Автоморфизм

Изоморфизм объекта самому себе

Автоморфизм четырехгруппы Клейна, показанный как отображение между двумя графами Кэли , перестановка в обозначениях цикла и отображение между двумя таблицами Кэли .

В математике автоморфизм — это изоморфизм математического объекта самому себе. В каком-то смысле это симметрия объекта и способ отображения объекта на самого себя с сохранением всей его структуры. Совокупность всех автоморфизмов объекта образует группу , называемую группой автоморфизмов . Грубо говоря, это группа симметрии объекта.

Определение

В контексте абстрактной алгебры математический объект представляет собой алгебраическую структуру, такую ​​как группа , кольцо или векторное пространство . Автоморфизм — это просто биективный гомоморфизм объекта с самим собой. (Определение гомоморфизма зависит от типа алгебраической структуры; см., например, групповой гомоморфизм , кольцевой гомоморфизм и линейный оператор .)

Тождественный морфизм ( тождественное отображение ) в некоторых контекстах называется тривиальным автоморфизмом . Соответственно, другие (нетождественные) автоморфизмы называются нетривиальными автоморфизмами .

Точное определение автоморфизма зависит от типа рассматриваемого «математического объекта» и от того, что именно представляет собой «изоморфизм» этого объекта. Наиболее общий контекст, в котором эти слова имеют значение, — это абстрактная ветвь математики, называемая теорией категорий . Теория категорий занимается абстрактными объектами и морфизмами между этими объектами.

В теории категорий автоморфизм — это эндоморфизм (т. е. морфизм объекта в самого себя), который также является изоморфизмом (в категориальном смысле этого слова, означающем, что существует правый и левый обратный эндоморфизм).

Это очень абстрактное определение, поскольку в теории категорий морфизмы не обязательно являются функциями , а объекты не обязательно являются множествами. Однако в большинстве конкретных ситуаций объекты будут наборами с некоторой дополнительной структурой, а морфизмы будут функциями, сохраняющими эту структуру.

Группа автоморфизмов

Если автоморфизмы объекта X образуют множество (вместо собственного класса ), то они образуют группу при композиции морфизмов . Эта группа называется группой автоморфизмов X .

Закрытие

Другим автоморфизмом является композиция двух автоморфизмов.

Ассоциативность

Частью определения категории является то , что композиция морфизмов ассоциативна.

Личность

Идентичность — это тождественный морфизм объекта к самому себе, который является автоморфизмом.

Инверсии

По определению каждый изоморфизм имеет обратный, который также является изоморфизмом, а поскольку обратный также является эндоморфизмом того же объекта, он является автоморфизмом.

Группа автоморфизмов объекта X в категории C обозначается Aut _C ( X ) или просто Aut ( X ), если категория ясна из контекста.

Примеры

• В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Группу автоморфизмов X также называют симметрической группой на X .
• В элементарной арифметике множество целых чисел Z , рассматриваемое как сложенная группа, имеет уникальный нетривиальный автоморфизм: отрицание. Однако, рассматриваемое как кольцо, оно обладает лишь тривиальным автоморфизмом. Вообще говоря, отрицание — это автоморфизм любой абелевой группы , но не кольца или поля.
• Групповой автоморфизм — это групповой изоморфизм группы в себя. Неформально это такая перестановка элементов группы, при которой структура остается неизменной. Для каждой группы G существует естественный групповой гомоморфизм G → Aut( G ), образ которого есть группа Inn( G ) внутренних автоморфизмов и ядро ​​которого является центром G. Таким образом, если G имеет тривиальный центр, ее можно вложить в собственную группу автоморфизмов. ^[1]
• В линейной алгебре эндоморфизмом векторного пространства V является линейный оператор V → V. Автоморфизм — это обратимый линейный оператор на V . Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов V совпадает с общей линейной группой GL( V ). (Алгебраическая структура всех эндоморфизмов V сама по себе является алгеброй над тем же базовым полем, что и V , обратимые элементы которой в точности состоят из GL( V ).)
• Полевой автоморфизм — это биективный гомоморфизм колец поля в себя. В случаях рациональных чисел ( Q ) и действительных чисел ( R ) не существует нетривиальных полевых автоморфизмов. Некоторые подполя R имеют нетривиальные полевые автоморфизмы, которые, однако, не распространяются на все R (поскольку они не могут сохранить свойство числа, имеющего квадратный корень в R ). В случае комплексных чисел C существует единственный нетривиальный автоморфизм, который переводит R в R : комплексное сопряжение , но существует бесконечно ( несчетно ) множество «диких» автоморфизмов (при условии выбора аксиомы ). ^{[2] [3]} Полевые автоморфизмы важны для теории расширений полей , в частности расширений Галуа . В случае расширения Галуа L / K подгруппа всех автоморфизмов L , фиксирующих K поточечно , называется группой Галуа расширения.
• Группа автоморфизмов кватернионов ( H ) как кольцо — это внутренние автоморфизмы по теореме Скулема-Нётер : отображения вида a ↦ bab ⁻¹ . ^[4] Эта группа изоморфна SO (3) — группе вращений в трёхмерном пространстве.
• Группа автоморфизмов октонионов ( O ) — это исключительная группа Ли G2 .
• В теории графов автоморфизм графа — это перестановка узлов, сохраняющая ребра и неребра. В частности, если два узла соединены ребром, то же самое относится и к их изображениям при перестановке.
• В геометрии автоморфизм можно назвать движением пространства. Также используется специализированная терминология:
  • В метрической геометрии автоморфизм — это самоизометрия . Группу автоморфизмов также называют группой изометрий .
  • В категории римановых поверхностей автоморфизм — это биголоморфное отображение (также называемое конформным отображением ) поверхности в саму себя. Например, автоморфизмы сферы Римана являются преобразованиями Мёбиуса .
  • Автоморфизм дифференцируемого многообразия M — это диффеоморфизм M в себя . Группу автоморфизмов иногда обозначают Diff( M ).
  • В топологии морфизмы между топологическими пространствами называются непрерывными отображениями , а автоморфизм топологического пространства — это гомеоморфизм пространства самому себе, или самогомеоморфизм (см. группу гомеоморфизмов ). В этом примере недостаточно , чтобы морфизм был биективным, чтобы быть изоморфизмом.

История

Один из самых ранних групповых автоморфизмов (автоморфизм группы, а не просто группы автоморфизмов точек) был дан ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его икосианском исчислении , где он открыл автоморфизм второго порядка, ^[5] написав :

так что это новый пятый корень единства, связанный с прежним пятым корнем отношениями совершенной взаимности. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Внутренние и внешние автоморфизмы

В некоторых категориях, особенно в группах , кольцах и алгебрах Ли , автоморфизмы можно разделить на два типа, называемые «внутренними» и «внешними» автоморфизмами.

В случае групп внутренние автоморфизмы — это сопряжения элементами самой группы. Для каждого элемента a группы G сопряжение с помощью a - это операция φ _a  : G → G , заданная формулой φ _a ( g ) = aga ⁻¹ (или a ⁻¹ ga ; использование варьируется). Легко проверить, что сопряжение с помощью a является групповым автоморфизмом. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы Aut( G ), обозначаемую Inn( G ); это называется леммой Гурса .

Остальные автоморфизмы называются внешними автоморфизмами . Факторгруппа Aut ( G )/Inn( G ) обычно обозначается Out( G ); нетривиальные элементы — это смежные классы , содержащие внешние автоморфизмы.

То же определение справедливо в любом кольце или алгебре с единицей , где a — любой обратимый элемент . Для алгебр Ли определение немного другое.

Смотрите также

• Антиавтоморфизм
• Автоморфизм (в головоломках судоку)
• Характеристическая подгруппа
• Кольцо эндоморфизмов
• Автоморфизм Фробениуса
• Морфизм
• Порядковый автоморфизм (в теории порядка ).
• Автоморфизм, сохраняющий отношения
• Дробное преобразование Фурье

Рекомендации

1. П. Дж. Пал, Р. Дамрат (2001). «§7.5.5 Автоморфизмы». Математические основы вычислительной техники (перевод Феликса Паля). Спрингер. п. 376. ИСБН 3-540-67995-2.
2. Йель, Пол Б. (май 1966 г.). «Автоморфизмы комплексных чисел» (PDF) . Журнал «Математика» . 39 (3): 135–141. дои : 10.2307/2689301. JSTOR  2689301.
3. Лунесто, Пертти (2001), Клиффордские алгебры и спиноры (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 22–23, ISBN 0-521-00551-5
4. Справочник по алгебре , вып. 3, Эльзевир , 2003, с. 453
5. Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856). «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) . Философский журнал . 12 : 446. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

Внешние ссылки

• Автоморфизм в математической энциклопедии
• Вайсштейн, Эрик В. «Автоморфизм». Математический мир .