Арифметическая поверхность

В математике арифметическая поверхность над областью Дедекинда R с полем дробей — это геометрический объект, имеющий одно обычное измерение и одно другое измерение, обеспечиваемое бесконечностью простых чисел . Когда R — это кольцо целых чисел Z , эта интуиция зависит от простого идеального спектра Spec( Z ), рассматриваемого как аналог прямой. Арифметические поверхности естественным образом возникают в диофантовой геометрии , когда алгебраическая кривая, определенная над K, рассматривается как имеющая редукции над полями R / P , где P — простой идеал R , для почти всех P ; и полезны для указания того, что должно происходить в процессе редукции к R / P , когда самый наивный способ не имеет смысла. ${\displaystyle K}$

Такой объект можно определить более формально как R-схему с неособой, связной проективной кривой для общего слоя и объединениями кривых (возможно, приводимых , особых , неприводимых ) над соответствующим полем вычетов для специальных слоев . ${\displaystyle C/K}$

Формальное определение

Более подробно, арифметическая поверхность (над областью Дедекинда ) — это схема с морфизмом , обладающим следующими свойствами: является целостной , нормальной , превосходной , плоской и имеет конечный тип над , а общий слой — неособая, связная проективная кривая над и для других в , ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p:S\rightarrow \mathrm {Spec} (R)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {Frac} (R)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$

${\displaystyle S{\underset {\mathrm {Spec} (R)}{\times }}\mathrm {Spec} (k_{t})}$

представляет собой объединение кривых над . ^[1] ${\displaystyle R/t}$

По схеме Дедекинда

В еще большей общности арифметические поверхности могут быть определены над схемами Дедекинда, типичным примером которых является спектр кольца целых чисел числового поля (что и имеет место выше). Тогда арифметическая поверхность является регулярной расслоенной поверхностью над схемой Дедекинда размерности один. ^[2] Это обобщение полезно, например, оно допускает базовые кривые, которые являются гладкими и проективными над конечными полями, что важно в положительной характеристике.

Над кольцами Дедекинда

Арифметические поверхности над областями Дедекинда являются арифметическим аналогом расслоенных поверхностей над алгебраическими кривыми. ^[1] Арифметические поверхности возникают в первую очередь в контексте теории чисел. ^[3] Фактически, если задана кривая над числовым полем , то существует арифметическая поверхность над кольцом целых чисел , общий слой которой изоморфен . В более высоких размерностях можно также рассматривать арифметические схемы. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O_{K}}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Измерение

Арифметические поверхности имеют размерность 2 и относительную размерность 1 над своим основанием. ^[1]

Делители

Мы можем разработать теорию дивизоров Вейля на арифметических поверхностях, поскольку каждое локальное кольцо размерности один является регулярным. Это кратко формулируется как «арифметические поверхности являются регулярными в коразмерности один». ^[1] Теория разработана, например, в «Алгебраической геометрии» Хартшорна. ^[4]

Примеры

Проективная линия

Проективная прямая над областью Дедекинда — это гладкая , правильная арифметическая поверхность над . Слой над любым максимальным идеалом — это проективная прямая над полем ^[5] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}.}$

Обычные минимальные модели

Модели Нерона для эллиптических кривых , изначально определенные над глобальным полем , являются примерами этой конструкции и хорошо изученными примерами арифметических поверхностей. ^[6] Имеются сильные аналогии с эллиптическими расслоениями .

Теория пересечений

При наличии двух различных неприводимых дивизоров и замкнутой точки на специальном слое арифметической поверхности мы можем определить локальный индекс пересечения дивизоров в точке, как вы бы это сделали для любой алгебраической поверхности, а именно как размерность определенного фактора локального кольца в точке. ^[7] Идея состоит в том, чтобы затем сложить эти локальные индексы, чтобы получить глобальный индекс пересечения. Теория начинает расходиться с теорией алгебраических поверхностей, когда мы пытаемся гарантировать, что линейные эквивалентные дивизоры дают тот же индекс пересечения, это будет использоваться, например, при вычислении индекса пересечения дивизоров с самим собой. Это не удается, когда базовая схема арифметической поверхности не является «компактной». Фактически, в этом случае линейная эквивалентность может переместить точку пересечения в бесконечность. ^[8] Частичным решением этой проблемы является ограничение набора делителей, которые мы хотим пересечь, в частности, принудительное принуждение по крайней мере одного делителя быть «волокнистым» (каждый компонент является компонентом специального волокна), что позволяет нам определить уникальную пару пересечения, обладающую этим свойством, среди других желаемых свойств. ^[9] Полное решение дается теорией Аракелова.

теория Аракелова

Теория Аракелова предлагает решение проблемы, представленной выше. Интуитивно, волокна добавляются на бесконечности путем добавления волокна для каждого архимедова абсолютного значения K. Затем можно определить локальное пересечение пар, которое распространяется на полную группу делителей, с желаемой инвариантностью относительно линейной эквивалентности. ^[10]

Смотрите также

• Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии
• теория Аракелова
• модель Нерона

Примечания

1. Сильверман, Дж. Х. Расширенные темы арифметики эллиптических кривых . Springer, 1994, стр. 311.
2. Лю, Цюй. Алгебраическая геометрия и арифметические кривые . Oxford University Press, 2002, глава 8.
3. Eisenbud, D. и Harris, J. Геометрия схем . Springer-Verlag, 1998, стр. 81.
4. Хартшорн, Р. Алгебраическая геометрия . Springer-Verlang, 1977, стр. 130.
5. Сильверман, Дж. Х. Расширенные темы арифметики эллиптических кривых . Springer, 1994, стр. 312.
6. Сильверман, Дж. Х. Расширенные темы арифметики эллиптических кривых . Springer, 1994, Глава IV.
7. Сильверман, Дж. Х. Расширенные темы арифметики эллиптических кривых . Springer, 1994, стр. 339.
8. Сильверман, Дж. Х. Расширенные темы арифметики эллиптических кривых . Springer, 1994, стр. 340.
9. Сильверман, Дж. Х. Расширенные темы арифметики эллиптических кривых . Springer, 1994, стр. 341.
10. Сильверман, Дж. Х. Расширенные темы арифметики эллиптических кривых . Springer, 1994, стр. 344.

Ссылки

• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том 52. Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9. Збл  0367.14001.
• Цин Лю (2002). Алгебраическая геометрия и арифметические кривые . Oxford University Press . ISBN 0-19-850284-2.
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000). Геометрия схем . Выпускные тексты по математике . Том 197. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98637-5. Збл  0960.14002.
• Ланг, Серж (1988). Введение в теорию Аракелова . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1. MR  0969124. Zbl  0667.14001.
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Продвинутые темы арифметики эллиптических кривых . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 151. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5. Збл  0911.14015.
• Soulé, C.; Abramovich, Dan; Burnol, J.-F.; Kramer, Jürg (1992). Лекции по геометрии Аракелова . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 33. Совместная работа с H. Gillet. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47709-3. Збл  0812.14015.