В математике многие наборы преобразований образуют группу при композиции функций ; например, вращение вокруг точки на плоскости. Часто полезно рассматривать группу как абстрактную группу и говорить, что у абстрактной группы есть групповое действие , состоящее из выполнения преобразований группы преобразований. Причиной отличия группы от преобразований является то, что, вообще говоря, группа преобразований структуры действует также на различные родственные структуры; например, указанная выше группа вращения действует также на треугольники, преобразуя треугольники в треугольники.
Формально групповое действие группы G на множестве S представляет собой групповой гомоморфизм из G в некоторую группу (при функциональной композиции ) функций из S в себя.
Если группа действует на структуру, она обычно также действует на объекты, построенные на основе этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидово пространство , а также на нарисованные в нем фигуры; в частности, он действует на множестве всех треугольников . Аналогично группа симметрий многогранника действует на вершины , ребра и грани многогранника.
Групповое действие в векторном пространстве называется представлением группы. В случае конечномерного векторного пространства это позволяет отождествить многие группы с подгруппами общей линейной группы GL( n , K ) , группы обратимых матриц размерности n над полем K .
Симметричная группа Sn действует на любом множестве из n элементов , переставляя элементы этого множества. Хотя группа всех перестановок множества формально зависит от множества, концепция действия группы позволяет рассматривать единую группу для изучения перестановок всех множеств одинаковой мощности .
Если G — группа с единичным элементом e , а X — множество, то ( левое ) групповое действие α группы G на X является функцией
которое удовлетворяет следующим двум аксиомам : [1]
для всех g и h в G и всех x в X.
Говорят, что группа G действует на X (слева). Множество X вместе с действием G называется ( левым ) G - множеством .
В обозначениях может быть удобно каррировать действие α , так что вместо этого имеется набор преобразований α g : X → X с одним преобразованием α g для каждого элемента группы g ∈ G . Тогда отношения идентичности и совместимости читаются
и
где ∘ — композиция функций . Вторая аксиома тогда утверждает, что композиция функций совместима с групповым умножением; они образуют коммутативную диаграмму . Эту аксиому можно еще сократить и записать как α g ∘ α h = α gh .
Учитывая вышеизложенное, очень часто вообще избегают написания α и заменяют его либо точкой, либо вообще ничем. Таким образом, α ( g , x ) можно сократить до g⋅x или gx , особенно когда действие ясно из контекста . Тогда аксиомы
Из этих двух аксиом следует, что для любого фиксированного g в G функция из X в себя, которая отображает x в g ⋅ x , является биекцией , а обратная биекция - соответствующим отображением для g −1 . Следовательно, можно эквивалентным образом определить групповое действие группы G на X как гомоморфизм группы из G в симметрическую группу Sym( X ) всех биекций из X в себя. [2]
Аналогично, правое групповое действие группы G на X — это функция
удовлетворяющее аналогичным аксиомам: [3]
(при этом α ( x , g ) часто сокращается до xg или x ⋅ g , когда рассматриваемое действие ясно из контекста)
для всех g и h в G и всех x в X.
Разница между левыми и правыми действиями заключается в порядке действия произведения gh на x . Для левого действия сначала действует h , а затем g . Для правильного действия сначала действует g , а затем h . По формуле ( gh ) −1 = h −1 g −1 левое действие можно составить из правого действия путем композиции с обратной операцией группы. Кроме того, правое действие группы G на X можно рассматривать как левое действие противоположной ей группы G op на X.
Таким образом, для установления общих свойств групповых действий достаточно рассмотреть только левые действия. Однако бывают случаи, когда это невозможно. Например, умножение группы вызывает как левое, так и правое действие на саму группу — умножение слева и справа соответственно.
Пусть G — группа, действующая на множестве X. Действие называетсяверный илиэффективен , если из g ⋅ x = x для всех x ∈ X следует, что g = e G . Эквивалентно,гомоморфизмGв группу биекций X , соответствующую действию , инъективен.
Действие называетсясвободен (илиполурегуляренилисвободен от неподвижных точек), если из утверждения, что g ⋅ x = x для некоторого x ∈ X , уже следует, что g = e G . Другими словами, ни один нетривиальный элемент G нефиксирует точку X. Это гораздо более сильное свойство, чем верность.
Например, действие любой группы на себя умножением слева бесплатно. Из этого наблюдения следует теорема Кэли о том, что любая группа может быть вложена в симметрическую группу (которая бесконечна, если группа такова). Конечная группа может действовать добросовестно на множестве размера, много меньшего ее мощности (однако такое действие не может быть свободным). Например, абелева 2-группа ( Z / 2 Z ) n (мощности 2 n ) действует точно на множестве размера 2 n . Это не всегда так, например, циклическая группа Z /2 n Z не может действовать точно на множестве размера меньше 2 n .
В общем, наименьшее множество, на котором можно определить точное действие, может сильно различаться для групп одинакового размера. Например, три группы размера 120 — это симметрическая группа S 5 , икосаэдрическая группа A 5 × Z / 2 Z и циклическая группа Z / 120 Z . Наименьшие множества, на которых могут быть определены точные действия для этих групп, имеют размер 5, 7 и 16 соответственно.
Действие G на X называетсятранзитивно , если для любых двух точек x , y ∈ X существует g ∈ G такой, что g ⋅ x = y .
Действиепросто транзитивно (илирезко транзитивно, илирегулярный ), если он одновременно транзитивен и свободен. Это означает, что при x , y ∈ X элемент g в определении транзитивности единственный. Если на X действует просто транзитивно группа G , то оно называетсяглавным однородным пространствомдля G или G -торсором.
Для целого числа n ≥ 1 действиеn -транзитивен, еслиXимеет не менееnэлементов и для любой парыn-кортежей(x1, ...,x n ), (y1, ...,y n ) ∈X n с попарно различными элементами ( то естьx i ≠x j ,y i ≠y j , когдаi≠j) существуетg∈Gтакой, чтоg⋅x i =y i дляi= 1, ...,n. Другими словами, действие на подмножествеX n кортежей без повторяющихся записей транзитивно. Приn= 2, 3это часто называют двойной и соответственно тройной транзитивностью. Класс2-транзитивных групп(т. е. подгрупп конечной симметрической группы, действие которых 2-транзитивно) и, в более общем смысле,кратно транзитивных групп, хорошо изучен в теории конечных групп.
Действие — эторезко n -транзитивен , когда действие над кортежами без повторяющихся элементов из X n резко транзитивно.
Действие симметрической группы X транзитивно, фактически n -транзитивно для любого n вплоть до мощности X . Если X имеет мощность n , действие знакопеременной группы является ( n − 2) -транзитивным, но не ( n − 1) -транзитивным.
Действие общей линейной группы векторного пространства V на множестве V ∖ {0} ненулевых векторов транзитивно, но не 2-транзитивно (аналогично действию специальной линейной группы, если размерность v равна минимум 2). Действие ортогональной группы евклидова пространства не транзитивно на ненулевых векторах, а на единичной сфере .
Действие G на X называется примитивным , если не существует разбиения X , сохраняемого всеми элементами G , кроме тривиальных разбиений (разбиение на одиночный кусок и двойственное ему разбиение на одиночные элементы ).
Предположим, что X — топологическое пространство и действие G осуществляется гомеоморфизмами .
Действие называется блуждающим , если для каждого x ∈ X существует окрестность U такая, что существует лишь конечное число g ∈ G , такое что g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ . [4]
В более общем смысле точка x ∈ X называется точкой разрыва действия G , если существует открытое подмножество U ∋ x такое, что существует только конечное число g ∈ G такое, что g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ . Областью разрыва действия является множество всех точек разрыва. Эквивалентно, это наибольшее G -стабильное открытое подмножество Ω ⊂ X такое, что действие G на Ω является блуждающим. [5] В динамическом контексте это также называется блуждающим множеством .
Действие является собственно разрывным, если для любого компактного подмножества K ⊂ X существует конечное число g ∈ G таких, что g ⋅ K ∩ K ≠ ∅ . Это строго сильнее, чем блуждание; например, действие Z на R 2 ∖ {(0, 0)} , заданное формулой n ⋅( x , y ) = (2 n x , 2 − n y ), является блуждающим и свободным, но не разрывным. [6]
Действие палубных преобразований основной группы локально односвязного пространства на накрывающее является блуждающим и свободным. Такие действия можно охарактеризовать следующим свойством: каждый x ∈ X имеет окрестность U такую, что g ⋅ U ∩ U = ∅ для каждого g ∈ G ∖ { e G } . [7] Действия с этим свойством иногда называют свободно разрывными , а наибольшее подмножество, на котором действие свободно разрывно, тогда называют свободным регулярным множеством . [8]
Действие группы G на локально компактном пространстве X называется кокомпактным, если существует компактное подмножество A ⊂ X такое, что X = G ⋅ A . Для собственно разрывного действия кокомпактность эквивалентна компактности фактор- пространства G \ X .
Предположим теперь, что G — топологическая группа , а X — топологическое пространство, на котором она действует посредством гомеоморфизмов. Действие называется непрерывным , если отображение G × X → X непрерывно для топологии произведения .
Говорят, что действиеправильное, если отображение G × X → X × X , определенное формулой( g , x ) ↦ ( x , g ⋅ x ),являетсяправильным.[9]Это означает, что для данных компактов K , K ′множество g ∈ G такое, что g ⋅ K ∩ K ′ ≠ ∅, компактно. В частности, это эквивалентно тому, что собственный разрыв G —дискретная группа.
Он называется локально свободным, если существует окрестность U точки eG такая, что g ⋅ x ≠ x для всех x ∈ X и g ∈ U ∖ { e G } .
Действие называется сильно непрерывным , если орбитальное отображение g ↦ g ⋅ x непрерывно для каждого x ∈ X . Вопреки тому, что следует из названия, это более слабое свойство, чем непрерывность действия. [ нужна цитата ]
Если G — группа Ли и X — дифференцируемое многообразие , то подпространство гладких точек действия — это множество точек x ∈ X таких, что отображение g ↦ g ⋅ x гладко . Существует хорошо разработанная теория действий группы Ли , т.е. действий, гладких на всем пространстве.
Если g действует линейными преобразованиями на модуле над коммутативным кольцом , то действие называется неприводимым, если не существует собственных ненулевых g -инвариантных подмодулей. Говорят, что оно полупростое, если оно распадается в прямую сумму неприводимых действий.
Рассмотрим группу G , действующую на множестве X.орбита элемента x в X - это набор элементов в X , в который x может быть перемещен элементами G . Орбита x обозначается G ⋅ x :
Определяющие свойства группы гарантируют , что множество орбит (точек x в) X под действием G образуют разбиение X . Соответствующее отношение эквивалентности определяется следующим образом: x ~ y тогда и только тогда, когда существует g в G такой, что g ⋅ x = y . Тогда орбиты являются классами эквивалентности по этому отношению; два элемента x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты одинаковы, то есть G ⋅ x = G ⋅ y .
Действие группы транзитивно тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну орбиту, то есть если существует x в X такой, что G ⋅ x = X . Это так тогда и только тогда, когда G ⋅ x = X для всех x в X (при условии, что X непусто).
Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G (или реже как G \ X ) и называетсячастное действия. В геометрических ситуациях его можно назватьпространство орбит , а в алгебраических ситуациях его можно назвать пространствомкоинварианты и обозначаются X G , в отличие от инвариантов (неподвижных точек), обозначаемых X G : коинварианты представляют собойфактор, а инварианты представляют собойподмножество. Коинвариантная терминология и обозначения используются, в частности, вгрупповых когомологияхигрупповых гомологиях, которые используют одно и то же соглашение о верхнем/индексном индексе.
Если Y — подмножество X , то G ⋅ Y обозначает множество { g ⋅ y : g ∈ G и y ∈ Y } . Подмножество Y называется инвариантным относительно G , если G ⋅ Y = Y (что эквивалентно G ⋅ Y ⊆ Y ). В этом случае G также действует на Y , ограничивая действие Y . Подмножество Y называется фиксированным относительно G , если g ⋅ y = y для всех g в G и всех y в Y . Каждое подмножество, фиксированное относительно G , также инвариантно относительно G , но не наоборот.
Каждая орбита является инвариантным подмножеством X , на котором G действует транзитивно . И наоборот, любое инвариантное подмножество X представляет собой объединение орбит. Действие G на X транзитивно тогда и только тогда , когда все элементы эквивалентны, то есть существует только одна орбита.
G - инвариантным элементом X является x ∈ X такой, что g ⋅ x = x для всех g ∈ G . Множество всех таких x обозначается X G и называется G - инвариантами X . Когда X — G -модуль , X G — нулевая группа когомологий G с коэффициентами из X , а высшие группы когомологий — производные функторы функтора G - инвариантов.
Учитывая g в G и x в X с g ⋅ x = x , говорят, что « x является фиксированной точкой g » или что « g фиксирует x ». Для каждого x в XСтабилизирующая подгруппа Gотносительно x (также называемаягруппой изотропииилималенькой группой[10]) — это набор всех элементов в G , которые фиксируют x :
Пусть x и y — два элемента из X , и пусть g — элемент группы такой, что y = g ⋅ x . Тогда две группы стабилизаторов G x и G y связаны соотношением G y = gG x g −1 . Доказательство: по определению h ∈ G y тогда и только тогда, когда h ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Применяя g −1 к обеим частям этого равенства, получаем ( g −1 hg )⋅ x знак равно x ; то есть g −1 hg ∈ G x . Противоположное включение получается аналогичным образом, если взять h ∈ G x и x = g −1 ⋅ y .
Вышесказанное говорит о том, что стабилизаторы элементов, находящихся на одной орбите, сопряжены друг с другом. Таким образом, каждой орбите мы можем сопоставить класс сопряженности подгруппы G (т. е. множество всех сопряженных подгрупп). Пусть ( H ) обозначает класс сопряженности H. Тогда орбита O имеет тип ( H ) , если стабилизатор G x некоторого/любого x в O принадлежит ( H ) . Максимальный тип орбиты часто называют основным типом орбиты .
Орбиты и стабилизаторы тесно связаны. Для фиксированного x в X рассмотрим отображение f : G → X , заданное формулой g ↦ g ⋅ x . По определению образ f ( G ) этого отображения — это орбита G ⋅ x . Условие того, чтобы два элемента имели одинаковое изображение:
Если G конечна, то теорема о стабилизаторе орбиты вместе с теоремой Лагранжа дает
Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда X также конечно).
Результатом, тесно связанным с теоремой о стабилизаторе орбиты, является лемма Бернсайда :
Зафиксировав группу G , множество формальных разностей конечных G -множеств образует кольцо, называемое кольцом Бернсайда группы G , где сложение соответствует несвязному объединению , а умножение - декартову произведению .
Понятие группового действия может быть закодировано группоидом действия G ′ = G ⋉ X , ассоциированным с групповым действием. Стабилизаторами действия являются группы вершин группоида, а орбитами действия — его компоненты.
Если X и Y — два G -множества, морфизм из X в Y — это функция f : X → Y такая, что f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) для всех g в G и всех x в X . Морфизмы G -множеств называют также эквивариантными отображениями или G - отображениями .
Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм f биективен, то его обратный также является морфизмом. В этом случае f называется изоморфизмом , а два G -множества X и Y называются изоморфными ; для всех практических целей изоморфные G -множества неразличимы.
Некоторые примеры изоморфизмов:
С этим понятием морфизма совокупность всех G -множеств образует категорию ; эта категория является топосом Гротендика (на самом деле, если предположить классическую металогику , этот топос будет даже булевым).
Мы также можем рассмотреть действия моноидов на множествах, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биективные отображения и отношения эквивалентности. См. действие полугруппы .
Вместо действий на множествах мы можем определить действия групп и моноидов на объекты произвольной категории: начать с объекта X некоторой категории, а затем определить действие на X как гомоморфизм моноида в моноид эндоморфизмов X . Если X имеет базовое множество, то все определения и факты, изложенные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств, мы получим таким образом представления групп .
Мы можем рассматривать группу G как категорию с единственным объектом, в которой каждый морфизм обратим . Тогда (левое) групповое действие — это не что иное, как (ковариантный) функтор из G в категорию множеств , а представление группы — это функтор из G в категорию векторных пространств . Тогда морфизм между G -множествами является естественным преобразованием функторов группового действия. По аналогии, действие группоида — это функтор из группоида в категорию множеств или в какую-либо другую категорию.
Помимо непрерывных действий топологических групп на топологических пространствах, часто рассматривают также гладкие действия групп Ли на гладких многообразиях , регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия групповых схем на схемах . Все это примеры групповых объектов , действующих на объекты соответствующей категории.