Скрученная К-теория

В математике скрученная К-теория (также называемая К-теорией с локальными коэффициентами ^[1] ) является вариацией К-теории , математической теории 1950-х годов, которая охватывает алгебраическую топологию , абстрактную алгебру и теорию операторов .

Более конкретно, скрученная K-теория с твистом H является частным вариантом K-теории, в которой твист задается целым 3-мерным классом когомологий . Он является особенным среди различных твистов, которые допускает K-теория, по двум причинам. Во-первых, он допускает геометрическую формулировку. Это было сделано в два этапа; первый был сделан в 1970 году (Publ. Math. de l' IHÉS ) Питером Донованом и Максом Каруби; второй в 1988 году Джонатаном Розенбергом в Continuous-Trace Algebras from the Bundle Theoretic Point of View.

В физике предполагалось, что D-браны , напряженности поля Рамона-Рамона и в некоторых случаях даже спиноры можно классифицировать в теории струн типа II . Для получения дополнительной информации о скрученной K-теории в теории струн см. K-теория (физика) .

В более широком контексте K-теории в каждом предмете она имеет многочисленные изоморфные формулировки и во многих случаях изоморфизмы, связывающие определения в различных предметах, были доказаны. Она также имеет многочисленные деформации, например, в абстрактной алгебре K-теория может быть скручена любым целочисленным классом когомологий.

Определение

Чтобы мотивировать геометрическую формулировку Розенбергом скрученной К-теории, начнем с теоремы Атьи–Яниха , утверждающей, что

${\displaystyle Fred({\mathcal {H}}),}$

операторы Фредгольма в гильбертовом пространстве , являются классифицирующим пространством для обычной, нескрученной K-теории. Это означает, что K-теория пространства состоит из гомотопических классов отображений ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle [M\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]}$

от до ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Fred({\mathcal {H}}).}$

Немного более сложный способ сказать то же самое заключается в следующем. Рассмотрим тривиальное расслоение над , то есть декартово произведение и . Тогда K-теория состоит из гомотопических классов сечений этого расслоения. ${\displaystyle Fred({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Fred({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle M}$

Мы можем сделать это еще более сложным, введя тривиальный

${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

расслоение над , где есть группа проективных унитарных операторов на гильбертовом пространстве . Тогда группа отображений ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle [P\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]_{PU({\mathcal {H}})}}$

из в которые являются эквивариантными относительно действия эквивалентны исходным группам отображений ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Fred({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle [M\rightarrow Fred({\mathcal {H}})].}$

Эта более сложная конструкция обычной K-теории естественным образом обобщается на скрученный случай. Чтобы увидеть это, заметим, что расслоения на классифицируются элементами третьей целочисленной группы когомологий . Это следствие того факта, что топологически является представительным пространством Эйленберга–Маклейна ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle K(\mathbf {Z} ,3)}$.

Обобщение тогда простое. Розенберг определил

${\displaystyle K_{H}(M)}$,

скрученная K-теория с скручиванием, заданная 3-классом , должна быть пространством гомотопических классов сечений тривиального расслоения над , которые ковариантны относительно расслоения , расслоенного над с 3-классом , то есть ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Fred({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle P_{H}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle K_{H}(M)=[P_{H}\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]_{PU({\mathcal {H}})}.}$

Эквивалентно, это пространство гомотопических классов сечений расслоений, связанных с расслоением с классом . ${\displaystyle Fred({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle H}$

Связь с К-теорией

Когда — тривиальный класс, скрученная K-теория — это просто раскрученная K-теория, которая является кольцом. Однако, когда — нетривиально, эта теория уже не является кольцом. Она имеет сложение, но уже не замкнута относительно умножения. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Однако прямая сумма скрученных K-теорий со всеми возможными скручиваниями является кольцом. В частности, произведение элемента K-теории с скручиванием на элемент K-теории с скручиванием является элементом K-теории, скрученным на . Этот элемент можно построить непосредственно из приведенного выше определения, используя сопряженные операторы Фредгольма и построить из них конкретную матрицу 2 x 2 (см. ссылку 1, где также представлена ​​более естественная и общая версия с Z/2-градуировкой). В частности, скрученная K-теория является модулем над классической K-теорией. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle H+H'}$

Расчеты

Физики обычно хотят вычислить скрученную K-теорию, используя спектральную последовательность Атьи–Хирцебруха . ^[2] Идея состоит в том, что мы начинаем со всех четных или всех нечетных интегральных когомологий, в зависимости от того, хотим ли мы вычислить скрученную или скрученную , а затем берем когомологии относительно ряда дифференциальных операторов. Первый оператор, , например, является суммой трехклассового , который в теории струн соответствует 3-форме Невё-Шварца, и третьего квадрата Стинрода , ^[3] так что ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle K^{0}}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle d_{3}^{p,q}=Sq^{3}+H}$

Элементарная форма для следующего оператора, , не найдена, хотя существует несколько предполагаемых форм. Высшие операторы не вносят вклад в -теорию 10-многообразия, которая является измерением, представляющим интерес в критической теории суперструн . Над рациональными числами Майкл Атья и Грэм Сигал показали, что все дифференциалы сводятся к произведениям Масси . ^[4] ${\displaystyle d_{5}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$

После взятия когомологий относительно полного ряда дифференциалов получаем скрученную -теорию как набор, но для получения полной групповой структуры в общем случае необходимо решить задачу расширения . ${\displaystyle K}$

Пример: трехсфера

Трёхмерная сфера, , имеет тривиальные когомологии, за исключением и , которые обе изоморфны целым числам. Таким образом, чётные и нечётные когомологии обе изоморфны целым числам. Поскольку трёхмерная сфера имеет размерность три, что меньше пяти, третий квадрат Стинрода тривиален на её когомологиях, и поэтому первый нетривиальный дифференциал равен просто . Последующие дифференциалы увеличивают степень класса когомологий более чем на три и поэтому снова тривиальны; таким образом, скрученная -теория — это просто когомологии оператора , который действует на класс, охватывая его 3-классом . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle H^{0}(S^{3})}$ ${\displaystyle H^{3}(S^{3})}$ ${\displaystyle d_{5}=H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle H}$

Представьте, что это тривиальный класс, ноль. Тогда также тривиально. Таким образом, вся его область определения является его ядром, и ничто не находится в его образе. Таким образом, ядро ​​находится в четных когомологиях, которые являются полными четными когомологиями, состоящими из целых чисел. Аналогично состоит из нечетных когомологий, профакторизованных по образу , другими словами, профакторизованных по тривиальной группе. Это оставляет исходные нечетные когомологии, которые снова являются целыми числами. В заключение, и трехсферы с тривиальным поворотом оба изоморфны целым числам. Как и ожидалось, это согласуется с нескрученной -теорией. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle K_{H}^{0}(S^{3})}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle K_{H}^{1}(S^{3})}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle K^{0}}$ ${\displaystyle K^{1}}$ ${\displaystyle K}$

Теперь рассмотрим случай, в котором нетривиально. определяется как элемент третьей целочисленной когомологии, которая изоморфна целым числам. Таким образом, соответствует числу, которое мы будем называть . теперь берет элемент из и дает элемент из . Так как не равно нулю по предположению, то единственным элементом ядра является нулевой элемент, и поэтому . Образ состоит из всех элементов целых чисел, кратных . Следовательно, нечетные когомологии, , профакторизованные по образу , , являются циклической группой порядка , . В заключение ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle H^{0}}$ ${\displaystyle nm}$ ${\displaystyle H^{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle K_{H=n}^{0}(S^{3})=0}$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

${\displaystyle K_{H=n}^{1}(S^{3})=\mathbb {Z} /n}$

В теории струн этот результат воспроизводит классификацию D-бран на 3-сфере с единицами -потока, что соответствует набору симметричных граничных условий в суперсимметричной модели WZW на уровне . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle n-2}$

Существует расширение этого вычисления на групповое многообразие SU(3) . ^[5] В этом случае квадратный член Стинрода в , оператор и проблема расширения нетривиальны. ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle d_{5}}$

Смотрите также

• К-теория (физика)
• Модель Весса–Зумино–Виттена
• Bundle герб

Примечания

1. Донаван, Питер; Каруби, Макс (1970). «Градуированные группы Брауэра и $K$-теория с локальными коэффициентами». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 38 : 5–25.
2. Руководство по таким вычислениям в случае скрученной К-теории можно найти в книге E8 Gauge Theory, and a Derivation of K-Theory from M-Theory Эмануэля Диаконеску, Грегори Мура и Эдварда Виттена (DMW).
3. (DMW) также предлагает ускоренный курс по квадратам Стинрода для физиков.
4. В скрученной K-теории и когомологиях.
5. В книге «Инстантоны D-браны и заряды K-теории» Хуана Малдасены , Грегори Мура и Натана Зайберга .

Ссылки

• «Градуированные группы Брауэра и K-теория с локальными коэффициентами», Питер Донован и Макс Каруби. Publ. Math. IHÉS Nr. 38, стр. 5–25 (1970).
• Инстантоны D-браны и заряды теории К Хуана Малдасены , Грегори Мура и Натана Сейберга
• Скрученная К-теория и когомологии Майкла Атьи и Грэма Сигала
• Скрученная К-теория и К-теория пучковых гербер Питера Боукнегта , Алана Кэри, Варгезе Матаи , Майкла Мюррея и Дэнни Стивенсона.
• Извращенная К-теория, старая и новая

Внешние ссылки

• Strings 2002, лекция Майкла Атьи «Скрученная К-теория и физика»
• Алгебра Верлинде — это скрученная эквивариантная K-теория (PDF)
• Формулы Римана–Роха и индекса в скрученной K-теории (PDF)