Ультраборнологическое пространство

В функциональном анализе топологическое векторное пространство (ТВП) называется ультраборнологическим , если каждый ограниченный линейный оператор , переходящий в другое ТВП, обязательно непрерывен . Общая версия теоремы о замкнутом графике справедлива для ультраборнологических пространств. Ультраборнологические пространства были введены Александром Гротендиком (Гротендик [1955, стр. 17] «espace du type (β)»). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Определения

Пусть – топологическое векторное пространство (ТВП). ${\displaystyle X}$

Предварительные сведения

Диск — выпуклое и сбалансированное множество. Диск в ТВС называется рожденоядным ^[2], если он поглощает любое ограниченное подмножество ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Линейное отображение между двумя ТВС называется инфраограниченным ^[2], если оно отображает банаховы диски в ограниченные диски.

Диск в ТВС называется инфраборноядным, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle D}$ поглощает все банаховы диски в ${\displaystyle X.}$

а если локально выпукло, то к этому списку можно добавить: ${\displaystyle X}$

2. калибр – инфраграничная карта ; ^[2] ${\displaystyle D}$

а если локально выпукло и хаусдорфово, то мы можем добавить к этому списку: ${\displaystyle X}$

3. ${\displaystyle D}$поглощает все компакт-диски; ^[2] то есть является «компактивным». ${\displaystyle D}$

Ультраборнологическое пространство

TVS является ультраборнологическим , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$

1. каждый диск инфроядных в является окрестностью начала координат; ^[2] ${\displaystyle X}$

а если это локально выпуклое пространство, то мы можем добавить к этому списку: ${\displaystyle X}$

2. каждый ограниченный линейный оператор из полной метризуемой ТВС обязательно непрерывен; ${\displaystyle X}$
3. каждый диск инфрарожденных является окрестностью 0;
4. ${\displaystyle X}$— индуктивный предел пространств при изменении D по всем компактам в ; ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle X}$
5. полунорма, ограниченная на каждом банаховом круге, обязательно непрерывна; ${\displaystyle X}$
6. для всякого локально выпуклого пространства и всякого линейного отображения, если оно ограничено на каждом банаховом диске, то непрерывно; ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$
7. для любого банахова пространства и любого линейного отображения, если оно ограничено на каждом банаховом диске, то непрерывно. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

а если это хаусдорфово локально выпуклое пространство, то мы можем добавить к этому списку: ${\displaystyle X}$

8. ${\displaystyle X}$– индуктивный предел банаховых пространств; ^[2]

Характеристики

Каждое локально выпуклое ультраборнологическое пространство является бочоночным , ^[2] квазиультрабочоночным пространством и борнологическим пространством , но существуют борнологические пространства, которые не являются ультраборнологическими.

• Каждое ультраборнологическое пространство является индуктивным пределом семейства ядерных пространств Фреше , охватывающих ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Каждое ультраборнологическое пространство является индуктивным пределом семейства ядерных DF-пространств , охватывающих ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры и достаточные условия

Конечное произведение локально выпуклых ультраборнологических пространств является ультраборнологическим. ^[2] Индуктивные пределы ультраборнологических пространств являются ультраборнологическими.

Каждое хаусдорфово секвенциально полное борнологическое пространство является ультраборнологическим. ^[2] Таким образом, каждое полное хаусдорфово борнологическое пространство является ультраборнологическим. В частности, каждое пространство Фреше является ультраборнологическим. ^[2]

Сильное дуальное пространство полного пространства Шварца является ультраборнологическим.

Каждое квазиполное хаусдорфово борнологическое пространство является ультраборнологическим. ^{[ нужна цитата ]}

Контрпримеры

Существуют ультрабочковые пространства , которые не являются ультраборнологическими. Существуют ультраборнологические пространства, которые не являются ультрабочонками.

Смотрите также

• Ограниченный линейный оператор  - Линейное преобразование между топологическими векторными пространствамиСтраницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  - Обобщение ограниченности
• Борнологическое пространство  - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Борнология  - математическое обобщение ограниченности.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Пространство линейных карт
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.
• Векторная борнология

Внешние ссылки

• Некоторые характеристики ультраборнологических пространств

Рекомендации

1. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 441.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 441–457.

• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ . Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. xii+144. ISBN 0-7204-0712-5. МР  0500064.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1216-7. МР  0075539. OCLC  1315788.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0780-4. ОСЛК  37141279.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.