако явная формула для функции sinc для гексагональной , объемноцентрированной кубической , гранецентрированной кубической и других решеток более высокой размерности может быть явно выведена ^[13] с использованием геометрических свойств зон Бриллюэна и их связи с зонотопами .

Например, гексагональная решетка может быть создана с помощью (целочисленной) линейной оболочки векторов $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}$$

Обозначая можно вывести ^[13] функцию sinc для этой гексагональной решетки как $${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}$$

Эту конструкцию можно использовать для проектирования окна Ланцоша для общих многомерных решеток. ^[13]

Смотрите также

• Фильтр сглаживания  – математическое преобразование, уменьшающее ущерб, вызванный сглаживанием
• Интеграл Борвейна  – Тип математических интегралов
• Интеграл Дирихле  – интеграл sin(x)/x от 0 до бесконечности.
• Повторная выборка Ланцоша  – применение математической формулы
• Список математических функций
• Вейвлет Шеннона
• Фильтр Sinc  – идеальный фильтр нижних частот или усредняющий фильтр
• Синк численные методы
• Тригонометрические функции матриц  – Важные функции при решении дифференциальных уравнений
• Тригонометрический интеграл  – Специальная функция, определяемая интегралом
• Формула интерполяции Уиттекера–Шеннона  – Алгоритм (ре-)конструкции сигнала
• Проекция Винкеля трипель  – псевдоазимутальная компромиссная картографическая проекция (картография)

Ссылки

1. Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У., ред. (2010), «Численные методы», Справочник по математическим функциям NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248..
2. Сингх, РП; Сапре, СД (2008). Системы связи, 2E (иллюстрированное издание). Tata McGraw-Hill Education. стр. 15. ISBN 978-0-07-063454-1.Выдержка из страницы 15
3. Weisstein, Eric W. "Sinc Function". mathworld.wolfram.com . Получено 2023-06-07 .
4. Мерка, Мирча (2016-03-01). "Функция кардинального синуса и числа Чебышева–Стирлинга". Журнал теории чисел . 160 : 19–31. doi :10.1016/j.jnt.2015.08.018. ISSN  0022-314X. S2CID  124388262.
5. Вудворд, П. М.; Дэвис, Иллинойс (март 1952 г.). «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях» (PDF) . Труды IEE — Часть III: Радиотехника и техника связи . 99 (58): 37–44. doi :10.1049/pi-3.1952.0011.
6. Poynton, Charles A. (2003). Цифровое видео и HDTV . Morgan Kaufmann Publishers. стр. 147. ISBN 978-1-55860-792-7.
7. Вудворд, Филлип М. (1953). Вероятность и теория информации с приложениями к радару . Лондон: Pergamon Press. стр. 29. ISBN 978-0-89006-103-9. OCLC  488749777.
8. Эйлер, Леонард (1735). «О суммах рядов обратных величин». arXiv : math/0506415 .
9. Луис Ортис-Грасиа; Корнелис В. Остерли (2016). «Высокоэффективный метод обратного преобразования Фурье с использованием вейвлета Шеннона для ценообразования европейских опционов». SIAM J. Sci. Comput . 38 (1): B118–B143. Bibcode : 2016SJSC...38B.118O. doi : 10.1137/15M1014164. hdl : 2072/377498 .
10. "Advanced Problem 6241". American Mathematical Monthly . 87 (6). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки : 496–498. Июнь–июль 1980. doi : 10.1080/00029890.1980.11995075.
11. Роберт Бейли; Дэвид Борвейн ; Джонатан М. Борвейн (декабрь 2008 г.). «Удивительные суммы и интегралы синка». American Mathematical Monthly . 115 (10): 888–901. doi : 10.1080/00029890.2008.11920606. hdl : 1959.13/940062 . JSTOR  27642636. S2CID  496934.
12. Бейли, Роберт (2008). «Развлечения с рядами Фурье». arXiv : 0806.0150v2 [math.CA].
13. Ye, W.; Entezari, A. (июнь 2012 г.). «Геометрическое построение многомерных функций sinc». IEEE Transactions on Image Processing . 21 (6): 2969–2979. Bibcode : 2012ITIP...21.2969Y. doi : 10.1109/TIP.2011.2162421. PMID  21775264. S2CID  15313688.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Функция Sinc". MathWorld .