В гармоническом анализе и теории чисел автоморфная форма — это корректная функция от топологической группы G до комплексных чисел (или комплексного векторного пространства ), которая инвариантна относительно действия дискретной подгруппы топологической группы. Автоморфные формы представляют собой обобщение идеи периодических функций в евклидовом пространстве на общие топологические группы.
Модульные формы — это голоморфные автоморфные формы, определенные над группами SL(2, R ) или PSL(2, R ) с дискретной подгруппой, являющейся модулярной группой или одной из ее конгруэнтных подгрупп ; в этом смысле теория автоморфных форм является расширением теории модулярных форм. В более общем смысле, можно использовать адельный подход как способ работы со всем семейством конгруэнтных подгрупп одновременно. С этой точки зрения автоморфная форма над группой G ( AF ) для алгебраической группы G и поля алгебраических чисел F — это комплекснозначная функция на G ( AF ) , которая остается инвариантной слева относительно G ( F ) и удовлетворяет определенным условиям гладкости и роста.
Пуанкаре впервые открыл автоморфные формы как обобщения тригонометрических и эллиптических функций . Благодаря гипотезе Ленглендса автоморфные формы играют важную роль в современной теории чисел. [1]
В математике возникает понятие фактора автоморфии для группы , действующей на комплексно-аналитическом многообразии . Предположим, что группа действует на комплексно-аналитическом многообразии . Тогда также действует в пространстве голоморфных функций от до комплексных чисел. Функция называется автоморфной формой , если выполняется следующее:
где – всюду ненулевая голоморфная функция. Эквивалентно, автоморфная форма — это функция, делитель которой инвариантен относительно действия .
Фактором автоморфии автоморфной формы является функция . Автоморфная функция — это автоморфная форма, для которой есть тождество.
Автоморфная форма — это функция F на G (со значениями в некотором фиксированном конечномерном векторном пространстве V в векторном случае), подчиняющаяся трем видам условий:
Это первый из них, который делает F автоморфным , то есть удовлетворяет интересному функциональному уравнению , связывающему F ( g ) с F ( γg ) для . В векторном случае спецификация может включать конечномерное групповое представление ρ, действующее на компоненты и «скручивающее» их. Условие оператора Казимира гласит, что некоторые лапласианцы имеют F в качестве собственной функции; это гарантирует, что F обладает отличными аналитическими свойствами, но является ли она на самом деле комплексно-аналитической функцией, зависит от конкретного случая. Третье условие состоит в том, чтобы учесть случай, когда G /Γ не компактна , но имеет точки возврата .
Формулировка требует общего понятия фактора автоморфии j для Γ, который является типом 1- коцикла в языке групповых когомологий . Значения j могут быть комплексными числами или фактически комплексными квадратными матрицами, что соответствует возможности векторнозначных автоморфных форм. Условие коцикла, налагаемое на фактор автоморфии, можно регулярно проверять, когда j выводится из матрицы Якобиана , с помощью цепного правила .
Более простое, но технически продвинутое определение, использующее теорию полей классов , строит автоморфные формы и соответствующие им функции как вложения групп Галуа в их базовые глобальные расширения полей. В этой формулировке автоморфные формы представляют собой некоторые конечные инварианты, отображающиеся из группы классов иделей по закону взаимности Артина . При этом аналитическая структура ее L-функции допускает обобщения с различными алгебро-геометрическими свойствами; и результирующая программа Ленглендса . Если упростить, автоморфные формы в этой общей перспективе представляют собой аналитические функционалы, количественно определяющие инвариантность числовых полей в самом абстрактном смысле, тем самым указывая на «примитивность» их фундаментальной структуры . Предоставляет мощный математический инструмент для анализа инвариантных конструкций практически любой числовой структуры.
Примеры автоморфных форм в явном неабстрагированном состоянии получить трудно, хотя некоторые из них обладают непосредственно аналитическими свойствами:
- Ряд Эйзенштейна (который является прототипом модулярной формы ) над некоторыми расширениями полей как абелевы группы .
- Конкретные обобщения L-функций Дирихле как теоретико-полевых объектов классов.
- Вообще любой гармонический аналитический объект как функтор над группами Галуа , который инвариантен относительно своей идеальной группы классов (или идели ).
В качестве общего принципа автоморфные формы можно рассматривать как аналитические функции на абстрактных структурах , которые инвариантны относительно обобщенного аналога их простого идеала (или абстрактного неприводимого фундаментального представления ). Как уже упоминалось, автоморфные функции можно рассматривать как обобщения модулярных форм (как, следовательно, эллиптические кривые ), построенные с помощью некоторого аналога дзета-функции на автоморфной структуре. В простейшем смысле автоморфные формы — это модулярные формы , определенные на общих группах Ли ; из-за их свойств симметрии. Следовательно, проще говоря, это общая функция, которая анализирует инвариантность структуры относительно ее первичной «морфологии» .
До того, как была предложена эта очень общая установка (около 1960 г.), уже имело место существенное развитие автоморфных форм, отличных от модульных. Случай Γ как фуксовой группы привлекал внимание еще до 1900 г. (см. ниже). Модульные формы Гильберта ( также называемые формами Гильберта-Блюменталя) были предложены вскоре после этого, хотя полная теория появилась еще долго. Модулярные формы Зигеля , для которых G — симплектическая группа , естественным образом возникли при рассмотрении пространств модулей и тэта-функций . Послевоенный интерес к нескольким комплексным переменным сделал естественным развитие идеи автоморфной формы в тех случаях, когда формы действительно являются комплексно-аналитическими. Большая работа была проделана, в частности Ильей Пятецким-Шапиро , примерно в 1960 году по созданию такой теории. Теория формулы следов Сельберга , примененная другими, показала значительную глубину теории. Роберт Ленглендс показал, как (в общем, известно много частных случаев) теорема Римана – Роха может быть применена к вычислению размерностей автоморфных форм; это своего рода апостериорная проверка обоснованности идеи. Он также разработал общую теорию рядов Эйзенштейна , которая соответствует тому, что в терминах спектральной теории было бы «непрерывным спектром» для этой проблемы, оставив для исследования форму возврата или дискретную часть. С точки зрения теории чисел, формы возврата были признаны, начиная со Шринивасы Рамануджана , сутью вопроса.
Последующее понятие «автоморфного представления» оказалось очень ценным с технической точки зрения при работе с G , алгебраической группой , рассматриваемой как адельная алгебраическая группа . Он не полностью включает идею автоморфной формы, представленную выше, поскольку адельный подход - это способ одновременной работы со всем семейством конгруэнтных подгрупп . Внутри пространства L2 для фактора адельной формы группы G автоморфное представление — это представление, которое представляет собой бесконечное тензорное произведение представлений p-адических групп со специфическими представлениями обертывающей алгебры для бесконечного простого числа (s). Один из способов выразить смещение акцентов состоит в том, что операторы Гекке здесь фактически поставлены на тот же уровень, что и операторы Казимира; что естественно с точки зрения функционального анализа , хотя и не столь очевидно для теории чисел . Именно эта концепция лежит в основе формулировки философии Ленглендса .
Одним из первых открытий Пуанкаре в математике, сделанным в 1880-х годах, были автоморфные формы . Он назвал их фуксовыми функциями в честь математика Лазаря Фукса , потому что Фукс был известен как хороший учитель и исследовал дифференциальные уравнения и теорию функций. Пуанкаре фактически разработал концепцию этих функций в рамках своей докторской диссертации. По определению Пуанкаре автоморфная функция — это функция, аналитическая в своей области определения и инвариантная относительно дискретной бесконечной группы дробно-линейных преобразований. Автоморфные функции затем обобщают как тригонометрические , так и эллиптические функции .
Пуанкаре объясняет, как он открыл фуксовы функции:
Пятнадцать дней я пытался доказать, что не может быть никаких функций, подобных тем, которые я с тех пор назвал фуксовыми функциями. Я был тогда очень невежественен; Каждый день я садился за рабочий стол, оставался там час или два, пробовал множество комбинаций и не достигал никаких результатов. Однажды вечером, вопреки своему обыкновению, я выпил черный кофе и не мог заснуть. Идеи рождались толпами; Я чувствовал, как они сталкиваются, пока пары, так сказать, не сцепились, образуя устойчивую комбинацию. На следующее утро я установил существование класса фуксовых функций, происходящих из гипергеометрического ряда ; Мне оставалось только записать результаты, что заняло всего несколько часов.
Цитаты, связанные с автоморфной формой, в Wikiquote
СМИ, связанные с автоморфными формами, на Викискладе?
